【课件】“北京卷 第19题 ”（北部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

所讲题目：从通法到优法，一道解析几何题的多解之路 ——以2026年北京高考数学19题为例 姓名：席段段 陈星 张成凯 所在单位：北京汇文中学 1.试题呈现与思维导图 2.解题思路与解答过程 3.试题变式 4.结束语 1.试题呈现与思维导图 已知椭圆：的一个顶点是，离心率为． (1)求的方程； (2)过点，斜率为的直线交椭圆于两点，关于的对称点为，交于，若，求． 分析:(1)考查了椭圆基本几何量以及椭圆标准方程等基本知识. 解:的方程为. 1.试题呈现与思维导图 已知椭圆：的一个顶点是，离心率为． (1)求的方程； (2)过点，斜率为的直线交椭圆于两点，关于的对称点为，交于，若，求． 面积问题 作图： 1.试题呈现与思维导图 分析：第二问以三角形面积为背景，针对其面积计算，高中数学常用公式如下：、、割补法.基于对题干中两个三角形位置关系的分析，可知这三种方法均具备可行性. 割补法 通法：求点 等高 同底 直线的斜率 向量的数量积 直线的标准方程 直线的一般参数方程 割补法 参数方程 几何转化 优法：不求点 1.试题呈现与思维导图 我们将对比分析各种方法在本题中的适用条件与计算路径，进而体悟北京高考“多思少算”的命题精髓. 2.解题思路与解答过程 2.1通法--面积公式：. 法1：(同高)若分别以为底边，则同高. 所以的面积可表示为： . 2.解题思路与解答过程 2.1通法--面积公式： 法2：(同底)因为有公共边， 所以的面积可表示为： 2.解题思路与解答过程 2.1通法--面积公式： 同高, 同底， 点、分别到直线的距离. 点Q到直线的距离. 数形结合，优化计算 2.解题思路与解答过程 2.1通法--面积公式： 解答过程 由题意可得直线： ， 联立 消去，整理得：. 合理设元消元，优化计算过程 联立 因为点在椭圆内部，故恒成立. 联立整理得. 由韦达定理得：.所以点). 设.有，. 因为点关于直线对称的点为，所以点. 所以直线：. 法1：同高（） 记点到直线的距离， 则. 灵活运用弦长公式，优化计算过程 又因为， 所以 . 又因为， 所以. 所以 . 解得：. 法2：同底( 记点到直线的距离为，点到直线的距离为. 其中. 又因为， 所以 . 法2：同底( 同理可得 . 故. 计算同法1，略. 2.解题思路与解答过程 2.1通法--面积公式： 因为中的内角与的内角互补， 所以的面积可表示为： 用直线的斜率刻画角 法3 数形结合，优化计算 法3：用直线的斜率刻画角 因为，（为直线的倾斜角，即） 所以.所以. 所以 . 计算同法1，略. 2.解题思路与解答过程 2.1通法--面积公式： 用向量的夹角刻画 法4 数形结合，优化计算 将向量以点为旋转中心顺时针旋转得到向量则 = 法4：用向量的夹角刻画 将向量以点为旋转中心顺时针旋转得到向量, 所以=. 又因为=,所以. 又因为, 所以 . 计算同法1，略. 教材索引：人教B版必修三拓展阅读 《向量的数量积与三角形的面积》 2.解题思路与解答过程 2.1通法--割补法 将点)关于点作中心对称，得到点，则， 所以. 法5： 法5：割补法 将点)关于点作中心对称，得到点，则， 所以. 记点到直线的距离，则. . 计算同法1，略. 2.解题思路与解答过程 2.1通法--割补法 法6：铅垂线法 思考：从的哪个顶点作铅垂线求会比较简单？ 数形结合，优化计算 法6：铅垂线法 将点关于点作中心对称，得到点). 由于直线已知，所以过点作轴的垂线，并交直线于点, 所以 . 计算同法1，略. 小结：法1--法6均需要求出点的坐标. 2.2优法--几何转化为的面积 因为点关于的对称点为，所以， 所以. 法7： 法7：，其中是点到直线的距离. 因为点关于的对称点为，所以. 所以.记是点到直线的距离. 所以 . 计算同法1，略. 2.2优法--几何转化为的面积 因为点关于的对称点为，所以， 所以. 法7： 思考：若以为底边求直线的方程是什么？ 2.2优法--几何转化为的面积 法8： 直线 点、点的坐标 解释1：（反函数）直线AD的方程是. 解释2：（角的终边的对称关系）直线AD的倾斜角α和直线AB的倾斜角β满足=，即， 所以直线AD的方程是. 多思少算 法8：因为直线的方程是，记是点到直线的距离. 所以 . 计算同法7，略. 2.2优法--几何转化为的面积 法9：. 用直线斜率或者向量刻画； 几何分析： 数形结合，优化计算 法9：. 因为 所以当时，； 当时，. 所以. 法9：. 所以 . 计算同法7，略. 2.2优法--几何转化为的面积 法10：铅垂线法 思考：从的哪个顶点作铅垂线求会比较简单？ 数形结合，优化计算 法10：铅垂线法 过点作轴的垂线，并交直线于点, 所以 . 计算同法7，略. 2.2优法--参数方程 思考：本题题干中有两个“源”动点（点），是设椭圆的参数 方程还是设直线的参数方程？ 合理设元，优化计算 的参数方程 直线的标准参数方程 直线的一般参数方程 . 法11：直线的标准参数方程 设直线的倾斜角为， 设点 即点 且满足： 所以是方程的两解. 即是方程的两解. 即满足. 因为 当时，； 当时，. 所以. 2.2优法--参数方程 合理选择面积公式，优化计算过程. 的参数方程 直线的标准参数方程 直线的一般参数方程 . 所以 . 计算同法1，略. 法12：直线的一般参数方程 因为直线：， 设点 且满足： 且是方程的两解. 即是方程的两解. 即满足. 记是点到直线的距离. 所以 计算同法1，略. 2.2优法--参数方程 合理选择面积公式，优化计算过程. 的参数方程 直线的标准参数方程 直线的一般参数方程 . 小结：步步为营，多思少算. 3.试题变式 变式1：已知椭圆：,过点，斜率为的直线交椭圆于两点，若，求． 3.试题变式 法1：直接法 因为， 所以(灵活应用弦长公式). 所以(或者几何转化：利用三角形相似). 又， 所以，即，即， 所以. 3.试题变式 法2：几何转化 因为. 又因为三点共线， 所以点是点的中点，即，即， 所以. 数形结合，优化计算 变式2：已知椭圆：,过点，斜率为的直线交椭圆于两点，关于的对称点为，交于，是否存在，满足，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 此处放视频头像 不放文字 3.试题变式 注：时，直线,不存在点. 解：因为点关于的对称点为，所以， 所以. 所以三点共线. 又因为三点共线， 所以四点共线. 因为关于的对称点为， 所以,所以 与题目条件矛盾.所以不存在满足. 3.试题变式 变式3：已知椭圆：，过点，斜率为的直线交椭圆于两点，关于的对称点为，交于，若 ，求． 此处放视频头像 不放文字 解：由题意可得， 联立 消去， 整理得：. 满足，则. 设， 有，. 由关于直线对称的点为，则，且 ， 所以， 所以. 又因为三点共线，所以点是点的中点， 所以，整理得， 令， 所以，且 所以. 即， 整理得 ，解得 . 4.结束语 多思少算，优化策略 （1）几何特征优先，以形助数； 优法中利用几何转化转化为的面积，不需要求点的坐标,从而简化了计算.北京卷中的解析几何重点考查解析几何的本质特点，要求学生把灵活的几何问题转化为代数问题来计算.因此在平时的学习过程中要有意识得积累常见的几何转化策略. （2）合理设元消元，简化计算； 4.结束语 多思少算，优化策略 （3）巧用弦长公式、韦达定理. 理解弦长公式的本质--它就是直线上两点的距离.把握住了这一点，我们在具体情境中就可以灵活应用弦长公式，从而简化运算.在解析几何中，韦达定理常用于对冗长运算进行整体代换，以简化计算过程.即便在变式2中出现了非对称结构，我们仍可通过分析代数式的特征并进行适当构造，进而借助韦达定理较为简洁地解决问题. 谢谢倾听，请批评指正! $