【课件】“天津卷 第19题 ”（北部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

此处放视频头像 不放文字 集合搭桥连双列，计数为钥启新篇 ——2026年天津卷第19题解法探究 主讲老师： 赵静 王蕊 冯适然 天津市宁河区芦台第一中学桥北学校 此处放视频头像 不放文字 1. 原题呈现； 2. 分步初探（讲解第1问、第2（i）问）； 3. 多法探究（详解第2（ii）问，展示六种解法）； 4. 溯源拓学（试题溯源+备考复习建议）. 目录： 此处放视频头像 不放文字 1. 原题呈现 （2026年天津卷·19题）已知等差数列 与等比数列 满足． （1）求数列，通项公式； （2）记 ，记 为中的元素个数． （i）求； （ii）求 ． 通项求解、集合计数、 奇偶分类、分段讨论、 换序求和、Abel变换 此处放视频头像 不放文字 2.分步初探（第1问） 因为， 所以即解得或（公比不能为0，舍去）. 所以 已知等差数列 与等比数列 满足 ．（1）求数列，通项公式； 此处放视频头像 不放文字 2.分步初探（第2（i）问） 思路3 递推法 思路2 通项代入 思路1 直接计数 中的正偶数有个中的项有个 借取整函数，推广到任意, 内，偶数有个，幂1个 建立递推式   相加求和 累加法 结果   偶数 奇数 无公共项！ “ 分别数，再相加 ” （2）记 ， 记 为中的元素个数． （i）求； 此处放视频头像 不放文字 2.分步初探（第2（i）问） （2）记 ，记 为 中的元素个数． （i）求； 解法1：直接计数 “ 分别数，再相加 ” 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于的项组成， 不超过的正偶数有个，所以数列中小于等于的项有 个； 解 得，，则中小于等于的项有 个． 所以． 此处放视频头像 不放文字 2.分步初探（第2（i）问） 解法2：通项代入 ，解得 【取整函数】 ：不超过 的最大整数 取整 偶数 ，解得 奇数 无公共项，所以 令,则 . “ 分别数，再相加 ” ； ① 取整 ② 此处放视频头像 不放文字 2.分步初探（第2（i）问） 当时，，只有符合，所以． 即 递推式 “ 分别数，再相加 ” 解法3：递推法 在(]内，只有这项来自；有 个偶数来自. 所以 累加上式，得 所以 时， 验证：， 满足上式. 此处放视频头像 不放文字 3.多法探究（第2（ii）问） （ii）求； 识别结构，分类拆解， 奇偶配对，规范求和. 此处放视频头像 不放文字 3.多法探究（第2（ii）问） （ii）求； 当 为偶数时，中的项有个； 当 为奇数时，中的项有个. 再分类 先分段 当时，中 的项有个， 解法1：典型通法 又为奇数时， 奇偶并项，得到 看作常数 公差 项数 等差求和 第 1 段 第 2 段 第 n 段 等比求和 最终答案 先分段计数再奇偶并项 错位相减求和 3.多法探究（第2（ii）问） 解法2：并项优化 其中 通式 写出的对应项，相加得到通项 由第（i）问的解法可知. 当 时，有， 将所有的取值相邻配对，共组，如下： 奇数项通项 偶数项通项 变形 有2个变量 寻找相邻两项关系 看作常数 公差 等比求和 错位相减求和 由第（i）问中解法2可知 = 3.多法探究（第2（ii）问） 解法3： 取整拆分 奇偶并项求和 -1)] 错位相减 拓展（一）：利用取整函数性质 = 解法4：整体递推 令 3.多法探究（第2（ii）问） 奇偶并项 . 等差数列 并项得 等差数列 ， 累加上式，得 错位相减 =6 3.多法探究（第2（ii）问） 记 ，显然 为偶数，则 引入示性函数，定义 解法5：示性函数与换序求和 对 的奇偶性进行分类： ①若 为偶数（即 的项），设 则, 改变求和顺序，即 相邻两项配对 ② 若 为奇数（即 的项），设 则 则 ， 将 中所有元素的贡献求和 得 所以 将 代入， 偶数总贡献数 奇数总贡献数 3.多法探究（第2（ii）问） 解法6： Abel变换 由Abel变换可得 A B Abel变换又称分部求和法 设和是两个数列，且 , . 则 因此 . 在 中，当且仅当或时 , 有，其余均为0. 综上 3.多法探究（第2（ii）问） ：奇偶配对相消 ：分段，：常规展开 思路1： 区间分段+奇偶分类 思路4： 换序求和 思路3： 整体递推 思路2： 取整函数拆分 思路5： Abel变换 法1：按分段，分段，相邻两项作和，求分段的和 法2：两两配对为组，利用，每组为线性公式 法3：代入 拆为 法4：构造展开新增区间的求和 法5：用示性函数展开，交换双重求和顺序 法6：交错部分和 用Abel变换分离  错位相减 ：两两配对，等差 ：区间上取定值，错位相减  累加法 内层交错求和 外层按奇偶分类 利用的稀疏求和 4.溯源拓学 P16，例4：已知等差数列 的首项 ，公差 ，在中每相邻两项之间都插人3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项? 若是,它是的第几项? 若不是,说明理由． 人教A版《选择性必修第二册》 “点问题” “计数问题” （2）记 ， 记 为中的元素个数． 4.溯源拓学 19． 已知是等差数列，其前项和为是公比不为1 的等比数列，． （1）求和 的通项公式； （2）若从数列 的前 项中任取 项按从小到大排列，得到数列 ，再将余下的 项按从大到小排列，得到数列 ．设数列 的前 项和为 ，求 和 ； （3）设集合 将 的所有元素从小到大排列构成数列 ，记 为数列 的前 项和， 求证：． 天津市八所重点学校2026届高三毕业班联考 奇偶分类,位置分层 试题变式： 并项处理得 教学启示 套路训练：“求通项，求前n项和” 教材为根，分类为线 计数为桥，求和为核 一题多解，多解归一 经观察发现规律、 用具体认识抽象 双列定根明结构，集合计数架新桥。 奇偶分流寻路径，分段配对解纷扰。 取整递推开巧法，换序Abel见高招。 六法归一通本质，分类求和启思潮。 谢谢倾听，请批评指正! $