【课件】“北京卷 第20题 ”（北部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

此处放视频头像 不放文字 所讲题目：宏观识势，微观析点：图像分析破解导数综合问题 ——以2026年北京卷第20题为例 姓名：于海龙 曹丽莎 所在单位：北京市怀柔区第一中学 此处放视频头像 不放文字 摘要： 北京高考导数解答题问题情境新，题目灵活多变，对学生的分析问题与解决问题有较高的要求.我对2026年北京高考导数问题的解法进行了汇总整理，对函数图像的整体与局部特征进行分析，充分利用函数图像的整体趋势、单调性、关键点等信息，明确解决问题的路径，并用导数、零点存在定理等工具完成解答. 通过对此题的分析为函数与导数知识的学习与复习提供参考依据. 此处放视频头像 不放文字 一、试题呈现 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅰ）求m，n的值； （Ⅱ）求 的极值点个数； （Ⅲ）求 与 的交点个数. 此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅰ）求m，n的值； 分析：本小题是给出函数解析式及切线方程求参数问题，解决此类问题的核心为切点. 通过在切点处两个函数的函数值相等及函数在切点处的导数等于切线的斜率两个条件构造方程组，进而求参数 的值. 此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅰ）求m，n的值； 解： 由 得 ， 又因为曲线 在点 处的切线方程为 即 ， 此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅰ）求m，n的值； 关键：在切点处两个函数的函数值相等； 在切点处的导数值等于切线的斜率. 所以 可得 ① 由 可得 ② 所以①②联立得 ,解得 ， . 此处放视频头像 不放文字 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅱ）求 的极值点个数； 分析：研究函数极值点的个数本质上是求导函数的变号零点的个数， 属于函数零点问题.连续函数的零点个数的确定则需要应用 函数的单调性与零点存在定理解决问题. 二、解法分析与详解 此处放视频头像 不放文字 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅱ）求 的极值点个数； 二、解法分析与详解 分析导函数图像： 猜想：零点个数 目标：说理（数学语言描述）  此处放视频头像 不放文字 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅱ）求 的极值点个数； 二、解法分析与详解 解： 由（Ⅰ）得 ，所以 ， 令 ， ， 在R上单调递减. 令 ， ， 则 与 随着x的变化情况如下表所示： 此处放视频头像 不放文字 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅱ）求 的极值点个数； 二、解法分析与详解 x + 0 - ↗ ↘ 因为 ， ， ， 所以存在唯一零点 ，使得 , 此处放视频头像 不放文字 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅱ）求 的极值点个数； 二、解法分析与详解 则 与 随着x的变化情况如下表所示： x 1 - 0 + 0 - ↘ ↗ ↘ 所以 有两个极值点，其中 为极小值点，1为极大值点. 此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅲ）求 与 的交点个数. 分析：对于求两个函数图像的交点个数问题，常见解决的方法有三种： 通过构建方程组求出解的个数、构造函数研究函数零点的个数 及通过数形结合直接观察交点个数. 此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 思维导图   与 交点的个数 等价转化为 “ 解的个数” 思路1（直接构造函数） 分析函数的零点   应用导数研究新函数的单调性，利用零点存在定理或特殊点的函数值确定零点或交点个数 思路3（分析性质缩小研究范围） 直接分析 与 交点 解法1（常规法） 分析函数 的单调性， 应用零点存在定理. 得到结论 思路2（等价转化常量分离） 转化为 与 的交点 解法3（数形结合，局部分析） 依据 与 图像特征缩小研究范围，只需研究在 上是否存在交点，进一步构造函数 ，并分析零点. 解法2（数形结合） 分析函数 的单调性与极值， 应用零点存在定理.   此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅲ）求 与 的交点个数. 思路一（构造函数，交点问题转为求函数零点问题） 令 ， 即 ， 分析：  猜想：零点个数 目标：说理（单调性与零点存在定理） 此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅲ）求 与 的交点个数. 解法一（构造函数，交点问题转为求函数零点问题） 令 ，则 . 由（Ⅱ）知， 在 上单调递增， 在 上单调递减， 且有 解： 二、解法分析与详解 解法一（构造函数，交点问题转为求函数零点问题） 又因为 ， ， 所以由零点存在定理知存在唯一零点 ， 使得 ， 此时 与 只有一个交点. 此处放视频头像 不放文字 【目标：判断 零点的个数】 ①当 时， 在R上恒成立， 在R上单调递减. 二、解法分析与详解 解法一（构造函数，交点问题转为求函数零点问题） 此处放视频头像 不放文字 ②当 时，由 在 上单调递增，在 上单调递减，且有 ， ， ，所以存在 ， ，使得 ，则 与 随着x的变化情况如下表所示： 【目标：判断 零点的个数】 x m n - 0 + 0 - ↘ ↗ ↘ 二、解法分析与详解 解法一（构造函数，交点问题转为求函数零点问题） 此处放视频头像 不放文字 所以 ,因为 ，即 ， 化简得 ，代入上式有 ， 其中 ， ，所以 . 当 时， 恒成立， 即 在 上无零点； 【目标：判断 零点的个数】 二、解法分析与详解 解法一（构造函数，交点问题转为求函数零点问题） 此处放视频头像 不放文字 【目标：判断 零点的个数】 又 ， 且 在 上单调递减， 所以存在 ，使得 ， 即 在 上有唯一零点. 综上， 与 只有一个交点. 此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅲ）求 与 的交点个数. 思路二 （常量分离，转为研究求函数值分布问题） 转化：原题等价方程 解的个数问题. 即方程 解的个数. 分析函数： ， 目标：函数图像特征（分析单调区间、变化趋势、极值） 解：  此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅲ）求 与 的交点个数. 解法二 （常量分离，转为研究求函数值分布问题） 原题等价转化为方程 解的个数问题. 因为 不满足方程，所以等价于方程 解的个数. 令 ,则 ， 解：  此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 解法二 （常量分离，转为研究求函数值分布问题） 因为 ，所以 恒成立， 所以令 ，得 , 则 与 随着x的变化情况如下表所示： 令 ，解得 ， 所以当 时 ， 在 上单调递增； 当 时 ， 在 上单调递减. 令 ，则 ， 在R上单调递减. 此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 解法二 （常量分离，转为研究求函数值分布问题） x 1 + + 0 - ↗ ↗ ↘ 所以当 时， ； 当 时， ，且有 ， 当 时， ，所以 ，即 ， 因为 ，所以 与 只在 上有且仅有一个交点， 综上， 与 只有一个交点. 此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅲ）求 与 的交点个数. 思路三（数形结合，缩小研究范围简化运算） 分析函数特征： 与 目标：直观感知缩小研究范围 此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅲ）求 与 的交点个数. 解法三（数形结合，缩小研究范围简化运算） 根据（Ⅱ）中导函数的性质，可知 在 上单调递减， 在 上单调递增，在 上单调递减，其中 . 所以当 时， ， 又因为函数 恒过 ,且当 时， . 所以当 时， 与 无交点. 解：  此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 解法三（数形结合，缩小研究范围简化运算） 当 时，令 ，即 ， 则 . 由（Ⅱ）知， 在 上单调递增， 且有 ， . 此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 解法三（数形结合，缩小研究范围简化运算） 所以当 时， 即 时， 在 上单调递减， 且有 ， ， 即 在 上有且只有一个零点, 所以 与 只有一个交点. 此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 解法三（数形结合，缩小研究范围简化运算） 当 时， 即 时，则存在 ，使得 ，则有 在 上单调递减，在 上单调递增. 因为 ， ，所以 . 所以 在 上有且只有一个零点，在 上无零点. 即 在 上有且只有一个零点， 所以 与 只有一个交点. 综上： 与 只有一个交点. 此处放视频头像 不放文字 二、解法分析与详解 题目（2026年北京卷高考第20题）设函数 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅲ）求 与 的交点个数. 思路三（数形结合，缩小研究范围简化运算） 总结：在 上的分析过程中，所用方法与方法一局部相同， 优势在于回避了方法一中的难点（论证极大值小于零） 此处放视频头像 不放文字 三、试题研究 （一）试题溯源 溯源1 （人教B版 113页 复习C组 3题）【对标第一问】 设函数 ，曲线 在 处的切线方程为 . （1）求实数a，b的值； （2）求 的单调区间. 此处放视频头像 不放文字 三、试题研究 （一）试题溯源 溯源2 （人教B版 102页 习题B组6题）【对标第三问】 已知函数 与 的图像只有一个公共点，求k的取值范围. 此处放视频头像 不放文字 三、试题研究 （一）试题溯源 溯源3 （2023北京高考20题）【高考题重现】 设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 . （1）求实数a，b的值； （2）设函数 ，求 的单调区间； （3）求 的极值点个数. 此处放视频头像 不放文字 三、试题研究 （二）试题推广 变式1 已知函数 ，求 与 的公共点个数. 分析 变式1是在第三问基础上的拓展，去掉了 的限制，充分 利用第三问的数形结合即可得到结论，提高学生通过图像分 析问题解决问题的能力. 此处放视频头像 不放文字 三、试题研究 （二）试题推广 变式1 已知函数 ，求 与 的公共点个数. 结论 由于 过定点 ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，且有极大值 . 依据函数变化趋势及原题第三问可得结论： 当 时，公共点个数为1个； 当 时，公共点个数为2个； 当 时，公共点个数为3个. 此处放视频头像 不放文字 三、试题研究 （二）试题推广 变式2 已知函数 ，若 与 总有公共点，求实数a的取值范围. 分析 变式2是在原题第三问基础上的深度变化，引入参数a， 使得本题转化为双参数问题，可以通过常量分离解决问题. 此处放视频头像 不放文字 三、试题研究 （二）试题推广 变式2 已知函数 ，若 与 总有公共点，求实数a的取值范围. 解：原式等价于方程 恒有解， 通过参数分离转化为方程 恒有解， 设函数 ， 只需要讨论函数 的值域即可.  此处放视频头像 不放文字 三、试题研究 （二）试题推广 变式2 已知函数 ，若 与 总有公共点，求实数a的取值范围. 因为 ，所以 当 时， 恒成立， 且 时指数衰减， ； 时， . 所以 的值域为 ，此时a的取值范围是 . 此处放视频头像 不放文字 三、试题研究 （二）试题推广 变式2 已知函数 ，若 与 总有公共点，求实数a的取值范围. 当 时， 恒成立，即 恒成立， 且当 时取等，又因为 时， ， 所以 的值域为 ，此时a的取值范围为 . 此处放视频头像 不放文字 三、试题研究 （二）试题推广 变式2 已知函数 ，若 与 总有公共点，求实数a的取值范围. 当 时，依据函数性质得 时指数衰减， ； 且 时， . ,令 ， 得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减. 此处放视频头像 不放文字 三、试题研究 （二）试题推广 变式2 已知函数 ，若 与 总有公共点，求实数a的取值范围. 又因为极小值 ， 所以 的值域为 ，此时a的取值范围为 . 综上，若满足对任意 ， 与 总有公共点， 则实数a的取值范围是 . 此处放视频头像 不放文字 总结： 对于函数的分析包含以下三个内容：趋势、关键点、单调性. 趋势指的是函数在自变量趋于无穷或定义域的边界时函数值是否具有有界性，从整个定义域范围内宏观认识函数，关键点指的是函数的零点、极值点、以及题目需要的一些特殊点的函数值，单调性则是描述了函数变化规律，函数的关键点与单调性重点是从局部上分析函数特征，综合以上三点对函数进行分析，便可以找到解题切入点，让解题思路更有针对性. 总体来说，解决导数综合问题就是分析图像特征，并用数学语言描述图像的过程. 谢谢倾听，请批评指正! $