【课件】01 “新高考2卷 第19题 ”（北部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

此处放视频头像 不放文字 多元视角·思想引领·素养导向 ---2026年新高考Ⅱ卷第19题多解探析与教学启示 四川省双流中学 贾雪 洛嘎 曹军才 试题呈现 目录 CONTENT 01 思维导图 02 试题解析 03 变式训练 04 追本溯源 05 总结归纳 06 01 试 题 呈 现 此处放视频头像 不放文字 已知函数，曲线在点处的切线方程为 （1）求,； （2）若对任意，恒成立，求m的取值范围； （3）若对任意，恒成立，求k的最小值。 02 思 维 导 图 此处放视频头像 不放文字 第(2)小问以“对任意，恒成立”，其核心难点在于：参数 m 同时出现在函数内部（）和外部，相互掺杂，表达式复杂，使得常规的参变分离难以直接实施。 必要性探路：先利用端点处的极限状态与缩紧参数范围，获得必要条件 ，再验证充分性，体现“先猜后证”的探索性思维； 分类讨论：以参数 m的正负为分界标准，结合导函数单调性进行完整讨论，是处理含参问题的通性通法，逻辑严谨但过程稍繁； 解题策略的多维展开： 此处放视频头像 不放文字 函数同构：通过代数变形将原不等式转化为同一函数在不同自变量处的取值比较，将恒成立问题化归为函数单调性问题，凸显结构对称的数学美感； 高等数学视角：Lagrange中值定理将增量式与导数建立直接联系，泰勒展开则从局部逼近角度揭示参数临界值的来源，虽属超纲内容，但为优生提供更深刻的理解路径； 图象平移变换：将不等式视为函数图象在水平与竖直方向上的相对位置关系，以数形结合思想直观刻画临界状态。 此处放视频头像 不放文字 利用左右端点 将参数m的取值范围缩小. 验证充分性：即只需要证明时g(x)在上恒正. 或; ,. 结合充分性，必要性得到参数m的取值范围 变换主元 讨论3：时，，故在上单调递增，只需满足，即可求得参数m的取值范围. 原恒成立问题转化为对任意的时恒成立问题. 数形结合思想 函数零点存在定理 m<0时，图象向右上平移； m>0时，图象向左下平移；   问题求解 原不等式等价于: 定性分析 1）端点效应 3）参数放缩 2）极限思想 原不等式等价于: 讨论1：时，矛盾 讨论2：时，矛盾 原不等式等价于 构造函数或 Lagrange中值定理 泰勒展开 存在一点，使得，原式等价于. 代数 变形 等价 变形 视角2：分类讨论 视角1：必要性探路 视角3：函数同构 视角4：高数视角（思路4、5） 问（2）含参不等式恒成立求参问题 视角5： 图象平移变换 求解参数m的取值范围 此处放视频头像 不放文字 第(3)小问“对任意，恒成立，求k的最小值”其深层本质是函数凹凸性的代数表达——即判定函数 f 在区间 上的平均值与中点函数值的大小关系。这一结构既可从代数角度直接构造函数求导分析，亦可从几何直观出发，通过二阶导数符号判断凹凸性进而得解。 分类讨论：直接对原函数求导，以二阶导符号或参数 k的取值为标准进行完整分类，逐类讨论函数单调性。此为通性通法，逻辑严谨但计算量较大； 必要性探路：利用 极限状态，通过端点效应或泰勒展开缩紧参数范围，获得必要条件 ，再验证充分性。体现“先猜后证”的探索性思维，是破解本题最高效的路径之一； 解题策略的多维展开： 此处放视频头像 不放文字 参变分离：将参数 k与变量 x完全分离，转化为函数最值问题。思路直接，但代数变形技巧要求较高； 函数同构：通过代数变形将原不等式转化为同一函数在不同自变量处的取值比较，化归为函数单调性问题。结构对称性强，思维巧妙； 凹凸性与  几何意义：从二阶导符号判断函数凹凸性，将不等式直接与凸函数定义对接，几何直观鲜明，揭示题目本质； 高等数学视角：麦克劳林展开、带皮亚诺余项的泰勒展开、Jensen不等式等工具，虽属超纲内容，但可揭示题目的深层数学背景，适合优生拓展视野。 此处放视频头像 不放文字 问题求解 视角7： 函数性质特征 Jensen不等式、凹函数 1）端点效应 2）二阶导数 在 上恒成立 原不等式等价于 构造函数 麦克劳林展开、带Peano余弦泰勒展开 原不等式等价于 意义： 即 原不等式等价于 视角2：必要性探路 视角3：参变分离 等价 转化 等价 变形 视角5：几何意义 视角6：高等数学 （思路7、8）  视角1：分类讨论 （思路1、2） 视角4：函数同构 分类依据 问（3）：含参不等式恒成立求参问题 ，则, ;故，即 验证充分性：即只需要证明时F(x)在上恒正. 结合充分性，必要性得到参数k的取值范围. 讨论1：时，在上单调递增 讨论2：时， 原式等价于，是关于k的单调递增函数.   ; 故在上单调递减 得到参数k的取值范围 参变分离+ 恒成立问题 极限思想 思路2：先求导再代入（减少计算量） 思路1 03 试 题 解 析 此处放视频头像 不放文字 解：（1）函数，即，所以 ，即， 此处放视频头像 不放文字 (2) 视角1：必要性探路（思路1） 原不等式等价于，即 左端点:，即或； 右端点：原式可转化为：，即原式等价于，则，故. 充分性：因为x > 0且， ①当时，矛盾； ②当时，，与矛盾； （2）若对任意，恒成立，求m的取值范围； 此处放视频头像 不放文字 ③当，令，，易知为上的单调递增函数，故=>0，则为上的单调递增函数，所以>0，得证； 评注： 题目已知，通过对当和进行必要性探路，得出满足题意的m的范围，即；后续通过变换主元，将其视为关于m的函数讨论其充分性，此解法利用左右极限思想探路比较巧妙。 综上所述，m的取值范围是 此处放视频头像 不放文字 视角2：分类讨论（思路2） 由（1）得，令， ①当时，矛盾； ②当时，，其中，，所以，在上单调递减，与矛盾； 此处放视频头像 不放文字 ③当时，，其中，且，易知，在在上单调递增， 所以，只需满足即可，解得或， 综上所述，m的取值范围是 评注： 通过对参数m进行分类讨论，易得当时，在上单调递减，这与矛盾；当时，在在上单调递增，只需，即求解出m的范围。此解法分类讨论标准的确定自然合理，学生易于理解操作，但分析导函数的正负具有一定难度。 此处放视频头像 不放文字 视角3：函数同构（思路3） 原式等价于，构造，则当时，，，，由函数零点存在定理，，使得，所以在 上单调递减，在上单调递增，又，故由，得到，所以m的取值范围为。 评注： 观察问题的差函数的结构特征，对式子两边同时加上，进行形式同构构造函数，通过零点存在定理讨论出的单调性并结合图象分析可知，此解法函数同构较为容易，观察到， ，分析出m的范围有一定的难度。 此处放视频头像 不放文字 视角4：高数方法 —Lagrange中值定理（思路4） 原式，显然不成立； 当时，又是上的连续可导函数，由Lagrange中值定理，至少存在一点，使得，原式等价于. 即，，所以在上单调递增，则存在，使得，带入，即，得到，所以m的取值范围为。 此处放视频头像 不放文字 评注： 是上的连续可导函数，可考虑从Lagrange中值定理的视角处理等式，即至少在一点，使得，通过验证二阶导数得到， 即有，此方法属于利用高等数学的内容，高考考纲不做要求，可进行一定的拓展延伸。 此处放视频头像 不放文字 视角4：高数方法 —Lagrange中值定理（思路5） 原不等式等价于，易知不满足题意， 因为， 所以 此处放视频头像 不放文字 其中，则只需要求即可， 即，所以m的取值范围为 评注： 原式整理为，将式子中的进行泰勒展开并取前两项进行展开合并处理，即可求得，此方法属于利用高等数学的内容，高考考纲不做要求，可进行一定的拓展延伸。 此处放视频头像 不放文字 （3）若对任意，恒成立，求k的最小值。 视角1：标准含参分类讨论（思路1） 当时，恒成立， 即 ,， 令，， 整理有 整理有： 因为对任意，恒成立， 即且 此处放视频头像 不放文字 当时，因为，， 且 ， 所以， 恒成立，即在上单调递增，，所以恒成立， 即在上单调递增，，满足题意； ②当时，令， 先证明当时，令， 即在上单调递增，，即成立， 此处放视频头像 不放文字 记，对于，有，所以，则在区间上，恒成立，即在上单调递减，，矛盾。 则k的取值范围是，所以k的最小值是-2。 评注：对原函数求导分析其单调性，得到，由的正负进行分类讨论，经验证时满足题意，当时得出矛盾。此方法思路简单，但先带入求导计算量大，逻辑要求性强，属于通性通法。 此处放视频头像 不放文字 视角1：标准含参分类讨论——先求导再分析（思路2） 令，， ①当时， ，即在上单调递增，所以，所以在上单调递增， ②当时，时， 所以在上单调递减，所以在上单调递减，，矛盾。 评注： 根据的形式可以先进行整体求导再进行分类讨论分析，计算量大幅减少，属于多想少算的方法。 则k的取值范围是，所以k的最小值是-2。 此处放视频头像 不放文字 视角2：必要性探路（思路3） 令，原式等价于对任意，恒成立. ，则要求.又，， 充分性： 当时，令， 则，，又，有， 因此，，所以在上单调递增， 则要求，， 因此，得到. 此处放视频头像 不放文字 ，所以在上单调递增， ，证毕； 综上所述，k的取值范围是，所以k的最小值是-2。 评注： 要保证原式等价于对任意，恒成立，即带入端点进行必要性探路，分析出即可，随即求出k的最小值。此方法利用必要性探出答案不难，后续验证其充分性仍有一定的难度。 当时，， 又，当时由函数零点存在定理，，使得，所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，这与矛盾. 此处放视频头像 不放文字 视角3：参变分离（思路4） 令，， 欲证，等价于证明， 所以上述不等式可以转化为在上恒成立， 其中， 即， 因为，可知，即， 设，则， 此处放视频头像 不放文字 令，由， 令，则，所以在上单调递增，故，则，即在上单调递增，所以，因此，故在上单调递减。 所以根据洛必达法则：=，故，所以k的最小值是-2。 评注： 整理函数为，并参变分离，代数处理变形得到，注意到求时为型，可用洛必达法则求出最值。此方法思路清晰，参变分离求解最值仍具有一定难度。 此处放视频头像 不放文字 视角4：函数同构（思路5） 原式等价于，令，则原式等价于，是关于k的单调递增函数。 ， 等价于要求，即， 则k的取值范围是，所以k的最小值是-2。 在上恒成立，即，得到。 评注：将原式整理为，同构并巧妙地将其视为关于k的单增函数，即只需要保证，随即求解出，此方法容易想到，思路清晰，属于通性通法。 此处放视频头像 不放文字 视角5：的几何意义（思路6） 原式等价于，则在k处的右导数大于在k处的左导数，即，则要求. ，，即， 则k的取值范围是，所以k的最小值是-2. 评注： 当时，原式两侧同除，即得到，可利用极限思想视为则在k处的右导数大于在k处的左导数，即只满足，求解出。此解法求解简单，但需要深入理解导数的定义、极限思想和函数的凹凸性。 此处放视频头像 不放文字 视角6：高数—麦克劳林展开（思路7） 令，， 欲证，等价于证明， 即， ，， ， 此处放视频头像 不放文字 因此，对任意的都恒成立，即， 若，) 这与矛盾. 综上所述，k的取值范围是，所以k的最小值是-2. 评注： 整理函数为，并对进行泰勒（麦克劳林）展开带入式子，得出对任意的都恒成立，求解出k的最小值。此方法属于利用高等数学的内容，高考考纲不做要求，可进行一定的拓展延伸。 此处放视频头像 不放文字 视角6：高数—带皮亚诺余项的泰勒展开（思路8） 原式等价于 令,则上式等价于， 由泰勒展开：，其中， 令，， 则， 得到，原式等价于，只需，即， 此处放视频头像 不放文字 则k的取值范围是，所以k的最小值是-2。 充分性： 令， 有，，， 当时，，，这与题干矛盾； 故，所以k的最小值是-2. 此处放视频头像 不放文字 评注：原式等价于并令，整理得出：，并对进行带皮亚诺余项的泰勒展开进行必要性探路，得出求解出k的范围。此方法中带皮亚诺余项的泰勒展开属于利用高等数学的内容，高考考纲不做要求，可进行一定的拓展延伸。 此处放视频头像 不放文字 视角7：函数性质特征—Jensen不等式（思路9） 等价于，说明为凹函数，即，，则； 当时，原不等式成立，故，因此k的最小值是-2. 评注： 注意到原式可变形为，联想到Jensen不等式和凹函数定义，即只需令当为凹函数，求解出，此方法属于利用高等数学的内容，高考考纲不做要求，可进行一定的拓展延伸。 04 变 式 训 练 此处放视频头像 不放文字 已知函数。 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意，恒成立，求m的取值范围； （3）若对任意，恒成立，求k的最小值。 此处放视频头像 不放文字 解：（1）函数，即，，且 ，即 切线方程为； （2）原不等式等价于， 左端点:，即或； 充分性：因为x > 0且， ①当时， 时，或与任意矛盾； ②当时，，即或与任意矛盾； 此处放视频头像 不放文字 当，令，，易知为上的单调递增函数，故=>0，则上的单调递增函数，所以>0得证； 综上所述，m的取值范围是. （3）原式等价于，则在k处的右导数大于在k处的左导数，即，则要求. ，，即， 则k的取值范围是，所以k的最小值是-2. 05 追 本 溯 源 此处放视频头像 不放文字 第(1)小问：已知曲线方程在某点处的切线方程求参，可追溯至教材： (人教A版P82，T11)设曲线在点处的切线与直线垂直，求的值。 第(2)、(3)小问：对称差函数恒成立求参问题，可追溯至教材： (人教A版P99 ，T12) 用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：（2） (人教A版P104 T18) 已知函数.当时,求证. 06 归 纳 总 结 此处放视频头像 不放文字 该试题三问层层递进，梯度分明，难度逐渐攀升，入口宽而落点高，具有较好的区分度； (2)(3) 小问形式上简洁、对称，且兼备代数与几何意义，充分体现了数学之美。 第（1）问已知曲线方程的切线方程求解参数，考查导数的定义，属于导数的基本运算，较为容易； 第（2）小问为含参恒成立问题，求解参数的取值范围，锤炼学生分类讨论与逻辑推理的缜密性，同时引导其从通性通法及高等数学视角进行多维探索，既可以从分类讨论、必要性探路以及函数同构等通性通法，也还可以从Lagrange中值定理和级数展开等高等数学方法进行求解； 此处放视频头像 不放文字 第（3）小问进一步深入到二阶导数与不等式恒成立问题，同样可从函数同构、参变分离及极限思想、泰勒展开、Jensen不等式等高等数学的角度求解。 第（3）问也是需要将代数结构抽象为函数凹凸性的几何直观，要求学生兼备“先猜后证”的探索精神与严谨论证能力，在数学抽象、直观想象与批判性思维的高阶融合中，深刻体现了新高考“重思维、轻计算”的选拔导向。 教师在日常教学中，要以提高学生的核心素养为目的，深入了解知识的底层逻辑，以培养学生深度思考，自主探究的能力为主，坚决避免机械的教与学，以真正培养出具备数学眼光、数学思维与数学语言的综合性人才。 谢谢倾听，请批评指正! 老师们好！ 做PPT具体要求如下： 1.PPT中正文字统一用宋体、28号字体，标题加粗，插入的标签可用24号或20号，字体小了效果不好 2.行间距1.5，如本页面的行间距 3.英文字母用罗马斜体，如“ABC” ，而不是“ABC” 4.图形及图中字母要清楚，大小适中，坐标系要有箭头，隐藏方格 此处放视频头像 不放文字 5.思维导图不能用图片！因为那样不能修改。最好直接在 word中画好，组合（不组合一拉就散了）后再复制到PPT中！ 6.做PPT时，所有文字、公式从word到PPT中不能粘贴（因为那样不能改动），只能复制（可改动），可以参考本页下面两页。 7.PPT如果能根据所命题目特点起来个名字（标题）最好。 8.除立体几何外，所有其他文章都不用符号“∵，∴”，而直接用因为、所以 9.方程组、不等式组最后一行末尾用句点，其他各行末用逗号。其他各行结束也要有标点符号。 此处放视频头像 不放文字 这是 请用word中自带的“”功能输入公式，可以直接把word中的内容复制到PPT中，汉字大小用28号，公式可自行选择： 此处放视频头像 不放文字 如果用数学公式编辑器输入公式，可以转化为word中自带的格式，转化方法：鼠标选中公式，右击一次，出现“对象O”，打开最后一行是：全部转换Office math,点击即可。 需要说明的是转化会有错误会部分内容不能转化，要校对。 此处放视频头像 不放文字 录视频要求 1.着装要求 要求男老师穿带衣领上衣，女老师可淡妆，欢迎穿正装。 2.录制环境 总体要求是画面、声音清晰。场地根据各自情况自行选择，可以在电脑上录制，也可以在录播室，在录播室要注意画面不要反光。 此处放视频头像 不放文字 3.多人合作命题的老师可以多人一起录视频，但不是一人录一段，而是扮演不同角色，比如一个人提出问题，一个人回答，有相互研讨的氛围，给人耳目一新之感。 4.视频因为太大，即使微信可以传过来，也会有部分失真，请加qq：2319703569 通过qq传过来保真度高 此处放视频头像 不放文字 保存ppt时务必同时保存字体，否则比赛中打开的ppt可能乱码 此处放视频头像 不放文字 $