【课件】02 “新高考1卷 第18题 ”（北部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

此处放视频头像 不放文字 形到数降维思考，几何眼统率运算 --2026年全国一卷第18题解法探究与教学思考   姓名：张金红 单位：河北易县中学 此处放视频头像 不放文字 二、试题解析（重点讲第2问） 一、真题呈现 目 录 三、试题研究 四、教学启示 1、由面积的相等关系条件入手分析点P、Q的坐标关系 2、利用坐标关系求斜率 3、构造正切表达式求最值 1、试题溯源（教材溯源、高考题溯源） 2、试题变式 3、试题拓展结论及证明 此处放视频头像 不放文字 已知椭圆C的左焦点为F(−1，0)，离心率为. (1)求C的方程; (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P、Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． (i)若∆PQR的面积是∆PFO的面积的3倍，求直线l的方程； (ii)求tan ∠PQR的最小值． 一、真题呈现 此处放视频头像 不放文字 第（1）问思路分析：寻找椭圆基本量，基础运算稳拿分 已知椭圆C：的左焦点为F(−1，0)，离心率为. (1)求C的方程; 本问为全题的奠基环节，体现了高考命题“低起点”的设计原则，根据椭圆的焦点、离心率的定义即可求解． 由题意知，椭圆C的左焦点F(1，0)，离心率e，则 所以，，故椭圆C的标准方程为． 二、试题解析 此处放视频头像 不放文字 （1）由面积的相等关系条件入手分析点P、Q的坐标关系 核心问题多角度切入，以几何之眼统率运算 椭圆C (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P、Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． (i)若∆PQR的面积是∆PFO的面积的3倍，求直线l的方程． 本问的解题核心是将“面积的3倍关系”转化为线段的比例关系，椭圆的中心对称性是解题的关键点，为面积关系向线段比例关系转化 以及三角形面积分割奠定了基础． 第(2)(i)问条件转化思路分析 此处放视频头像 不放文字 PQPRsin∠QPR PFPO sin ∠FPO PQ PF 2   PQR和PFO有公共角，用 SabsinC求解 已知 ， 求直线的方程 PQR与PFO共底边，2，用Sah求解 利用三角形的等底或等高关系分割三角形的面积 构造焦点三角形，转化面积巧解坐标关系   PFQF， 此处放视频头像 不放文字 图1 （1)面积公式采用Sabsin C求解 思路1：观察到PQR和PFO有一个公共角， ∠ QPR∠ FPO ，且 PR 2PO ，想到面积公式采用求解，三角形面积 比即为底边PQ和PF的长度比． 解法1：因为PQ PR sin∠QPR，PF POsin∠FPO， ∠QPR ∠FPO，PR=2PO，，所以PQPF． 因为PQ PF+QF，则PF 2FQ. 此处放视频头像 不放文字 解法1 图1 因为PF 2FQ，所以2． 设点P()，Q()，因为F ，0 ，所以 ，．因为PF 2FQ ， 所以2，所以，所以 此处放视频头像 不放文字 （2）面积公式采用Sah求解 思路2：观察到PQR和PFO底边都在直线PQ上，O是 线段PR的中点，得到高的关系2，想到面积公式采用 求解，三角形面积比即为底边的线段长度比． 图2 解法2：设PQR、PFO的高分别为，O是PR的中点，所2 因为，PQ，PF， 所以PQ=PF，所以PF2FQ． 此处放视频头像 不放文字 图2 （2）面积公式采用Sah求解 解法2：过点P、Q分别做轴的垂线，垂足为M、N， 因为直角PFMQFN，所以PM=2QN，所以． 设直线，点P(，)，Q(，)， 则． 此处放视频头像 不放文字 图3 （3）面积采用分割法求解 思路3：连接QO，将PQR分割成PQO和RQO两部 分的和，再将PQO的面积分割为PFO和QFO两部分的和， 观察到PFO和QFO共底边FO，将三角形面积比转化为高 的比即为点P、Q的纵坐标的关系． 解法3 连接QO，O是PR的中点，所以，． 因为 3 ，所以．因为 ， 所以． 此处放视频头像 不放文字 图3 （3）面积采用分割法求解 解法3 设点P(，)，Q(，)，因为OF， OF，所以，所以， 设直线l的方程为，， 所以． 此处放视频头像 不放文字 图4 思路4：观察到点P、R关于原点对称，想到椭圆左右两焦 点也关于原点对称，构造焦点三角形将PQR的面积转化为 PQ的面积，再将PQ的面积分割成PF和QF两部 分，因为两三角形共底边，所以三角形面积比即为高的比． （3）面积采用分割法求解 此处放视频头像 不放文字 图4 （3）面积采用分割法求解 解法4 设P()，Q(，)， 椭圆的右焦点为，连接PQ ． 因为点O是PR的中点也是F的中点，所以PQ∥R，所 以点R到直线PQ的距离与点到直线PQ的距离相等， 所以 ．因为 3，所以 ． 因为点O是F的中点，所以 ，所以 ，所以 ， 所以2 ． 因为 · ， · ，所以 ，所以2． 此处放视频头像 不放文字 思路1　传统解题模式下的曲直联立，韦达定理直接联立运算或非对称韦达构造斜率表达式； 思路2　教材内容中点弦问题用点差法，此题坐标系数对应相等，构造“加权差”，设而不求； 思路３　线段的长度即为两点间的距离，翻译长度关系得到点的坐标的另一个关系式，解出点的坐标； 思路４　直线斜率即为倾斜角的正切值，构造焦点三角形， 推导出焦半径与倾斜角的关系求解斜率． （2）利用坐标关系求斜率 第(2)(i)问条件转化思路分析 核心问题多角度切入，以几何之眼统率运算 此处放视频头像 不放文字 4， ， PF QF PF QF 韦达定理，联立求解；非对称韦达定理构造斜率表达式   PFQF，，   构造“加权差”，不联立妙解巧算 用两点间距离公式翻译长度关系 构造焦点三角形，椭圆定义妙解倾斜角 ，直线   此处放视频头像 不放文字 （2）利用坐标关系求斜率 思路1：直线方程与椭圆方程联立可以得到点P、Q的横纵坐标关于斜率k的关系式，再与+2联立，可以将横纵坐标用k表示，进一步得到斜率的关系式，解出斜率求得直线方程． 还可以利用构造，得到，将点P、Q的横纵坐标式整体代入构造参数m的关系式． 此处放视频头像 不放文字 解法1设，P()，Q(，)， 联立得 ，所以，. 将与+2联立，解得 ， 代入， 解得，所以直线l的方程为y. （2）利用坐标关系求斜率 此处放视频头像 不放文字 解法2 设lmy，点P()，Q(，)，联立 得，所以， ． 因为，所以，所以，则，所以5，解得m，所以 ，所以直线l的方程为y （2）利用坐标关系求斜率 此处放视频头像 不放文字 解法3 因为，所以，所以 ，所以. 同解法（2） ，得，，所以，得，由于m，解得m ，所以k ，所以直线l的方程为 y. 此处放视频头像 不放文字 思路2 由直线斜率想到可以求出点P、Q的坐标．联想到教材内容中点弦问题用点差法，此题坐标系数对应相等可以构造“加权差”得到点P、Q的横纵坐标的另一关系式，两式联立即可求得点的坐标． 解法4 因为3，，将点P、Q坐标代入椭圆C的方程，得 ，得，即 ，所以4 . 此处放视频头像 不放文字 解法4 由 4 ，3，解得．代入椭圆的方程，得．因为F（，０），所以，所以直线l的方程为y. 此处放视频头像 不放文字 思路3　想到线段长度即为两点间的距离，结合点在曲线上的坐标关系可以将线段PF、QF的长度用点P、Q的横坐标表示，进一步两方程联立解出点的坐标． 解法5　因为PF ，且点P在椭圆上有 ，可得PF．由QF ，且点Q在椭圆上有 ，可得FQ因为 PF QF，所以，所以 此处放视频头像 不放文字 解法5　由，3 ，解得， 代入椭圆方程得，则，所以直线的方程为y. 此处放视频头像 不放文字 图5   思路4 想到直线斜率与其倾斜角的关系式ktan,构造焦点三角形借助余弦定理可以将线段PF、QF的长度也用表示，建立直线倾 斜角的三角函数式求出tan的值即求得直线斜率. 解法6设右焦点为，连接P，Q，设PFm，则 P，F，设直线l的倾斜角为，在PF中 由余弦定理，得，所以PFm ． 设FQn，所以Qn，F，在QF中 ，所以QFn． 此处放视频头像 不放文字 图5   解法6 因为PF ，QF，PF2FQ， 所以，cos，tan，所以， 所以直线的方程为y. 此处放视频头像 不放文字 本问的核心是将角的正切值转化为直线斜率的运算，最终结合基本不等式求解最值，同样存在多元求解路径，体现了不同的思维层次． 第（2）（ii）问思路分析： 构造正切表达式求最值 椭圆C (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P、Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． (ii)求tan ∠PQR的最小值． 此处放视频头像 不放文字 解法1 设l:y=kx+1，P，Q，R，因为，所以． 因为 ，得，所以tan∠PQR，当且仅当k时取等号，故 tan∠PQR的最小值为. （1）通解通法，联立运算 思路1 利用点P和点R的坐标对称关系用表示出直线QR的斜率，利用夹角公式写出tan∠PQR的表达式，利用基本不等式求最值. 此处放视频头像 不放文字 解法2设l:xmy，，所以，由于P、Q在直线l上，所以，，所以，代入，得，所以tan∠PQR 3m，3m，当且仅当3m即 m 时取等号，所以tan∠PQR的最小值为． （1）通解通法，联立运算 此处放视频头像 不放文字 图6 思路2 想到∠PQR即直线和直线的夹角，利用直线斜率与倾斜角的关系结合两角和差的正切公式可以表示出的正切公式，然后利用基本不等式求最值. （2）几何拆分，公式显能 解法3 同思路1解法1，得 .设直线QP的倾斜 角为，直线QR的倾斜角为，所以∠PQR，所以 tan∠PQR，当且仅当时取等号，故tan∠PQR的最小值为. 此处放视频头像 不放文字 思路3 由点的坐标得到直线PQ的斜率 ，以及直线QR的斜率，观察结构特征联想到乘积 ，进而想到点差法得到斜率积的定值关系. （3）点差代入，设而不求 解法4 因为点PQ在椭圆上， 所以 所以，. 因为R，所以所以 .因为，所以以下同解法一. 此处放视频头像 不放文字 溯源1 （人教版选择性必修一第115页习题3.1第4题） 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(3)焦距是8，离心率等于0.8． 溯源2 （人教版选择性必修一第114页练习第2题） 经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线l与椭圆相交于A、B两点，求线段AB的长． 　　 三、试题研究 1、试题溯源（教材溯源） 此处放视频头像 不放文字 溯源3 人教版选择性必修一第145页复习参考题三第7题 已知P是椭圆上的一点，且在轴上方，、分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，求的面积． 溯源4 第108页例3 设A、B两点的坐标分别为，，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程． 三、试题研究 1、试题溯源（教材溯源） 此处放视频头像 不放文字 两道题的条件设置都是已知焦点坐标和离心率，命题思路几乎完全一致． 1、试题溯源（高考题溯源） （1）第1问 已知焦点坐标和离心率求椭圆方程 溯源1 （2021全国新高考2卷第20题） 椭圆C:的左焦点为F(，0)，离心率为．求椭圆C的方程； 此处放视频头像 不放文字 溯源2 （2018年高考天津卷文科第19题）设椭圆C： 的右顶点为B，已知椭圆的离心率为，AB. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l：ykx与椭圆交于P、Q两点，l与直线AB交于点M，且点P、M均在第四象限，若BPM的面积是BPQ面积的2倍，求k的值． 两道题都是结合椭圆离心率求椭圆的方程，都涉及椭圆的中心对称 性，都是面积比例关系转化为线段长度比例关系，在命题思路和结 构上高度相似． 1、试题溯源（高考题溯源） 此处放视频头像 不放文字 溯源3 （2019年新课标全国2卷理科第21题） 已知点，，动点满足直线AM与BM的斜率之积为．记的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P、Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G．①证明：PQG是直角三角形；②求PQG面积的最大值． 两道题都利用了椭圆上关于原点对称的点，都涉及三角形面积，都可以借助“椭圆第三定义”或“点差法”得到斜率关系来简化运算， 在命题思路和结构上高度相似． 1、试题溯源（高考题溯源） 此处放视频头像 不放文字 溯源4 （2015年高考浙江卷理科第19题） 已知椭圆上两个不同的点A、B关于直线对称． （1）求实数的取值范围； （2）求 AOB面积的最大值（O为坐标原点）． 两道题都涉及到椭圆的对称性、面积公式的应用以及基本不等式求最值，体现了“用代数方法解决对称几何问题”的思路． 1、试题溯源（高考题溯源） 此处放视频头像 不放文字 变式1已知椭圆C:的左焦点为F离心率 ．（1）求椭圆C的方程； 三、试题研究 （2）设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交 于PQ两点，其中Q在第三象限，过点P做PM垂直于x轴，垂 足为M，与曲线C的另一个交点为R．若PQR的面积是PFM 的面积的倍，求直线l的方程． 2、试题变式 图7 此处放视频头像 不放文字 变式1解析 （1）椭圆C的标准方程为． （2）设P，QR，直线l的方程为， 所以， ． 因为，所以，所以． 联立得，所以 ， 此处放视频头像 不放文字 因为，所以，所以， ，则，化简得，解得， 所以，所以直线l的方程为． 此处放视频头像 不放文字 变式2 设A，B，直线AP、BP相交于点P，且它们的斜率之积是．记点P的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）设O为坐标原点，过曲线C的焦点F且斜率大于0的动直线l与交C于P、Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R. （i）若PQR的面积是的面积的倍，求直线l的方程． (ii)求tan ∠PQR的最小值． 三、试题研究 2、试题变式 此处放视频头像 不放文字 图8 因为，PQR与底边都在直线PQ上，设PQR的高 为PFO的高为，则PQ，． 因为是PR的中点，所以2 ．由，得PFQF． 设椭圆的右焦点为，连接，Q，设PF，得 ．因为F，设直线的倾斜角为， 在 PF中，有， 所以PF． 变式2最优解 此处放视频头像 不放文字 设QFn，所以Q，，设直线l的倾斜角为，在QF中，所以QF． 因为PFQF，所以 ，所以cos，所以 tan，所以，直线l的方程为． 设P，Q，R，因为， 所以 ． 此处放视频头像 不放文字 因为点P、Q在曲线上，所以 ，得 ，所以，所以，则． 设直线QR的倾斜角为，直线QP的倾斜角为，所以PQR，所以tanPQR=tan tan． 所以tanPQR ，当且仅当 时取等号，故tanPQR的最小值为. 此处放视频头像 不放文字 （1）椭圆第三定义的统一表达式 对于椭圆C，若A、B关于原点对称，点P是椭圆上异于A、B的任意一点，则． 证明：设A， B， P，则，因为点A、P在椭圆上，所以， 两式相减得， ，即． 3、试题拓展结论 此处放视频头像 不放文字 (2)椭圆情形下面积比与线段比的统一关系 对于椭圆C，过焦点F的动直线l与C交于P、Q两点，直线PO与C的另一个交点为R ．若则． 证明：因为，，所以 ，所以． 3、试题拓展结论 此处放视频头像 不放文字 (3)椭圆情形下夹角正切值的统一表达式 对于椭圆C，过焦点F的动直线l与C交于P、Q两点，直线PO与C的另一个交点为R ．则PQR的正切值tanPQR =． 证明：对于椭圆C，由第三定义得，代入夹角公式，得 PQR的正切值tanPQR = ． 3、试题拓展结论 此处放视频头像 不放文字 对于椭圆C，过焦点F的动直线与C交于P、Q两点，直线PO与C的另一个交点为R．则PQR的正切值最小值为． 证明：由推论３得tanPQR=，当k时，得 ，当且仅当，即时等号成立． 因此PQR的正切值最小值为． (4)椭圆情形下夹角正切值的最小值 3、试题拓展结论 此处放视频头像 不放文字 1、从“一题多解”到“多解归一”，核心素养是关键 （1）“先看形，后算数”——几何直观是运算的统帅 （2）“一题多解”不是炫技，而是为了找到“最优路径” 2、从“源于教材”到“高于教材”，回归教材是根本 （1）深挖教材是日常教学的根本点 （2）研究高考是高于教材的落脚点 四、教学启示 此处放视频头像 不放文字 作为教师，我们的使命不是让学生记住这道题的解法，而是通过这道题，让学生学会“用几何的眼光观察世界，用代数的方法解决问题，用优化的思维提升效率”，这才是从“教题目”到“教思维”的真正跨越．路漫漫其修远兮，吾将上下而求索，愿与各位同仁共勉． 四、教学启示 谢谢倾听，请批评指正! $