【课件】“新高考2卷 第14题 ”（南部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

此处放视频头像 不放文字 探外接球之秘，悟数形本之源 ——以2026年全国Ⅱ卷第14题为例 姓名：李娅 刘宗泰 所在单位：云南省弥勒市庆来学校 01 一、真题赏析 二、试题讲解 02 三、试题评析 03 04 四、试题溯源 五、试题推广 05 六、试题变式 06 07 七、备考启示 目录 已知球的体积为4，A，B，C，D四点均在球O的球面上，△ABC为等边三角形，DA=DB=DC=2，则△ABC的面积为__________． 2026年全国Ⅱ卷第14题 一、真题赏析 空间几何体的外接球 直观想象 数学抽象 数学运算 球的体积 运算 几何对称性 勾股定理 外接球球心位置判定 二、试题讲解 思路一：几何特征代数化——定球心位置 已知球的体积为4，A，B，C，D四点均在球O的球面上，△ABC为等边三角形，DA=DB=DC=2，则△ABC的面积为__________． 题眼-外接球② 正三棱锥③ 求等边三角形的面积？ 面积条件① D A B C O O1 E R D O1 A O R r h R-h 二、试题讲解 解法1：双勾股·球心异侧 解二元一次方程组得 二、试题讲解 解法2：平面化·等面积求高 D O1 A O r R h R-h 二、试题讲解 解法3：在圆锥中还原·通法 侧棱相等型棱锥 D A B C O O1 E R 二、试题讲解 解法3：在圆锥中还原·通法 化简得 二、试题讲解 解法3：在圆锥中还原·通法 D A B C O O1 E 实际上，特别地，若已知正三棱锥的三条侧棱长为m，底面边长为n，该正三棱锥外接球半径 已知 二、试题讲解 思路二：空间向量法——代数显严谨 有什么工具可以把几何关系代数化？ 向量 ！ 空间几何关系 代数方程组 形 数 二、试题讲解 解法4：轴线建系·球面方程 D B C O O1 E A A B C F O1 顶点、底面中心、球心三点共轴线 二、试题讲解 解法4：轴线建系·球面方程 D B C O O1 E A 顶点、底面中心、球心三点共轴线 建立合适的坐标系 写出球面方程 𝑥2+𝑦2+(𝑧−𝑚)2=3 列出多元方程组 写出相关点的坐标 正三角形的边长 二、试题讲解 解法5：空间向量的数量积 D B C O O1 E A 二、试题讲解 思路三：高观点透视——公式现本质 能不能类比两圆相交弦的几何关系得到两球相交面的代数式？ 二维 三维 二、试题讲解 解法6：两球共圆·截面圆公式 根轴（Radical Axis) d- 根面（Radical Plane) 二、试题讲解 解法6：两球共圆·截面圆公式 二、试题讲解 解法7：利用克列尔公式·高等数学背景 克列尔公式: 对任意四面体ABCD,其体积V，外接球半径R，满足以下关系式: 其中,分别为正四面体的三组对棱长. 克列尔公式:对任意四面体ABCD,其体积V，外接球半径R，满足以下关系式: 其中,分别为正四面体的三组对棱长. 代入 化简 等体积法 解方程 勾股定理 二、试题讲解 三、试题评析 素 养 层 面 命题特点 数学抽象 球心位置判定 正三棱锥的几何结构 逻辑推理 顶点、底面中心、球心三点共轴线 外接圆相关的推导 数学运算 勾股定理构造方程 向量法 维度 核心特点 考查目的 知识范围​ 空间向量运算、球体几何性质、多面体结构 紧扣课标，强调基础性确保考生具备必要的空间想象能力和坐标运算基础，回归数学本源。 数学思想​ 1. 转化与化归；2. 分类讨论与数形结合3. 方程思想 提升思维严谨性与灵活性打破“球心必在内”的思维定势，考查学生在复杂空间结构中寻找平衡点的能力。 能力要求​ 创新突破：借助向量这一空间几何研究核心工具，通过空间直角坐标系实现“空间几何关系”向“代数方程组”的转化。 不仅考查计算，更考查学生能否透过现象看本质，将不可见的“空间对称”转化为可见的“代数等式”，体现“高观点”下的解题洞察力。 创 新 点 创新点 四、试题溯源 教材溯源 考查正方体的外接球球体的表面积公式 四、试题溯源 教材溯源 已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若𝐴𝐵=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，求球O的半径. 考查直三棱柱的外接球 四、试题溯源 教材溯源 教材习题3.（人教B版(2019)必修第四册课本习题第十一章本章小结） 已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA⊥面ABC，AB⊥BC,SA=AB=1,BC=2，求球的表面积. 考查一条侧棱垂直于底面的椎体的外接球 四、试题溯源 真题溯源 真题溯源1.【2021·天津·高考真题第6题】 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（    ） 圆锥的外接球 四、试题溯源 真题溯源 真题溯源2.【2022年新课标全国Ⅱ卷第7题】 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） 正三棱台的外接球 五、试题推广 圆柱型几何体的外接球半径公式 如图，已知圆柱OO1的高为h，底面半径为r，则圆柱的外接球的球心在线段OO1的中点，A为底面圆周上任意一点，连接OA，O2A，在RT∆OO2A中，由有股定理得 . O1 O2 O R r A O1 O2 O R r A B C A1 B1 C1 O1 O2 O R r B A1 B1 C1 圆柱 直棱柱 有一条侧棱垂直于底面的椎体 五、试题推广 圆锥型几何体的外接球半径公式 如图，已知圆锥PO1的高为h，底面半径为r，则圆锥的外接球的球心在圆锥的高或者延长线上，以在高上为例，A为底面圆周上任意一点，连接OO1,O1A，则OO1=R−h，在RT△OO1A中，有勾股定理可得.（如果球心在椎体外为） 五、试题推广 圆锥型几何体的外接球半径公式 O1 O R r h-R A R O1 O R r h-R P B R A C 五、试题推广 圆台型几何体的外接球半径公式 如图，已知圆台OO1的高为h，上下底面半径分别为r1,r2，则圆台的外接球的球心在线段OO1或其延长线上，AB为母线，连接，在RT△OO1A和RT△OO2B中，由勾股定理得，因为OO1−OO2=h得到 （若球心在台体内可得） O2 O1 R B h A R r1 r2 x O O2 O1 O A B C A1 B1 C1 六、试题变式 变式1.已知正三棱锥D−ABC，AD=2，AB=5，则该三棱锥的外接球的体积为？ 改变条件：给定三棱锥，求外接球体积 七法通用 六、试题变式 变式2.（结合2022新高考Ⅰ卷T12改编）已知正三棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且则该正三棱锥体积的最大值是 . 多考点融合：外接球+三维基本不等式\求导 载体升级：从“静态定值”到“动态范围” 解法巧思：多方法落地的绝佳载体 七、备考启示 1.溯源固本——回归几何定义与通法构建 切忌盲目套用“秒杀”模型，应引导学生回归球体的本源定义（到定点的距离等于定长），利用勾股定理建立几何量与代数方程的桥梁。 ① 探寻定义原点：无论题型如何变化，引导学生先寻找球心位置，建立等量关系； ② 打通转化路径：强化“空间几何问题 → 平面截面问题 → 代数方程求解”的解题逻辑； ③ 构建通法体系：在日常训练中，总结提炼处理外接球问题的 “几何直观”与“代数运算”双轨策略. 七、备考启示 2.素养为核——强化空间想象与数形转换 ①强化“截面法”意识，训练学生从复杂的空间几何体中提取轴截面（如等腰三角形 △AOD），将空间问题平面化； ②深化向量的工具性作用，实现从“依赖图形直观”到“依靠代数运算”的思维跨越； ③借助GeoGebra等工具动态演示，让隐蔽的球心位置可视化。引导学生理解勾股定理方程组背后的几何意义，培养其将空间结构转化为截面 图形的能力，真正落实“多想少算”的命题导向。 七、备考启示 3.融合是未来导向——构建跨维度的知识体系 新高考背景下，外接球问题已成为串联立体几何、解析几何与代数运算的综合载体。 ①设计“几何+代数”综合题组，如将本题的根面（Radical Plane）思想下沉，引导学生类比平面解析几何中的“根轴”概念，理解两球相交的本质； ②开展“初等+高等”视角的微专题，通过对比初等解法与高等公式的联系； ③创设“静态+动态”的问题情境，例如探究侧棱长度变化时， 外接球半径及体积的单调性变化。 球里藏着三棱锥，对称中轴是根本。 勾股双垂求半径，切个西瓜值千金。 千变万化归一路，手算心维见本真。 莫嫌空间太抽象，数形本来一家人。 谢谢倾听，请批评指正! $