7.2认识证明（分层作业，10大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 7.2 认识证明 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 命题的判断 题型02 命题真假的判断 题型03 命题的题设与结论 题型04 举反例 题型05 定理与证明 题型06 写出命题的已知、求证及证明过程 题型07 以代数为背景的推理与论证 题型08 以几何为背景的推理与论证 B组 能力进阶 题型 综合问题证明 C组 思维拔高 题型 与命题有关的开放题 命题的判断题型01 1．下列语句是命题 (       ) . A．将27开立方 B．任意三角形的三条中线相交于一点吗? C．锐角小于直角 D．作一条直线和已知直线垂直 【答案】C 【分析】判断一件事情的语句叫做命题，由此即可判断. 【详解】A. 将27开立方,没有做出判断，不是命题； B. 任意三角形的三条中线相交于一点吗? 没有做出判断，不是命题； C. 锐角小于直角，将锐角和直角比较，作出了大小判断，故是命题； D. 做一条直线和已知直线垂直，没有做出判断，不是命题； 故选C. 【点睛】本题考查命题的概念，判断一件事情的语句叫做命题，牢记概念是解题的关键. 2．下列语句属于命题的是（   ） A．你今天打卡了吗？ B．请戴好口罩！ C．画出两条相等的线段 D．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 【答案】D 【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、是疑问句，没有对事件做出判断，不属于命题，不符合题意； B、是祈使句，没有对事件做出判断，不属于命题，不符合题意； C、是操作要求，没有对事件做出判断，不属于命题，不符合题意； D、对二元一次方程的概念做出了明确判断，符合命题的定义，属于命题，符合题意． 3．下列属于定义的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．同角或等角的余角相等 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义的概念，掌握定义是对名称或术语的含义进行描述，据此判断选项是解题的关键． 根据定义的概念，判断每个选项是否是对某个名称或术语的含义进行描述． 【详解】解：A、“直角三角形的两个锐角互余”，是直角三角形的性质，不是定义，不符合题意； B、“同角或等角的余角相等”，是余角的性质，不是定义，不符合题意； C、“点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度”，是对点到直线的距离这个术语的含义进行描述，属于定义，符合题意； D、“两直线平行，内错角相等”，是平行线的性质，不是定义，不符合题意． 故选：C． 4．有下列命题：①真命题都是定理；②定理都是真命题；③假命题不是命题；④公理都是命题．其中真命题有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】A 【分析】明确命题、真命题、公理、定理的包含关系，逐一判断各命题的真假． 【详解】解：∵ 真命题包含公理与定理，公理不属于定理， ∴ 真命题不都是定理，①是假命题； ∵ 定理是经推理证实的真命题， ∴ 定理都是真命题，②是真命题； ∵ 命题分为真命题和假命题， ∴ 假命题也是命题，③是假命题； ∵ 公理是判断一件事情的语句，属于命题， ∴ 公理都是命题，④是真命题． 综上，真命题共有个． 5．下列句子是命题吗？若是，指出它的条件与结论，并判断它是否为真命题． （1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？ （2）垂线段最短，对吗？ （3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点． （4）同旁内角互补． 【答案】（1）（2）不是命题，其余2个都是命题；（3）的条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，真命题；（4）的条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，假命题 【分析】此题考查了命题的定义和真假命题，根据命题的定义和真假命题的定义进行判断，并写出命题的题设和结论． 【详解】解：（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？不是命题； （2）垂线段最短，对吗？不是命题； （3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．是命题，条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，真命题 （4）同旁内角互补．是命题，条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，假命题； 命题真假的判断题型02 1．下列命题是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．若两个角互补，则这两个角的和为 C．相等的角是对顶角 D．两个锐角的和是锐角 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断命题的真假．根据平行线的性质，补角的性质，对顶角，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，原说法是假命题，故本选项不符合题意； B、若两个角互补，则这两个角的和为，是真命题，故本选项不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，原说法是假命题，故本选项不符合题意； D、两个锐角的和不一定是锐角，原说法是假命题，故本选项不符合题意； 故选：B 2．原命题为:“若a > 0,b> 0,则a+b>0" ,逆命题为:“若a +b >0,则a >0，b>0".下列判定正确的是（    ） A．原命题为真命题，逆命题为假命题 B．原命题与逆命题均为真命题 C．原命题为假命题,逆命题为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题 【答案】A 【分析】根据有理数的加法法则判断即可． 【详解】解：原命题为：“若a＞0，b＞0，则a+b＞0”，是真命题， 逆命题为：“若a+b＞0，则a＞0，b＞0”，是假命题， 故选：A． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 3．（24-25七年级下·江苏 苏州·期末）下面四组的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题考查了举例说明命题是假命题，正确理解命题的定义及正确运算是解题的关键．将各选项中的值代入计算即可． 【详解】解：A、，，此时，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； B、，，此时，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； C、，，此时，，能说明命题“若，则”是假命题，符合题意； D、，，此时，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； 故选：C． 4．判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例． （1）若|a|＝|b|，则a＝b； （2）两个锐角之和一定是钝角； （3）实数与数轴上的点一一对应． 【答案】 解：（1）假命题．反例：如|2|＝|－2|，但2≠－2． （2）假命题．反例：如两个锐角分别为20°，30°，它们的和是50°，是锐角． （3）真命题． 【分析】利用绝对值的意义，锐角的概念，实数的性质等知识分别判断即可． 【详解】略 【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握绝对值的意义，锐角的概念，实数的性质是解题关键． 5．（1） 当 3时，分别求出代数式 与 的值； （2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例． 命题1．对任何正整数n， 的值都是自然数； 命题 2．对任何正整数n， 的值都是自然数． 【答案】 （1）当时，，； 当时，，； 当时，，； （2）命题1是假命题，命题2是真命题，证明如下： ∵， ∴当时，，此时不是自然数，故命题1是假命题； ∵， ∴当n为自然数时，为大于等于1的整数，即此时也为自然数，故命题2是真命题． 【分析】本题主要考查了代数式求值，证明命题的真假： （1）直接代值计算即可； （2）利用完全平方公式得到，，再根据的非负数求解即可． 【详解】解：略． 命题的题设与结论题型03 1．把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题即可． 【详解】解：命题“同角的补角相等”的题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等， ∴把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等， 故选：D 2．下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 【答案】C 【分析】根据对顶角的概念，平行线的判定，等边三角形的定义，绝对值的定义判断各项，即可得出结论． 【详解】解：A．“相等的角是对顶角”是假命题，正确，故A选项不符合题意； B．“两直线平行，同位角相等”是真命题，正确，故B选项不符合题意； C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“三角形的三个内角都相等”，错误，故C选项符合题意； D．，，故“若，则”是假命题的反例可以是正确，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，命题的条件，用反例法证明命题的真假，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．将“相等的角是对顶角”写成如果……那么……的形式：______________________________，它是一个____命题（填真或假）． 【答案】 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 假 【分析】把条件与结论区分即可写成如果……那么……的形式，再根据命题的真假判断即可； 【详解】将“相等的角是对顶角”写成如果……那么……的形式：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； 这是一个假命题； 故答案是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；假． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，准确判断分析是解题的关键． 4．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，写出条件和结论，并判断真假． (1)偶数是4的倍数． (2)末位数字是5的整数能被5整除． (3)两负数之积为正数． 【答案】(1)如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．条件是一个数是偶数，结论是这个数是4的倍数．是假命题． (2)如果一个整数的末位数字是，那么这个数能被整除，条件是一个整数的末位数字是，结论是这个数能被5整除，结论是这个数能被5整除．是真命题． (3)如果两个数是负数，那么它们的积是正数．条件是两个数是负数，结论是它们的积是正数．是真命题． 【分析】（1）（2）（3）分清每个命题的题设与结论，然后把题设写在如果后面，把结论写在那么后面，然后判断真假即可． 【详解】（1）解：如果一个数是偶数，那么这个数是的倍数． 条件是一个数是偶数，结论是这个数是的倍数．是假命题． （2）解：如果一个整数的末位数字是，那么这个数能被整除，条件是一个整数的末位数字是5，结论是这个数能被整除． 条件是一个数是末位数字为的整数，结论是这个数能被整除．是真命题． （3）解：如果两个数是负数，那么它们的积是正数． 条件是两个数是负数，结论是它们的积是正数．是真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理，真命题与假命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5．（25-26七年级下·河北承德·月考）命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 【答案】(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等 (2)是假命题，反例：，但 【分析】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论； （2）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可． 【详解】（1）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； 命题的条件是：两个数的绝对值相等； 结论：这两个数也相等． （2）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题， 反例：，但． 举反例题型04 1．（24-25七年级下·江苏南通·期中）对于命题“如果，那么”，下列能说明该命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．将四个中的值代入验证即可． 【详解】解：A、，，则此时不但不满足，也不满足不成立，故不符合题意； B、，，则，且，满足“”和“”，故不能说明命题为假命题，故不符合题意； C、，，则，且，此时不满足，满足成立，故不能说明命题为假命题，故不符合题意； D、，，则，且，此时满足，但不能满足，即意味着命题“如果，那么”不能成立，故符合题意． 故选：D． 2．对于命题“如果，那么和中必定有一个是钝角”，能说明它是假命题的是 （    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据角的大小关系，锐角、钝角的概念即可求解． 【详解】解：．，不符合题意； ．，不能证明题设为假，不符合题意； ．，且和都不是钝角，能证明题设是假命题，符合题意； ．，不能证明题设为假，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，以及钝角的概念，掌握命题真假的判定，以及锐角、钝角的概率是解题的关键． 3．（25-26七年级下·河南长垣·期中）小聪认为命题“两个无理数的积一定是无理数”不正确，请你帮他举一个反例：_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明命题“两个无理数的积一定是无理数”不正确，只需找到两个乘积为有理数的无理数，即可作为反例． 【详解】解：无理数是无限不循环小数，取和，二者均为无理数， ，是有理数， 这两个无理数的乘积是有理数，可作为原命题的反例． 4．举反例说明下列命题是假命题． (1)任何偶数都是4的整数倍； (2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数； (3)有公共顶点且相等的角是对顶角． 【答案】(1)2是偶数，但2不是4的整数倍（答案不唯一） (2)是有理数，但不是正数（答案不唯一） (3)角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角．（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题，证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．据此判断即可． 【详解】（1）解：偶数，，不是整数，所以不是的整数倍，说明“任何偶数都是的整数倍”是假命题． 所以反例为：2是偶数，但2不是4的整数倍； （2）解：当时，，是负数，不是正数，说明“对于任意有理数，代数式的值总是正数”是假命题． 所以反例为：是有理数，但不是正数； （3）解：在角平分线分成的两个角，它们有公共顶点且相等，但不是对顶角，说明“有公共顶点且相等的角是对顶角”是假命题． 所以反例为：角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角． 5．（2026·江苏南通·二模）请从下面两个命题中选取一个命题，判断该命题是真命题还是假命题，若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例． (1)任意两个连续偶数的平方差都是8的倍数； (2)如果四边形的两条对角线互相垂直，那么该四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半． 【答案】(1)是假命题，，不是8的倍数 (2)是真命题，如图，在四边形中，，交点为，求证：． 证明： ． 【分析】（1）举“，不是8的倍数”作为反例，即可得出这个命题是假命题； （2）该命题是真命题，先根据命题的文字描述，写出已知条件和要求证的结论，将四边形的面积分为两个三角形的面积来分别计算，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 定理与证明题型05 1．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】根据定理是真命题进行判定． 本题考查了定理的理解，定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述． 【详解】解：A. 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，叙述语句是假命题，不是定理，不符合题意； C. 作射线，不是命题，不是定理，不符合题意； D. 同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 2．下列说法中，正确的是（  ） A．每一个命题都有逆命题 B．假命题的逆命题一定是假命题 C．每一个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 【答案】A 【详解】试题解析：A. 每一个命题都有逆命题，正确； B. 假命题的逆命题不一定是假命题，故错误； C. 定理的逆命题不一定正确，故错误； D. 所有的命题都有逆命题，故错误. 故选A. 3．下列命题不是公理（基本事实）的是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】明确初中阶段基本事实（公理）无需证明，回忆常见基本事实，区分公理与可推导的定理. 【详解】解：A、“两点确定一条直线”为初中数学规定的基本事实（公理），不符合题意； B、“两点之间线段最短”为初中数学规定的基本事实（公理），不符合题意； C、“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”可由基本事实推导得出，属于定理，不是公理，符合题意； D、“三边分别相等的两个三角形全等”为初中数学规定的基本事实（公理），不符合题意． 4．下列说法错误的是（    ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果一个命题是从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实的，并被选作判断命题真假的依据，那么这样得到的真命题就是定理 【答案】C 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题与定理的定义与意义，属于基础性知识，比较简单． 根据命题与定理的定义与意义分别判断即可． 【详解】解：A、命题不一定是定理，但定理一定是命题，选项说法正确，不符合题意； B、定理不可能是假命题，选项说法正确，不符合题意； C、真命题不一定是定理，故原命题错误，符合题意； D、从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实得到的真命题就是定理，该说法正确，不符合题意． 故选：C． 5．“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应． 【答案】A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个． 【详解】试题分析：根据命题包括真命题、假命题，真命题包括定义、定理、基本事实等作答． 试题解析：解：命题包括真命题、假命题．真命题包括定义、定理、基本事实等．故A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个． 写出命题的已知、求证及证明过程题型06 1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 2．把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题． 【答案】 如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直． 题设：两条射线分别是邻补角的角平分线； 结论：它们互相垂直．是真命题； 如图，，是邻补角，，分别平分，． 【详解】略． 3．证明：等角的补角相等． 【答案】 已知：，，． 求证：． 证明：，（已知）， （等量代换）， （等式的性质）． （已知）， （等式的性质）， （等量代换）． 【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证． 【详解】略 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【答案】 已知：如图，直线与相交于点， 求证：． 证明：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可． 【详解】略 5．求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 【答案】 已知：是两个连续的自然数． 求证：是偶数． 证明：当n是奇数时，就是偶数，所以是偶数． 当n是偶数时，是偶数． 综上所述，是偶数． 即两个连续自然数的积是偶数． 【分析】本题考查了命题中的证明举例，熟练掌握知识点是解题的关键． 先写出已知，求证，再证明即可． 【详解】略 以代数为背景的推理与论证题型07 1．当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握奇数与偶数的积为偶数．分n是偶数与奇数两种情况分析，同时结合奇数与偶数的积的特征即得结果． 【详解】当n是偶数时，是奇数，而偶数×奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 当n是奇数时，是偶数，而奇数×偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 故选A． 2．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】2401 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可． 【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确， 即密码中没有9、5、8、3四个数字； 由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确； 由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位； 若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位． 则数字0在第三位， 即正确的密码是2401， 故答案为：2401． 3．命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确吗？试着用你学过的知识说明理由. 【答案】 正确，理由如下： . 故命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确. 【分析】运用完全平方公式计算，根据计算结果判断题意中的说法是否正确． 【详解】略． 【点睛】本题考查了命题真假的判断和完全平方公式，通过完全平方公式对所给式子进行化简计算是判断命题真假的前提． 4．现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． (1)若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【答案】(1)证明：因为，，， 即A、A、B、B、B、B、B、C、C、C， ①擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、B、B、B、C、C、C、C、C， ②再擦去A、B，写上C、C， 即为B、B、B、C、C、C、C、C、C、C， ③再擦去B、C，写上A、A， A、A、B、B、C、C、C、C、C、C， ④再擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、C、C、C、C、C、C、C、C， ⑤再擦去A、B，写上C、C， 即为C、C、C、C、C、C、C、C、C、C， 故可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． (2)证明：因为，， 故x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况， 因此x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同， 假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同， 进一步假设，先连续擦去y次A、B，写上C、C， 得到个A，0个B，个C， 若，则此时全是C，即可证明， 若，因为x，y除以3余数相同，故是3的倍数，假设， 此时把其中3个A，0个B，m个C看作一个小组（m按照A的个数等比例取）， 然后擦去A、C，写上2个B，即为2个A，2个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为1个A，1个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为0个A，0个B，个C， 重复上述操作k次，就把个A全部消除，最后得到2026个C， 所以当时，可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【分析】（1）通过分步实际操作即可验证； （2）由，可得x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况，则x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同，假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同，即可验证． 【详解】（1）略 （2）略 5．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【答案】满足条件的所有正整数n为 【分析】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当时，及时原式的取值是解题关键，首先得出，进而利用当时，及时求出原式的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：由于是正整数，且满足， ， ， 当时，令， 则， 当时，其中， 令， 则， 综上所述，满足条件的所有正整数n为． 以几何为背景的推理与论证题型08 1．在甲组图形的四个图中，每个图是由四种图形A，B，C，不同的线段或圆中的 某两个图形组成的，例如由A，B组成的图形记为，在乙组图形的，，，四个图形中，表示“”和“”的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】分析：根据题意分析可得：4种简单图形A，B，C，D各不相同，得到A、B、C、D所代表的图形，即可得到结论． 详解：如图：          由甲组的A*B   B*C   B*D可知：     B是稍大一点的圆，C为横线段，D为稍小一点的圆，A为竖线段．     所以“A*D”应当选（b），“A*C”应当选（d）．     故选D． 点睛：本题考查了推理与论证，在两个或三个图形中，先确定公有的是谁，再确定其他的，从而使问题解决，主要培养学生的观察能力和空间想象能力． 2．字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为________. 组合 连接 【答案】 【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，即可得出结论． 【详解】解：结合题表中前两个图可以看出：b代表正方形； 结合后两个图可以看出：d代表圆； 因此a代表线段，c代表三角形， 所以图形的连接方式为：. 故答案为. 【点睛】本题主要考查推理与论证，观察、分析识别图形的能力；解决此题的关键是通过观察图形确定a，b，c，d各代表什么图形． 3．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个广场下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的广场（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“”表示它的周围八个广块中仅有个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定不是雷的有________，一定是雷的有________．（请填入方块上的字母） 【答案】 A、C、E B、D、F、G. 【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷，由此得到本题答案． 【详解】解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断， 由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷． 结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷； 同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷； 由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数， 所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示： 进行下一步推理： 因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷； 而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷． 因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷， 根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷． 综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷． 故答案为A、C、E；B、D、F、G. 【点睛】本题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识. 4．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由如下： 设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】略 5．已知线段，线段，线段，小明认为，小红认为t=4，你认为他们的说法对吗？为什么？ 【答案】 都不对.理由如下： 当点C在AB之间时，如图1所示， ∵AB=6，BC=2， ∴AC=AB-BC=6-2=4，即t=4． 当点C在AB外时，如图2所示， ∵AB=6，BC=2， ∴AC=AB+BC=6+2=8，即t=8． 综上所述，t=4或t=8． 故他们的说法都不对. 【分析】根据点C在线段AB上与在线段AB外两种情况进行讨论． 【详解】解：略． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 综合问题证明题型 1．（2026·湖南·模拟），，，，，六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进行到某一天时，统计出，，，，五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，队比赛场数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查单循环赛制问题，利用单循环赛每队最多比赛5场的规则，从比赛场次最多的A出发逐步推理，结合各队已知场次推出F的比赛场数． 【详解】解：∵六个队进行单循环赛，每个队最多和其余5队各赛1场，即每个队最多比赛5场， ∵A已比赛5场， ∴A与B，C，D，E，F都已比赛过； ∵E仅比赛1场， ∴E只和A比赛过，未与B，C，D，F比赛； ∵B已比赛4场，B已和A比赛，未和E比赛， ∴B与A，C，D，F都已比赛过，刚好满足4场； ∵D已比赛2场，D已和A、B比赛过，刚好满足2场，因此D未和C，E，F比赛； ∵C已比赛3场，C已和A，B比赛，未和E，D比赛， ∴C只能和F比赛，满足3场要求； 统计F的比赛场次：F分别和A，B，C各赛1场，共3场， 因此F队比赛场数是3，选B． 2．下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是（   ） A．只需观察得出 B．只靠经验获得 C．通过亲自实验得出 D．必须进行有根据的推理 【答案】D 【分析】要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验，观察或实验是不够的，必须每一步都要有根有据地进行推理． 【详解】解：经验，观察或实验只能为数学活动提供思路，要想得到正确结论，每一步都要有严密的逻辑推理过程， 故选：D． 【点睛】本题考查了数学结论是怎样得到的，必须有严密的逻辑证明过程． 3．四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 【答案】C 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，仔细读题是解决本题的关键． 根据小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，进而判断即可． 【详解】解：根据题意得，小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾， ∴两人的话必有一真一假， ∵“只有一个小孩说真话”， ∴小张和小明的话都是假话， ∴小明说“我没有打破窗户的玻璃”是假话，说明小明打破了玻璃． 故选C． 4．某次数学检测中有5道选择题，每题1分，每道题在A、、三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 A 4 乙 3 丙 2 丁 A 则甲同学错的是第________题；丁同学的得分是________． 【答案】 五 3 【分析】分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，进而得出正确选项，即可得出结论． 【详解】解：当甲选错了第1题，那么，其余四道全对， 针对于乙来看，第1，2，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错了第2题，那么其余四道全对， 针对于丙来看，第1，3，5道选对了，做对3道，此时，得分为3分，而丙得分2分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第3题时，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙的得分是3分，此种情况不符合题意， 当甲选错第4题时，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙的得分是3分，此种情况不符合题意， 当甲选错第4题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第2，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意， 故甲选错第5题，第5题选B错误，其余各题均选对，据此，乙前4题选对了第1，3，4题，得3分，因此乙选C错误， 因为每道题在A、、三个选项中，只有一个是正确的， 所第5题正确答案为A， 所以五道题的正确选项分别是：，对照丁的答案可得丁选对了第1，2，5题，得3分， 故答案为：五，3． 【点睛】此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键． 5．[逻辑推理]如图是某汽车维修公司的维修点在环形公路上的分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次为多少？说明理由．(注：n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n) 【答案】 最少调动16件次，理由如下： ∵互不相邻的两点B，D，B处至少调整5件次，D处至少调整11件次， ∴两处之和至少为16件次， ∴四个维修点的调动件次至少为16． 又∵A，B的配件减少，C，D的配件增加， ∴从A调11件到D，从B调1件到A，调4件到C， ∴共调动了11+1+4=16(件次)． 综上，最少调动16件次．(调动方案不唯一) 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，根据题意可知互不相邻的两点B，D，B处至少调整5件次，D处至少调整11件次，则两处之和至少为16件次，再根据题意写出对应的调动方案即可． 【详解】解：略． 与命题有关的开放题题型 1．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 2．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”； 小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”． 若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是_____． 【答案】丁 【分析】先阅读理解题意，再逐一进行检验进行简单的合情推理即可． 【详解】解：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小李、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误， ②若获得一等奖的团队是乙团队，则小张预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误， ③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误， ④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小王预测结果是对的，与题设相符，即假设正确， 即获得一等奖的团队是：丁； 故答案为：丁． 【点睛】本题考查了推理与论证，正确进行简单的合情推理是解题关键． 3．一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b（），若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？差能被11整除吗？我们可以验证一下，比如23，对调后所得到的新的两位数是32，而2，.因此我们断定，这两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除；请问上述说法正确吗？ 【答案】正确 【分析】两位数的十位数字与个位数字分别为a，b，表示出原两位数与新两位数，即可作出判断． 【详解】解：正确，上述验证过程只是一个特例，为了验证结论的正确性，可作如下证明： ∵原两位数的十位数字为a，个位数字为b（）， ∴原两位数为，新两位数为. ∵，是11的整数倍， ∴这两个两位数的和能被11整除. ∵，一定不是11的整数倍， ∴这两个两位数的差不能被11整除， ∴上述说法正确. 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 7.2 认识证明 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 命题的判断 题型02 命题真假的判断 题型03 命题的题设与结论 题型04 举反例 题型05 定理与证明 题型06 写出命题的已知、求证及证明过程 题型07 以代数为背景的推理与论证 题型08 以几何为背景的推理与论证 B组 能力进阶 题型 综合问题证明 C组 思维拔高 题型 与命题有关的开放题 命题的判断题型01 1．下列语句是命题 (       ) . A．将27开立方 B．任意三角形的三条中线相交于一点吗? C．锐角小于直角 D．作一条直线和已知直线垂直 2．下列语句属于命题的是（   ） A．你今天打卡了吗？ B．请戴好口罩！ C．画出两条相等的线段 D．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 3．下列属于定义的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．同角或等角的余角相等 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．两直线平行，内错角相等 4．有下列命题：①真命题都是定理；②定理都是真命题；③假命题不是命题；④公理都是命题．其中真命题有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 5．下列句子是命题吗？若是，指出它的条件与结论，并判断它是否为真命题． （1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？ （2）垂线段最短，对吗？ （3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点． （4）同旁内角互补． 命题真假的判断题型02 1．下列命题是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．若两个角互补，则这两个角的和为 C．相等的角是对顶角 D．两个锐角的和是锐角 2．原命题为:“若a > 0,b> 0,则a+b>0" ,逆命题为:“若a +b >0,则a >0，b>0".下列判定正确的是（    ） A．原命题为真命题，逆命题为假命题 B．原命题与逆命题均为真命题 C．原命题为假命题,逆命题为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题 3．（24-25七年级下·江苏 苏州·期末）下面四组的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例． （1）若|a|＝|b|，则a＝b； （2）两个锐角之和一定是钝角； （3）实数与数轴上的点一一对应． 5．（1） 当 3时，分别求出代数式 与 的值； （2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例． 命题1．对任何正整数n， 的值都是自然数； 命题 2．对任何正整数n， 的值都是自然数． 命题的题设与结论题型03 1．把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 2．下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 3．将“相等的角是对顶角”写成如果……那么……的形式：______________________________，它是一个____命题（填真或假）． 4．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，写出条件和结论，并判断真假． (1)偶数是4的倍数． (2)末位数字是5的整数能被5整除． (3)两负数之积为正数． 5．（25-26七年级下·河北承德·月考）命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 举反例题型04 1．（24-25七年级下·江苏南通·期中）对于命题“如果，那么”，下列能说明该命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．对于命题“如果，那么和中必定有一个是钝角”，能说明它是假命题的是 （    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26七年级下·河南长垣·期中）小聪认为命题“两个无理数的积一定是无理数”不正确，请你帮他举一个反例：_____． 4．举反例说明下列命题是假命题． (1)任何偶数都是4的整数倍； (2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数； (3)有公共顶点且相等的角是对顶角． 5．（2026·江苏南通·二模）请从下面两个命题中选取一个命题，判断该命题是真命题还是假命题，若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例． (1)任意两个连续偶数的平方差都是8的倍数； (2)如果四边形的两条对角线互相垂直，那么该四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半． 定理与证明题型05 1．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 2．下列说法中，正确的是（  ） A．每一个命题都有逆命题 B．假命题的逆命题一定是假命题 C．每一个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 3．下列命题不是公理（基本事实）的是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 D．三边分别相等的两个三角形全等 4．下列说法错误的是（    ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果一个命题是从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实的，并被选作判断命题真假的依据，那么这样得到的真命题就是定理 5．“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应． 写出命题的已知、求证及证明过程题型06 1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 2．把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题． 3．证明：等角的补角相等． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 5．求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 以代数为背景的推理与论证题型07 1．当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 2．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 3．命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确吗？试着用你学过的知识说明理由. 4．现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． (1)若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 5．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 以几何为背景的推理与论证题型08 1．在甲组图形的四个图中，每个图是由四种图形A，B，C，不同的线段或圆中的 某两个图形组成的，例如由A，B组成的图形记为，在乙组图形的，，，四个图形中，表示“”和“”的是　　 A．， B．， C．， D．， 2．字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为________. 组合 连接 3．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个广场下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的广场（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“”表示它的周围八个广块中仅有个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定不是雷的有________，一定是雷的有________．（请填入方块上的字母） 4．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 5．已知线段，线段，线段，小明认为，小红认为t=4，你认为他们的说法对吗？为什么？ 综合问题证明题型 1．（2026·湖南·模拟），，，，，六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进行到某一天时，统计出，，，，五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，队比赛场数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是（   ） A．只需观察得出 B．只靠经验获得 C．通过亲自实验得出 D．必须进行有根据的推理 3．四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 4．某次数学检测中有5道选择题，每题1分，每道题在A、、三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 A 4 乙 3 丙 2 丁 A 则甲同学错的是第________题；丁同学的得分是________． 5．[逻辑推理]如图是某汽车维修公司的维修点在环形公路上的分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次为多少？说明理由．(注：n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n) 与命题有关的开放题题型 1．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 2．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”； 小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”． 若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是_____． 3．一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b（），若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？差能被11整除吗？我们可以验证一下，比如23，对调后所得到的新的两位数是32，而2，.因此我们断定，这两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除；请问上述说法正确吗？ 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $