5.1.2弧度制课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“弧度制”核心内容，涵盖概念、互化及应用。导入从现实单位制差异切入，先回顾角度制六十进制，再追问十进制度量可能，通过弧长与半径比值的探究，搭建从角度制到弧度制的学习支架。 其亮点在于以几何情境引导学生抽象弧度制定义，体现数学眼光。推导互化公式和扇形公式时注重逻辑推理，培养数学思维。特殊角对应表、例题及方法总结帮助学生用数学语言表达角的集合，提升应用能力，教师可借助分层训练高效教学。

第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制 课时2 弧度制 1 现实生活中有些几何量可以用不同的单位制进行表示 导入 问题1：度量角用什么作单位？ 度/分/秒的换算：六十进制 1度=60分 1分=60秒 追问：能否用十进制的实数来度量角？ 角度(°) 实数 探究：角度与弧长的关系 如图，射线绕端点旋转到形成角在旋转过程中，射线上的一点(不同于点)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角 设点所形成的圆弧的长为由初中所学知识可知 于是 . 探究：角度与弧长的关系 活动1：如图，在射线上任取一点(不同于点)，.在旋转过程中，点所形成的圆弧的长为与的比值是多少？你能得出什么结论？ ∵，∴ . 可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关。 . 新知1：弧度制的定义 规定:长度等于半径的圆弧长所对的圆心角叫做1弧度的角, 弧度单位用符号表示，读作弧度。 即：对于圆心角α，若l=r，则|α|=l/r=1 rad. l=3r |α|=l/r=3 rad l=2πr |α|=l/r=2π rad 我们把半径为1的圆叫做单位圆.如图，在单位圆中，的长等于1，就是1弧度的角.记作1 rad表示，读作1弧度。 正角的弧度数是正数 负角的弧度数是负数 零角的弧度数是0 ②今后用弧度制表示角时，“弧度”或“rad”可略去不写 如：α=1，β=2π 用弧度表示角 任意角的集合 实数集R 思考1：角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算.如何换算呢？ 因为周角的弧度数是，而在角度制下的度数是360，所以： 反过来有， 3.角度与弧度的互化 注：1.弧度单位可省略，角度单位不能省略。 2.弧度与角度不能混用． 常用特殊角的度数与弧度数的对应表 角度(°) 弧度 (rad) 0 背！ 一、弧度制的概念 例1 下列说法正确的是( ) . A A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有1弧度的圆心角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 10 巩固训练1 下列说法中,错误的是( ) . D A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.每个弧度制的角都有唯一的角度制的角与之对应 C.根据弧度的定义, 一定等于 弧度 D.3弧度的角的终边在第三象限 11 二、角度制与弧度制的互化 例2 把下列角度化成弧度或弧度化成角度: （1） ;（2） ;（3）2;（4） . [解析] （1） . （2）. （3） . （4） . 12 巩固训练2 将下列角度与弧度进行互化: （1）;（2）;（3） ;（4） . [解析] （1） . （2） . （3） . （4） . 13 (3)与α终边相同的角的集合 (4)终边在直线y=x上的角的集合 注：角度和弧度不能混用 三、用弧度制表示角的集合 例3 用弧度表示顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分 （不包括边界，如图）的角的集合. 15 [解析] （1）因为以为终边的角为 ，，以 为终边的角为 ， ，所以阴影部分（不包括边界）的角的集合为 , . （2）因为以为终边的角为 ,,以为终边的角为 , ,所 以终边落在阴影部分（不含边界）的角的集合为 , . 16 方法总结 根据已知图形写出区域角的集合的步骤 （1）仔细观察图形. （2）写出区域边界作为终边时角的表示. （3）用不等式表示区域范围内的角. （4）按逆时针方向书写. 17 巩固训练3 集合 中的角所表示的范围（阴影部分）是 ( ) . C A. B. C. D. 18 探究2 扇形的弧长及面积公式 如图所示,设公路弯道处弧的长为.(图中长度单位: 问题1: 图中的 是多少弧度？ 问题2: 弧的长 是多少？ 问题3: 求扇形的面积 . [答案] . [答案] . [答案] . 19 5、角度制 弧度制 VS 题型三、用弧度制求扇形的面积和弧长 r O A B (1)弧长公式： (2)扇形面积公式: 1.与角 终边相同的角是( ) . C A. B. C. D. [解析] 与角终边相同的角为,,当时,此角等于 .故选C. 2.已知扇形的半径,圆心角 ,则该扇形的弧长等于____,面积等于_____,周长 等于________. [解析] 弧长 ,面积 ,周长为 . 21 1.下列说法中,错误的是( ) . D A.半圆所对的圆心角是 B.周角的大小等于 C.在半径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 22 2.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) . B A. B. C. D. 3.若，且 与角终边相同，则 __. 4.周长为9,圆心角为 的扇形面积为__. 23 $