【课件】球类切接问题 综评（北部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

此处放视频头像 不放文字 球类切接问题的三把钥匙 姓名：贾必贤 周敏 徐文 所在单位： 四川天府新区香山中学 目 录 一、高考命题背景与考情分析 二、典型试题解析与模型归纳 三、模型的对比与共性分析 四、复习与备考建议 一、高考命题背景与考情分析 1、球类切接问题的核心地位 01 知识地位 立体几何的重要内容，更是高考数学命题的“常青树” 02 综合能力考查 全方位锻炼学生的空间想象、逻辑推理、数学建模以及代数运算能力 03 命题价值 单一几何体 → 组合体动态最值客观题 → 解答题融合 04 破题核心 如何识别空间结构，确定球心位置，建立数量关系 球类问题表面考查“求半径”，本质考查： 如何识别空间结构，确定球心位置，建立数量关系。 3 一、高考命题背景与考情分析 2、课标要求 对比 2017年版2020年修订 2025年版 内容 认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征 掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征 这一变化要求学生对柱、锥、台、球等几何体的结构特征达到深入理解和灵活应用的水平，从能说出特征到能熟练据此判形、拆分、建模、算量。 一、高考命题背景与考情分析 3、真题概览 试卷 题号 题型 分值 考点 年份 新高考一卷 8 选择题 5分 正四棱锥外接球 2022 新高考二卷 7 选择题 5分 正三棱台外接球 全国乙卷 12 选择题 5分 四棱锥外接球 一、高考命题背景与考情分析 3、真题概览 试卷 题号 题型 分值 考点 年份 新高考二卷 7 选择题 5分 正三棱台外接球 2023 全国乙卷 16 填空题 5分 已知三棱锥外接球半径求棱锥侧棱 全国甲卷 15 填空题 5分 正方体与球面的公共点个数（球的截面） 规则几何体外接球半径的直接计算 2022—2023年间该类问题全部以选择题或填空题形式呈现，侧重于规则几何体外接球半径的直接计算 一、高考命题背景与考情分析 3、真题概览 试卷 题号 题型 分值 考点 年份 新高考一卷 17 解答题 10—12分 四三棱锥外接球 2025 新高考二卷 14 填空题 5分 圆柱内两球的最大半径问题 新高考二卷 14 填空题 5分 正三棱锥外接球 2026 会算→会证 而2025年新高考一卷第17题首次将其纳入解答题，要求证明球心位置，标志着考查重心从会算向会证的的飞跃。 一、高考命题背景与考情分析 4、高考命题趋势分析 早期：给出规则几何体 → 求球半径 近年来：隐藏几何模型 → 学生主动识别结构。 趋势一：从公式计算走向模型识别 2025年新高考Ⅰ卷第17题：首次将外接球问题融入解答题，要求证明球心位置。 趋势二：从“求球”走向“研究球心” 高考对空间推理能力要求不断提高。 而2025年新高考一卷第17题首次将其纳入解答题，要求证明球心位置，标志着考查重心从会算向会证的的飞跃。 一、高考命题背景与考情分析 4、高考命题趋势分析 命题形式：规则几何体→组合体→动态最值问题→证明类问题 趋势三：从单一几何体走向综合模型 高考命题呈现“模型隐藏化、设问开放化、能力综合化”的趋势。 二、典型试题解析与模型归纳 例1（2026·全国二卷·14题）已知球的体积为43，四点均在球的球面上，为等边三角形，，则 的面积为__________． 分析 球半径 建立球心到各顶点距离相等的代数方程 构成正三棱锥结构 本题没有直接给出“正三棱锥”这一几何模型，而是通过：四个顶点均在球面上、底面为等边三角形等条件,引导学生自主发现空间结构。 命题由“直接识别模型”转向“根据条件建模”，突出考查学生 的数学抽象能力。 题目并未直接使用“正三棱锥”这一直接表示，而是通过这一条件让考生自行识别几何结构 10 第一步：基本量的提取 由，得设正三角形的边长为 其外接圆的半径面积。 解法1 柱锥台模型 第二步：识别结构 问题转化为——圆锥问题 第三步：圆锥外接球的几何关系 设球心到底面圆心的距离为 （以为原点，向上为正方向）。 对于正三棱锥，外接球球心在底面的高线上，其半径满足： 球心到圆锥顶点的距离等于球半径： 球心到底面圆周上任意一点A的距离等于球半径： 母线长度由圆锥自身决定： 解得 。 解法2 截面法 解得 。 解法3 坐标法 以为原点，所在平面为平面，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系。 设正三角形的外接圆半径为，则可取 解法3 坐标法 点在轴上，设。 球心也在轴上，设球半径， 由距离公式建立三个方程： 解得。 试题亮点：（1）弱化公式记忆，强化结构分析。（2）通过隐藏模型，区分机械套用公式与真正理解几何关系的学生。（3）体现新高考“少术语、多思维”的命题特点。 教学启示：教学中不能只训练学生记忆外接球公式，而应培养学生：观察条件 → 判断结构 → 确定球心 → 建立关系的模型分析能力。 命题点评 球类问题解决框架图 球类问题 判断球心位置 柱锥台模型 截面法 坐标法 建立数量关系 求解与证明 模型分类 模型一：柱锥台模型 💡 核心思想：补形转化，化立为平 若多面体可还原为圆柱、圆锥或圆台，其外接球半径等价于对应旋转体轴截面外接圆的半径。通过“补形法”将复杂的立体几何外接球问题，转化为直观的平面几何圆的直径/半径求解问题，极大简化计算。 🎯 典型适用场景 正棱锥（如正三棱锥） 直棱柱（侧棱垂直底面） 正棱台（上下底相似） 可补形为旋转体的多面体 模型分类 模型二：截面法 核心思想：空间问题平面化 通过作包含球心与几何体关键轴线的截面，将三维空间中“球与几何体的相切/相交”问题，转化为二维平面内“圆与多边形的位置关系”，利用平面几何直观求解。 🎯 典型适用场景 • 旋转体：圆柱、圆锥、圆台的内切/外接球问题 • 对称体：正棱锥、正棱柱等具有中心对称轴的几何体 模型分类 模型三：坐标法 核心思想：代数运算 将几何问题代数化，建立空间直角坐标系，设球心为，利用“球心到各顶点距离相等”这一几何性质列出方程，解出球心坐标与半径。这是解决此类问题的通用“通法”。 🎯 典型适用场景 顶点坐标容易确定的规则几何体（如长方体、直棱柱、正棱锥等）。将复杂的空间几何关系转化为纯粹的代数计算 二、典型试题解析与模型归纳 例2（2022·新高考全国Ⅱ卷·7题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） 分析 题目表面考查正三棱台外接球，实质考查学生能否突破几何体表面结构，将棱台转化为圆台模型。命题关注：学生是否能够抓住决定外接球的核心因素——底面外接圆。 22 第一步：确定底面外接圆半径 由正弦定理可得正三角形的外接圆的半径公式：(其中ɑ为边长）。 上底面边长，所以,同理下底面。 解法1 柱锥台模型 第二步：识别结构 正三棱台的外接球，等价于上、下底面外接圆在同一球面上。把三棱台“补”成圆台—— 上底面半径下底面半径，高. 球心必在圆台的中心轴上。设下底面圆心为上底面圆心为， 球心到下底面距离为(向下为正方向），即. 下底面圆周上任意点到球心距离： . 上底面圆周上任意点到球心距离： . 于是,解得 (表示球心在下底面圆心上方3个单位处） 第三步：求球半径和表面积 . . 学生常见失误 ①将正三棱台误认为正棱柱，直接套用“球心在上下底面中心连线的中点”这一结论，忽略了棱台与棱柱的区别；②解出后，对“球心在几何体外部”感到困惑而怀疑计算结果；③在建立方程时，未注意 正负号方向，导致方程列错（如将误写为） 解法2 截面法 第1步：选择轴截面 过球心和上下底面中心作垂直截面。正三棱台的轴截面是等腰梯形： 上底,下底，高. 这个截面中，两个底面的顶点是 和 （以轴截面中心线为y轴，下底面为) 解法2 截面法 第2步：确定球心位置 球心在轴上，设坐标为,球心到上、下底面顶点的距离相等： 代入已知，解得 (球心在截面中下底面下方3个单位，其实与解法1中一致）。 解法2 截面法 第3步：求半径与表面积 , 解法3 坐标法 第1步：建立坐标系 以下底面中心为原点，下底面所在平面为平面，竖直向上为轴正方向。下底面正三角形外接圆半径,三个顶点设为：。 上底面中心外接圆半径三个顶点： 解法3 坐标法 第2步：设球心坐标 球心在轴上（由对称性），设.由球心到下底面顶点距离等于球心到上底面顶点的距离： 解得。 第3步：求半径与表面积 , 试题亮点：（1）体现“去棱存圆”的数学思想。（2）将复杂空间几何体转化为熟悉的旋转体问题，考查数学迁移能力。（3）球心可能位于几何体外部，突破学生对传统模型的思维定式。 教学启示：教学中应加强学生对几何体本质结构的认识——不要关注棱的数量，而要关注：对称性、轴线、外接圆以及球心位置。培养学生由“看图形”向“看结构”转变。 命题点评 二、典型试题解析与模型归纳 例3（2020·全国III卷·15题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 分析 本题通过圆锥内切球问题，引导学生发现：三维空间中的球与圆锥关系，可以转化为二维截面中的圆与三角形关系。重点考查空间想象与降维分析能力。 32 解法1 截面法 第1步：作轴截面 圆锥的轴截面得到一个等腰三角形ABC，其中：底面半径,母线长, 圆锥高. 圆锥内最大的球，在轴截面中就是三角形的内切圆。球的半就等于这个内切圆的半径。 33 第2步：用等面积法求内切圆半径 设内切圆圆心为，半径为，它到三角形三边的距离都等于。 于是由等面积： , , 可得. 第3步：计算球的体积 34 解法2 等体积法 第1步：确定圆锥体积和表面积 圆锥体积：. 圆锥表面积（含底面）：. 第2步：利用内切球性质 内切球球心到圆锥侧面和底面的距离都等于。将圆锥分割成无数个小棱锥，所有小棱锥体积之和等于圆锥体积： ， 可解得. 第3步：计算球的体积 35 解法3 坐标法 第1步：建系 以圆锥底面圆心为原点，高方向为轴。轴截面内，圆锥母线是过点和的直线。 母线方程：. 第2步：设内切圆圆心 内切球在轴截面中为内切圆，圆心在轴上，设. 36 第3步：利用点到直线距离公式 圆心到母线（直线）的距离等于半径 R： 第4步：求球体积 . 37 试题亮点：（1）体现“空间问题平面化”的核心思想。（2）将立体几何与平面几何知识自然融合。（3）解法具有开放性，可以使用截面法、等面积法、等体积法等多种方法解决。 教学启示：教学中应重视数学思想方法的培养。对于球类问题：关键不是记忆公式，而是建立：立体图形 → 截面图形 → 平面几何关系的思维路径。 命题点评 二、典型试题解析与模型归纳 例4（2025·全国一卷·17题）如图,在四棱锥中，，， (1)证明：； (2)设，，，且的球面上（i）证明：点在内； 分析 该题是近年来球类问题命题方向变化的重要体现。试题不再停留于：“求球半径”而是要求学生说明：“为什么球心位于某一位置”。体现高考对逻辑推理能力的重视。 39 解法1 坐标法 第1步：建系 以为原点，为轴，为轴,为轴: . 40 第2步：设球心坐标列方程 设球心,由: , , , , 由=, 得.由得, 由:代入和 可得.于是，表示球心在平面上。 41 解法2 柱锥台模型 第1步：先找底面三角形的外心 球心在外心且垂直于平面的直线上。 设的中点为，过作交于。 在直角梯形ABCD中： . 42 第2步：证明到点距离也相等 因为所以： . 于是, 所以到四点的距离相等。 43 解法3 截面法 第1步：确定球心的“活动范围” 球心到距离相等 所以在外心且垂直于平面的直线上。 44 第2步：用截面确定球心具体位置 取过直线（的垂线）和点的截面。 在这个截面中，在上，设. 由其中 代入得 球心在平面上。 45 综合考查 知识 体现 垂直关系 证明 三角形外心 确定球心 空间坐标 建立模型 距离关系 证明等距 试题亮点：（1）实现由“计算型问题”向“证明型问题”的转变。（2）将立体几何中的位置关系与解析几何方法结合。（3）突出过程性评价，考查学生完整表达数学推理过程的能力。 教学启示：未来立体几何教学应加强：球心定位方法；几何关系证明；推理过程表达。学生不仅要知道结论，更要理解：结论为什么成立。 命题点评 三、模型的对比与共性分析 模型 核心思想 适用场景 优势 局限 柱锥台模型 补形转化 可归入圆柱、圆锥、圆台的几何体 直观简洁 依赖模型识别能力 截面法 空间降维 具有对称性的几何体 图形直观，可结合平面几何知识 需要较强的空间想象能力 坐标法 代数转化 能建立坐标系的任意几何体 通用性强，思路统一 计算量较大 截面法是解决同类几何问题的“金钥匙”，掌握后可实现几何题目的“一通百通”。 坐标法具有极强的普适性，无需复杂的空间想象，是考试中解决复杂几何体的稳妥选择。 48 02 建立模型意识 不要死记公式。 形成：看结构→找模型→选方法→求结果 四、复习与备考建议 01 强化球心定位训练 精准定位是解决外接球问题的核心前提。遇到外接球问题时，先引导学生回答三个问题：几何体是否有对称轴？球心是否在对称轴上？若不在，如何用方程确定？对长方体、直棱柱、正棱锥、正棱台等常见几何体的外接球球心定位规律要做到心中有数。 49 四、复习与备考建议 03 规范建系书写流程 严格遵循“建系→标坐标→列方程→求解”的步骤，保持逻辑链条完整清晰，从书写规范上规避计算失误与步骤遗漏，确保过程分不失分。 04 回归教材，以本为本 深挖教材例题与习题的本源逻辑，厘清公式定理的推导过程，筑牢知识根基，拒绝脱离基础的盲目题海战术，方能举一反三。 50 总结：球类问题的三把钥匙 第一把 第二把 第三把 识别模型 确定球心 选择方法 高考立体几何命题正在从： 公式应用→数学建模与逻辑推理 教师教学也应从： 教结论→教思维 谢谢倾听，请批评指正! $