15.1.2线段的垂直平分线的性质 同步练习 2026--2027学年人教版八年级数学上册

15.1.2线段的垂直平分线 一、单选题 1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，连接BE，若∠A=40°，则∠CBE的度数为（    ） A．10°   B．15° C．20° D．25° 2．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（   ） A．15 B．16 C．22 D．23 3．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心．大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若BC比AC长，的周长是，则AC的长为（　　）． A．5 B．6 C．7 D．8 4．下列说法不正确的是（    ） A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 B．到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．到角两边的距离相等的点在角的平分线上 5．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 7．如图，在中，以A为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连接交于点E，已知的周长为13，，则的长为（    ）    A．7 B．8 C．9 D．10 8．如图，中，的垂直平分线分别与边，交于点D，点E，若与的周长分别是和，则的长是（  ） A． B． C． D． 9．某数学兴趣小组，在学习了角平分线的作法后，又探究出下面两种方案，则正确的方案（    ） 方案I 方案II ①分别在射线上截取，（点C，E不重合）； ②分别作线段的垂直平分线，交点为P； ③作射线即为的平分线．          ①分别在射线上截取，（点C，E不重合）； ②连接，交点为P； ③作射线即为的平分线．      A．方案I可行、II不可行 B．方案I不可行：II可行 C．方案I，II都可行 D．方案I，II都不可 10．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）    A．① B．② C．③ D．④ 11．如图，在直角三角形中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，中，的垂直平分线与的外角平分线相交于点，于，交的延长线于，则下列结论：①  ②   ③   ④其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G．若BG＝4，AC＝5，则△ABC的周长是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 14．下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 15．如图，，按以下步骤操作： （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，点， （2）分别以，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点， （3）作射线， （4）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别在两侧交于点，， （5）直线交射线于点， （6）过点作的垂线交于点．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 16．如图，在中，，为的中垂线，若，则的长为______．    17．如图，中，垂直平分，垂足为E，交于D，若，则的周长为__________．    18．已知：如图，AB=AC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果ΔEBC的周长是15，那么BC=___________________． 19．如图，在中，，点P为所在平面内一点，且点P与的任意两个顶点构成，，均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为_____个．    20．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AE⊥AC，DE垂直平分AB于D，若DE=2，则EC=_____. 三、解答题 21．如图，在中，是的垂直平分线，若，，求的周长？ 22．（1）画图并计算：已知线段AB＝1cm，延长线段AB至点C，使得BC＝2AB，再反向延长AC至点D，使得AD＝AC，点E为线段AC中点． ①准确地画出图形，并标出相应的字母； ②求出线段DE的长度． （2）如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数． 23．如图，中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．(保留作图痕迹，不写作法) 24．如图． (1)尺规作图 边上的中线； (2)如果，，求与的周长之差； (3)直接写出与的面积之间的大小关系． 25．如图，已知，且点A，B，D，E在同一直线上．根据要求用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中作出线段BE的垂直平分线． (2)在图②中作出线段AD的垂直平分线． 26．学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点E为中点，连结并延长到点D，使，连接则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题． 【课例回顾】（1）如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线l，并在直线l上依次取点C和点D，使得，，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长； 【猜想探究】（2）如图3，在中，D是的中点，，，，猜想线段与有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，为中线，且，过点D作交于点E．请求线段的长．（用含d的式子表示） 27．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上． 28．在数学课上，老师提出如下问题： 小华的作法如下： 第一步：以点为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于点两点； 第二步：分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线，则直线就是所求作的 (1)请根据小华的作法，补充图形． (2)试说明小华这一作法的数学道理． 试卷第2页，共9页 试卷第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 《15.1.2线段的垂直平分线的性质》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D D B B B C C 题号 11 12 13 14 15 答案 B A B D C 1．A 【分析】根据垂直平分线的性质和等边对等角即可计算． 【详解】∵∠C=90°，∠A=40°， ∴∠ABC=90°-40°=50°. ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE, ∴∠ABE=∠A=40°, ∴∠CBE=50°-40°=10°. 故选A. 2．D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到线段相等，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 又周长， ∴周长． 故选：D． 3．B 【分析】根据作图可知，是的垂直平分线，进而可得，继而可得，根据BC比AC长，得出，即可求得的长． 【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵BC比AC长， ∴， ∴， 解得． 故选B． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 4．D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线，角平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，角平分线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，正确，故本选项错误； B、到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，正确，故本选项错误； C、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，故本选项错误； D、到角两边的距离相等的点在角的平分线上，错误，应是在角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上，故本选项正确． 故选D. 5．D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由题意可得，，结合线段垂直平分线的性质可得，即可得解． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而得到的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴的周长为， 故选B． 7．B 【分析】首先根据尺规作图得到，是的垂直平分线，进而得到，然后根据的周长为13求解即可． 【详解】由题意得，， 是的垂直平分线 ∴ ∵的周长为13， ∴ ∴，即， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 8．B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，三角形周长，是解题关键． 先根据线段垂直平分线的定义得，则，再根据，，得，据此可得的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9．C 【分析】对于方案I，根据线段垂直平分线的性质得，，则证明得到，所以平分；于是可判断I方案正确； 对于方案II：先证明得到，再证明得到，然后证明得到，于是可判断II方案正确． 【详解】解：对于方案I： 根据线段垂直平分线的性质得，， ， ， ， 即平分；所以I方案正确； 对于方案II： ，， ， ， ，， ， ， ， ， 即平分；所以II方案正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质． 10．C 【详解】试题解析： ①作一个角等于已知角的方法正确； ②作一个角的平分线的作法正确； ③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误； ④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确． 故选C． 考点：基本作图. 11．B 【分析】由作图方法可知，平分，，根据角平分线的定义和三角形内角和定理求得的度数，则由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解： 由作图方法可知，平分，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴． 12．A 【分析】由角平分线的性质可知，由线段垂直平分线的性质可知，根据定理可判定①的正误； 由角平分线的性质可知，由全等三角形的性质对应边相等，等量代换，即可判断②的正误； 设交于，对顶角相等，根据全等三角形对应角相等可得，即可判断③的正误； 只有当时④才成立，即④不一定正确． 【详解】解：解：由题意得，，， ， ①正确； 的外角平分线相交于点， ， ， ， ②正确； 设交于， ， ， ， ， ③正确； 的外角平分线相交于点， ， ， 。 ，无法判断， 只有当时④才成立，即④错误． 故正确的结论有①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判断和性质，熟练应用这些性质和定理是解题的关键． 13．B 【分析】连接AD、DC．证明Rt△DGA≌Rt△DFC（HL），Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），得出AG=CF，BG=BF．则可求出答案． 【详解】解：连接AD、DC． ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC， ∴DG=DF． ∵D在AC的中垂线上， ∴DA=DC． 在Rt△DGA与Rt△DFC中， ∵DG=DF，DA=DC， ∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）． ∴AG=CF， ∵DG=DF，BD=BD， ∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）． ∴BG=BF．又∵AG=CF， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=BG-AG+BF+FC+AC=2BG+AC=2×4+5=13， 故选B． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．D 【分析】本题考查尺规作图中垂线的作图原理及几何性质的应用，关键在于理解每一步作图的几何意义．通过确定垂直平分线，保证对称性，明确点与直线的对称关系满足的距离和位置条件，进而确定三角形的全等． 【详解】解：步骤（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和点， ， 点是步骤（3）中以点和点为圆心．相同半径画弧的交点， ， 因点的位置由两弧交点决定，无法保证的长度等于， 故结论①错误； 步骤（3）中，以点和点为圆心．相同半径画弧， 交点必在的垂直平分线上，即是的垂直平分线， 点与点一定关于直线对称， 故结论②正确； 是垂线， ， 点的位置由作图步骤决定， 未必满足点与点到直线距离相等， 故结论③错误； （步骤2），（步骤3），为公共边， ， 故结论④正确． 故选：D． 15．C 【分析】如图，连接、，过点作交的延长线于点，设，根据尺规作图知：垂直平分，平分，得，，，证明得，证明得，即，求得，可得答案． 【详解】解：如图，连接、，过点作交的延长线于点，设， 由作图知：垂直平分，平分， ∴，， ∵，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即， ∴， 即的值为． 故选：C． 【点睛】本题考查尺规作图，垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键． 16．3 【分析】根据中垂线的性质可得，最后计算即可． 【详解】解：为的中垂线， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查中垂线的性质，较简单，熟记性质是关键． 17．20 【分析】由垂直平分线的性质可得，则的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握这一性质是关键． 18．5． 【分析】根据线段垂直平分线得出AE=BE，求出△EBC的周长=AC+BC，代入求出即可． 【详解】解：∵AB的垂直平分线为DE， ∴AE=BE， ∴△EBC的周长是BC+BE+EC=AE+BC+CE=AC+BC=15， ∵AB=AC=10， ∴BC=15-10=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 19．6 【分析】作出的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等和圆的半径相等即可得解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线， ①作的垂直平分线交的垂直平分线于点，为满足条件的点， ②以点C为圆心，以长为半径画圆，交的垂直平分线于点、，、为满足条件的点， ③分别以点A、B为圆心，以长为半径画圆，交的垂直平分线于点，为满足条件的点， ④分别以点A、B为圆心，以长为半径画圆，交的垂直平分线于点、，、为满足条件的点， 综上所述，满足条件的所有点P的个数为6． 故答案为6．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答本题的关键． 20．8 【分析】由DE垂直平分AB，可得AE=BE，由△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，可求得∠B=∠C=∠EAB=30°，继而求得AE的长，继而求得答案． 【详解】∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴∠EAB=∠B=30°， ∴AE=BE=2DE=2×2=4， ∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°， ∴CE=2AE=8， 故答案为8． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 21．的周长是13 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质，并结合三角形周长的定义即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线． ， ， 的周长， 答：的周长是13． 22．（1）①见解析；②4.5 cm；（2）∠BOC＝30°，∠AOC＝120° 【分析】（1）①由尺规作图得； ②由线段的中点，线段的和差求出DE的长度4.5cm． （2）直接利用角平分线的定义结合已知角度得出∠BOF的度数，进而分析得出答案． 【详解】解：（1）①依题意画出图形如图所示： ②如上图所示： ∵AC＝AB+BC，BC＝2AB，AB＝1cm， ∴AC＝AB+BC＝3AB＝3×1＝3(cm)， 又∵AD＝AC， ∴AD＝3 cm 又∵点E为线段AC中点， ∴AE＝＝＝1.5(cm)， 又∵DE＝AD+AE， ∴DE＝3+1.5＝4.5(cm)． （2）∵∠AOB＝90°，OE平分∠AOB， ∴∠BOE＝∠AOB＝45°， ∵∠EOF＝60°， ∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝15°， ∵OF平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠BOF＝30°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°． 【点睛】本题综合考查了尺规作图，线段的中点，线段的和差，角的计算以及角平分线的定义等相关知识点，掌握直线上两点间的距离求法，正确应用角平分线的定义是解题关键． 23．见解析 【分析】本题考查了作垂线，直角三角形的两个锐角互余，根据题意过点作于点，可得，则点即为所求． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ， ， 则点即为所求． 24．(1)见详解； (2)3 (3) 【分析】（1）先作的垂直平分线找到D点，连接即可； （2）根据中线得到，直接用两周长作差即可得到答案； （3）根据中线性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意分别以A，B为圆心大于 为半径画圆弧交于两侧各一点，连接两点交于一点即为中点D，连接如图所示， （2）解：∵是 边上的中线， ∴， ， ∵，， ∴ （3）解：由题意可得， ∵是 边上的中线， ∴ ． 【点睛】本题考查三角形中线作法及三角形中线的性质，三角形中线分得线段相等及面积相等的两个三角形． 25．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）将线段与线段的交点与线段与线段的交点连接，此线段所在的直线即为线段的垂直平分线； （2）将延长线段、线段所得的交点与线段与线段的交点连接，此线段所在的直线即为线段的垂直平分线. 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求． （2）解：如图②，直线即为所求． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法. 26．（1）见解析，知道就可知道的长；（2），见解析；（3） 【分析】（1）作交l于点D，延长交于点，证明即可得到结论； （2）延长到G，使得，由得，，根据平行线的性质得到，求得，证明即可得到结论； （3）如图4，延长到F使，证明得，，再证明，得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）①补充如图，作交l于点D，延长交于点M，则，即知道就可知道的长； 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴；        （2），理由如下： 延长到G，使得，则， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）如图4，延长到F使， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 27．见解析 【分析】在BC上截取BE＝BA，连接DE，证明△ABD≌△BED，可得出∠C＝∠DEC，则DE＝DC，从而得出AD＝CD即可证明． 【详解】证：如图，在BC上截取BE＝BA，连接DE， ∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD， ∴△BAD≌△BED， ∴∠A＝∠DEB，AD＝DE， ∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°， ∴∠C＝∠DEC， ∴DE＝DC， ∴AD＝CD， ∴点D在线段AC的垂直平分线上． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键． 28．(1)见解析 (2)到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：∵，． ∴是线段的垂直平分线． 故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了尺规作图和线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段的垂直平分线是解题的关键． 答案第18页，共18页 答案第17页，共17页 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