【课件】02 “新高考2卷 第19题 ”（北部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

此处放视频头像 不放文字 导数刻画变化·结构贯通思维 ——2026年新高考全国Ⅱ卷第19题解题探究与教学启示 姓 名：鲍姝妍 张伟佳 曾家奇 所在单位：内蒙古赤峰市赤峰二中 主讲者：各位专家、老师，大家好，我们是来自内蒙古赤峰市赤峰二中的老师，本次汇报以2026年新高考全国Ⅱ卷第19题为载体，汇报题目是《导数刻画变化·结构贯通思维》。 搭档：我将分别作为学习者、教学者角色与鲍老师搭档。我们想讨论的，不只是这道题怎么解，而是追问：一道导数题如何承载变化率、函数增量与中心差分三种结构？不同方法如何共同指向函数变化的数学本质？又如何由解法研究反观学生真实的思维过程？ 1 目录 试题呈现与命题评析 试题溯源 试题讲解 试题变式 01 04 02 05 学情分析 教学启示与备考策略 03 06 主讲者：接下来的展示将沿着‘命题—解题—学情—溯源—变式—教学’六部分展开，由题到解，由解观学，由学定教。 2 1 试题呈现与命题评析 主讲者：请看完整题面。本题以指数函数与一次函数的组合为载体，围绕“切线—函数增量—中心差分”展开递进设问. 第（1）问入口平稳，利用导数的几何意义求参； 第（2）问由函数平移差引出恒成立求参； 第（3）问由中心对称结构引出参数最值. 整道题结构清晰、方法多元，贴合高考“基础入口、层层递进、重在思维、适度区分”的命题特征. 3 1.1 试题呈现 （2026年全国Ⅱ卷第19题）已知函数，曲线在点处的切线为． (1)求； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 切线 ↓ 由平移差引出恒成立求参 ↓ 中心对称结构引出参数最值 入口基础、层层递进、重在思维、适度区分 主讲者：请看完整题面。本题以指数函数与一次函数的组合为载体，围绕“切线—函数增量—中心差分”展开递进设问. 第（1）问入口平稳，利用导数的几何意义求参； 第（2）问由函数平移差引出恒成立求参； 第（3）问由中心对称结构引出参数最值. 整道题结构清晰、方法多元，贴合高考“基础入口、层层递进、重在思维、适度区分”的命题特征. 4 1.2 命题评析：考什么？怎么考？为何这样考？ ·必备知识 导数几何意义、函数单调性、恒成立问题、端点与最值等 ·关键能力 运算化简、转化建模、逻辑推理 ·核心素养 数学抽象、数学运算、逻辑推理. 考查内容分析 ·守正 延续导数压轴题的常规框架 ·创新 利用同一函数生成两类差分结构.推动考查由“会求导”走向“会运用导数研究函数变化”. 命题意图解读 主讲者：本题紧扣课标要求，围绕必备知识、关键能力和核心素养展开考查. （1）必备知识：包括导数的几何意义、单调性、恒成立问题等内容. （2）关键能力：表现为运算化简、转化建模和逻辑推理能力. （3）核心素养：集中体现在数学抽象、数学运算和逻辑推理素养. 搭档：题目函数并不陌生，为什么仍能形成较强区分呢？ 主讲者：【D1】是因为本题在常规导数框架中嵌入了差分结构，体现了“守正”与“创新”的统一。它考查的不是求导熟练度，而是能否用导数组织推理，即由“会求导”走向“会运用导数研究函数变化”。 搭档：那么“为何这样考”？ 5 1.2 命题评析：考什么？怎么考？为何这样考？ 知识根基来自教材，解题工具来自课堂，区分度来自学生对结构和逻辑的理解深度. 既保障基础得分，又为高水平学生提供多路径探究空间，引导教学由套路训练走向概念理解、结构识别和规范表达. 体现了教考衔接、回归教材、重在思维的命题导向.契合“一核四层四翼”评价理念和2026年高考“教考衔接、回归教材、重在思维”的要求. 命题导向把握 入口稳、层次清、方法活、导向明 主讲者： 本题知识根基来自教材，解题工具来自课堂，区分度来自学生对结构和逻辑的理解深度。 搭档：这样既保障基础得分，又为高水平学生提供多路径探究空间，引导教学由套路训练走向概念理解、结构识别和规范表达.契合“一核四层四翼”评价理念和2026年高考“教考衔接、回归教材、重在思维”的要求. 主讲者：概括而言，本题具有四方面价值：入口稳，层次清，方法活，导向明。 下面进入“试题讲解”。 6 2 试题讲解 变化的尺度从一点、两点走向中心两侧，思维也由计算走向结构 搭档：一题多解最容易变成方法罗列，我们怎样建立统一的比较标准？ 主讲者：方法可以不同，每种解法都要回答三个问题：看见了什么结构；选择了什么研究对象；怎样完整证明形成闭环。 搭档：三问看似独立，怎样看出内在联系？ 主讲者：切线给出一点处的瞬时变化率；函数增量比较两个点的整体变化；中心差分进一步刻画对称位置的二阶变化。变化的尺度从一点、两点走向中心两侧，思维也由计算走向结构。 7 2 试题讲解 法 1：由切点(0,f(0))在直线上，也在函数图象上，可知且，可得；，则切线的斜率为，解得1. 法 2：函数在处的切线可以统一写成，与比较常数和一次项系数得，故. 2.1 第(1)问 写成切线标准式→比较系数 纵坐标、斜率相等→逐项代入 主讲者：第一小问考查导数的几何意义. 【D1】利用切点处纵坐标相等解b，，切线斜率等于导数求a，这是基础通法； 搭档：【D2】也可以将切线写成标准式后比较系数，后者更为简洁. 8 2 试题讲解 2.2 第(2)问讲解 平移差 思路1：构造差函数 必要性：取， 法2 必要性探路 端点效应 充分性：证明在时单调递增 法1 直接对分类讨论 方式2 变换主元 方式1 直接求导 思路1 构造差函数 主讲者：下面进入“第（2）问。“含参不等式恒成立”是常考的热点内容，这类问题涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想，可以锻炼学生的综合解题能力，培养思维能力。 搭档：学生第一思路会尝试化简后构造函数、参变分离等方法【D1】。如构造差函数，接下来恒成立问题转化为函数恒正问题。研究对象明确，路线便清楚了.有两条通法可供选择，一是结合导函数符号变化按m分类讨论函数单调性，求解参数范围，二是先借助必要性探路分析临界点，再基于临界点展开讨论和验证. 9 2.2 第(2)问讲解 法1 分类讨论 舍去 恒成立问题转化为函数恒正问题 构造 目标：任意 分析单调性 . 分类讨论 0 0 0 ， ， 即在(0,+)上单调递减， 当时，； 舍去 放缩 主讲者：下面展示“直接分类讨论”的解答流程。 由m=0时，，故以0为分界点讨论。 【D1】m=0时，显然不成立。0时，要分析不要着急求二阶导，可以先看中括号内各部分的范围，此时，所以在(0,+)上单调递减，当时，，不满足题意； 【D2】当0时，同理可得，在单调递增，所以（临界可取）。由解得； 【D3】综上， 10 2.2 第(2)问讲解 法2 必要性探路 先筛参数，再证充分 (x)≡0 不等式不成立 舍去 ′(x) = eˣ [(x+m+1) eᵐ−(x+1)] 单调递减， x→+∞ 时，→−∞ 先取必要条件（x→0⁺） (0)=m(eᵐ−4) ≥ 0 ⇒ m≤0 或 m≥2ln2 端点效应 策略：分类讨论 先排除，再验证 舍去 恒成立问题转化为函数恒正问题 构造 目标：任意 分类讨论 m = 0 m < 0 m ≥2ln2 验证充分性 ′(x)=eˣ[(eᵐ−1)x+(m+1)eᵐ−1], 时，，， 可知，在(0,+∞)上单调递增， g(0)=m(eᵐ−4)≥0 单调性 导数符号控制全局正性 主讲者：方法二：在端点处进行必要性探路，【D1恒正的必要条件是且，得到m≤0或m≥2ln2 搭档：【D2接下来回到原命题证明充分性. 【D3m≤0虽进入候选，但m=0与严格不等式矛盾；m<0时差函数在无穷远处为负，与原命题矛盾；【D4m≥2ln2时，可解得在恒增，，成立。 11 2.2 第(2)问讲解 法2 必要性探路 优化1 除以 简化运算 先取必要条件（x→0⁺） ，即或 分类讨论 舍去 验证充分性 ， 则在上单调递增， 由，故， 端点效应 策略：分类讨论 先排除，再验证 m = 0 m < 0 m 2ln2 ，当时， ； 舍去 令 目标：任意 方式2 变换主元 方式1 直接求导 极限 主讲者：要使计算更简洁，构造函数时可以除以。由极限思想即可排除m≤0.充分性验证可以同上法判断单调性。 12 2.2 第(2)问讲解 法2 必要性探路（优化） 方式2：变换主元 当时，证明充分性： ，， 在时，， 所以在上单调递增，， 因为时，，所以 综上所述，的取值范围为； 放缩 搭档：由于范围已知，也可以变换主元。把表达式视为关于的函数，证明恒成立，方法同上 13 2 试题讲解 2.2 第(2)问讲解 思路2：同构法 思路2 同构法 法4 分析单调性 找临界值 得到或 法5 必要性探路 法6 几何法 图象由图象平移得到， 图象在时恒在图象的上方 同构的价值在于揭示“把平移增量还原为同一函数比较” 主讲者：除了直接作差构造函数外，观察不等式结构【D1，右侧可以看成，移项得，呈现相同的函数结构【D2，由此构造出，题目转为对任意x>0恒成立。 搭档：同构的价值在于揭示“同一函数在两个位置的比较”。同构后有三条路径可供选择，一是分析的单调性；【D3二是利用端点进行必要性探路，求得临界值后分类讨论；【D4三是利用几何性质，转化为图象在上须恒在图象上方，数形结合求解。   14 2.2 第(2)问讲解 法4 分析的单调性与图象 ， 且在上单调递增； 因为，所以，使得； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 画出函数图象如右所示： 由的图象可知，在上还有一个解， 令即得到， 对任意 x > 0恒成立； 主讲者：首先分析单调性。求导得到在先减后增。由g(0)=1，解g(x)=1得到第二个等值点x=2ln2。 15 2.2 第(2)问讲解 法4 分析的单调性与图象 分类讨论： ①时，, 当时，单调递增，必有，舍去. 时, 当时，存在，舍去. 时，, 由函数图象易知，当时， , 当时，成立. 综上所述， 法1 优化 令， 简化函数结构 主讲者：图象告诉我们：平移量若小于这一距离，从靠近0的位置出发仍会落入下降段，不能保证恒成立；只有m至少跨过第二个等值点，右侧点才始终取得更大的函数值。 搭档：【D1由于常数不影响单调性，所以也可以把同构函数整体下移一个单位，新函数的两个等值点变成两个零点，关键结构更醒目。 16 2.2 第(2)问讲解 必要条件（x→0⁺） 𝑔(𝑥)为连续函数，令时一定成立， 即，解得或. 分类讨论 且在上单调递增， 当时，，单调递增， 矛盾 ， 所以，使得； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以对于，， 由图象可知恒成立. 验证充分性 m≤ 0 m ≥2ln2 舍去 ， 则转化为对任意x>0恒成立， 端点效应 法5 必要性探路 主讲者：同构的第二条路径：必要性探路。由于连续，令x趋近0可得，仍然得到m≤0或m≥2ln2，再完成排除和充分性证明。 17 2.2 第(2)问讲解 法6：几何性质 图象由图象左右平移得到， 且图象在时恒在图象的上方，图象如下： 搭档：更直观的方法是借助几何性质：是 左右平移得到的，题设要求前者在x>0时始终位于后者上方。 主讲者：对比两种方法，端点条件给出平移的必要长度，图象位置关系使得这个长度直观化，两种表述相互印证。 18 2 试题讲解 2.2 第(2)问讲解 思路3：拉格朗日中值定理 适用条件：出现函数值差与自变量差的比值结构，即两点割线斜率 时， 恒成立 思路3 拉格朗日中值定理 为凹函数 搭档：继续从几何角度考虑，原式除以步长m得到，结构形式与拉格朗日中值定理的结构吻合，能否直接使用中值定理求解呢？ 主讲者：【D1中值定理可以解释命题背景，但正式解答不要直接套用。作答时可转化为割线斜率随位置递增，并用端点割线完成判断。 19 2.2 第(2)问讲解 所以在上单调递增，存在使得. 分类讨论 , 则需证恒成立， 对于 舍去 0 0 舍去 0 ， 即恒成立, 由图象可知：只需， 即恒成立， 即恒成立，所以 法7：拉格朗日中值定理 搭档：明白了。例如，m>0时，由于递增，固定横向距离m的割线沿图象右移时斜率增加，因此最低趋势由最左端割线控制，只需确保区间左端点处割线斜率不小于1即可，解得m≥2ln2。 20 2.2 第(2)问解法总览 主讲者：以上就是本题第（2）问的3种思路、7种方法， 21 2.2 第(2)问解法比较 方法比较：路径不同，本质都是寻找最小增量 高考通法 策略优化 结构优化 思想背景 优势 逻辑最完整 书写规范、评分稳定 注意 计算与分类较多 主线易被细节淹没 先排除、再验证，目标清晰 端点只给必要条件 必须补上充分性证明 减少重复展开 突出“同一函数比较”,结构感强 识别门槛较高 图象语言必须回扣代数条件 几何意义直观 能串联割线、切线和导数单调性 不宜作为统一作答要求 建议：课堂立足通法、比较优化、了解背景 主讲者：路径不同，但本质都是寻找固定步长下的最小函数增量。 构造函数、分类讨论是高考通法，逻辑完整、便于评分。但有时计算与分类较多，主线容易被细节淹没。 必要性探路是策略优化，最能解释“参数边界从哪里来”。但充分性证明易忽视。 同构法减少重复展开，结构感强。但注意图象语言必须回扣代数条件。 几何意义直观。但大题仍要配合严谨的代数证明。 课堂建议‘立足通法、比较优化、了解背景’，而不是要求所有学生同时掌握全部路径。 22 2 试题讲解 2.3 第(3)问讲解 思路1：构造函数 思路1 构造函数 法1：构造差函数   法2：同构法 令， 则 由得 , 方式2 优化 换元+分类讨论 方式1 必要性探路 必要性探路 对称结构、中心差分 搭档：下面进入第（3）问。不等式呈现对称结构，研究对象从平移差推进到中心差分。最终仍然是恒成立求参数范围问题，【D1可以延续第（2）问思路尝试构造差函数、同构函数，然后分类讨论、必要性探路求出最值。 23 2.3 第(3)问讲解 目标：任意 开始 整理 法1 构造差函数 必要条件 令 ， ， ,使得时， 单调递减， 故使得时， ， 所以 舍去 ， 所以单调递增，， 单调递增，，成立. 方式1 必要性探路 主讲者：先尝试构造差函数。代入整理后不等式恒成立转化为在x>0恒成立. 【D1求导发现，，即在原点处以水平切线方式离开零点.此时在附近的正负取决于二阶导数的符号：若函数向上弯曲；若，函数向下弯曲，必在右侧出现负值. 因此得到k≥-2这个必要条件，再证明其充分性。   24 2.3 第(3)问讲解 法1 构造差函数 方式1 优化 . . ， ， 进一步整理得 目标：任意 ， 故使得时，，单调递减， 所以. 舍去 ，成立 必要条件 ，， ，. 搭档：我们也可以在最初化简时对x，k合并同类项，会发现两括号内结构分别是的平方差和完全平方，由此化简得到 【D1新构造的函数中不再含，且一阶导处就可进行必要性探路，减少了冗余计算，这也提醒我们要关注结构，多想少算。 25 2.3 第(3)问讲解 令，条件转化为，， 令，则， 关于的方程， ①当时，，设有两个不等实根，，则， 不妨设，则，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，不符合条件． ②当时，，故，即在上单调递增，． ③当时，因为，所以． 综上可知，即的最小值为． 法1 构造差函数 方式2 换元+分类讨论 ， 主讲者：接方式1，我们还可以尝试换元简化计算。 令，函数构造为，此时导数不再含有指数对数，符号由关于x的二次多项式决定。【D1 接下来由判别式的正负进行分类讨论即可. 26 法2 同构法 2.3 第(3)问讲解 开始 整理得 充分性 且 ， ，则 成立 单调递增 故= . 令，, ， 变更主元 要使在恒成立，需有即. 端点效应 令 ，则, 原不等式等价于对任意恒成立 搭档：我发现，不等式呈现对称结构，将移项得, 左右同构。【D1令 ，原不等式等价于. 【D2后面用变更主元、端点效应完成求解，计算量较小。 27 2 试题讲解 2.3 第(3)问讲解 思路2：分离参数+洛必达法则 思路2 分离参数 洛必达法则 ， 由基本不等式，， 整理 求函数单调性 主讲者：观察方式1优化得出的不等式，参数仅以一次项形式出现，且在时恒正，你还能想到什么方法？ 搭档：【D1同除，参变分离。 主讲者：很好，【D2恒成立问题遂归为求右侧函数的上确界，双变量函数变成单变量函数求最值。 28 2 试题讲解 2.3 第(3)问讲解 思路2：分离参数+洛必达法则 法3 直接求导     法5 双曲函数   洛必达法则 求函数单调性 法3优化 换元 令则 主讲者：这里仍可换元简化运算。 29 2.3 第(3)问讲解 设， 法3 直接求导 优化 换元 令则 则，令， 则令，则， 当时，，在单调递增，， 故，在单调递增，， 故，在单调递增， 所以， 洛必达 主讲者：令得到函数。发现在单调递增，当时由洛必达求得极限为2，因此始终大于2而只在端点趋近2。于是-2是右侧函数的上确界但不在x>0处取得， k=-2仍能保持原式严格成立。 30 2.3 第(3)问讲解 , 法5 双曲函数 ， 令，可得单调递增，， 所以 双曲函数为课外拓展， 课内推荐使用端点效应和分离参数后换元 主讲者：下面再展示一种方法：双曲函数法。 搭档：这个方法过程为什么这么简洁？ 主讲者：因为eˣ与e⁻ˣ的和差正对应coshx与sinhx，这种写法清楚展示了对称指数结构，边界函数压缩为，根据性质求导，过程简洁，但双曲函数超出高中范围，不作为常规书写要求。 31 2 试题讲解 2.3 第(3)问讲解 思路3：变换主元+斜率 在与相同距离下，右侧比左侧函数图像增速快 凹函数 法6 搭档：中心差分还可以用几何角度理解吗？ 主讲者：【D1可以。把原式移项，并分别除以相同步长x，得到x=k右侧割线斜率大于左侧割线斜率，即递增，，所以仍得到k≥-2。 32 思路4：琴生不等式 凹函数 核心思想——函数凹凸性的几何刻画 凹函数区间中点处的函数值小于两端点函数值的算术平均； 凸函数区间中点处的函数值大于两端点函数值的算术平均. 2.3 第(3)问讲解 法7 搭档：二阶导的正负反映函数的凹凸性。可不可以联系琴生不等式？ 主讲者：可以。【D1原式写成琴生不等式的形式，两端函数值的算数平均大于中心函数值，函数为凹函数。但该方法只作思想渗透。 33 2.3 第(3)问解法总览 主讲者：以上就是本题第（3）问的4种思路7种方法，路径不同，但本质都是都在判断二阶变化。 34 2.3 第(2)问解法比较 方法比较 课内优选 代数通法 结构优化 几何视角 优势 思路自然 与第(2)问策略呼应 注意 二阶导数只先筛参数 不能代替全局验证 边界含义清晰 换元后可用单调性证明 直接求导较繁琐 双曲函数简洁但属于拓展 突出对称结构 减少机械展开 变形跳步时不易跟随 需把等价关系写完整 几何意义直观 能串联割线、凹凸性 不宜作为统一作答要求 差函数＋端点效应 分离参数＋换元求最值 变换主元、同构法 斜率比较、凸性/Jensen 路径不同，但本质都是都在判断二阶变化。 规范解答优先使用构造函数+必要性探路。 35 3 学情分析 主讲者：下面进入“学情分析”。课标强调，数学评价既要关注学习结果，也要重视学习过程，以评促教. 搭档：这一部分我将以学生视角进行交流。 36 3 学情分析 规范作答区 完成情况、 步骤规范、 主要失分点、 研究性评分. 临场草稿区 第一思路、 尝试方法、 运算轨迹、 方法切换. 学生自评 困难感知、 卡点位置、 主观原因. 学情证据 主讲者：我们收集了4个班共131份限时答卷，从规范作答、临场草稿、学生自评三个维度交叉分析学情。观察时分为博雅班组和实验班组，分组目的不是对比学生优劣，而是找准不同层次学生需要的教学支持。 37 3 学情分析 差异不是出现在起点 而是出现在推理纵深 注：分组观察的教学意义，不在于比较学生优劣，而在于识别共同基础之上所需的不同教学支持 ： 一类学生更需要建立从条件到模型的清晰转化路径，另一类学生则需要进一步提高证明的严谨性以及边界处理和表达质量. 基础入口稳定 深层任务逐级承压 总体表现 分组观察 主讲者：总体均分来看，求导和切线入口较稳；第（2）（3）问逐级下降。两组样本在第一问得分接近，而后两问差距逐步扩大。 38 3 学情分析 典型断点分析 主要困难并非单一运算， 而是能否选择对象、稳定推进并及时自检。 主讲者：证据指向：主要困难并非单一运算，而是能否选择对象、稳定推进并及时自检。 39 3 学情分析 典型断点分析 断点1：未完成有效函数构造 第（1）问正确； 第（2）问变形至含m的表达式后停止； 第（3）问仅完成展开，草稿区虽尝试参数分离，但未形成可进一步求最值的函数. 搭档：下面展示本题的3个典型断点. 1.未完成有效函数构造。 这两份试卷中，学生均多次尝试构造函数，均以化简失败告终。自评时写出卡点是“未列出正确关系式”。 主讲者：这一断点表明，学生虽然掌握了展开、求导等局部操作，但缺乏“将谁视为主元、将谁视为参数”的结构判断意识. 40 3 学情分析 典型断点分析 断点1：未完成有效函数构造 搭档：下面展示本题的3个典型断点. 1.未完成有效函数构造。 这两份试卷中，学生均多次尝试构造函数，均以化简失败告终。自评时写出卡点是“未列出正确关系式”。 主讲者：这一断点表明，学生虽然掌握了展开、求导等局部操作，但缺乏“将谁视为主元、将谁视为参数”的结构判断意识. 41 3 学情分析 典型断点分析 断点2：必要性与充分性链条断裂 搭档：断点2；必要性与充分性链条断裂。具体表现为两类问题：1.未排除不满足条件的情形；2.未验证充分性. 这份答卷第二问忽略m≤0的排除，缺少自检意识 42 3 学情分析 典型断点分析 断点2：必要性与充分性链条断裂 搭档：第3问很多答卷能够求出h″(0)，甚至得到k≥-2.但未验证充分性。 主讲者：因此评价时要把论证闭合作为独立的学习目标。 43 3 学情分析 典型断点分析 断点3：方法路径选择困难 搭档：断点3，方法路径选择困难。三种方向启动步骤学生均能完成，但没有一种方法完整实施。 主讲者：所以这一断点并非源于“不会方法”，而是面对多条可行路径时，缺乏判断哪条路径更易推进、哪类运算负担较重的经验。反复切换方法消耗了作答时间，最终未能形成完整解答. 44 3 学情分析 教学建议 共同要求：将高难度题训练为可检查的方法链 训练模块 课堂要求 评价标准 四检查 m的符号；差函数；x→0+临界；端点是否可取 答案必须同时出现分类、临界与区间结论 三层证明 定义；局部必要性；全局充分性 不得以“得k≥-2”代替“证明可取” 草稿路标 每个方法只写四行：对象、导数、临界、结论 能在30秒内回溯当前方法是否值得继续 规范区迁移 从草稿中迁移最关键的3—5个得分步骤 端点、分类、充分性和最终区间不省略 搭档：那如何把不同断点转化为可执行的课堂动作呢？ 主讲者：对师生的共同建议是：将高难度题训练为可检查的方法链。读题四检查、草稿四路标，细化评价标准。 45 3 学情分析 教学建议 分层要求 A层（拓展提升）：提高证明的凝练性与严谨性，适度了解拓展性解题工具 B层（巩固发展）：系统梳理知识框架与答题框架 C层（基础支持）：夯实基础概念与基本性质 主讲者：分层要求是：基础层重夯实概念与基本性质，规范答题。中档层重系统梳理知识框架与答题框架。高分层重结构和迁移，提高证明的凝练性与严谨性，适度了解拓展性解题工具. 46 4 试题溯源 搭档：接下来请曾老师对本题进行溯源。 主讲者：好的，我将从教材例习题、高考真题、强基题目和大学相关知识四个角度溯源。 47 4.1 教材例习题溯源 第（1）问类似题目： 人教B版（2019）选择性必修第三册第六章章末习题第12题（112页）：若曲线在点(0,𝑏)处的切线方程是，求𝑎，𝑏． 考点同源：考查导数几何意义的应用. 思路共性：求出函数的导数，求得切线的斜率，再由切线方程可得斜率和切点坐标，进而得到𝑎，𝑏的值. 导数 ➡ 斜率 ➡ 切线方程 ➡ 求得， 主讲者：第（1）问，对应人教B版选必3课后习题，主要考查导数几何意义的应用，其解法类似，均为切线求参。 48 4.1 教材例习题溯源 第（2）、（3）问类似题目： 人教B版（2019）选择性必修第三册习题6-2B 第5题（102页）： 已知恒成立，求k的取值范围。 考点同源：对任意，不等式恒成立，考查利用导数研究含参不等式恒成立问题。 思路共性：令，求出导函数，讨论或，利用导数判断函数的单调性，进而求出最值，只需，令， ，利用导数求出的最值即可。 求导 ➡ 讨论 ➡ 单调性 ➡ 求得最值 主讲者：第（2）、（3）问考查利用导数研究含参不等式恒成立问题。解法为求导后对k进行讨论，根据单调性求出最值。这种方法与构造差函数解法一致，体现了教考衔接的重要性。 49 4.2 高考真题溯源 2023年北京卷第20题：设函数，曲线在点处的切线方程求，的值。 考点同源：导数几何意义的应用。 思路共性：先对求导，得到，，从而得到关于，的方程组，求解即可。 4.2.1 导数几何意义的应用 求导 ➡ 方程组联立 ➡ 求得， 搭档：高考中有没有类似的考查呢？ 主讲者： 我们梳理了近五年导数压轴题，因篇幅所限，仅举出最典型题目进行探讨。例如第（1）问的导数几何意义，在2022年全国甲卷、2023年北京卷中均有类似考查. 50 2024年天津卷第20题：已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值。 考点同源：含参不等式恒成立问题，移项构造差函数后求解。 思路共性：设，则。等价于对任意，都有 4.2.2 构造差函数 4.2 高考真题溯源 移项构造差函数 ➡ 换元 主讲者：对于第（2）、（3）问针对含参不等式的恒成立问题，我们的方法一：先移项构造差函数再求解的方法，例如24年天津卷中，通过移项构造函数，【翻页】 51 思路共性： 必要性：对有，取，得再取，得，所以。 充分性：若，则有,故 4.2.2 构造差函数 4.2 高考真题溯源 移项构造差函数 ➡ 换元 ➡ 充分性和必要性讨论 主讲者： 换元后结合端点效应求解。 52 2024年新课标Ⅰ卷第18题：已知函数。 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围。 考点同源：有上下确界，可利用必要性探路求出参数必要范围，验证充分性求解。 4.2.3 端点效应 4.2 高考真题溯源 主讲者：端点效应在24年新课标Ⅰ卷第18题第（3）问也有体现。 53 2024年新课标Ⅰ卷第18题：已知函数。 (3)若当且仅当，求的取值范围。 思路共性：显然为的一个解，先考虑时，恒成立。此时即为在上恒成立，解得而时，可得在递增，故的解为，即的解为。故。 4.2.3 端点效应 4.2 高考真题溯源 必要性探路 ➡𝑏⩾ ➡ 验证充分性 ➡ 得解 主讲者：端点效应在24年新课标Ⅰ卷第18题第（3）问也有体现。 54 2024年高考全国甲卷（文）第20题：已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立。 考点同源：含参函数，可在构造同构函数后更换主元进一步求解。 思路共性：令，即证设,即证，由单调性，即证，从而得证。 4.2.4 换主元+同构法 4.2 高考真题溯源 构造同构函数 ➡ 更换主元 ➡ 单调性 ➡ 得解 主讲者： 24年高考全国甲卷第20题结合了变更主元与同构法。 55 2025年东南大学强基计划招生数学试题第16题：设， (1)证明：只有一个根． (2)证明：有2个零点． (3)证明：． 考点同源：题目条件联系函数的凹凸性 4.3 强基题目溯源 搭档：函数与导数也是强基题目的热点，与高考考查方向有何不同呢？ 主讲者： 强基题目往往更强调概念的深层理解和推理的完整性。本题第（3）问的差分结构，在强基题中常以“函数凹凸性”或“二阶导数符号判别”的形式出现，例如2025年东南大学强基计划第16题第（3）问，【翻页】 56 2025年东南大学强基计划招生数学试题第16题：设， (3)证明：． 思路共性：要证对任意，都有，只需证是严格凹函数，即二阶导数恒小于0。由，都有，分母大于0，故是严格凹函数，由凹函数性质可得。 4.3 强基题目溯源 函数凹凸性 ➡ 求二阶导数 ➡ 凹函数性质得解 主讲者：只需证f是严格凹函数，即二阶导数恒小于0。 57 拉格朗日微分中值定理  如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在开区间内至少存在一点，使得。定理表明，如果函数的图象是闭区间上的一条连续曲线，且当时，曲线上的每点都存在切线，那么，在曲线上至少存在一点，使得该曲线在这一点处的切线平行于曲线两个端点的连线，如图所示。 4.4 大学相关知识溯源 4.4.1 拉格朗日中值定理【高考可用其思想，不可直接使用定理解答大题】 主讲者： 其实大学知识的思想也可借鉴到高中解题。首先是拉格朗日中值定理，我们给出定义如下。 58 2022年北京卷第20题：已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 思路共性：不妨设，由拉格朗日中值定理得，，使得；，使得.显然，由第（2）问知，在上单调递增，则，即，化简得。 4.4 大学相关知识溯源 4.4.1拉格朗日中值定理【高考可用其思想，不可直接使用定理解答大题】 拉格朗日中值定理 ➡ 带入已知 ➡ 化简得解 主讲者： 22年北京卷第20题第（3）问与本题（2）（3）问结构相似，也可用该定理解决。 59 洛必达法则：设函数和在某点的去心邻域内可导，且，如果极限存在或为无穷大，则有。 2023年全国乙卷（文）第20题：已知函数。 (1)当时，求曲线在点处的切线方程。 (2)若函数在单调递增，求的取值范围。 考点同源：分离参数并构造函数，求导讨论。 4.4 大学相关知识溯源 4.4.2 分离参数+洛必达法则【高考可用其思想，不可直接用定理解答大题】 主讲者： 接下来是高中相对常见的洛必达法则。23年乙卷第20题当中， 60 思路共性：在区间上恒成立，令，分离参数有，令，求导易证在定义域单调递减.由洛必达法则，时，分子，分母，为型未定式，故，此时仍为型未定式，故，则 4.4 大学相关知识溯源 4.4.2 分离参数+洛必达法则【高考可用其思想，不可直接用定理解答大题】 分离参数 ➡ 构造函数 ➡ 洛必达法则得解 主讲者： 可使用分离参数的方式构造函数，利用两次洛必达法则求得的范围。 61 琴生不等式（Jensen不等式） 若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）； 琴生不等式的离散形式（有限个点） 设是区间上的凹函数，则对任意以及任意正实数满足，都有。 4.4 大学相关知识溯源 4.4.3 琴生不等式【高考可用其思想，不可直接用定理解答大题】 主讲者： 最后是琴生不等式，它刻画了函数凹凸性。 62 2005年全国卷Ⅰ（理科）第22题： (1)设函数，求 的最小值； (2)设正数满足，证明：. 4.4 大学相关知识溯源 4.4.3 琴生不等式【高考可用其思想，不可直接用定理解答大题】 主讲者：例如05年全国Ⅰ卷第22题第（2）问 63 (2)设正数满足，证明：. 思路共性：设函数， 在上连续。对求导知是上的凹函数，由琴生不等式得， 代入已知并展开得，两边同乘，即得等号成立当且仅当所有相等，即。 4.4 大学相关知识溯源 4.4.3 琴生不等式【高考可用其思想，不可直接用定理解答大题】 构造函数 ➡ 求导得凹函数 ➡ 带入琴生不等式 ➡ 化简得解 主讲者：就能直接列出琴生不等式，带入化简从而得证。 搭档：这里要特别强调的是，不是教学生用这些定理去解高考题，而是让学生理解这些定理背后的“变化刻画”思想，从而在导数框架内找到等价表达。 主讲者：没错，溯源的目的是“知其然，更知其所以然”。从教材到高考，从强基到大学，我们看到的不应是孤立的知识点堆砌，而是一个“函数变化”思想的层层递进。 64 5 试题变式 主讲者：有了溯源，就有了“从哪里来”的答案；而变式，则要回答“往哪里去”。【翻页】 65 5 试题变式 （2026年全国Ⅱ卷第19题）已知函数，曲线在点处的切线为． (1)求； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 变式1：阈值 变式2：指数伸缩尺度 变式3：中心差分 主讲者：我们从阈值（变式1）、指数伸缩尺度（变式2）和中心差分（变式3）三个角度对该题进行推广如下. 66 5 试题变式 （2026年全国Ⅱ卷第19题）已知函数，曲线在点处的切线为． (1)求； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 变式1：将第（2）问右端由改为 5.1 改变比较常数，强化恒成立阈值意识 设计意图：让学生看到“比较基准”改变后，差函数中的常数项随之改变，从而端点临界值由变为 主讲者：先看变式1，将第（2）问右端由𝒎改为𝟐𝒎。这一变式的核心在于：常数改变导致临界点改变，学生必须重新分析端点行为； 67 5 试题变式 变式1解答：第（1）问同原题，得，故 令，则，则，不满足；若，则时，不满足，因此。 当时，，故在上严格递增。恒成立的充要条件为结合，得，即。端点可取，理由同原题，所以。 第(3)问与原题完全一致，结论仍为。 5.1 改变比较常数，强化恒成立阈值意识 主讲者：可以看出差函数的常数项由1变为2，后续解题过程不变，最后得出端点临界值由变为。   搭档：这种变式不增加知识难度，但能有效检验学生是否真正理解了必要性与充分性的关系。 68 5 试题变式 （2026年全国Ⅱ卷第19题）已知函数，曲线在点处的切线为． (1)求； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 变式2：将函数的改为 5.2 指数尺度伸缩，适度拔高参数迁移能力 设计意图：本变式伸缩指数尺度，会令第（2）问阈值由变为、第（3）问临界值由变为，适合作为提高题帮助学生从具体函数中归纳出尺度变化规律. 主讲者：接下来是变式2，将函数𝒇(𝒙)的𝒙𝒆^𝒙改为𝒙𝒆^𝟐𝒙，考查学生参数迁移和结构类比能力。 69 5 试题变式 变式2解答：由，又,所以。由，得。因此 令，则。 若,不满足；若，则时 ，不满足.因此。 当时，,故恒成立等价于结合，得，即， 端点可取。所以。 5.2 指数尺度伸缩，适度拔高参数迁移能力 主讲者：此时导函数结构发生了变化，但本质解法和思路不变，最终第（2）问阈值由变为。 70 5 试题变式 变式2解答： 第（3）问中，令。 一次项抵消，。 因为,故。 必要性：，故 充分性：若，则对，，又，所以。所以。 5.2 指数尺度伸缩，适度拔高参数迁移能力 主讲者：第（3）问阈值由变为。 搭档：这个变式仍保持“线性因子×指数函数”的核心结构，让学生意识到指数函数的“尺度”变化会改变整体的变化率结构，从而影响恒成立的条件。 71 5 试题变式 （2026年全国Ⅱ卷第19题）已知函数，曲线在点处的切线为． (1)求； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，恒有，求的最小值． 变式3：将第（3）问右端添加 5.3 加入二阶量项，拔高中心差分理解 设计意图：进一步要求中心差分不低于，即函数在中心附近应具有更强的二阶增长，训练学生对“中心差分—二阶导数—局部展开”的深层理解. 主讲者：最后是变式3，在原不等式右侧增加，使得函数在中心k附近有更强的二阶增长。 72 5 试题变式 变式3解答： 第（1）问同原题，第（2）问同原题，。下面解第（3）问。 令，则。题设。由于，等价于。 5.3 加入二阶量项，拔高中心差分理解 主讲者：解答如下：【翻页】 73 5 试题变式 变式3解答： 必要性：当时，，故左端为。若恒成立，必须，即。 充分性：若，则其中。显然第一项非负。下面证明。由，且。所以。故当时题设恒成立。所以。 5.3 加入二阶量项，拔高中心差分理解 搭档：三个变式由易到难，由局部到整体，由参数调整到结构变化，构成了一个从“会用”到“善变”再到“通理”的进阶路径。 主讲者：变式不是为了炫技，而是为了让学生在变化中看到不变，在结构中洞察本质。 74 6 教学启示与备考策略 主讲者：从命题、解法、学情与溯源回到教学与备考 75 6.1 立足教材本源，夯实导数概念与通性通法，回到课堂改革，形成备考闭环 1. 建立“课标引领—教材筑基—真题悟法—变式拓维—反思提质”备考闭环，课标定方向、教材定根基、真题定标准、变式促迁移、反思促提升.以题目为载体，促进学生知识结构、方法结构和思维结构的同步提升. 2. 函数导数复习必须回归教材本源.导数是刻画函数变化的基本工具.日常教学应帮助学生建立如下知识链：“切线斜率→ 平均变化率→ 函数增量→ 单调性→ 凸性→ 恒成立与最值”.其中，“切线斜率”是入口，“函数增量”是桥梁，“恒成立与最值”是综合应用.教师不能只训练学生套用“构造函数—求导—列表”的流程，而要让学生清楚每一步为什么成立、适用于什么条件、边界如何检验.只有这样，学生在面对变化后的题目时，才能自主完成方法迁移. 主讲者：1.建立‘课标引领—教材筑基—真题悟法—变式拓维—反思提质’的备考闭环。夯实概念与通法，建立知识链。 76 6.2 以通法为纲，系统训练基本方法，强化规范表达. 函数导数压轴题中，恒成立求参数是高频问题.教学中应引导学生建立统一而灵活的处理范式，把“定义域—端点—必要性—充分性—边界检验”作为恒成立问题的表达清单，强化“先缩范围再验证，必要不可当充要”的逻辑意识，要求学生每次书写时逐项检查，规范表达. 搭档：2.以通法为纲，系统训练基本方法，引导学生建立统一而灵活的处理范式，强化规范表达. 77 6.3 以结构为眼，培养“多想少算”的解题习惯 2026年高考数学试题评析强调“多想少算、聚焦数学本质”. 课堂教学中，应引导学生在动笔前先做结构判断： 这是平移结构，还是对称结构？ 这是比较函数值，还是比较变化率？ 是从端点入手，还是从单调性入手？ 是直接构造函数，还是先进行参数分离？ 这种“先看结构、后做计算”的习惯，是高分学生区别于机械刷题学生的重要标志. 搭档：3.以结构为眼，培养“多想少算、聚焦数学本质”的解题习惯，这种习惯是高分学生区别于机械刷题学生的重要标志. 78 6.4 以素养为魂，一题多解 多解法分为三个层级： 第一层为高考通法，强调可操作性和规范性； 第二层为优化解法，强调结构识别和运算简化； 第三层为强基拓展，强调贯通蕴含的高中思想. 一题多解的目的不是罗列技巧，而是比较思想.教师应让学生看到：不同解法表面不同，背后都在回答同一个问题——函数变化如何被有效刻画. 搭档：4.以素养为魂，一题多解，比较思想。教师应让学生看到：不同解法表面不同，背后都在回答同一个问题——函数变化如何被有效刻画. 79 6.5 研究真题、分层训练 近三年全国Ⅱ卷函数与导数部分呈现出较清晰的演变轨迹：2024年导数核心考点更多分布在选择、填空和中档解答中，突出三次函数、对称性、零点和极值；2025年以对数函数和隐零点双变量比较为代表，强化逻辑证明和抽象推理；2026年则回归传统导数压轴框架，以“切线—恒成立—最值证明”构成标准三问，但在端点效应、参数分离、同构和多解法方面提出较高要求. 这一趋势说明，函数导数复习不能只押一种题型.教师应构建“三线并行”的复习体系. 主讲者：5.研究真题、分层训练。根据近几年高考中函数与导数部分呈现的演变轨迹，教师应构建“三线并行”的复习体系. 80 基础线 导数几何意义、求导运算、 单调性、极值、最值等. 方法线 结构线 6.5 研究真题、分层训练 书写准确，稳定过关 目标 构造函数、参数分离、 端点效应、分类讨论、 零点存在性、隐零点代换等 能启动、能推进、能闭环，形成系统 目标 平移差、中心差分、 对称、凸性、同构等 识别结构、再做计算、形成迁移 目标 三条线同时推进、分层训练， 基础层重规范，中档层重完整，高分层重结构和迁移 “三线并行”的复习体系 主讲者：基础线：保证导数概念、几何意义、基础运算书写准确，稳定过关；方法线：组织构造函数、分类讨论、参变分离等方法形成系统；结构线：先识别结构、再做计算、形成迁移。三线共同指向同一目标：让学生从会求导走向会研究函数变化。   81 谢谢倾听，请批评指正! 曾：导数刻画变化， 张：结构贯通思维。 鲍：我们的汇报到此结束，敬请各位专家批评指正。 82 $