【课件】“解析几何 综评 ”（南部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

所讲题目：2026年高考数学解析几何模块深度分析报告 姓 名：徐招平，屈欢欢 所在单位：江西省丰城中学 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 徐招平：各位老师好，欢迎收看我们今天的解析几何深度分析报告。我是江西省丰城中学的徐招平。 屈欢欢：大家好，我是屈欢欢。今天我们两个人一起，把2026年高考数学解析几何模块的命题变化、学生问题，以及后阶段的复习方向，跟大家做一个系统梳理。 徐招平：内容比较多，但我们争取在25分钟内讲清楚、讲透，方便大家直接用在教学里。 ‹#› 目 录 一、分值统计与课时匹配度分析 二、各卷考查内容、课本联系与试题亮点 三、各卷特点与核心共性 四、学生常见失误 五、针对性复习建议 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 徐招平：我们今天顺着五条线走——先看分值与课时的匹配度，再看五套卷子分别考了什么、有什么亮点，然后提炼共性特点，接着分析学生的典型失误，最后给出可落地的复习建议。 屈欢欢：这五个板块是层层递进的，从“考什么”到“怎么教”，我们尽量做到有数据、有案例、有方法。 ‹#› 一、分值统计与课时匹配度分析 1.1 2025修订版课标中解析几何的课时定位 2025修订版课标明确：必修课程8学分，选择性必修课程6学分。 按1学分对应18课时计算： 必修+选择性必修合计：252课时 解析几何核心内容（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线）分布在选择性必修"平面解析几何"主题，建议课时约34—40课时 解析几何课时占总课时比例约为：13.5%—15.9% 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 徐招平：我们先看第一块——课时匹配度。2025修订版课标里，解析几何建议课时是34到40节，占总课时的13.5%到15.9%。 屈欢欢：但全国卷解析几何分值占比基本都在22%以上，用不到16%的课时考了超过22%的分值，选拔区分功能非常突出。 徐招平：所以复习时不能按课时比例来，要适当倾斜，尤其是全国卷考生，解析几何就是“必争之地”。 ‹#› 1.2 各卷解析几何分值统计 试卷 涉及题号 小题分值 解答题分值 总分 占比 与课时比对比 全国Ⅰ卷 第5、11、12题 5+6+5=16分 第18题17分 33分 22.00% 显著偏高 全国Ⅱ卷 第4、9、11题 5+6+6=17分 第18题17分 34分 22.67% 显著偏高 天津卷 第9、15题 5+5=10分 第18题15分 25分 16.67% 略高 北京卷 第3、11题 4+5=9分 第19题15分 24分 16.00% 基本吻合 上海卷 第12题 5分 第20题18分 23分 15.33% 基本吻合 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 徐招平：具体来看，全国Ⅰ卷和Ⅱ卷解析几何分值最高，天津略高，北京和上海相对均衡。 屈欢欢：全国卷把它当“主战场”，京沪更强调模块均衡，这直接影响备考方向。 徐招平：简单说，考全国卷的学生，解析几何就是“必争之地”。 ‹#› 一、分值统计与课时匹配度分析 1.3 匹配度结论 1. 全国Ⅰ、Ⅱ卷解析几何占比高达22%以上，显著高于课标课时比例（13.5%—15.9%），表明全国卷将解析几何作为选拔区分度的第一权重。 2. 天津卷略高于课时比例，体现了自主命题卷对解析几何的适度重视，但权重低于全国卷。 3. 北京卷、上海卷与课标最为吻合，体现了京沪两地"控制模块占比均衡"的命题风格，各模块分值分布更加均匀。 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 徐招平：结论很清晰——全国Ⅰ、Ⅱ卷的解析几何权重，显著高于课标课时比例，说明它已经是选拔区分度的第一权重模块。 屈欢欢：而北京、上海更注重模块均衡，但这不意味着它简单，而是它的难题更多放在思维深度上，而不是计算量上。 徐招平：这个差异，我们在后面各卷分析中会反复看到。 ‹#› 二、各卷考查内容 2.1 全国Ⅰ卷（第5、11、12、18题） 题号 题型 分值 考查内容 难度 第5题 单选 5分 抛物线标准方程与焦点坐标 基础 第11题 多选 6分 三个等圆与动直线位置关系、弦长、最值 压轴 第12题 填空 5分 双曲线离心率 基础 第18题 解答 17分 椭圆方程、面积比、夹角最值 压轴 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 徐招平：接下来进入第二板块，逐卷分析。先看全国Ⅰ卷，解析几何分布在5、11、12、18题。 屈欢欢：最值得关注的是第11题，它把“直线与圆”推到了压轴高度，彻底打破了过去“圆就是送分题”的惯性思维。 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第5题（单选·5分·基础） 已知抛物线和均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为 A ．12 B ． C．6 D． 【答案】D 考点：抛物线标准方程与焦点坐标，属基础题。 第5题 解析 将点分别代入两抛物线方程： 对： 焦点 对： 焦点 距离 故选D. 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 全国一卷第5题，抛物线基础题。两条抛物线均过点(4,8)，分别求出p1=8和p2=1，得到焦点坐标(4,0)和(0,1/2)，用两点间距离公式得√65/2。考查抛物线标准方程与焦点坐标，属于送分题。 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第12题（填空·5分·基础） 双曲线的离心率为__________． 【答案】 考点：双曲线标准方程与离心率，属基础题。 第12题 解析 将方程化为标准形式： 则 由 离心率 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 徐招平：第12题比较常规，给出双曲线方程，求渐近线夹角。关键是记住 b/a 与离心率的关系。 屈欢欢：对，很多学生把渐近线斜率记反，或者把 e 和 c/a 搞混。这道题就是提醒我们，基础概念要过手。 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第11题（多选·6分·压轴） 已知圆，圆，圆，直线与均有两个交点，记被 截得的弦长分别为，则 A. 可以取任意实数 B. 满足的直线共有3条 C. 满足的直线多于3条 D. 当时，的最大值为 【答案】BCD 第11题 思路分析 此处放视频头像 不放文字 细致画图，得三圆圆心构成边长为2的正三角形，半径均为1，两两外切。 1.7.2013 徐招平：第11题以三个等半径圆为背景，研究三段弦长的关系，四个选项层层递进。 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第11题解析：简单方法 对于选项A：可以取任意实数 圆和圆的公切线 怎么平移都不可能与，， 均有两个交点，∴ 不能取任意实数，A错误. 第11题解析：一般方法 对于选项A：记 ，，到直线,则 ， , ∵ 直线与三个圆均有两个交点，∴ , , ，对应弦长为. 解, 解， 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第11题解析：一般方法 不妨取 ∵, ∴,记 当≥ )即时 此时不存在这样的直线∴不能取任意实数，A错误. 两种方法评析：简单方法充分利用几何图形的直观性，找到特殊直线（公切线）作为反例体现“多想少算”但易错在画草图发现几条斜线都能穿过，直接判断A正确。一般方法计算量大，时间成本高，纯代数推导，缺乏直观的几何感受。 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第11题解析：简单方法 对于选项B：∵ ∴ ∵到两个顶点距离相等的直线有两类： 第一类(过中点型），第二类（平行线型）。 ∴平面内到三角形三个顶点距离相等的直线，即平行于某一边且经过另外两边的中点(即中位线)， 此时<1，符合. 故这样的直线有且仅有3条。 第11题解析：一般方法 对于∵ ∴ 由得 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第11题解析：简单方法 对于选项B： ∵ ∴ ∵到两个顶点距离相等的直线有两类： 第一类(过中点型），第二类（平行线型）。 第11题解析：一般方法 对于∵ ∴ 由得 此处放视频头像 不放文字 两种方法评析；几何法联想到中位线，体现“多想少算”但易忘记检验距离条件确认直线确实与圆相交。代数法通法易想，但计算量稍大，耗时长，但容易漏掉 1.7.2013 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第11题解析：简单方法 结合对称性，从选项B可以发现，故已经发现三条满足不妨设直线的倾斜角为，当时，直线与三圆相交，此时， , 若存在,则解得,,因为, 故还存在这样的直线满足要求，选项C正确. 第11题解析：一般方法 令 ， 令则 ，平方得 解得 ： 或 经验证，此时均小于1， 满足题目要求此时已有4条直线， C正确. 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第11题解析：简单方法 对于选项B,,注意结合对称性，可以发现，故已经发现三条满足不妨设直线的倾斜角为， 第11题解析：一般方法 令 ， 令则 ，平方得 此处放视频头像 不放文字 两种方法评析： 1、选项C的情形，否则易深陷“双变量死算”的泥潭。 2、简单方法利用图形的对称性，大幅度减少运算量，但容易陷入误区：只看方程有解，但没有验证解是否满足圆相交的前提条件。一般方法，不依赖几何直觉，从弦长公式出发，完整代数推演；但运算量大，没有利用图形的对称性，计算步骤繁琐。 1.7.2013 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第11题解析：简单方法 对于选项D：结合选项C容易知道，联想柯西不等式： 当且仅当 第11题解析：一般方法 由C选项知： 设则 令得，此时取最大值 D选项正确 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第11题解析：简单方法 第11题解析：一般方法 由C选项知： 设则 此处放视频头像 不放文字 两种方法评析：简单方法：技巧性强，不用求导，利用柯西不等式直接求出最值，计算量小，做题速度快，属于代数不等式的经典应用，体现“多想少算”，适合考场快递抢分，但对学生的不等式变形功底要求高，想不到配凑会卡住。 一般方法：通法，套路固定，不需要精巧配凑，是高中求最值的常规途径，但求导运算繁琐，计算容易出错，步骤多，耗时间，考场做题会比较慢 1.7.2013 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第11题（多选·6分·压轴） 已知圆，圆，圆，直线与均有两个交点，记被 截得的弦长分别为，则 A. 可以取任意实数 B. 满足的直线共有3条 C. 满足的直线多于3条 D. 当时，的最大值为 【答案】BCD 亮点： 1、本题依托直线与圆、圆与圆的位置关系，以三个等半径圆为背景，以三段弦长为研究对象，统摄着四个备选项的全部推导演绎路径，将“直线与圆”推上压轴高度，打破“圆是送分题”的惯性思维。 2、本题的选项设置层层递进，为学生最终解决此题层层铺路，这道题的B→C→D是一条暗线：选项B告诉你三条中位线，选项D告诉你最大值大于3，启示我们做多选题不要孤立看待每个选项。 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 屈欢欢：我们特别注意到，B选项告诉你三条中位线，D选项告诉你最大值大于3，这是一条暗线引导，启示学生做多选题不能孤立看每个选项。 徐招平：解法上，几何分析法直接利用正三角形和对称性，几乎不用计算；代数法则中规中矩，但运算量大。 屈欢欢：这就体现了新高考“多想少算”的命题理念——关键是先看透图形结构，而不是上来就建系列方程。 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第11题（多选·6分·压轴） 已知圆，圆，圆，直线与均有两个交点，记被 截得的弦长分别为，则 A. 可以取任意实数 B. 满足的直线共有3条 C. 满足的直线多于3条 D. 当时，的最大值为 【答案】BCD 亮点：3、简单解法主要是几何分析法，充分利用图形几何性质(正三角形，对称性，两两外切),大幅度减少计算量，符合新高考“多想少算”的命题理念，解题效率高，能快速通过逻辑分析判断选项，此法对空间想象力和几何敏感度要求较高，需要先发现核心几何特征，否则难以找到突破口。 4、一般解法主要是代数解析法，将几何条件统一转化为代数方程，推导过程规范，对空间想象能力要求低，只要计算细心就能得到正确结果，是几何关系不清晰时的通用解法。 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 屈欢欢：我们特别注意到，B选项告诉你三条中位线，D选项告诉你最大值大于3，这是一条暗线引导，启示学生做多选题不能孤立看每个选项。 徐招平：解法上，几何分析法直接利用正三角形和对称性，几乎不用计算；代数法则中规中矩，但运算量大。 屈欢欢：这就体现了新高考“多想少算”的命题理念——关键是先看透图形结构，而不是上来就建系列方程。 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第18题（解答·17分·压轴） 已知椭圆:的左焦点为离心率为 (1) 求的方程； (2) 设坐标原点，过F且斜率大于的动直线与交于两点,其中在第三象限，直线与的另一个交为。 若的面积为面积的3倍，求直线方程； (ii) 求的最小值。 第18题 解析 由 得， 方程：。 (2)(i) ，） 由于， 所以 所以 所以 此处放视频头像 不放文字 O 1.7.2013 徐招平：第18题是递进式三问，整体难度分布很有层次。完全打破了“联立—韦达—弦长”的固定套路， 屈欢欢：这里有个关键细节——很多学生一上来就设直线方程，其实先利用对称性把面积的2倍关系找出来，再把面积问题转化为边长比问题，最后转化为对应坐标关系，运算量直接减半。 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第18题 解析 (2)方法 解方程组 方法 1 解方程组 此处放视频头像 不放文字 O 方法 得 -3 又得 直线的方程为 方法4（焦半径）： 1.7.2013 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第18题 解析 (2)方法 解方程组 方法 1 解方程组 此处放视频头像 不放文字 方法 得 -3 又得 直线的方程为 方法4（焦半径）： 方法评析：方法1和2思路直接，易于想到，适合基础扎实的学生这两种方法的计算量都偏大，其中方法1容易漏掉讨论斜率不存在的情况，方法3和4是“多想少算”的核心体现，方法3计算量较小，过程相对巧妙但需要掌握特定的技巧，灵活性要求较高。 方法4，利用圆锥曲线定义和几何性质，计算最快、最为简洁，是多想少算的极致体现,但对知识储备要求高。 1.7.2013 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 第18题（解答·17分·压轴） 已知椭圆:的左焦点为离心率为 (1) 求的方程； (2) 设坐标原点，过F且斜率大于的动直线与交于两点,其中在第三象限，直线与的另一个交为。 若的面积为面积的3倍，求直线方程； (ii) 求的最小值。 第18题 解析 (2)(ii) 由到角公式得 ， 由基本不等式求得最小值为， 当时取等。 此处放视频头像 不放文字 O 1.7.2013 徐招平：第二问用到直线夹角公式，结合基本不等式求最值，整个题目把平面几何、三角函数、代数不等式串在了一起。 屈欢欢：很多人说现在出题反套路，其实不是不用套路，而是先想清楚再套，顺序不能反。 ‹#› 2.1 全国Ⅰ卷 典型题目解析 亮点：椭圆对称性+面积比转化+到角公式最值，体现"多想少算"。 1、第二问的第一小问。转化一：把面积问题转化为边长比问题，转化二：把边长比问题转化为对应坐标关系。这里有个地方可以减少运算，就是R和P的坐标关系，利用了椭圆的对称性，体现了多想少算，这种“先思后算”的习惯，是运算素养提升的关键。 2、第二问的第二小问，需用到直线夹角公式（课本有出现）结合韦达定理，化简后利用基本不等式求解即可。 3、很多人说现在出题反套路，我不太赞同，第二问的第一小问得出过焦点的的弦长线段比求斜率比是一个二级结论，记不住，但是我们要知道它的推导过程。最后的解法还是套路活。所以建议常规题常规做，还是需要掌握一些套路。 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 ‹#› 二、各卷考查内容 2.1 全国Ⅰ卷（第5、11、12、18题） 此处放视频头像 不放文字  试卷点评：全国Ⅰ卷解析几何模块呈现“小题压轴+大题递进”格局。第11题将“直线与圆”推上压轴高度，打破“圆是送分题”的惯性思维；第18题打破往年“联立—韦达—弦长”固定套路，结合平面几何与三角函数求夹角最值，三问梯度清晰，区分度良好。整体分值最重，对运算与思维要求均较高。 1.7.2013 徐招平：整体来看，全国Ⅰ卷解析几何分值很重，小题和大题都对思维和运算提出了较高要求。 屈欢欢：它适合作为训练学生综合能力的标杆卷，尤其是“先思后算”的习惯，必须从这里开始培养。 ‹#› 二、各卷考查内容 2.2 全国Ⅱ卷（第4、9、11、18题） 题号 题型 分值 考查内容 难度 第4题 单选 5分 双曲线渐近线 基础 第9题 多选 6分 圆与直线位置关系、相切、相交 中档 第11题 多选 6分 抛物线+等边三角形 中高档 第18题 解答 17分 椭圆+轨迹方程（参数讨论） 压轴 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 ‹#› 2.2 全国Ⅱ卷 典型题目解析 第4题（单选·5分·基础） 设双曲线经过点和点，则的渐近线方程为 A ． B． C． D． 【答案】B 第4题 解析 将代入方程： 将代入： 渐近线方程为 故选B。 考点：双曲线标准方程与渐近线，属基础题。 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 全国二卷第4题，双曲线基础题。代入两点求a²和b²，a²=1，b²=12，渐近线y=±2√3x。考查双曲线标准方程与渐近线公式，属于送分题。 ‹#› 2.2 全国Ⅱ卷 典型题目解析 第9题（多选·6分·中档） 已知，，则 A ．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当 与两圆相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 第9题 解析 化标准方程： 圆心，半径， A：圆心为，非，错误. B：时，到轴距离，相切，正确. C：时，，内切，正确. D：两式相减得，非，错误. 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 全国二卷第9题，圆与直线位置关系多选题。将圆A化为标准方程得圆心(3,4)半径√(25-k)。A错圆心坐标；B对k=9时半径4与x轴相切；C对k=-11时半径6与圆O内切；D错根轴方程应为6x+8y-k-1=0。答案BC。 ‹#› 2.2 全国Ⅱ卷 典型题目解析 第11题（多选·6分·中高档） 已知抛物线，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点在上，顶点均在上，下列结论正确的有 A ．的准线方程为 B．若与没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】ABD 第11题 解析 A：，准线，正确. B：，联立得 ，无交点，正确. C：相切时，，焦点 ，错误. D：到的距离最小，由图可知相切时最小，正确. 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 全国二卷第11题，抛物线与等边三角形综合多选题。A准线x=-2正确；B联立判别式得k>√2正确；C相切时B(1,2√2)，BF斜率与BC斜率不等，焦点不在AB上，错误；D k=2时用切线距离求面积最小值√3/15正确。答案ABD。 ‹#› 2.2 全国Ⅱ卷 典型题目解析 第18题（解答·17分·压轴） 已知椭圆过右焦且与轴垂直的直线被所截线段长为.(1) 求的离心率； (2) 为坐标原点，给定点，在上，过作轴的垂线，垂足为直线与交于点。当在上运动时，的轨迹为. (i) 求的方程； 此处放视频头像 不放文字 解析(1) 通径长，， 得，，离心率。 椭圆方程：。 (2) (i)设点 ( ( 再联立与得点坐标，( 即的参数方程 消参（ ）得的方程. A B O G P 1.7.2013 徐招平：全国Ⅱ卷最大的亮点是第18题——根据参数取值判断轨迹是椭圆、双曲线还是抛物线。 屈欢欢：这道题源自课本例题，但做了改编，学生如果只是背结论、套公式，根本做不了。它要求真正理解圆锥曲线的定义本质。 徐招平：一题覆盖三大曲线，而且设问不是“求什么”，而是“判断是什么”，这就是新课标说的从“双基”到“四基四能”的转型。 ‹#› 2.2 全国Ⅱ卷 典型题目解析 第18题（解答·17分·压轴） 已知椭圆过右焦且与轴垂直的直线被所截线段长为.(1) 求的离心率； (2) 为坐标原点，给定点，在上，过作轴的垂线，垂足为直线与交于点。当在上运动时，的轨迹为. (i) 求的方程； 此处放视频头像 不放文字 解析(1) 椭圆方程：。 (2) (i)设点 再点 ( 联立与得( 把(代入椭圆方程： 得 化简得. A B O G P 1.7.2013 全国二卷第18题是压轴解答题，源自人教A版选修一第108页例2。第一问由通径长求得离心率√2/2。第二问用坐标参数代换法，通过P在AO和GB上的共线关系，将A点坐标用P点坐标表示，代入椭圆方程得到轨迹M。关键在于参数分类讨论：t0不等于正负根号2时有中心，大于根号2平移后为椭圆，小于根号2为双曲线，等于根号2为抛物线型。一题覆盖三大圆锥曲线，是反套路命题的典范。 ‹#› 2.2 全国Ⅱ卷 典型题目解析 第18题（解答·17分·压轴）已知椭圆过右焦且与轴垂直的直线被所截线段长为.(1) 求的离心率； (2) 为坐标原点，给定点，在上，过作轴的垂线，垂足为直线与交于点。当在上运动时，的轨迹为。 (i) 求的方程；(ii)当为何值时，有对称中心？ 当有对称中心时，将有对称中心平移后得到曲线,使得为 的对称中心，说明是什么曲线. 此处放视频头像 不放文字 解析 (2) (ii) 即 当时，轨迹无对称中心， 抛物线型 当时，轨迹对称中心 , 时平移后为椭圆； 时为双曲线。 亮点：源自课本例题，坐标参数代换避开斜率套路，一题覆盖三大圆锥曲线，反套路典范。 1.7.2013 全国二卷第18题是压轴解答题，源自人教A版选修一第108页例2。第一问由通径长求得离心率√2/2。第二问用坐标参数代换法，通过P在AO和GB上的共线关系，将A点坐标用P点坐标表示，代入椭圆方程得到轨迹M。关键在于参数分类讨论：t0不等于正负根号2时有中心，大于根号2平移后为椭圆，小于根号2为双曲线，等于根号2为抛物线型。一题覆盖三大圆锥曲线，是反套路命题的典范。 ‹#› 二、各卷考查内容 2.2 全国Ⅱ卷（第4、9、11、18题） 此处放视频头像 不放文字 试卷点评：全国Ⅱ卷解析几何模块最大亮点在于开放性设问——第18题根据参数取值判断轨迹是椭圆、双曲线还是抛物线，要求学生真正理解圆锥曲线的定义本质，体现新课标“从双基到四基再到四基+四能”的转型。小题兼顾基础与综合，第11题抛物线结合等边三角形，几何构造新颖。整体分值五套中最高，选拔功能突出。 1.7.2013 徐招平：Ⅱ卷开放性强，对定义理解和分类讨论能力要求高。 屈欢欢：适合在二轮复习中作为“概念辨析”专题的素材。 ‹#› 二、各卷考查内容 2.3 天津卷（第9、15、18题） 题号 题型 分值 考查内容 难度 第9题 单选 5分 双曲线离心率（焦点三角形） 压轴 第15题 填空 5分 抛物线轴点弦 中档 第18题 解答 15分 椭圆（离心率+斜率积定值） 压轴 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 天津卷共3道题25分。第9题双曲线离心率作为单选压轴，提供坐标法和几何法两种解法。第15题抛物线四点轴点弦多选题，需要推导轴交点横坐标公式。第18题椭圆解答题，考查离心率和斜率积定值。 ‹#› 2.3 天津卷 典型题目解析 第9题（单选·5分·压轴） 已知双曲线的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为 A．4 B． C． D． 【答案】D 第9题 解析解法一（坐标代入法）： 过作轴，， ， 得，代入双曲线方程整理得， 解法二（余弦定理+定义）： 设右焦点，，，,在中用余弦定理， 整理得， 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 徐招平：第9题构造焦点三角形，用余弦定理列式求离心率，完全回归平面几何本质。 屈欢欢：不联立、不硬算，关键是把图画清楚。这就是“小题压轴复古风”。 ‹#› 2.3 天津卷 典型题目解析 第9题（单选·5分·压轴） 已知双曲线的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为 A．4 B． C． D． 【答案】D 此处放视频头像 不放文字 试题亮点：回归平面几何本质——构造焦点三角形，利用余弦定理与双曲线定义列方程求离心率。不必联立方程、不必大量计算，是“多想少算”理念在小压轴题中的精彩体现。 1.7.2013 天津卷第9题双曲线离心率单选压轴。条件是|FA|=|FP|，∠FAP=30°，不是PF₁⊥PA。提供坐标代入法和余弦定理+双曲线定义两种解法，答案e=4/3。 ‹#› 2.3 天津卷 典型题目解析 第15题（填空·5分·中档） 在平面内，为坐标原点，抛物线上有四个点，纵坐标分别为，直线与交轴于，交轴于，交轴于，以下说法正确的有 ①若与焦点重合，则 ② ③ ④ ⑤ 【答案】②④ 第15题 解析 抛物线上两点的弦与轴交点横坐标 ①焦点，，错误. ②同一点： ，正确. ③ ，非，错误. ④结合②可证，正确. 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 天津卷第15题抛物线轴点弦多选题。抛物线是y²=2x，核心公式是两点弦与x轴交点横坐标x₀=-st/2。逐一验证五个结论，答案②④。 ‹#› 2.3 天津卷 典型题目解析 第15题（填空·5分·中档） 在平面内，为坐标原点，抛物线上有四个点，纵坐标分别为，直线与交轴于，交轴于，交轴于，以下说法正确的有 ①若与焦点重合，则 ② ③ ④ ⑤ 【答案】②④ 第15题 解析 抛物线上两点的弦与轴交点横坐标 ④, ,结合②可知正确. ⑤ 当时不成立，错误. 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 天津卷第15题抛物线轴点弦多选题。抛物线是y²=2x，核心公式是两点弦与x轴交点横坐标x₀=-st/2。逐一验证五个结论，答案②④。 ‹#› 2.3 天津卷 典型题目解析 第18题（解答·15分·压轴） 已知椭圆的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为. (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，交椭圆于，是椭圆的上顶点，记直线斜率为，求. 【答案】(1)；(2) 第18题 解析 (1) 代入得，线段长 ，方程 (2) 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 天津卷第18题椭圆解答压轴。离心率1/2，被直线x=b截得线段长√3，椭圆方程x²/4+y²/3=1。第二问斜率为-√3的直线与圆x²+y²=3相切，截距m=±2√3，两种情况均得k₁/k₂=3。 ‹#› 2.3 天津卷 典型题目解析 第18题（解答·15分·压轴） 已知椭圆的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为. (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，交椭圆于，是椭圆的上顶点，记直线斜率为，求. 【答案】(1)；(2) 第18题 解析 (2)，圆，直线 相切得， ①：代入椭圆得， ②：同理得 综上， 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 天津卷第18题椭圆解答压轴。离心率1/2，被直线x=b截得线段长√3，椭圆方程x²/4+y²/3=1。第二问斜率为-√3的直线与圆x²+y²=3相切，截距m=±2√3，两种情况均得k₁/k₂=3。 ‹#› 2.3 天津卷 典型题目解析 第18题（解答·15分·压轴） 已知椭圆的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为. (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，交椭圆于，是椭圆的上顶点，记直线斜率为，求. 【答案】(1)；(2) 第18题 解析 (2) 记切点为点连接斜率为的横截距为2， 即同 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 天津卷第18题椭圆解答压轴。离心率1/2，被直线x=b截得线段长√3，椭圆方程x²/4+y²/3=1。第二问斜率为-√3的直线与圆x²+y²=3相切，截距m=±2√3，两种情况均得k₁/k₂=3。 ‹#› 此处放视频头像 不放文字 试卷点评：天津卷解析几何模块呈现“小题重几何、大题重代数”的鲜明风格。第9题构造焦点三角形后用余弦定理列式，回归平面几何本质，是“小题压轴复古”风格的典范；第18题命题模式稳定，涉及椭圆离心率、切线斜率积为定值，计算复杂但路径清晰，是训练“通性通法”的好素材。整体风格务实，强调基础与熟练度。 二、各卷考查内容 2.3 天津卷（第9、15、18题） 1.7.2013 屈欢欢：所以天津卷是“小题练思维，大题练熟练度”的典型代表。 ‹#› 二、各卷考查内容 2.4 北京卷（第3、11、19题） 题号 题型 分值 考查内容 难度 第3题 单选 4分 双曲线渐近线求参 基础 第11题 填空 5分 解析几何中档综合 中档 第19题 解答 15分 椭圆与对称三角形 压轴 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 北京卷共3道题24分。北京卷的特点是几何直观引领，多想少算做到极致。第19题椭圆与对称三角形结合，利用点关于直线对称的性质，结合距离公式求解，体现几何分析优先于代数计算的命题思路。 ‹#› 2.4 北京卷 典型题目解析 第3题（单选·4分·基础） 已知双曲线的渐近线方程为，则的值为 A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 考点：双曲线渐近线求参，属基础题。 第3题 解析 双曲线的渐近线方程为 由题知 渐近线为 对比，得 故选B。 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 北京卷第3题，双曲线基础题。由方程知b=2，渐近线y=±2/a x，对比y=±2/3 x得a=3。考查双曲线渐近线公式，属于送分题。 ‹#› 2.4 北京卷 典型题目解析 第11题（填空·5分·中档） 已知直线与圆相切，则__________． 【答案】0 考点：直线与圆相切条件，点到直线距离公式。 第11题 解析 圆的圆心为，半径 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径： 两边平方： 故填0。 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 北京卷第11题，直线与圆相切填空题。圆心(2,2)半径2，由点到直线距离等于半径列方程|2a+2|/√(a²+1)=2，平方化简得a=0。考查直线与圆位置关系和点到直线距离公式。 ‹#› 2.4 北京卷 典型题目解析 第19题（解答·15分·压轴） 已知椭圆的一个顶点是离心率为。 (1)求的方程； (2)过点斜率为的直线交椭圆于两点，关于的对称点为，交于，若，求。 【答案】(1) ；(2) 第19题 解析要点 (1)由顶点得， ，椭圆方程 (2)设( )( )则( ) ,所以 所以 代入韦达定理化简得： 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 北京卷第19题椭圆解答压轴。顶点是(2,0)不是(0,√3)，a=2,e=1/2得椭圆x²/4+y²/3=1。第二问过A(1,1)斜率k(k≠±1)，B关于y=x对称点D，DC交y=x于Q，|S△ABQ-S△ACQ|=5/8，解得k=±√2/4。 ‹#› 二、各卷考查内容 2.4 北京卷（第3、11、19题） 此处放视频头像 不放文字 试卷点评：北京卷解析几何模块的核心特色是“多想少算”极致化。第19题以椭圆与对称三角形为载体，学生若能先观察几何特征——两个三角形关于某直线对称、对应顶点关于该直线对称——即可利用中点坐标与垂直平分线性质快速解题，绕开繁琐的联立方程组。命题充分体现北京卷一贯的“先看后算”风格，对几何直观与逻辑推理要求高，对机械运算要求低。 1.7.2013 屈欢欢：这道题如果上来就设直线、联立方程组，运算量会非常大；但先看对称性，几步就出来了。 徐招平：北京卷的解析几何是“多想少算”极致化的体现。 ‹#› 二、各卷考查内容 2.5 上海卷（第12、20题） 题号 题型 分值 考查内容 难度 第12题 填空 5分 解析几何综合小题（椭圆顶点与焦点） 压轴 第20题 解答 18分 双曲线与直线综合新定义 压轴 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 上海卷共2道题21分。上海卷以新定义情境著称，重数学建模。第12题椭圆顶点与焦点的分类讨论，需要排除无解情况。第20题双曲线新定义问题，通过设直线方程联立，分析函数单调性和值域，判断存在性，是全卷难度最高的题目。 ‹#› 2.5 上海卷 典型题目解析 第12题（填空·5分·压轴） 在中，，，。已知点分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率 。 【答案】 第12题 解析 由，三点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为焦点。 ①上顶点+右顶点+左焦点： 列方程组解得 ②上顶点+右顶点+右焦点： 方程组均无解。 综上： 离心率 故填。 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 上海卷第12题椭圆顶点与焦点分类讨论填空题。△ABC三边为3,5,√14，三点分别为椭圆上下右顶点和两焦点中的三点。只有上顶点+右顶点+左焦点的情况有解，得a=3,c=2,e=2/3。 ‹#› 2.5 上海卷 典型题目解析 第20题(1)(2)问 基础部分 已知双曲线，点在上，分别为左、右焦点。 (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求。 【答案】(1)；(2) 第20题(1)(2) 解析 (1)，渐近线 距离 (2) 余弦定理： 得 双曲线定义，得 面积 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 上海卷第20题前两问。(1)点(2,0)到渐近线y=±x距离√2。(2)注意条件是PF₁·PF₂=1（不是0），由余弦定理和双曲线定义得|PF₁||PF₂|=3，cos=1/3，面积√2。 ‹#› 2.5 上海卷 典型题目解析 第20题(3)问（压轴·新定义存在性） 记为双曲线满足和的部分；直线均过右焦点，与交于（第一、四象限），与交于（第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？ 【答案】存在， 第20题(3) 解析 设，,联立，由弦长公式得： ，在单调递增，值域 ，在单调递减，值域 由题意 得 所以存在， 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 上海卷第20题第3问新定义存在性问题。Ω包含两部分{x>0,y≥-1}和{x<0,y≤-1}，条件是λ|PQ|=|MN|。|PQ|值域[2,+∞)，|MN|值域[18/7,+∞)，由值域包含得λ≥9/7，是取值范围不是确定值。 ‹#› 二、各卷考查内容 2.5 上海卷（第12、20题） 此处放视频头像 不放文字 试卷点评：上海卷解析几何模块呈现“新定义情境+几何性质代数化表达”的特色。第20题以双曲线为载体，三问递进——第(1)问求点到渐近线距离（基础），第(2)问垂直条件下的线段乘积（中等），第(3)问新定义情境下存在性探究（压轴）。与上海卷近年“解析几何减负”趋势一致，侧重几何性质（如渐近线、对称性）简化运算，减少纯代数暴力联立。整体符合上海卷“控制模块占比均衡” 的风格，对数学阅读与建模能力要求较高。 1.7.2013 徐招平：上海卷的特色是新定义情境下的存在性探究，第20题以双曲线为载体，三问递进——基础、中等、压轴。 屈欢欢：第三问不是算出一个数，而是判断是否存在并说明理由，这对数学阅读和建模能力要求比较高。 徐招平：上海卷这几年在给解析几何“减负”，减少纯代数暴力联立，更侧重渐近线、对称性等几何性质的应用。 ‹#› 三、各卷特点与核心共性 3.1 各卷特点总结 往年试题特点：大题常年锁定椭圆，设问集中在定点、定值、弦长、面积； 学生形成固定流程：设直线→联立→韦达→硬算，大量二级结论可套用。 今年命题与往年的明显区别： 1. 去模板化：舍弃高频的定点定值题型，改用动点轨迹推导、参数分类讨论。 2. 多想少算：几何逻辑优先级高于代数计算，引导先观察几何特征。 3. 动态参数：一题覆盖多类圆锥曲线，参数不同轨迹分别对应抛物线/椭圆/双曲线。 4. 开放性设问：增设定性分析问题，没有标准化答题模板。 5. 细节约束更强：题干设置变量限制，轨迹需剔除特殊点位。 6. 融合多地区命题优势：打破地域考卷壁垒，综合性更强。 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 徐招平：我们把这五套卷子放在一起看，能明显发现跟往年相比有六个变化。 屈欢欢：第一，去模板化，定点定值题型明显减少；第二，多想少算，几何逻辑优先级提高；第三，动态参数，一题覆盖多类曲线；第四，开放性设问，没有固定答题模板；第五，细节约束更强，轨迹要剔除特殊点；第六，融合多地区命题优势，综合性更强。 徐招平：这六个变化，本质上是在倒逼教学从“套题型”走向“真思维”。 ‹#› 三、各卷特点与核心共性 3.2 五套卷核心共性 共性一："反套路、去模型化" 舍弃固定设问模式，无法依靠旧套路直接解题。 共性二："多想少算"全面落地 全国Ⅰ第11题、北京第19题、天津第9题均需先观察几何特征再选方法。 共性三：回归定义与通性通法 必须从椭圆、双曲线、抛物线的定义出发分析问题。 共性四："几何法"通用底层逻辑 凡涉及直线与圆的位置关系，优先使用几何法：弦长= 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 五套卷有四个核心共性：反套路去模型化、多想少算全面落地、回归定义与通性通法、几何法是通用底层逻辑。这四个共性是2026年新高考解析几何命题的核心方向，也是备考的重点。 ‹#› 四、学生常见失误 思维层面： 思维固化、路径依赖；几何直观薄弱；分类讨论不完整。 操作层面： 小题硬算大题化；计算能力不足；最值工具单一（只会基本不等式）。 应试层面： 二级结论依赖（记不住推导过程）；新定义理解偏差。 核心问题：把解析几何学成了"计算学科"，忽视了几何分析和思维训练。 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 徐招平：这些变化直接导致了学生的新问题。我们归纳为三个层面。 屈欢欢：思维层面——思维固化、路径依赖严重；几何直观薄弱，看到图形条件不会转化；分类讨论不完整，经常漏掉特殊情况。 徐招平：操作层面——小题硬算大题化，效率极低；计算能力不足，步骤多了容易出错；最值工具单一，只会基本不等式，不会结合导数或几何意义。 屈欢欢：应试层面——过度依赖二级结论，但记不住推导过程；遇到新定义情境，理解偏差导致整题失分。 徐招平：这些问题有一个共同的根源——把解析几何学成了“计算学科”，忽视了几何分析和思维训练。 ‹#› 五、针对性复习建议 5.1 整体设计，类比教学 构建"三曲线一体化"知识体系，采用递进式策略： 重点剖析椭圆 → 类比迁移双曲线 → 自主探究抛物线 椭圆"打样"：定义→建系→推导标准方程→分析几何性质→解决位置关系 做到"慢、细、透"，夯实基础。 类比迁移：设计关键对比问题，发现三类曲线差异： 定义（离心率e）、标准方程形式、范围（封闭/开放）、渐近线。 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 徐招平：基于以上问题，我们提出五点复习建议。第一，整体设计，类比教学。 屈欢欢：具体做法是用椭圆“打样”——定义、建系、推方程、析性质、解位置关系，做到慢、细、透。然后类比迁移到双曲线和抛物线，通过对比问题让学生发现差异，比如离心率的范围、方程形式、封闭与开放、有无渐近线。 徐招平：这样学生学的不是三个孤立的曲线，而是一个有逻辑的整体。 ‹#› 五、针对性复习建议 5.2 强化动手实践，发展数学运算素养 1. 动手画图：使用简易学具画曲线，改变条件观察形状变化，培养直观想象素养。 2. 动笔演算：亲历运算全过程，探究优化路径。 例：全国Ⅰ第18题，通法需15步，优化路径（向量定比分点法）仅需6步。 3. 通性通法与优化技巧并重： "设线→联立→韦达→代入"形成肌肉记忆，同时思考"可否优化运算顺序"，先思后算。 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 徐招平：第二，强化动手实践。一是动手画图，改变条件观察形状变化，培养直观想象。 屈欢欢：二是动笔演算，不仅要算，还要探究优化路径。比如全国Ⅰ第18题，通法要15步，但用向量定比分点法只要6步，这就是“优化”的价值。 徐招平：三是通法优先，但不排斥技巧。先形成“设线→联立→韦达→代入”的肌肉记忆，再思考“能不能优化顺序”。 屈欢欢：先思后算，而不是先算后错。 ‹#› 五、针对性复习建议 5.3 把握坐标法本质，深化数形结合思想 坐标法包含两个核心环节： 环节一：几何问题代数化 把几何条件（位置关系、距离、角度）转化为代数方程和运算。 环节二：代数结果几何化 把代数运算的结果还原为几何意义，解释图形的性质。 基本量的几何内涵与代数化表达： 方向（角）→ 斜率、方向向量、法向量 距离 → 两点间距离、点到直线距离、平行线间距离 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 徐招平：第三，把握坐标法本质。坐标法有两个环节——几何问题代数化，代数结果几何化。 屈欢欢：很多学生只做了第一步，算出一个数就结束了，忘了问“这个数代表什么几何意义”。 徐招平：基本量的转化要熟练，比如方向用斜率或方向向量，距离用两点间距离或点到直线距离，角用夹角公式或到角公式。 屈欢欢：只有双向打通，数形结合才算真正落地。 ‹#› 五、针对性复习建议 5.4 回归"四基"，培养"四能" 回归"四基"： 基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 从定义、标准方程、几何性质出发，不能只背二级结论。 培养"四能"： 发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。 训练学生从条件出发自主分析，而非套用题型模板。 关键：让学生经历"从无到有"的思考过程， 而不是记忆"从有到对"的解题套路。 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 徐招平：第四，回归“四基”，培养“四能”。基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，这四样要从定义出发，不能只背二级结论。 屈欢欢：同时要训练学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，而不是给他们一个题型模板去套。 徐招平：关键是要让学生经历“从无到有”的思考过程，而不是记忆“从有到对”的解题套路。 ‹#› 五、针对性复习建议 5.5 错题归因与限时策略 错题归因：建立两类错题本 “方法错” 本：思路方向错误，是提分的核心分水岭。 “计算错” 本：运算过程失误，通过规范训练减少。 限时策略： 高考解析几何解答题限时约20分钟， 平时训练压缩至15—18分钟， 动笔前先花2—3分钟思考优化路径，再开始计算。 原则：先想后算，想清楚再动笔，避免无效运算。 此处放视频头像 不放文字 1.7.2013 徐招平：最后，第五，错题归因与限时策略。我们建议建立两类错题本——“方法错”本和“计算错”本。 屈欢欢：“方法错”是思路方向错误，这是提分的核心分水岭；“计算错”是运算失误，通过规范训练可以减少。两者要分开整理，不能混为一谈。 徐招平：限时方面，高考解析几何解答题建议20分钟，平时压缩到15到18分钟，动笔前先花2到3分钟思考优化路径。 屈欢欢：原则就一句话——想清楚再动笔，避免无效运算。 ‹#› 谢谢倾听，请批评指正! 1.7.2013 徐招平：好，以上就是我们今天的全部内容。 屈欢欢：从课时匹配到逐卷分析，从常见失误到复习建议，希望能给各位老师带来一些实实在在的启发。 徐招平：感谢大家的聆听，也欢迎批评指正。 屈欢欢：谢谢大家！ ‹#› $