【课件】“新高考1卷 第19题 ”（南部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

解构新定义·淬炼逻辑魂 所讲题目：2026年新高考I卷第19题 姓名：王浩宇、苏安凤 所在单位： 杭州第七中学 高考结束，不出意外数学又上了热搜，考生都说难难难，成绩出来后，仅有一人数学满分 2 1 2 3 4 5 6 试题呈现 试题分析 试题解法 类题赏析 试题改编 试题溯源 7 试题感悟 1 题目呈现 2026年新高考I卷19题：已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （1）若当时，，求； （2）若是奇函数，，且，证明：； （3）设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 2 题意分析 数学抽象 逻辑推理 导数 主要考点       试题创新 反证法证明 抽象函数比大小 用集合语言考查函数，未考查导数 试题重难点 难点：对定义的理解 重点：抽象函数处理方向、运用1、2小题思路求解第三小题 2 题意分析 抽象函数的解题思路 方向1：基础方法——赋值与迭代（“赋值法”）。处理定义域、初值和递推关系。 方向2：性质推导——周期性与对称性（“性质转化”）。核心公式（如周期、对称轴）及其相互关系。 方向3：构建具体模型（“以退为进”）。识别基本初等函数（指数、对数、幂、线性）的“原型”。 方向4：函数方程与导数（“构造新函数”）。针对抽象函数或导数问题的“构造函数法”，这对压轴题至关重要。 方向5：数形结合与特殊值（“特殊值法”）。从特殊到一般分析问题，借助已证结论分析问题。 方向6：逻辑推理（ ”正难则反” ）。使用反证法证明问题。 3 试题解法 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （1）若当时，，求； 分析：由定义.故只需寻找的的值即可 （1）若当时，，求； 由定义 . 方法1（直接代入）： 当时，，解得，所以； 当时，，解得，所以； 综上所述，. 3 试题解法 C （1）若当时，，求； ,由定义 . 方法2（画图计算）： ， 可知 3 试题解法 d的几何意义：以点A为起点，到达函数值大于的点时产生的水平位移。 表示向右运动，向左运动. 直接讲位移 10 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （2）若是奇函数，，且，证明：； 分析：由是奇函数可得函数解析式为， 3 试题解法 方法1（画图求解） 时，， 则， 因此. 3 试题解法 d的几何意义：以点A为起点，到达函数值大于的点时产生的水平位移。 表示向右运动，向左运动. 方法1（画图求解） 且 ， , 所以. 3 试题解法 且 首先想到画图求解 13 方法2（解析式分类讨论） 因为是R上的奇函数，当时，所以. （1）首先，化简集合的表达式. ①当时,要使, 则且, 可得,所以. 3 试题解法 方法2（解析式分类讨论） 因为是R上的奇函数，当时，所以. （1）首先，化简集合的表达式. ①当时,要使,则，且,可得,所以. ②当时,. 若,则恒成立, 此时,满足题意. 若,则 .因此. 综上 3 试题解法 当时， ， 此时，, 故. 当时， 情形1： . 情形2：时， ,所以. 综上所述,必有 . 方法2（解析式分类讨论） 3 试题解法 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （2）若是奇函数，，且，证明：； 分析：由是奇函数可得函数解析式为， 求出集合 代数法 数形结合 用子集的定义 正用： 逆用： 3 试题解法 对， > ，即 方法3（子集的定义） 由子集的定义，，对于奇函数 ，满足共有以下情况： 即 3 试题解法 加图 18 方法4（子集的定义变形）： 由子集的定义， 则.满足共有三种情况： 对，有 即 ，即 时，必有 即 . 数学抽象 逻辑推理 3 试题解法 或 19 （3）设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． ①等价：若，则 ②当时，． ②推论： 若，则 否则 与矛盾. 函数值大小关系 集合关系 ①函数值大小关系 集合关系 3 试题解法 切线放缩 （3）设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； 方法1： 令 则,且 条件① 时 ,则 （0， (**) (*)式与(**)式 矛盾 假设不成立 自相矛盾 条件②推论 (*) ②推论： 假设 3 试题解法 Solving problems is a practical skill like, let us say, swimming. We acquire any practical skill by imitation and practice. ——George Pólya （3）设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； 假设 条件① 构造矛盾 ？ 方法2: 3 试题解法 找准归谬的靶心 依条件锚定推演方向 常见矛盾类型 与已知定义、定理、公理矛盾 1 与已证矛盾 4 与题设条件矛盾 2 与显然成立的事实矛盾 5 与假设矛盾 3 自相矛盾 6 （3）设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； 假设 条件① 取， 构造矛盾 找到某个， 但. 在 单调 递增 、 、条件① 、条件②推论 条件 寻找与子集定义矛盾 方法2： 3 试题解法 矛盾 （3）设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； 分析： 方法3:直接证明 时的任意性 ,则 （0， 条件①等价 （0， 条件② 推论 ②推论： ①等价：若，则 3 试题解法 （3）（i）题思维导图 （3）（i）问 反 证 法   构造自相矛盾 借助：切线放缩 条件①   构造与子集定义矛盾 借助条件② 直 接 正 明         （ii）证明：在区间单调递增． 分析： 在区间 单调递增． 根据题目条件 定义 条件① 找到某个，使 ,则. 满足条件的 增函数定义 3 试题解法 （ii）证明：在区间单调递增． 分析： 3 试题解法 题目直接给出的条件       前面小题研究成果       函数 条件① 条件② （i）结论 （ii）结论 第（1）小问函数 不满足 满足 符合 不符合 第（2）小问函数 不满足 满足 不符合 符合 （1）（2）小问函数对比如下表： 条件①若，则； 条件②当时，． （i）结论 （ii）结论在区间单调递增． （2）小问函数分析： 当时，满足（3）小问条件①②， 符合要证明的（ii）小问. 但是当时，， ，不满足， 导致此结果的主要原因是 若改变的函数值，使其满足（i），不妨取， 令，此时， 易证此时满足条件①②，且符合结论（i）（ii）. 新函数为正例 起关键作用 函数 条件① 条件② （i）结论 （ii）结论 第（1）小问函数 不满足 满足 符合 不符合 第（2）小问新函数 满足 满足 符合 符合 （1）（2）小问函数对比如下表： 条件①若，则； 条件②当时，． （i）结论 （ii）结论在区间单调递增． （1）小问函数分析： 易证函数 ，符合要证明的结论（i），并不符合（ii）. 尝试改变函数，使其满足（ii），比如变为 不妨取，则不满足，即不符合条件①， 与（2）小问函数对比发现，是由于图中直线与 3 试题解法 （1）小问函数分析： 再尝试将函数变为.此时直线，时函数图象无交点， 仍然不满足. 究其原因，是函数在第一象限内产生了符合集合定义的位移点. 3 试题解法 谨慎分析，大胆猜想 反例 正例 满足①② 满足②，不满足① 满足②，不满足① 通过对比分析，可以猜测对于同时满足条件①②的函数，其图象必不过第一象限. 猜想：时，必有. 定义：①若，则； ②当时，． 回顾反思： （1）（2）小题在解决第（3）小题过程中起到的铺垫作用 理解集合定义 通过数学运算求解 通过数形结合求解 会用集合语言推理论证. 集合中子集定义的正用、逆用. 提供正例、反例为提出猜想奠定基础. 假设 条件① 在单调递增 由 得，由0得 ，即∈(0，1)时≤0 条件② 条件 时, 条件①:若,则①等价:若,则 1 d 条件② 当时，． 方法1：分步证明 （ii）（）先证，. 定义 若假设成立，则 得到中间结论 3 试题解法 37 前面已经证明了不成立. 构造矛盾 与（*）式矛盾 （ii）（）先证，. ？ 找到， 3 试题解法 （ii）（）再证 1 0 时， , . ， . 类比猜想： 3 试题解法 前面已经证明了不成立.假设 找到， 在单调递增 ,有 条件① 则, 令,,则, 由、 的任意性，可取上任意值,故可取上任意值，,因此，，与（*）矛盾 与已证结论矛盾 （ii）（）先证，. 3 试题解法 任取，由(*)式得.对任意，均有，由条件①得.取，则，因此，则，所以，令，因为，又，因此，，与(*)矛盾，所以假设不成立，所以. 方法1：分步证明 先证. 假设，则，由条件①，，由于，所以，则，，=，所以.又由条件②若，则. 所以，1时，（*）. 再证（*）不成立. （ii）（）先证，. 3 试题解法 方法2：直接证明 （ii）（）先证，. 时, 由条件②：当0<𝑥<1时，𝑓(𝑥)<𝑓(0)． 条件①等价：若,则 3 试题解法 方法2：直接证明 （ii）（）先证，. ， 条件① 因为,故 ，得证 3 试题解法 （3）（ii）（a） 题思维导图   反证法               构造与第一步已证矛盾. 直接证明               （ii）证明：在区间单调递增． 分析： 在区间 单调递增． 根据题目条件 定义 条件① 找到某个，使 ,则. 满足条件的 增函数定义 3 试题解法 分析： 在区间 单调递增． 增函数定义 由 定义 条件①若，则 找到某个，使，那么若 ,则. 若有 取即可 （ii）（）再证 满足条件的 根据题目条件 3 试题解法 要证在区间单调递增，即证，只需证 由于，所以对,， 由条件①可得， 对于，取，则,，因此，得证. 所以，即在区间单调递增. 基于前面分析，可得 方法1：函数单调性的定义 （ii）（）再证 3 试题解法 方法2：反证法 假设在区间 不单调递增 增函数定义的等价变形 0， 使 任取则 条件① 在单调递增 的任意性 寻找之间不等关系 故,根据定义有 与假设矛盾 （ii）（）再证 3 试题解法 假设在区间不单调递增， 则、，0，使得， 由条件①可得， 任取则, 由条件①，又， 所以， 当，， 取,， 即，与假设矛盾. 因此假设不成立.所以、，0，，即在区间单调递增. 方法2：反证法 3 试题解法 （3）（ii）（）再证题思维导图   直接证明： 函数单调性的定义       反证法： 单调性定义的逆用.       本题考察内容来源于人教版A版高中数学必修一教材，考察章节及内容如下： 1.2 集合的基本运算 1.4 充分条件与必要条件（反证法） 1.5 全称量词与存在量词 2.1 等式性质与不等式性质 3.1.2 函数的表示法（分段函数） 3.2 函数的基本性质（单调性、奇偶性） 4.2 指数函数 考察内容全部来源于教材，高于教材，用底层的数学基本知识考察学生高阶的数学思维逻辑. 4 试题溯源 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （1）若当时，，求； （2）证明： 解析：（1）方法1：代数法. ,对分类讨论，情形1：，，可得；情形2：，，可得，因此，). 方法2：数形结合. 由图可得，是满足的自变量构成的集合， 对应点位于直线下方的函数图象上。 因此可得，). 5 试题改编 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （1）若当时，，求； （2）证明： 解析： （2）先证必要性： 若是偶函数，则， ，因为，所以，由定义得，，．对, ，因此，所以，必要性得证. 再证充分性： 对，令，则有，所以，即；另一方面，令，同理可证.综合以上两种情况，. 由定义可得， 下用反证法证明. 假设不成立，不妨设,则，但与矛盾，因此假设不成立，所以. 充分性得证. 综上所述，“是偶函数”的充要条件是“若，则. 5 试题改编 (2025上海春季高考)已知函数的定义域是．对于，定义集合 (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【详解】（1）由定义得， （2）证明：必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，，对任意，若，即，则，所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集，因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②.由①②得，对任意，，所以函数是偶函数.综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有，所以若，则，即若，则，所以，所以在上单调不减，所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，，所以在单调递减， 单调递增，所以； 当时，恒成立，此时.因为在上单调递减， 当时，，时，，所以；综上，. 6 类题赏析 考查的不是函数运算技巧，而是如何用数学语言描述变化规律，考查高于解题技巧的底层思维能力 7 试题感悟 打破固定排布 打破导数、解析几何固定压轴的传统排布，考点分布更加灵活多元 全新数学情境 命题不再绑定特定题型，考察核心转向全新数学情境 核心能力转向 考察限时阅读理解、转化与化归、逻辑推理等底层能力 强化思维内核 弱化机械刷题、二级结论秒杀，强化"多思少算"的思维内核 破译符号挖根源， 数形正反来互卷， 用好条件搬旧证， 脑洞一开闯难关。 解题思路总结： 7 试题感悟 谢谢倾听，请批评指正! $