【课件】“新高考1卷 第19题 ”（北部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

此处放视频头像 不放文字 新定义压轴题的解题探究 ——以2026年新课标I卷第19题为例 郭雄师 邯郸市第五中学 一、高考真题呈现 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （1）若当时，，求； （2）若是奇函数，，且，证明：； （3）设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间上单调递增． 此处放视频头像 不放文字 2 二、试题解答 此处放视频头像 不放文字 解:由题意可知 且； 当，即1时，，解得； 当，即1时，，解得； 所以． （1）若当时，，求； 3 解:已知为奇函数，且定义域为，所以， 所以有 当时，若，则，，此时， 当时，若，则，，此时． 此处放视频头像 不放文字 （2）若是奇函数，，且，证明：； 4 解：当，且时，可分为以下三种情况： ①,此时，，因为 ，所以， ②,此时， ，因为，所以 ③，此时，，所以． 综上所述，． 此处放视频头像 不放文字 （2）若是奇函数，，且，证明：； 5 此处放视频头像 不放文字 分析 （3）设满足：①若，则；②当 时，．（i）证明：； 证明结论 调用条件，导出矛盾 构造关于的不等式 反证法： 假设 在处无具体解析式 6 此处放视频头像 不放文字 分析 （3）设满足：①若，则；②当 时，．（i）证明：； 证明结论 调用条件，导出矛盾 构造关于的不等式 反证法： 假设 在处无具体解析式 7 此处放视频头像 不放文字 分析 （3）设满足：①若，则；②当 时，．（i）证明：； 思路1:取 有 所以 ,使得 进而 在上的性质未知，所以未知 构造关于的不等式 若能 矛盾 8 此处放视频头像 不放文字 分析 （3）设满足：①若，则；②当 时，．（i）证明：； 思路2: 有 所以 构造变量，有 构造关于的不等式 由条件②知，，导出矛盾 利用了在上的单调性 9 此处放视频头像 不放文字 解：假设，则，使得，所以，因为，且在上单调递增，所以，从而可得. 又，所以，从而有，所以，与矛盾，所以． （3）设满足：①若，则；②当 时，．（i）证明：； 10 此处放视频头像 不放文字 （3）设满足：①若，则；②当 时，．（ii）证明：在区间上单调递增． 分析 （2）若是奇函数，，且，证明：； （3）设满足：①若，则；②当时，． 尝试先求得在和时，值的大小关系，以便进一步研究函数的性质． 猜想：“当时，” 11 此处放视频头像 不放文字 （3）设满足：①若，则；②当 时，．（ii）证明：在区间上单调递增． 分析 （2）若是奇函数，，且，证明：； （3）设满足：①若，则；②当时，． 猜想：“当时，” 采用反证法证明，原因有两点： 1、抽象函数，无具体解析式 2、这是一个全称量词命题 12 此处放视频头像 不放文字 （3）设满足：①若，则；②当 时，．（ii）证明：在区间上单调递增． 第一步：用反证法证明“当时，” 13 证明：当时， 思路1 ， ， 思路2 ， ， 引理：若， 则有 ， ， 思路3 14 此处放视频头像 不放文字 （3）设满足：①若，则；②当 时，．（ii）证明：在区间上单调递增． 思路1 （i）先证明， 若， 使得 则， 使得 则 所以 + - 又， 所以 又， 所以，矛盾 15 此处放视频头像 不放文字 （3）设满足：①若，则；②当 时，．（ii）证明：在区间上单调递增． 思路1 （ii）证明， 若， 使得 则， 使得 所以 ，所以 ，所以，矛盾 - 16 此处放视频头像 不放文字 （3）设满足：①若，则；②当 时，．（ii）证明：在区间上单调递增． 思路1 （iii）证明， 若， 使得 则， 有 所以 与大小未知， 无法寻找中的元素 17 此处放视频头像 不放文字 （3）设满足：①若，则；②当 时，．（ii）证明：在区间上单调递增． 思路1 （iii）证明， 若， 使得 则， 有 ，所以 ， 构造变量， 使得 ，矛盾 ，由条件①知 18 此处放视频头像 不放文字 解法1：（i）先证明， 若，使得，则，使得． 令，因为在上单调递增，所以有，由条件①知． 又因为= ，所以；又，，所以，所以，所以，与矛盾，所以，． 19 此处放视频头像 不放文字 （ii）再证明， 若，使得，取，有， 所以． 又，由条件②知，所以；又，所以，所以，与矛盾，所以， 又由（i）的结论可知，，． 20 此处放视频头像 不放文字 （iii）然后证明， 若，使得，取，再令.所以，即，由条件①知. 又因为，所以；又，由（ii）知，所以，即，与矛盾，所以，. 又由（i）的结论可知，，． 综上，当时，． 21 （i）证明， 思路1 （ii）证明， （iii）证明， 非必要条件 思路2 （ii）证明， （iii）证明， （i） （ii） 解法反思 22 此处放视频头像 不放文字 （3）设满足：①若，则；②当 时，．（ii）证明：在区间上单调递增． 思路2 （i）证明， 若， 使得 则， 有 所以 ，所以 ，所以，矛盾 - 23 此处放视频头像 不放文字 （3）设满足：①若，则；②当 时，．（ii）证明：在区间上单调递增． 思路2 （ii）证明， 若， 使得 则， 使得 ，所以 ， 构造变量， 使得 ， 与矛盾 24 此处放视频头像 不放文字 解法2：（i）若，使得，则，使得，所以由条件①知．由条件②知，所以；又，所以，所以，与矛盾．所以，． （ii）若，使得，则，使得， 令，所以，进而，由条件①知． 又因为，所以；又，由（i）知，所以，即， 与矛盾，所以，． 综上，当时，． 25 解法反思 - 引理：若， 则有 思路3 （i）证明， （ii）证明， 26 此处放视频头像 不放文字 解法3：先证明一个引理：若，则有 证明：因为，由条件①知，又因为 ，所以，进而，所以 ，证毕． （i）若，使得，由条件②知,则，使得，由引理得，这与在上单调递增矛盾,所以，． 27 此处放视频头像 不放文字 （ii）若，使得，则，使得 又因为，所以，由引理得 ，与（i）的结论相矛盾,所以， 综上，当时，． 28 此处放视频头像 不放文字 （3）设满足：①若，则；②当 时，．（ii）证明：在区间上单调递增． 第二步：证明在区间上单调递增． 定义法证明 取，且 则， 都有 只需， 构造， 即可证明 不妨令 29 （3）设满足：①若，则；②当 时，．（ii）证明：在区间上单调递增． 解：取，且，令，所以，由条件①知． 又因为，所以，进而 ，即，所以在区间上单调递增． 30 此处放视频头像 不放文字 根据函数在上的单调性与有界性，对原题进行变式与推广： 变式1：底数的一般化，把底数由2推广为实数 变式2：改变负半轴函数解析式，使函数在上有下界无上界 变式3：变式2的一般化 变式4：改变负半轴函数解析式，使函数在上有上界无下界，并改变其单调性 变式5：变式4的一般化 三、试题变式与推广 31 三、试题变式与推广 此处放视频头像 不放文字 变式1（底数的一般化） 已知函数的定义域为，且当时，．对任意 ，定义集合． （1）若当时，，求； （2）若是奇函数，，且，证明：； （3）设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间上单调递增． 32 三、试题变式与推广 此处放视频头像 不放文字 变式2（改变负半轴函数解析式，使函数在上有下界无上界） 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （1）若当时，，求； （2）若是奇函数，，且，证明：； （3）设满足：若，则． （i）证明：当时，； （ii）证明：在区间上单调递增． 33 三、试题变式与推广 此处放视频头像 不放文字 变式3（变式2的一般化） 已知函数的定义域为，且当时，满足：①单调递增，②，③．对任意，定义集合 ．设满足：若，则． （i）证明：当时，； （ii）证明：在区间上单调递增． 34 三、试题变式与推广 此处放视频头像 不放文字 变式4（改变解析式，使函数在上有上界无下界，并改变其单调性） 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （1）若当时，，求； （2）若是奇函数，，且，证明：； （3）设满足：若，则． （i）证明：当时，； （ii）证明：对，若，则． 35 三、试题变式与推广 此处放视频头像 不放文字 变式5（变式4的一般化） 已知函数的定义域为，且当时，满足：①单调递减，②，③．对任意，定义集合 ．设满足：若，则． （i）证明：当时，； （ii）证明：对，若，则． 36 四、试题评析 此处放视频头像 不放文字 本题以新定义集合为载体，整合集合概念、子集关系、分段函数不等式、函数奇偶性、单调性定义、反证法等核心知识，设置了有梯度的三个设问，层层递进．重点考查了数学抽象和逻辑推理数学核心素养． 37 五、复习启示 此处放视频头像 不放文字 结合该试题的考查特征，我认为其对日常课堂教学和复习备考有两点启示． 强化语言转换训练． 回归定义和逻辑链条.减少套路化题型重复训练，引导学生从定义出发，训练“否定结论-寻找反例-构造变量-调用条件-导出矛盾”的完整推理链条. 谢谢倾听，请批评指正! $