7.1为什么要证明（分层作业，5大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 7.1 为什么要证明 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 代数观察归纳 题型02 几何观察归纳 题型03 逻辑推理 题型04 归纳与推理 B组 能力进阶 题型 观察、归纳与推理综合 代数观察归纳题型01 1．（25-26七年级上·期末）观察下列等式：；；；；，则第个等式为（） A． B． C． D． 2．已知整式，其中均为整数，为正整数，满足且，令． ①所有符合条件的整式的次数不超过4次； ②当且时，符合条件的整式中，的最大值与最小值的差为6； ③当时，所有符合条件的整式的和为． 以上说法正确的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 3．检验数学结论是否正确的常用方法有________、________和________． 4．（25-26八年级·期末）【探究】相邻两个数其平方数的差值规律． 【特例】 序号 式子 差值 第1个 3 第2个 5 第3个 7 第4个 9 第5个 11 … … … 【任务】 (1)按照上述规律，请你写出第6个式子； (2)观察表格可知，相邻两个数其平方数的差值为________(填“奇数”或“偶数”)，请你用所学的知识证明该结论． 5．小明发现：当时，的值都是负数．于是小明猜想：当为任意正整数时，的值都是负数．小明的猜想正确吗？请说明理由． 6．（25-26八年级上·福建厦门·期中）观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … (1)请按照以上规律写出第6个等式： ； (2)请写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），请问该等式一定成立么？若成立，请证明，若不成立，请举反例． 7．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． (1)直接写出结果：36模 ；360模 ． (2)①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模． ②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； (3)证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 8．（25-26七年级上·浙江台州·期中）我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为，第2个数记为，第个数记为．1202年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》中记录了一个数列：，．从开始，每个数都等于它前面的两个数之和，即．小明在一次课外活动中，作了如下探究：小明发现，这样的求和结果与该数列中的某个数有着某种特殊关系，他为了证实自己的猜想，准备再举一些例子…… (1)请你帮小明再举一个例子，并写出猜想（即写出与数列中的哪个数，有怎样的数量关系？注：为正整数，下同）． (2)小明认为只要多举一些具体例子，就能证实他的猜想一定成立．你赞同小明的想法吗？如果赞同，请说明理由；如果不赞同，请给出你认为更好的证明方法． (3)①请你借鉴小明的探究思路，直接写出与该数列中某个数的数量关系（不用证明）． ②查得该数列中，求的值． 几何观察归纳题型02 1．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 2．下列图案是用长度相等的火柴按一定规律构成的图形，依此规律第个图形中，共用火柴的根数是_____； 3．如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点的直线折叠，使点B落在DE边上的处，称为第二次操作，折痕到AC的距离记为；按上述方法不断操作下去…经过第n次操作后得到折痕到AC的距离记为，若，则的值为______． 4．你的眼睛可信吗？ (1)比较图①中线段a和b的大小； (2)图②中由粗线围成的四边形是正方形吗？ 5．八（1）班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n的取值（）代入式子，结果发现式子的值都是质数，于是他们猜想：“对于所有的自然数，式子的值都是质数．”你认为这个猜想正确吗?验证一下的情形． 6．很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：？ 【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法： 【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出______=______（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】根据以上结论，计算：的结果为________． 7．（25-26七年级上·山西晋城·期中）从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程叫做归纳，它是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略． 【提出问题】 在网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形．格点多边形的面积S与多边形内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）存在一定的数量关系．若a取定值，请探究格点多边形的面积S与边上的格点数b（含顶点）之间的数量关系． 【特例感知】 当取时，小明利用归纳的策略完成以下探究.在正方形网格纸中（每个小正方形的面积为1），绘制了以下几种简单的图形（图1、图2、图3）． 根据图1、图2、图3得到的数据如下： b S 图1 4 3 图2 6 4 图3 7 ① ①处应填______； 由此发现规律：格点多边形的面积S=______（用含b的代数式表示）． 【问题解决】 在内部格点为2的格点多边形中，如果，那么格点多边形的面积S=_____． 【联系拓广】 如图4，在等边三角形网格纸中（每个小等边三角形的面积为1），格点多边形的面积S与多边形内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）有新的数量关系．请你按照以上的归纳策略继续探究，得到内部格点为2的格点多边形的面积S 与边上的格点数b（含顶点）之间的数量关系为______；当时，格点多边形的面积S=______． 8．探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______； 深入研究： 如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒． (3)当t为何值时，射线是的“巧分线”； (4)若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时t的值． 逻辑推理题型03 1．下面关于“证明”的说法正确的是（　　） A．“证明”是一种命题 B．“证明”是一种定理 C．“证明”是一种推理过程 D．“证明”就是举例说明 2．下列推理中，错误的是(  ) A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c D．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF 3．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P，Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），动点P（x，y）满足d（P，Q）=3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（　　）个． A．4 B．8 C．10 D．12 4．六名运动员比赛中国象棋每两人赛一局第一天与各赛了局与各赛了局赛了局而且和和之间都还没赛过那么已赛了多少局（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26八年级上·山东临沂·期末）贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角的排列规律，下列结论正确的是（    ） ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 6．先观察再验证：（如图） （1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？ （2）图（2）中两条线a与b哪一条更长？ （3）图（3）中的直线AB与直线CD平行吗？ 7．观察下列关于自然数的等式： ①；②；③；… 根据上述规律解决下列问题： (1)第4个等式：________； (2)写出第个等式：________； (3)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 8．（26-27上·黑龙江绥化·联考）有12枚银元，其外表都完全相同，其中有1枚是假银元，比其他的11枚稍轻一些，利用无砝码的天平至少称几次才能找出这枚银元呢？请你按下图设计方案． 归纳与推理题型04 1．在学习“有理数加法“时，我们利用“(+5)+(+3)=+8，(-5)+(-3)=-8，……”抽象归纳推出了“同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加”的加法法则．这种推导方法叫(    ) A．排除法 B．归纳法 C．类比法 D．数形结合法 2．（25-26·上海·期末）下面四幅图中，运用了“转化”策略的一共有（     ） ①求平行四边形面积 ②计算小数乘法 ③计算 ④推导圆柱体积公式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列关于证明“一个数加上一个负数比原来的数小”的过程说法正确的是（   ）． A．先设一个数为3，5，7，……，另一个数为，，， B．先设一个数为a，另一个数为 C．证明对无穷多个数该结论都成立即可 D．先设一个数为，另一个数为 4．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27上·黑龙江绥化·联考）哥德巴赫猜想中说：每个大于的偶数都可以表示为两个质数的和．请你将写成两个质数的和． __________________；__________________；__________________． 6．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：把无限循环小数0.6化为分数的过程如下，由，即，可得．类比上述过程，把无限循环小数化为分数的结果是__________． 7．（1）①如果，那么________； ②如果，那么________； ③如果，那么________； （2）由（1），请你归纳出比较与大小的方法，并用文字语言叙述出来； （3）用（2）归纳出的方法，比较与的大小． 8．小明对无限循环小数转化成分数的过程进行了探究，以下是他以和为例进行了纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分数的探究： 设 则， 而， 所以， 解得， 所以． 由左侧推导可知， 所以 ． (1)请仿照上述推导过程，将下列纯无限循环小数化为分数．（写出推导过程） ①；②；③． (2)请仿照上述推导过程，将下列混无限循环小数化为分数．（写出推导过程） ①；②． (3)根据（1）（2）所求结果，可归纳出无限循环小数转化成分数的规律：如果小数是纯无限循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，那么分母是______，如果小数是混无限循环小数，可以通过先扩大倍数再缩小的方法化为纯无限循环小数，然后再化为分数． (4)利用将化为分数形式． 观察、归纳与推理综合题型 1．用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 2．综合与实践 【项目主题】某数学实践小组在研究教材《问题出在哪里》这部分内容的时候，对于斐波那契数列和图形拼接产生了兴趣． 【项目准备】 （）斐波那契数列知识学习：数列从和开始，之后的每一项都是前两项之和．前几项为：，，，，，，，，，，①________，，，… （）教材《问题出在哪里》内容大致如下：图是一个的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图中的矩形． 图面积，图面积，，说明图的四个图形之间有缝隙． （）构造一个新的图形拼接：图是一个的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图中的矩形． 图面积，图面积，，说明图的四个图形之间有重叠． （）依据斐波那契数列进行图形拼接的规律探究： 设斐波那契数列的第项为，第项为，…，第项为，第项为． 则当为偶数时，图形拼接之后四个图形之间有②________（填“缝隙”或“重叠”）； 【项目分析】依据斐波那契数列进行图形拼接可能会出现有缝隙或者重叠的现象，那么有没有可能采用另一种拼法，拼出既没有缝隙也没有重叠的矩形？ （）方案一：将图中的正方形拼接成图中的矩形，请画出分割线； （）方案二：将边长分别为斐波那契数列，，，，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形，请在图中给定网格中画出拼接后的矩形及正方形之间的分割线； 正方形的面积和为：③________； 矩形的面积正方形的面积和宽长④________（填数字）； （）方案二规律总结：将边长分别为斐波那契数列，，，，，…，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形时，矩形的面积为⑤________； 【项目实施】请将上述材料中横线上所缺内容补充完整，并将图形按照要求进行拼接： ①________；②________；③________；④________；⑤________． 3．（25-26八年级下·重庆·期末）综合与实践 问题提出： 数学上称取到函数最大值时的自变量为该函数的最大值点，例如当时，函数取得最大值，则称是函数的最大值点．工业生产里普遍存在各类函数关系，如催化剂用量与产率、生产温度与产量等，这些函数往往只存在一个最大值点且图象为单峰状（图象只先升后降），如何在未知函数关系式时省时省力地找到最大值点，从而确定最佳生产方案，是工业领域经常关心的问题． 问题解决： 为了避免重复计算，华罗庚用黄金分割比例的对称性设计了求函数的最大值点的方法一一优选法，如表是优选法的部分操作流程，读表并将操作步骤补充完整： 试验范围 试验范围长度 开始试验 第一次试验后 ．．． 取点原则： 对于试验范围，规定左点和右点，其中表示试验范围的长度，即．其中是黄金分割比例，即，满足． (1)第一步：比较，对应试验结果的大小，缩小试验范围，在新范围内取新点； ①若，则最大值点在到之间，试验范围缩小为，试验范围的长度为，由于，因此为此新的范围的右点，于是取新点作为此新的范围的左点，即； ②若，则最大值点在到之间，试验范围缩小为___________，试验范围的长度为，由于，因此为此新的范围的___________点（填“左”或“右”），于是取新点作为此新的范围的右点，即； 第二步：比较与（或）对应试验结果的大小，再缩小试验范围，缩小后试验范围的长度为，在新的试验范围内用同样的原则取新点； (2)重复上述步骤，次试验后，试验范围的长度为___________（用含有的代数式表示），当不超过给定的精确度时结束试验，以该范围的中点作为最大值点． 实践应用： (3)在某药品的生产过程中，已知产率是催化剂用量的函数且只有一个最大值点，某工厂欲用优选法进行催化剂优化试验．下面的表格里记录了几次试验的数据，若规定精确度，求最佳催化剂用量（计算中取）． 催化剂用量（单位：） 100 114 124 138 163 200 产率（单位：%） 79 87 89 85 83 81 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 7.1 为什么要证明 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 代数观察归纳 题型02 几何观察归纳 题型03 逻辑推理 题型04 归纳与推理 B组 能力进阶 题型 观察、归纳与推理综合 代数观察归纳题型01 1．（25-26七年级上·期末）观察下列等式：；；；；，则第个等式为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了数字变化规律，观察出变化规律是解题的关键．通过观察等式左右两边数字与序号的对应关系，归纳出第个等式的表达式，再验证等式成立即可． 【详解】解：观察已知等式： 当时，； 当时，； 当时，； 归纳可得第个等式为， 又左边展开得，右边，左右两边相等， 等式成立， 故选：A． 2．已知整式，其中均为整数，为正整数，满足且，令． ①所有符合条件的整式的次数不超过4次； ②当且时，符合条件的整式中，的最大值与最小值的差为6； ③当时，所有符合条件的整式的和为． 以上说法正确的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式的系数约束条件，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过分析次数上限可验证说法①；通过枚举且时的所有可能系数组合计算的极差可验证说法②；通过枚举时的所有可能多项式并求和可验证说法③． 【详解】解：∵M的系数为整数且严格递减，即，且， ①若，则至少有个系数，为使平方和最小，系数的绝对值应尽可能小，当系数为，，，，，时，， 因此不能为或更大，故次数不超过次，说法①正确； ②当且时， 可能系数组合：，，，则； ，，，则； ，，，则； ∴最大值为，最小为， 差，②正确； ③当时，所有可能多项式：，，，，， 求和： 项系数和； 项系数和； 项系数和； 常数项和。 ∴和为，③正确； 综上，三个说法均正确； 故选：D． 3．检验数学结论是否正确的常用方法有________、________和________． 【答案】 实验验证 举出反例 推理论证 【分析】此题考查了检验数学结论是否正确的常用方法，根据检验数学结论是否正确的常用方法有实验验证，举出反例，推理论证求解即可． 【详解】检验数学结论是否正确的常用方法有实验验证，举出反例，推理论证． 故答案为：实验验证，举出反例，推理论证． 4．（25-26八年级·期末）【探究】相邻两个数其平方数的差值规律． 【特例】 序号 式子 差值 第1个 3 第2个 5 第3个 7 第4个 9 第5个 11 … … … 【任务】 (1)按照上述规律，请你写出第6个式子； (2)观察表格可知，相邻两个数其平方数的差值为________(填“奇数”或“偶数”)，请你用所学的知识证明该结论． 【答案】(1) (2) 奇数． 证明：设相邻两个整数为n和， 则它们的平方差为， ∵n为整数， ∴也为偶数， ∴为奇数， ∴相邻两个整数其平方数的差值为奇数． 【分析】本题考查了平方差公式，数字规律探究及奇数与偶数的性质． （1）通过特例中的序号、式子、差值的规律即可表示出第6个式子； （2）设较小的数为n，较大的数位，再计算平方数的差值，最后分析的奇偶性即可． 【详解】（1）解：按照上述规律可知，第6个式子为：． （2）解：略． 5．小明发现：当时，的值都是负数．于是小明猜想：当为任意正整数时，的值都是负数．小明的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】 解：小明的猜想不正确．理由见解析 【分析】举反例验证猜想，代入正整数计算代数式值，出现正数即可证明猜想错误． 【详解】解：小明的猜想不正确．理由如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 因此，小明的猜想不正确． 6．（25-26八年级上·福建厦门·期中）观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … (1)请按照以上规律写出第6个等式： ； (2)请写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），请问该等式一定成立么？若成立，请证明，若不成立，请举反例． 【答案】(1) (2) ；该等式一定成立，理由如下： 左边右边， 所以此等式一定成立． 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律，并进行证明即可解决问题． 【详解】（1）解：因为； ； ； ； ； …， 所以第n个等式可表示为：； 当时， 第6个等式为：； 故答案为：； （2）略 7．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． (1)直接写出结果：36模 ；360模 ． (2)①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模． ②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； (3)证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 【答案】(1)0；0 (2)②正确，证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据新定义解答即可求解； （2）根据命题①的证明方法解答，即可求解； （3）根据题意设，可得，即可解答． 【详解】（1）解：， ∴36模；360模； （2）解：②正确， 证明：若a模，其中a为正整数，则a除以3余1，可以设， 则， 因为能被3整除，10除以3余1， 所以模， 即模； （3）证明：因为a模，b模， 所以设， ， 所以模， 所以能被整除， 所以模． 8．（25-26七年级上·浙江台州·期中）我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为，第2个数记为，第个数记为．1202年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》中记录了一个数列：，．从开始，每个数都等于它前面的两个数之和，即．小明在一次课外活动中，作了如下探究：小明发现，这样的求和结果与该数列中的某个数有着某种特殊关系，他为了证实自己的猜想，准备再举一些例子…… (1)请你帮小明再举一个例子，并写出猜想（即写出与数列中的哪个数，有怎样的数量关系？注：为正整数，下同）． (2)小明认为只要多举一些具体例子，就能证实他的猜想一定成立．你赞同小明的想法吗？如果赞同，请说明理由；如果不赞同，请给出你认为更好的证明方法． (3)①请你借鉴小明的探究思路，直接写出与该数列中某个数的数量关系（不用证明）． ②查得该数列中，求的值． 【答案】(1)，猜想 (2) 不赞同小明的想法（多举例子就能证实猜想成立）．理由：数学猜想需要通过严密的逻辑推理来证明，枚举法只能验证有限个例，不能保证对所有正整数成立．更好的证明方法如下： ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴． (3)①；② 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）先求出，，再举一个例子为，然后猜想即可得； （2）数学猜想需要通过严密的逻辑推理来证明，枚举法只能验证有限个例，不能保证对所有正整数成立，则不赞同小明的想法．更好的证明方法：先求出，，，，再将这些式子的左右两边相加，化简即可得证； （3）①先求出，，，，再将这些式子的左右两边相加，化简即可得； ②参考上面的结论，可求出和的值，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 所以再举一个例子为， 观察可知：， ， ， ， 所以猜想． （2）略 （3）解：①，证明如下： ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴， ， ∴． 几何观察归纳题型02 1．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】D 【分析】要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数． 【详解】图1没有共用部分，要6根小木棍， 图2有共用部分，可以减少小木棍根数， 仿照图2得到图3，要7根小木棍， 同法搭建的图4，要9根小木棍， 如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍， 如按图6摆成三棱锥(四面体)就可以得到4个等边三角形， ∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根． 故选：D 【点睛】此题考查的是组成图形的边的条数，解答此题需要灵活利用立体空间思维解答． 2．下列图案是用长度相等的火柴按一定规律构成的图形，依此规律第个图形中，共用火柴的根数是_____； 【答案】45 【分析】根据图形的规律可知，第1个图有3根火柴，第2个图形中有3+3根火柴，第3个图形中有3+3+4根火柴，……，第8个图形中有3+3+4+5+6+7+8+9根火柴，计算结果即可． 【详解】分析可得：第1个图形中，有3根火柴， 第2个图形中，有3+3=6根火柴， 第3个图形中，有3+3+4=10根火柴， 第4个图形中，有3+3+4+5=15根火柴， 第5个图形中，有3+3+4+5+6=21根火柴， …… 第8个图形中有3+3+4+5+6+7+8+9=45根火柴， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了规律型中的图形变化问题，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． 3．如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点的直线折叠，使点B落在DE边上的处，称为第二次操作，折痕到AC的距离记为；按上述方法不断操作下去…经过第n次操作后得到折痕到AC的距离记为，若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得，从而可得，结合折叠的性质可得，可得，进而判断，得出DE是△ABC的中位线，证得，得到，求出；同理，，……，经过第n次操作后得到的折痕到BC的距离． 【详解】解：如图，连接，由折叠性质可知，，， 又∵D是BC中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， …… ∴经过第n次操作后得到的折痕到BC的距离， 故答案为：． 【点睛】此题考查了折叠的性质以及中位线的性质，解题关键是通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题． 4．你的眼睛可信吗？ (1)比较图①中线段a和b的大小； (2)图②中由粗线围成的四边形是正方形吗？ 【答案】(1) (2)由粗线围成的四边形是正方形 【分析】此题考查了比较线段的长度，正方形的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据度量法比较即可； （2）根据正方形的定义判断即可． 【详解】（1）解：通过度量可得，； （2）解：根据正方形的定义可得，由粗线围成的四边形是正方形． 5．八（1）班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n的取值（）代入式子，结果发现式子的值都是质数，于是他们猜想：“对于所有的自然数，式子的值都是质数．”你认为这个猜想正确吗?验证一下的情形． 【答案】 解：这个猜想不正确，当时，式子的值为，是一个合数． 【分析】将代入，发现猜想不正确，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查猜想与证明．要说明一个猜想是正确的需要证明它，要说明是错误的只需要举一个反例即可． 6．很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：？ 【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法： 【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出______=______（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】根据以上结论，计算：的结果为________． 【答案】规律探究；解决问题；；拓展应用或． 【分析】规律探究：计算=36=大正方形面积，然后直接求大正方形面积即可； 解决问题：转化为大正方形面积，其边长为1+2+3+…+n，再求面积化简即可； 拓展应用：提公因式8转化为8（），再用规律计算即可 【详解】解：规律探究：=1+8+27=36=大正方形面积=； 故答案为：62 解决问题：由上面表示几何图形的面积探究知，， 又， ； 故答案为：； 拓展应用：， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查实践探索问题，仔细观察图形与算式的关系，发现规律为立方数的和等于最大正方形面积，再利用面积公式求是解题关键． 7．（25-26七年级上·山西晋城·期中）从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程叫做归纳，它是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略． 【提出问题】 在网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形．格点多边形的面积S与多边形内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）存在一定的数量关系．若a取定值，请探究格点多边形的面积S与边上的格点数b（含顶点）之间的数量关系． 【特例感知】 当取时，小明利用归纳的策略完成以下探究.在正方形网格纸中（每个小正方形的面积为1），绘制了以下几种简单的图形（图1、图2、图3）． 根据图1、图2、图3得到的数据如下： b S 图1 4 3 图2 6 4 图3 7 ① ①处应填______； 由此发现规律：格点多边形的面积S=______（用含b的代数式表示）． 【问题解决】 在内部格点为2的格点多边形中，如果，那么格点多边形的面积S=_____． 【联系拓广】 如图4，在等边三角形网格纸中（每个小等边三角形的面积为1），格点多边形的面积S与多边形内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）有新的数量关系．请你按照以上的归纳策略继续探究，得到内部格点为2的格点多边形的面积S 与边上的格点数b（含顶点）之间的数量关系为______；当时，格点多边形的面积S=______． 【答案】【特例感知】4.5，；【问题解决】8.5；【联系拓广】，12 【分析】此题考查的是格点多边形的面积问题，解决本题的关键是关键由特殊找出规律得出结论． 特例感知：观察图中特例计算出对应的数据，再由特殊情况计算找出规律即可得出结论； 问题解决：由特殊情况计算找出规律即可得出结论； 联系拓广：由特殊情况计算找出规律即可得出结论，再将图4中的a和b代入即可得解； 【详解】解：特例感知： 图3边上的格点数，面积为，①处应填4.5； 观察图1至图3数据可得； 故答案为：4.5，； 问题解决： 当时，， 故答案为：8.5； 联系拓广：如图 图中正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，数据如下表： b S 图5 6 8 图6 8 10 图n 观察表格数据可得：， 所以时，， 故答案为：；12． 8．探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______； 深入研究： 如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒． (3)当t为何值时，射线是的“巧分线”； (4)若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时t的值． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)9或12或18 (4)或4或6 【分析】（1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； （4）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；填“是”或“不是” 故答案为：是； （2）， ①当是的角平分线时， ； ②当是三等分线时，较小时， ； ③当是三等分线时，较大时， ； 故答案为：或或； （3）依题意有： ①当时，如图所示： ， 解得； ②当时，如图所示： ， 解得； ③当时，如图所示： ， 解得． 故当t为9或12或18时，射线是的“巧分线”； （4）依题意有： ①当时，如图所示： ， 解得； ②当时，如图所示： ， 解得； ③当时，如图所示： ， 解得． 故当t为或4或6时，射线是的“巧分线”． 【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了旋转的性质，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义． 逻辑推理题型03 1．下面关于“证明”的说法正确的是（　　） A．“证明”是一种命题 B．“证明”是一种定理 C．“证明”是一种推理过程 D．“证明”就是举例说明 【答案】C 【分析】公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实， 这种推理的过程称为证明． 本题考查了证明的概念，根据证明的概念求解即可． 【详解】“证明”是一种推理过程． 故选：C． 2．下列推理中，错误的是(  ) A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c D．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF 【答案】A 【分析】根据相关的定义或定理判断． 【详解】解：A、AB⊥EF，EF⊥CD，答案不确定，有多个答案，AB可能与CD平行，也可能垂直，在空间中也可能异面等，故A选项错误； B、由∠α=∠β，∠β=∠γ，根据角的等量代换可知，∠α=∠γ，故B选项正确； C、由a∥b，b∥c，根据平行线的平行的传递性可知a∥c，故C选项正确； D、根据线段长度的等量代换可知AB=EF，易知D选项正确； 综上所述，答案选A． 【点睛】主要考查学生对平行公理及推论的运用，注意等量代换的应用． 3．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P，Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），动点P（x，y）满足d（P，Q）=3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（　　）个． A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】由条件可得到|x﹣2|+|y﹣1|=3，分四种情况：①x﹣2=±3，y﹣1=0，②x﹣2=±2，y﹣1=±1，③x﹣2=±1，y﹣1=±2，④x﹣2=0，y﹣1=±3，进行讨论即可求解． 【详解】解：依题意有： |x﹣2|+|y﹣1|=3， ①x﹣2=±3，y﹣1=0， 解得，； ②x﹣2=±2，y﹣1=±1， 解得，，，； ③x﹣2=±1，y﹣1=±2， 解得，，，； ④x﹣2=0，y﹣1=±3， 解得，． 故满足条件的点P有12个． 故选：D． 【点睛】本题为新概念题目，考查了观察与实验能力，理解题目中所给新定义是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 4．六名运动员比赛中国象棋每两人赛一局第一天与各赛了局与各赛了局赛了局而且和和之间都还没赛过那么已赛了多少局（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】共有6个人，、各参加了局比赛，、各参加了局比赛，参加了局比赛，且与没有比赛过，与也没有比赛过，依此类推即可确定． 【详解】解：由于、各参加了局比赛，、各参加了局比赛，参加了局比赛，且与没有比赛过，与也没有比赛过， 所以与赛过的是、、、四人； 与赛过的是、、、四人； 又因为只赛了两局，与各赛了局， 所以与赛过的是、、； 而与赛过的是、、； 所以共赛了局． 故选：D． 【点睛】考查了推理与论证，根据每人最多赛四盘及每人已赛的盘数间的逻辑关系进行推理是完成本题的关键． 5．（25-26八年级上·山东临沂·期末）贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角的排列规律，下列结论正确的是（    ） ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵的展开式的第三项的系数为1， 的展开式的第三项的系数为， 的展开式的第三项的系数为， 的展开式的第三项的系数为， 的展开式的第三项的系数为， ∴正确； ∵ ， ∴正确； 由贾宪三角的排列规律可知从第二行开始，第行的第二项的系数是， ∵展开式中含的项是第二项，展开式在第2027行， ∴展开式中含的项的系数是， ∴正确； ∵的展开式为， ∴其中各项系数之和为， ∴正确． 6．先观察再验证：（如图） （1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？ （2）图（2）中两条线a与b哪一条更长？ （3）图（3）中的直线AB与直线CD平行吗？ 【答案】（1）中的实线是直的；（2）a与b一样长；（3）AB与CD平行 【详解】试题分析： 在三条线段上分别取两点，连接得到直线，判断三条线段是否在直线上即可； 用直尺直接量出两线段的长度，比较即可； 测量的度数，若 则 试题解析：观察可能得出的结论是： (1)中的实线是弯曲的； (2)a更长一些； (3)AB与CD不平行． 用科学的方法验证可发现： (1)中的实线是直的； (2)a与b一样长； (3)AB与CD平行． 7．观察下列关于自然数的等式： ①；②；③；… 根据上述规律解决下列问题： (1)第4个等式：________； (2)写出第个等式：________； (3)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1) (2) (3) 猜想第个等式为： ． 验证：利用完全平方公式展开，得到 所以， 猜想成立． 【分析】本题考查了规律探究以及完全平方公式的应用．找到数字规律是解题的关键． （1）按照前面等式的规律或直接计算即可； （2）观察已知等式，找到等式的规律，然后写出第个等式即可； （3）观察已知等式，找到等式的规律，利用完全平方公式展开后即可验证． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解；观察已知等式： ①，其中，结果； ②，其中，结果； ③，其中，结果； 由此可推出，第个等式中，左边第一项为，第二项为，右边为， 当时，第个等式为， 即， 故答案为：． （3）略 8．（26-27上·黑龙江绥化·联考）有12枚银元，其外表都完全相同，其中有1枚是假银元，比其他的11枚稍轻一些，利用无砝码的天平至少称几次才能找出这枚银元呢？请你按下图设计方案． 【答案】3次，第一次将12枚银元平均分成3份，每份4枚，天平两边各放4枚 若平衡，则将剩下的4枚再平均分成3份（1、1、2），天平两边各放1枚，若平衡则假币在剩余2枚中，再称1次即可找出较轻的假币；若不平衡，轻的一侧就是假币； 不平衡分支：取天平上浮的轻的那4枚，再平均分成3份（1、1、2），后续操作和平衡分支的步骤一致，最终再称2次即可定位假币 【分析】按照“三分法”找次品的方法，分别将12枚银元分成三份，每份4枚，再去称重即可． 【详解】把12枚银元平均分成3份，每份4枚，天平左右各放4枚， 若天平平衡，说明假银元不在天平上的8枚里，在没放上天平的剩余4枚中， 若天平不平衡，因为假银元更轻，所以假银元在天平向上翘起的那一侧的4枚中； 再将剩下的4枚分成3份（1、1、2），天平两边各放1枚， 若平衡则假币在剩余2枚中，再称1次即可找出较轻的假币；若不平衡，轻的一侧就是假币． 归纳与推理题型04 1．在学习“有理数加法“时，我们利用“(+5)+(+3)=+8，(-5)+(-3)=-8，……”抽象归纳推出了“同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加”的加法法则．这种推导方法叫(    ) A．排除法 B．归纳法 C．类比法 D．数形结合法 【答案】B 【分析】从许多个别事例中获得一个较具概括性的规则．这种方法主要是从收集到的既有资料，加以抽丝剥茧地分析，最后得以做出一个概括性的结论，据此判断即可． 【详解】利用“（+5）+（+3）=+8，（-5）+（-3）=-8，……”抽象归纳推出了“同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加”的加法法则．这种推导方法叫归纳法． 故选：B． 【点睛】此题主要考查归纳法的含义和应用．（1）排除法是指在综合考虑文章（段落）内容、所设题干和所给选项的各种信息的基础上，运用一定的逻辑推理，排除不符合题干要求或与文章信息内容不符的干扰项，从而选出正确答案的一种解题方法．（2）归纳法指的是从收集到的既有资料，加以抽丝剥茧地分析，最后得以做出一个概括性的结论．（3）类比法是对未知或不确定的对象与已知的对象进行归类比较，进而对未知或不确定对象提出猜测．（4）数学结合法：中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合． 2．（25-26·上海·期末）下面四幅图中，运用了“转化”策略的一共有（     ） ①求平行四边形面积 ②计算小数乘法 ③计算 ④推导圆柱体积公式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】需逐一分析四幅图是否将未知问题转化为已知问题或复杂问题转化为简单问题． 【详解】解：①根据平行四边形面积公式的推导过程可知，把平行四边形“转化”成长方形，根据长方形面积公式推导出平行四边形的面积公式，用了“转化”思想； ②根据小数乘法的计算方法，先把小数“转化”为整数，根据整数乘法的计算法则计算出积，再看两个因数共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，用了“转化”思想； ③运用了数和形结合的思想，不是用“转化”思想； ④根据圆柱体积公式的推导过程可知，把圆柱“转化”为一个近似长方体，根据长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式，用了“转化”思想， 综上所述，运用了“转化”策略的一共有个． 3．下列关于证明“一个数加上一个负数比原来的数小”的过程说法正确的是（   ）． A．先设一个数为3，5，7，……，另一个数为，，， B．先设一个数为a，另一个数为 C．证明对无穷多个数该结论都成立即可 D．先设一个数为，另一个数为 【答案】D 【分析】本题主要考查了证明，解题的关键是注意一般性，根据证明的要求进行选择即可． 【详解】解：A．设一个数为3，5，7，……，另一个数为，，，是特殊值，不能代表所有的数，故A错误； B．先设一个数为a，另一个数为，a可以是正数也可以是负数，而可以是正数，也可以是负数，不明确，故B错误； C．应该证明对所有数该结论都成立，故C错误； D．先设一个数为，另一个数为，符合要求，故D正确． 故选：D． 4．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，仿照例题进行求解． 【详解】设， 则， ， 解得，， 故选B． 【点睛】本题考查类比推理，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． 5．（26-27上·黑龙江绥化·联考）哥德巴赫猜想中说：每个大于的偶数都可以表示为两个质数的和．请你将写成两个质数的和． __________________；__________________；__________________． 【答案】 【分析】明确质数定义“质数是只有和它本身两个因数的大于1的自然数”，列举小于的质数，筛选出和为的两个质数的组合． 【详解】解：首先列出所有小于的质数，分别为．依次验证两个质数的和，得到和为的组合：，，即可得到对应结果． 6．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：把无限循环小数0.6化为分数的过程如下，由，即，可得．类比上述过程，把无限循环小数化为分数的结果是__________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，读懂题目信息，理解无限循环小数转化为分数的方法是解题的关键．设，表示出，然后相减解得出关于的一元一次方程，再求解即可． 【详解】解：设，则， ， 即， 解方程得， 即． 故答案为：． 7．（1）①如果，那么________； ②如果，那么________； ③如果，那么________； （2）由（1），请你归纳出比较与大小的方法，并用文字语言叙述出来； （3）用（2）归纳出的方法，比较与的大小． 【答案】（1）①＜  ②＝  ③＞ （2）如果，那么； （3） 【分析】（1）根据不等式的基本性质，通过与的大小关系，直接判断与的大小； （2）归纳出“作差法”比较两个数（或代数式）大小的通用方法； （3）运用作差法，对两个代数式作差并化简，根据差的符号判断大小． 【详解】解：（1）① 如果，那么； ② 略 ③ 如果，那么。 （2）比较，两数的大小，分三种情况： 如果与的差大于，那么大于； 如果与的差等于，那么等于； 如果与的差小于，那么小于． （3） ∵， ∴ 故： ． 【点睛】本题考查了作差法比较大小和不等式的基本性质，解题关键是掌握作差法的步骤：作差→变形→判断差的符号→得出结论，其中变形是核心，通常通过合并同类项、配方等方式简化差式． 8．小明对无限循环小数转化成分数的过程进行了探究，以下是他以和为例进行了纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分数的探究： 设 则， 而， 所以， 解得， 所以． 由左侧推导可知， 所以 ． (1)请仿照上述推导过程，将下列纯无限循环小数化为分数．（写出推导过程） ①；②；③． (2)请仿照上述推导过程，将下列混无限循环小数化为分数．（写出推导过程） ①；②． (3)根据（1）（2）所求结果，可归纳出无限循环小数转化成分数的规律：如果小数是纯无限循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，那么分母是______，如果小数是混无限循环小数，可以通过先扩大倍数再缩小的方法化为纯无限循环小数，然后再化为分数． (4)利用将化为分数形式． 【答案】(1)①；②；③ (2)①；② (3)由若干个9组成，9的个数与一个循环节的数字的个数相等 (4) 【分析】（1）根据题目给出的例子求解即可； （2）根据题目给出的例子求解即可； （3）对前两问的过程进行分析即可得到答案； （4）先将乘以再进行观察分析即可求解． 【详解】（1）解：①， 而， ， ， ； ②， 而， ， ， ； ③， 而， ， ， ； （2）解：①由（1）①可知，， ； ②由（1）②可知，， ； （3）解：由若干个9组成，9的个数与一个循环节的数字的个数相等； （4）解：， ， ． 观察、归纳与推理综合题型 1．用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 【答案】B 【分析】本题主要考查了模拟实验，正确理解模拟实验的意义是解题关键．根据模拟实验的意义以及模拟实验的方法分别判断，即可解题． 【详解】解：A、试验次数多与试验次数少所得的规律不一定相同，故此选项错误； B、试验次数越多，所得数据越接近真实值，此选项正确； C、试验次数越少，所得数据不可能越接近真实值，故此选项错误； D、抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会不相同，故此选项错误； 故选：B． 2．综合与实践 【项目主题】某数学实践小组在研究教材《问题出在哪里》这部分内容的时候，对于斐波那契数列和图形拼接产生了兴趣． 【项目准备】 （）斐波那契数列知识学习：数列从和开始，之后的每一项都是前两项之和．前几项为：，，，，，，，，，，①________，，，… （）教材《问题出在哪里》内容大致如下：图是一个的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图中的矩形． 图面积，图面积，，说明图的四个图形之间有缝隙． （）构造一个新的图形拼接：图是一个的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图中的矩形． 图面积，图面积，，说明图的四个图形之间有重叠． （）依据斐波那契数列进行图形拼接的规律探究： 设斐波那契数列的第项为，第项为，…，第项为，第项为． 则当为偶数时，图形拼接之后四个图形之间有②________（填“缝隙”或“重叠”）； 【项目分析】依据斐波那契数列进行图形拼接可能会出现有缝隙或者重叠的现象，那么有没有可能采用另一种拼法，拼出既没有缝隙也没有重叠的矩形？ （）方案一：将图中的正方形拼接成图中的矩形，请画出分割线； （）方案二：将边长分别为斐波那契数列，，，，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形，请在图中给定网格中画出拼接后的矩形及正方形之间的分割线； 正方形的面积和为：③________； 矩形的面积正方形的面积和宽长④________（填数字）； （）方案二规律总结：将边长分别为斐波那契数列，，，，，…，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形时，矩形的面积为⑤________； 【项目实施】请将上述材料中横线上所缺内容补充完整，并将图形按照要求进行拼接： ①________；②________；③________；④________；⑤________． 【答案】 【项目准备】 ①；②缝隙； 【项目分析】 （）如图所示，即为所求； （）如图所示，即为所求． ③；④5；⑤ 【详解】【项目准备】 （）①； （）②斐波那契数列从和开始，之后的每一项都是前两项之和， 对于其中的每个偶数项都有，当为偶数时，图形拼接之后四个图形之间有缝隙； 【项目分析】 （）如图所示，即为所求； （）如图所示，即为所求． ③正方形的面积和为：； ④矩形的面积正方形的面积和宽长，故答案为； （）结合（）可得，将边长分别为斐波那契数列，，，，，…，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形时，矩形的面积为． 3．（25-26八年级下·重庆·期末）综合与实践 问题提出： 数学上称取到函数最大值时的自变量为该函数的最大值点，例如当时，函数取得最大值，则称是函数的最大值点．工业生产里普遍存在各类函数关系，如催化剂用量与产率、生产温度与产量等，这些函数往往只存在一个最大值点且图象为单峰状（图象只先升后降），如何在未知函数关系式时省时省力地找到最大值点，从而确定最佳生产方案，是工业领域经常关心的问题． 问题解决： 为了避免重复计算，华罗庚用黄金分割比例的对称性设计了求函数的最大值点的方法一一优选法，如表是优选法的部分操作流程，读表并将操作步骤补充完整： 试验范围 试验范围长度 开始试验 第一次试验后 ．．． 取点原则： 对于试验范围，规定左点和右点，其中表示试验范围的长度，即．其中是黄金分割比例，即，满足． (1)第一步：比较，对应试验结果的大小，缩小试验范围，在新范围内取新点； ①若，则最大值点在到之间，试验范围缩小为，试验范围的长度为，由于，因此为此新的范围的右点，于是取新点作为此新的范围的左点，即； ②若，则最大值点在到之间，试验范围缩小为___________，试验范围的长度为，由于，因此为此新的范围的___________点（填“左”或“右”），于是取新点作为此新的范围的右点，即； 第二步：比较与（或）对应试验结果的大小，再缩小试验范围，缩小后试验范围的长度为，在新的试验范围内用同样的原则取新点； (2)重复上述步骤，次试验后，试验范围的长度为___________（用含有的代数式表示），当不超过给定的精确度时结束试验，以该范围的中点作为最大值点． 实践应用： (3)在某药品的生产过程中，已知产率是催化剂用量的函数且只有一个最大值点，某工厂欲用优选法进行催化剂优化试验．下面的表格里记录了几次试验的数据，若规定精确度，求最佳催化剂用量（计算中取）． 催化剂用量（单位：） 100 114 124 138 163 200 产率（单位：%） 79 87 89 85 83 81 【答案】(1)，左 (2) (3) 【分析】（1）当时，函数只存在一个最大值点且图象只先升后降，最大值点在到之间，新的试验范围为；通过计算得出，为新的试验范围长度，从而得出为新的范围的左点； （2）当为左点，为右点时，时的新的试验长度；时的新的试验长度，无论与有怎样的大小关系，都为，同理当为左点，为右点时，无论与有怎样的大小关系，都为；重复上述步骤，次试验后，试验范围的长度为； （3）先计算出，，根据表格判断出，再计算出，由表格可知，再计算出，由表格可知：，此时新试验范围长度为，据此即可得出结果． 【详解】（1）解：∵当时，函数只存在一个最大值点且图象只先升后降， ∴最大值点在到之间， ∴新的试验范围为， ∴新的试验范围长度为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵为新的试验范围长度， ∴为新的范围的左点． （2）解：由（1）可得，，，， 当时，，，即此时为左点，为右点； 当时，，，即此时为左点，为右点； ∴当为左点，为右点时，时的新的试验长度；时的新的试验长度， ∴当为左点，为右点时，或， ∵若， ∴， ∵若， 又∵， ∴， ∴当为左点，为右点时，无论与有怎样的大小关系，都为， 当为左点，为右点时，时的新的试验长度；时的新的试验长度， ∵若；若， ∴当为左点，为右点时，无论与有怎样的大小关系，都为， 同理：当第3次的试验后，； 综上：重复上述步骤，次试验后，试验范围的长度为． （3）解：∵， ∴，， ∴，， 由表格可知：， ∴， 由表格可知：， ∴， 由表格可知：， ∴此时新试验范围长度为， ∴最佳催化剂用量为， 答：最佳催化剂用量为． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $