【课件】“新高考1卷 第6题 ”（北部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

所讲题目：2026年全国Ι卷第6题 姓名：高洪爽 郭松林 田治禹 所在单位：天津市教育科学研究院附属滨海泰达中学 从一道导数小题读懂“小镇做题家”的育人价值 ----2026年全国ǀ卷第6题 近几年来，“小镇做题家” 一直是舆论场极具争议的词汇：有人片面将其标签化为只会死记硬背、机械刷题、缺乏思维的应试者，认为题海训练只会固化思维、扼杀创造力；但扎根一线高中数学课堂、深耕解题教学后我们会发现，优质的解题训练绝非简单重复刷题，以本题为代表的一题多解教学，恰恰完整诠释了 “小镇做题家” 培养模式背后独特、不可替代的育人价值。 一、试题呈现： 二、思路分析及思维导图 分式型超越函数最值问题的相关理论依据： （1）可导函数极值必要条件：极值点处一阶导数； 最大值点为全局极大值点，满足极值条件 + 函数值约束方程组。 （2）恒成立与最值等价转化，通过参数分离转化单变量函数值域。 （3）几何等价：直线与的水平切线 切点同时 满足。 （4）分式结构几何释义：为两点连线斜率，指数 、对数换元可完成函数模型重构。 （5）指数不等式切线放缩，是超越函数降维估值工具。 解法研究：（一）小题大做 解法1：常规导数极值通法 图 1 育人价值：规范解答讲究步步有据，在严谨的逻辑推演中养成审慎自查的习惯。 解法2：切线几何定义法 图 2 育人价值：善用数形结合，多角度思考问题，既有理性逻辑又兼顾感性认知。 解法3：恒成立转化法（最简代数思路） 育人价值：此法重在转化思想，学会把复杂问题转化为熟悉题型，遇事灵活变通，善于剥离表象、简化难点，养成从容化解困境的思维。 解法4：切线不等式放缩法 育人价值：放缩法依托平日知识积累，启示学生重视日常沉淀。生活中善于总结经验、借鉴已有方法，学会借力解决难题。 （二）小题小做 解法5：选项代入排除法 观察选项先试因为，令 则，令，解得， 所以m在上单调递减，在上单调递增， 观察知是的根，结合图像可知在时，在上时 所以时取得最大值 ，解得a=1。 解法6： 特征观察速解法 因为含有，而最大值为1与e无关， 所以只有时取得最大值， 把代入即可得， 育人价值：代入排除法、特征观察法启示学生在学习生活中不墨守成规，勇于打破固有思维，灵活寻找解决问题的途径，学会在差异中寻求突破口。 解法7：分式曲线位置几何分析法 图4 如图5当时，，与最大值为1矛盾； 如图6当时，，符合题意. 所以为曲线的切线，可求得切点为， 把代入即可得到，解得： 图 6 图5 育人价值：借助数形结合直观比较两条曲线位置，帮助学生建立几何直观。学会借助图像分析代数问题，养成数形互化意识，懂得辨析边界条件，提升观察与逻辑推理素养。看待问题兼顾表象与本质，养成理性权衡、审慎判断的思维习惯。 解法8：斜率模型 1（定点与指数曲线连线斜率） 图 7 解法9：斜率模型 2（换元转化对数曲线） 令,则，则转化为与两点连线的斜率，由图8知相切时斜率最大，且最大值为1， 设切点为对求导，所以解得， 所以切点为，且斜率为1， 即， 解得a=1。 图 8 育人价值：解法8、9通过培养学生观察外在特征、跨模块迁移知识，依托转化、换元素养，将陌生情境熟悉化，提升学生举一反三的能力。面对生活中的各类问题，学会关联已有经验，通过类比转化的思想解决实际难题。 解法10：利用局部放缩法 因为， 令，即， 解得：。 育人价值：培养放缩思想，推动知识融会贯通。引导学生打破知识壁垒，主动迁移知识。在生活中学会整合各类条件，拓宽眼界，跳出固有局限，以开阔格局处理问题。 五、追根溯源 教材P95例7求的单调性和极值； P98习题5.3 12题证明：； P104复习参考题5 17题：作函数的图像； 教材的三道题同属指数（对数）函数与一次函数组合型导数综合问题，共享同一底层逻辑：依托基本初等函数求导法则、不等式放缩、切线几何意义、恒成立转化等核心方法。 复杂导数试题并非全新模型，是基础函数结构通过四则运算嵌套、参数植入、变量替换（指数↔对数互化）迭代重组所得。 五、追根溯源 变式训练： 变式1：，最大值为1，求a的值. 变式2：，最大值为，求a的值. 变式3：，最大值为，求a的值. 变式4：，最大值为1，求a的值. 变式5：，最大值为1，求a的值. 变式题目通过换元实现了指数、对数题型互通，幂次代换实现多项式维度拓展，完成直线、指数、对数、二次多类函数载体的切换；外在函数形式千变万化，但 “分式最值定参” 的代数结构、导数极值判定、数形斜率建模、参数分离转化的核心数学思想完全统一。充分体现变量代换作为标准化工具，能够剥离函数表层形态差异，统一不同题型的解题路径，印证导数综合问题 “形式可变、结构同源、思想归一” 的数学本质，真正做到以一法解百题，万变不离其宗。 小镇学子日复一日的解题训练，从来不是无意义的数字重复：演算磨心性，多解拓眼界，难题炼韧性，归纳促自省。 对基础薄弱的学生可以先教小题大做通法，保证学生有稳定得分路径，缓解畏难情绪；待基础通法熟练后，再引入巧解，让学生理解巧解并非投机，而是通法的简化变形，避免学生盲目依赖课外机构偏门技巧；通过多解法横向对比，让学生看清题目生成的本质，解题技巧是我们追求的术，而产生原理才是道，道术合一是学习的究竟。 作为一线教师的我们，应以教材例题为生长点，由基础原型逐步叠加参数、分式、换元条件，梯度生成综合变式实现知识螺旋上升；适恰的课堂推行一题多解、一题多变探究教学，提炼通用数学思想。  做题只是成长的载体，修心、明理、立身、做人才是最终内核。教师的高质量、多维度、重归纳的解题教学，既能助力学生跨越升学选拔的关卡，更能培育出踏实坚韧、通透包容、懂得自省、终身成长的完整的人。 谢谢倾听，请批评指正! 六、变式训练(变式解法举例--以变式1、2为例） 变式1：，最大值为1，求a的值？ 解法1：常规导数极值通法 因为，令，则时， 取得最大值1，设在处， 即，代回中，解得， 所以 解法2：切线几何定义法 因为最大值为1，即， 所以是切线， 设切点在处，则，即， 解得： 解法3：恒成立转化法 因为，即恒成立，则恒成立， 只需即可，令，则， 令，解得，由于单调递减，所以在上为正，在上为负，所以在在上为单调递增，在上为单调递减，所以，则，又因为时取不到1，时最大值取到1，所以。 解法4： 特征观察速解法（小题小做） 因为含有，而最大值为1与无关， 所以只有时才能取得最大值， 把代入，可得， 解得： 解法5：分式曲线位置几何分析法 因为是比值，分子为，分母为， 当时，则，与最大值为1矛盾； 当时，存在的情况，与最大值为1矛盾； 当时，且只有一个最大值为1，符合题意。 所以与相切即可， 因为的斜率为1，令，解得：。 此时，即，解得。 解法6：换元转化 已知：原题，在时，取得最大值为1 在原题基础上，令，则，得， 所以的最大值为1时， 解法7：斜率模型（定点与指数曲线连线斜率） 因为为点与点的斜率，函数的最大值1即为斜率的最大值1,即求与点的斜率的最大值为1， 如右图所示相切时斜率为1，即斜率为1，因为， 令，解得， 所以切点为，即， 解得a=1。 变式2：，最大值为，求a的值？ 解法1：常规导数极值通法 因为， 令，则时，取得最大值1， 设在处，即， 代回中，解得，此时代回得。 解法2：切线几何定义法 因为最大值为，即，所以是切线， 设在处相切，则， 即， 解得： 解法3：恒成立转化法 因为，即恒成立，所以恒成立， 只需即可，令， 则，令，解得。 由于单调递减，所以在上为正，在上为负， 所以在上为单调递增，在上为单调递减， 所以则。又因为时取不到1， 时最大值取到1，所以。 解法4： 特征观察速解法（小题小做） 观察到含有，而最大值为与无关， 所以只有时取得最大值， 把代入即可得， 解得：a=1。 解法5：分式曲线位置几何分析法 已知最大值是，可以转化为的最大值是1， 所以设分子为，分母为， 当时， 则，与最大值为1矛盾； 当时， 存在的情况，与最大值为1矛盾； 当时， 且只有一个最大值为1，符合题意。 所以与相切即可， 因为，，所以令， 解得：x=1，此时， 即，解得 解法6：换元转化 已知：变式1中，时，最大值为1， 令变式2中，则， 倍的变式1， 所以变式1取最大值1时，变式2取最大值， 此时即可。 $