【课件】“北京卷 第19题 ”（南部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

此处放视频头像 不放文字 所讲题目：2026年北京卷第19题 ——标题 姓名： 王佳 所在单位：北京教育学院附属丰台实验学校 解析几何是“用代数的方法研究几何问题”，可见问题的提出应该是几何的，最终要解决的也是一个几何问题，当然解决的过程往往离不开代数的知识和方法.很多解析几何问题，呈现给同学们的首先应该是一个几何问题，代数是解决这个几何问题的工具，几何应该是缘起，也是归宿.2026年北京卷高考解析几何题，抓住几何问题转化，可以降低计算量. 此处放视频头像 不放文字 一、原题呈现及题目分析 已知椭圆的离心率为的一个顶点为，离心率为．过点A斜率为的直线交椭圆于B,C两点，B关于直线的对称点为D，直线CD与直线相交于点Q． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若，其中,分别表示 ,的面积，求的值． 此处放视频头像 不放文字 一、原题呈现及题目分析 已知椭圆的离心率为的一个顶点为，离心率为．过点A斜率为的直线交椭圆于B,C两点，B关于直线的对称点为D，直线CD与直线相交于点Q． （Ⅰ）求椭圆的方程； 第（Ⅰ）问：(解答过程略) 下面我们重点探究第（Ⅱ）问的解题思路 已知椭圆的离心率为的一个顶点为，离心率为．过点A斜率为的直线交椭圆于B,C两点，B关于直线的对称点为D，直线CD与直线相交于点Q． （Ⅱ）若，其中,分别表示 ,的面积，求的值． 此处放视频头像 不放文字 此处放视频头像 不放文字 在具体解答过程中，学生一般要经历这样几个环节： 首先要搞明白试题要解决的是什么样的几何问题； 其次要弄清楚解决这个几何问题需要用到哪些代数条件，再把几何问题代数化（有时候这个代数化过程不是很直观，需要把几何问题转化为另一个等价的几何问题后再进行代数化）； 然后是利用已知的题设条件，分析这些条件之间的联系，研究并解决转化之后的代数问题； 最后要返回去解决几何问题． 求的值(借助三角形面积之差) 先处理面积关系，而不是急于求交点坐标.第二问要求的是斜率变化过程中一个面积差的最大值.题目又特别给出“B,D关于对称”和“共线”，说明应先利用这些几何关系改造面积条件。 此处放视频头像 不放文字 首先：明确要解决的是什么样的几何问题 此处放视频头像 不放文字 其次：将这个几何问题直接代数化或者转化为另外一个几何问题再代数化 此处放视频头像 不放文字 然后，利用已知的题设条件，分析这些条件之间的联系，研究并解决转化之后的代数问题. 此处放视频头像 不放文字 然后，利用已知的题设条件，分析这些条件之间的联系，研究并解决转化之后的代数问题. 二、解题思路与解题过程——（一）开门见山，直接计算 方法1：以AB、AC为底边，计算两个高相等的三角形面积差 【分析】两三角形 ,他们有共同的高， 即到直线BC的距离是表示 ,的面积 的高，设，,引入变量， 设，利用三点共线，利用 求 此处放视频头像 不放文字 【解析】直线BC的方程为. 由得 ． 设，因为关于直线的对称点 为，所以. 则， . 此处放视频头像 不放文字 . 设 因为， 所以， 所以 ， 且. 此处放视频头像 不放文字 因为， ， 所以 = ， 所以 . 解得， 此处放视频头像 不放文字 二、解题思路与解题过程——（一）开门见山，直接计算 方法2：以AQ为底边，以B,C两个点到直线距离为高，计算三角形面积差 【分析】与方法1相同，设，, ， 同理 此处放视频头像 不放文字 二、解题思路与解题过程——（一）开门见山，直接计算 方法2：以AQ为底边，以B,C两个点到直线距离为高，计算三角形面积差 【分析】 则， 计算过程同方法1 此处放视频头像 不放文字 【评析】方法1,方法2条路径虽然逻辑严密，被称为“通性通法”，但其运算量巨大，涉及繁琐的分式计算.绝对值计算．在分秒必争的高考考场上，这种“暴力计算”往往是高风险的．一旦中间某个符号出错，便会前功尽弃． 此处放视频头像 不放文字 二、解题思路与解题过程——（二）从“算术暴力”到“几何洞察” 抓住对称性，几何转化——无需计算点坐标(如图)， 结合题目本身的特点，关于直线 对称， 所以 ，而问题问的是面积差， 所以 计算的面积即可，这样无需计算点坐标。 此处放视频头像 不放文字 二、解题思路与解题过程——（二）从“算术暴力”到“几何洞察” 方法3：以AB、AC为底，直接计算的面积 【解析】设 ， 因为B关于直线的对称点为D， 所以根据对称性，， ， 设D到直线BC距离为，则 . 此处放视频头像 不放文字 ， ， 此处放视频头像 不放文字 此处放视频头像 不放文字 所以， 化简得，， 解得. 二、解题思路与解题过程——（二）从“算术暴力”到“几何洞察” 方法4：利用水平宽与铅直高乘积一半，计算的面积 【解析】直线的方程为：， 如图,过点作与轴平行的直线交直线于. 当时 此处放视频头像 不放文字 二、解题思路与解题过程——（二）从“算术暴力”到“几何洞察” 方法4：利用水平宽与铅直高乘积一半，计算的面积 下面计算方法与方法3相同. 此处放视频头像 不放文字 二、解题思路与解题过程——（二）从“算术暴力”到“几何洞察” 方法5：借助反函数，计算的面积 【分析】在学习函数时学过，一个函数与其反函数的图象关于直线对称，反之也可以证明直线对应的一次函数与直线对应的一次函数互为反函数. 因为直线的方程为, 所以直线 此处放视频头像 不放文字 方法5：借助反函数，计算的面积 到直线的距离为:， 所以 , 以下同方法3，也可以过点作轴的平行线，类似方法4， 利用水平宽与铅直高乘积一半，计算的面积. 此处放视频头像 不放文字 二、解题思路与解题过程——（二）从“算术暴力”到“几何洞察” 方法6：利用向量法，计算的面积 【分析】人教版教材拓展阅读讲到，在平面直角 坐标系中，给定假设 不在同一条直线上，如图所示，则利用向量的数量 积可以方便地求出的面积为 . 此处放视频头像 不放文字 二、解题思路与解题过程——（二）从“算术暴力”到“几何洞察” 方法6：利用向量法，计算的面积 【解析】如图，记，， 则已验证，是与垂直的单位向量.过作 于，因为为单位向量，所以由向 量数量积的几何意义可知 ， 此处放视频头像 不放文字 此处放视频头像 不放文字 方法6：利用向量法，计算的面积 方法6：利用向量法，计算的面积 利用上述结论，本题中的面积也可以用类似方法推 导， 则 下面计算过程同方法3. 此处放视频头像 不放文字 【评析】 计算面积,如果能够借助对称性进行转化，则可以以较小的计算量、较少的时间得到问题的答案，这是由对称结构的模型属性决定的. 平面解析几何，本身是一个几何问题，在思考时应该先考虑从原问题能否转化为一个计算量比较低的几何问题，而后再利用代数方法求解. 此处放视频头像 不放文字 【评析】 通过对本问题不同的解法的对比，大家可以发现,计算量较小的方法恰是几何结构转化比较好的解法.做完本题，我们反思发现，遇到解析几何综合问题，不应该是盲目转化为暴力计算，而是先将几何问题拆解，看看能否进行核心结构转化，降低计算量. 此处放视频头像 不放文字 方法7：参数方程方法 设直线，则与椭圆联立可得， 此处放视频头像 不放文字 三、巧用二次函数双根式巧算 在上述的求解 过程中一般的参考答案都是展开整理代入韦达定理求解.如果同学们能够识别二次函数的双根式结构,我们可以换一个角度进行运算. 已知二次函数，因为 ，所以.对于本题计算只要找到对应的二次函数即可. 此处放视频头像 不放文字 三、巧用二次函数双根式巧算 二次函数为,所以, .同学们可以再思考,其实就是 ，二次项系数就是,这样计算也比较简单.方法1中计算也可以利用二次函数双根式求解. 所以，遇到这样的结构，可以巧用二次函数的双 根式快速求解，再通过韦达定理代入展开式，检验运算结果的正 确性. 此处放视频头像 不放文字 四、问题拓展为求最值 已知椭圆 过点斜率为的直线交椭圆于两点，关于直线的对称点为，直线与直线相交于点其中分别表示的面积，求的最大值． 此处放视频头像 不放文字 四、问题拓展为求最值 【解析】直线过点，斜率为，可设其参数方程为 设 ． 将代入椭圆方程，得 整理得， ． 由韦达定理， 此处放视频头像 不放文字 四、问题拓展为求最值 因为是关于的对称点，所以 于是 故 ． 因此 ． 代入，得 ． 此处放视频头像 不放文字 四、问题拓展为求最值 又由对称与共线关系， 所以 ． 令，则， 当时，等号当且仅当时成立； 当时， 因此面积差的最大值为，且当时取得． 此处放视频头像 不放文字 五、相关问题 1.已知椭圆的离心率为且经过点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点，过原点的直线与椭圆交于两点，直线交椭圆于点，求面积的最大值． 要解决相关问题，抓住两点关于原点对称， ，需要几何转化 ，转化为为 底边的两个三角形的面积差解决问题. 此处放视频头像 不放文字 五、相关问题 【解析】（Ⅰ）椭圆方程为． （Ⅱ）由于关于原点对称为的中点，所以. 当直线为轴时均在轴上，此时面积为，不能取得最大值以下设直线的斜率为，其方程为设直线与椭圆的两 个交点的横坐标分别为 .将代入椭圆方程，得 即 此处放视频头像 不放文字 五、相关问题 因为直线与椭圆有两个不同交点， 所以 从而. 又由韦达定理， 所以同号，即位于直线的同一侧. 因为 ，所以. 于是 此处放视频头像 不放文字 五、相关问题 由于同号，故因此. 对二次方程有 所以令 则 ，从而. 由基本不等式， 所以当且仅当时等号成立. 此处放视频头像 不放文字 五、相关问题 2.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，离心率为.点，过点作斜率为的直线，.其中直线与椭圆交于不同两点.椭圆在两点处的切线交于点. （1）求椭圆的方程； （2）求点的轨迹，并证明： ； （3）若，求直线的斜率，并求三角形的面积， 其中为坐标原点. 此处放视频头像 不放文字 五、相关问题 【解析】（Ⅰ）椭圆方程为. (Ⅱ)设 . (一)切线(半代换) 处：， 化简得同理，处. 此处放视频头像 不放文字 五、相关问题 联立， ，解得. 代入， 由题意可知 所以. 此处放视频头像 不放文字 五、相关问题 【解析】（Ⅰ）椭圆方程为. (二)尝试使用参数方程： 上的点,设， 切线：处； 处. 此处放视频头像 不放文字 五、相关问题 联立 ， 由于且，所以. 故. 将代入点处的切线方程，得. 由于，所以因此. 此处放视频头像 不放文字 五、相关问题 由于，所以.反之，对于直线上任意一点， 其中，取，即可得到相应的点. 因此点的轨迹为， 即直线去掉点. 此处放视频头像 不放文字 五、相关问题 再证明垂直关系.由于， 所以直线的斜率为. 而直线即直线，其斜率为. 于是. 故. 此处放视频头像 不放文字 通过原问题和相关问题,当我们遇到一个复杂的解析几何问题时,先作图,尝试通过图形挖掘图形中的几何条件,将条件进行转化.上述几个问题表明，一道解析几何综合问题几何条件转化的越多,计算量越小. 几何好懂不好算，代数好算不好懂，而坐标法把二者很好地结合起来了．但是在平面直角坐标系中，点的坐标是由几何作图得到的，因而将各种几何性质翻译成坐标运算，需要求助于几何定理，这里就体现了数形结合的数学思想方法，这就是解析几何这门学科的精髓． 此处放视频头像 不放文字 解析几何试题考查同学们解析几何的本质特点，我们要把灵活的几何问题转化为代数问题来计算，利用形象生动的几何模型帮助理解，关注对运算对象的观察，使精辟的数学思想“随风潜入夜”，让强大的数学方法“润物细无声”，使得貌似困难的问题迎刃而解，让同学们体会“数学学科的神韵”. 此处放视频头像 不放文字 老师们好！ 做PPT具体要求如下： 1.PPT中正文字统一用宋体、28号字体，标题加粗，插入的标签可用24号或20号，字体小了效果不好 2.行间距1.5，如本页面的行间距 3.英文字母用罗马斜体，如“ABC” ，而不是“ABC” 4.图形及图中字母要清楚，大小适中，坐标系要有箭头，隐藏方格 此处放视频头像 不放文字 5.思维导图不能用图片！因为那样不能修改。最好直接在 word中画好，组合（不组合一拉就散了）后再复制到PPT中！ 6.做PPT时，所有文字、公式从word到PPT中不能粘贴（因为那样不能改动），只能复制（可改动），可以参考本页下面两页。 7.PPT如果能根据所命题目特点起来个名字（标题）最好。 8.除立体几何外，所有其他文章都不用符号“∵，∴”，而直接用因为、所以 9.方程组、不等式组最后一行末尾用句点，其他各行末用逗号。其他各行结束也要有标点符号。 此处放视频头像 不放文字 这是 请用word中自带的“”功能输入公式，可以直接把word中的内容复制到PPT中，汉字大小用28号，公式可自行选择： 此处放视频头像 不放文字 如果用数学公式编辑器输入公式，可以转化为word中自带的格式，转化方法：鼠标选中公式，右击一次，出现“对象O”，打开最后一行是：全部转换Office math,点击即可。 需要说明的是转化会有错误会部分内容不能转化，要校对。 此处放视频头像 不放文字 录视频要求 1.着装要求 要求男老师穿带衣领上衣，女老师可淡妆，欢迎穿正装。 2.录制环境 总体要求是画面、声音清晰。场地根据各自情况自行选择，可以在电脑上录制，也可以在录播室，在录播室要注意画面不要反光。 此处放视频头像 不放文字 3.多人合作命题的老师可以多人一起录视频，但不是一人录一段，而是扮演不同角色，比如一个人提出问题，一个人回答，有相互研讨的氛围，给人耳目一新之感。 4.视频因为太大，即使微信可以传过来，也会有部分失真，请加qq：2319703569 通过qq传过来保真度高 此处放视频头像 不放文字 保存ppt时务必同时保存字体，否则比赛中打开的ppt可能乱码 此处放视频头像 不放文字 谢谢倾听，请批评指正! $