7.1 为什么要证明（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 7.1 为什么要证明 目 录 A组 巩固过关 题型01 观察与实验 题型02 归纳与类比 题型03 猜想与证明 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 观察与实验题型01 一、单选题 1．用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 2．如图，一扎面值100元的人民币，其总厚度接近1cm，则这扎人民币大约有（　　） A．1000元 B．10000元 C．10万元 D．50万元 二、解答题 3．阅读下面的材料，完成后面的两个问题． 西安大唐不夜城的“真人不倒翁”，这一特色表演吸引了不计其数的游客前往．某校科学探究小组的成员们产生了疑问：为什么表演者不会倒呢？物体的稳定性与哪些因素有关呢？他们进行了如下猜想： 猜想一：与物体的接触面大小有关； 猜想二：与物体的重心高低有关． 为验证猜想，他们设计并进行了如下实验：如图，首先制作了几块质量相同、底面积大小不相同、重心（图中黑点所示）高低不同的圆柱体，然后将它们依次放在同一块木板上（物体不滑动），慢慢转动木板，直至圆柱体翻倒，记录此时木板转过的角度． 实验结果如表： 实验次数 圆柱体的底面直径（cm） 圆柱体的重心高度（cm） 木板转过的角度（度） 第1次 4 5 30 第2次 6 5 45 第3次 8 5 60 第4次 6 7.5 35 第5次 6 10 25 (1)根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A、实验中圆柱体翻倒时木板转过的角度越小，该圆柱体的稳定性越好 B、为验证猜想二，应选择第1、2、3次的实验数据 C、在其他条件一定时，物体的接触面越大，稳定性越好 D、在其他条件一定时，物体的重心越高，稳定性越好 (2)解决问题：要给货车装如图所示的三种货物为了货车不易翻倒，从下到上依次装货物的顺序应为（    ） A．①②③   B．③①②   C．②①③   D．③②① 归纳与类比题型02 一、单选题 1．图是著名的“杨辉三角”，它给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，图列举了的展开式规律．由此的展开式中项的系数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形中共有__________个○． 3．哥德巴赫在教学中发现：，，，，，，，…，，，……由此归纳出了“哥德巴赫猜想”：任一大于2的偶数都可写成两个___之和． 4．请用“归纳”策略解答问题： 如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪10刀，绳子变为________段． 三、解答题 5．【探究】相邻两个数其平方数的差值规律． 【特例】 序号 式子 差值 第1个 3 第2个 5 第3个 7 第4个 9 第5个 11 … … … 【任务】 (1)按照上述规律，请你写出第6个式子； (2)观察表格可知，相邻两个数其平方数的差值为________(填“奇数”或“偶数”)，请你用所学的知识证明该结论． 猜想与证明题型03 一、填空题 1．南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 二、解答题 2．【特例与观察】（1）用“>”“=”或“<”填空： 当时，代数式___________0； 当时，代数式___________0； … 【归纳与证明】（2）换几个数再试试，猜想与0的大小关系为：___________； 证明你的猜想； 【拓展与应用】（3）直接写出代数式的最小值． 3．观察下列等式，探究其中的规律并解答问题： (1)第个等式中，____________； (2)写出第个等式：______________； (3)写出第个等式：_______________（其中为正整数） 一、单选题 1．下列命题中真命题是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．同角或等角的余角相等 C．已知点轴，且，则点的坐标一定是 D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． 2．下面关于“证明”的说法正确的是（　　） A．“证明”是一种命题 B．“证明”是一种定理 C．“证明”是一种推理过程 D．“证明”就是举例说明 二、解答题 3．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第5个等式：___________ (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 4．阅读下列材料： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式：…… 以上前三个等式相加可得： (1)根据规律写出第四个等式： ； (2)根据规律写出第n个等式： ； (3)根据规律计算： 5．在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形．如图1，AB是公共边，，．则△ABC与△ABD是共边偏差三角形．    (1)如图2，在线段AD上找一点E，连接CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由； (2)在图2中，已知，，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形． 一、解答题 1．观察下面的变形规律：，，，…． 根据上面的规律，解答下面的问题： (1)________． (2)计算：． (3)计算：． 2．阅读下面材料，并填空： 我们学过的一些代数公式很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，例如：平方差公式、完全平方公式． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证： 【规律探索】观察下面表示几何图形面积的方法：    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到 （1）如图，阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到______；    【解决问题】 （2）归纳猜想（不需要证明）：____________（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）根据以上结论，计算：______（直接写答案）． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 7.1 为什么要证明 目 录 A组 巩固过关 题型01 观察与实验 题型02 归纳与类比 题型03 猜想与证明 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 观察与实验题型01 一、单选题 1．用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 【答案】B 【分析】本题主要考查了模拟实验，正确理解模拟实验的意义是解题关键．根据模拟实验的意义以及模拟实验的方法分别判断，即可解题． 【详解】解：A、试验次数多与试验次数少所得的规律不一定相同，故此选项错误； B、试验次数越多，所得数据越接近真实值，此选项正确； C、试验次数越少，所得数据不可能越接近真实值，故此选项错误； D、抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会不相同，故此选项错误； 故选：B． 2．如图，一扎面值100元的人民币，其总厚度接近1cm，则这扎人民币大约有（　　） A．1000元 B．10000元 C．10万元 D．50万元 【答案】B 【分析】直接利用一张100元人民币的厚度进而可求解． 【详解】解：∵1张面值100元的人民币的厚度约为0．01cm， ∴总厚度接近1cm，则这扎人民币大约有10000元． 故选：B． 【点睛】本题考查了数学常识，正确记忆一张100元人民币的厚度是解题的关键． 二、解答题 3．阅读下面的材料，完成后面的两个问题． 西安大唐不夜城的“真人不倒翁”，这一特色表演吸引了不计其数的游客前往．某校科学探究小组的成员们产生了疑问：为什么表演者不会倒呢？物体的稳定性与哪些因素有关呢？他们进行了如下猜想： 猜想一：与物体的接触面大小有关； 猜想二：与物体的重心高低有关． 为验证猜想，他们设计并进行了如下实验：如图，首先制作了几块质量相同、底面积大小不相同、重心（图中黑点所示）高低不同的圆柱体，然后将它们依次放在同一块木板上（物体不滑动），慢慢转动木板，直至圆柱体翻倒，记录此时木板转过的角度． 实验结果如表： 实验次数 圆柱体的底面直径（cm） 圆柱体的重心高度（cm） 木板转过的角度（度） 第1次 4 5 30 第2次 6 5 45 第3次 8 5 60 第4次 6 7.5 35 第5次 6 10 25 (1)根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A、实验中圆柱体翻倒时木板转过的角度越小，该圆柱体的稳定性越好 B、为验证猜想二，应选择第1、2、3次的实验数据 C、在其他条件一定时，物体的接触面越大，稳定性越好 D、在其他条件一定时，物体的重心越高，稳定性越好 (2)解决问题：要给货车装如图所示的三种货物为了货车不易翻倒，从下到上依次装货物的顺序应为（    ） A．①②③   B．③①②   C．②①③   D．③②① 【答案】(1)C (2)B 【分析】本题考查的是通过实验归纳总结及物体稳定性的相关知识， （1）根据圆柱体的稳定性取决于圆柱体的底面直径、重心高度及木板转过的角度的综合考虑作出判断即可； （2）由实验可知，重心越低，稳定性越好，据此得出应把重的货物装在下面即可解决． 【详解】（1）解：A、实验中圆柱体翻倒时木板转过的角度越小，该圆柱体的稳定性越好，错误；因为圆柱体的稳定性取决于圆柱体的底面直径、重心高度及木板转过的角度的综合考虑，故本选项不符合题意； B、为验证猜想二，应选择第2、4、5次的实验数据，故本选项不符合题意； C、在其他条件一定时，物体的接触面越大，稳定性越好，故本选项符合题意； D、在其他条件一定时，物体的重心越低，稳定性越好，故本选项不符合题意； 故选：C； （2）解：由实验可知，重心越低，稳定性越好， 因此货车装货物时应把重的货物装在下面，可使货车不易翻倒，应把轻的货物（泡沫板）放在最上边，中间放木板，最下边放钢板， 故选：B． 归纳与类比题型2 一、单选题 1．图是著名的“杨辉三角”，它给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，图列举了的展开式规律．由此的展开式中项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查杨辉三角的递推规律，能根据项的指数确定其位置是解题关键． 先确定对应杨辉三角第行，为从左向右第项，再根据递推规律，用第行第个数的系数与第个数的系数相加求出项的系数． 【详解】解：根据图可知，“杨辉三角”的规律为： 每行首尾都是，中间每个数等于它上方左右两个数的和， 第六行的数，从左到右的系数分别为： 根据图可知，第行第个数的系数为，第个数的系数为， 对应“杨辉三角”第行，展开式中对应第行的第项， 的系数等于第行第个数的系数与第个数的系数之和：． 故选：． 二、填空题 2．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形中共有__________个○． 【答案】37 【分析】本题考查了图形规律探索，根据图形找到规律即可求得结果． 【详解】解：每个图形是“十字形”结构，包含部分：上方固定个○；左右两边：第个图中，每边有个○，两边共个；下方：第个图中有个○， 因此，第个图形的○总数为：， 当时，总数为：． 故答案为：． 3．哥德巴赫在教学中发现：，，，，，，，…，，，……由此归纳出了“哥德巴赫猜想”：任一大于2的偶数都可写成两个___之和． 【答案】 质数 【分析】本题考查归纳与类比． 根据题干通过多个偶数分解为两个质数之和的例子，即可归纳出哥德巴赫猜想的内容． 【详解】解：根据题干所给例子，如，，，，，，，，，， 这些偶数均被分解为两个质数的和， ∴“哥德巴赫猜想”：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和． 故答案为：质数． 4．请用“归纳”策略解答问题： 如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪10刀，绳子变为________段． 【答案】 【分析】本题考查了根据图形的变化规律列代数式的相关知识，根据图形的变化找出其规律是解本题的关键，根据图形，找出规律，每剪1次，绳子数量增加4段，依此规律，将代入其中求值即可． 【详解】解：因为剪开次数（刀）为1，则绳子数量（段）为5， 剪开次数（刀）为2，则绳子数量（段）为9， 所以每剪1次，绳子数量增加4段， 所以剪开次数（刀）为3，则绳子数量（段）为， 剪开次数（刀）为4，则绳子数量（段）为， ， 所以剪开次数（刀）为，则绳子数量（段）为， 当时，， 故答案为：． 三、解答题 5．【探究】相邻两个数其平方数的差值规律． 【特例】 序号 式子 差值 第1个 3 第2个 5 第3个 7 第4个 9 第5个 11 … … … 【任务】 (1)按照上述规律，请你写出第6个式子； (2)观察表格可知，相邻两个数其平方数的差值为________(填“奇数”或“偶数”)，请你用所学的知识证明该结论． 【答案】(1) (2) 奇数． 证明：设相邻两个整数为n和， 则它们的平方差为， ∵n为整数， ∴也为偶数， ∴为奇数， ∴相邻两个整数其平方数的差值为奇数． 【分析】本题考查了平方差公式，数字规律探究及奇数与偶数的性质． （1）通过特例中的序号、式子、差值的规律即可表示出第6个式子； （2）设较小的数为n，较大的数位，再计算平方数的差值，最后分析的奇偶性即可． 【详解】（1）解：按照上述规律可知，第6个式子为：． （2）解：略． 猜想与证明题型03 一、填空题 1．南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 【答案】C、B、A、E、D 【分析】此题考查了逻辑推理， 根据老师的话“每个名次都有人猜对”，分析各人的猜测，由于第二名只有D猜测“B第二名”，因此B必须是第二名；进而第三名必须被猜对，只有E猜测“A第三名”可能正确，因此A是第三名；第一名由D猜测“C第一名”正确，故C是第一名；第四名和第五名需被猜对，第五名只能是D（因为C已是第一名），故D是第五名；第四名只能是E，被B或C猜对． 【详解】∵每个名次都有人猜对，第二名只有D猜测“B第二名” ∴B是第二名； ∴此时A的“B第三名”错误，E的“A第三名”必须正确以确保第三名被猜对， ∴A是第三名； ∴C的“A第一名”错误， ∴D的“C第一名”正确， ∴C是第一名； ∴A的“C第五名”错误， ∴B的“D第五名”正确， ∴D是第五名； ∴ B的“E第四名”正确， ∴E是第四名． 故答案为：C、B、A、E、D． 二、解答题 2．【特例与观察】（1）用“>”“=”或“<”填空： 当时，代数式___________0； 当时，代数式___________0； … 【归纳与证明】（2）换几个数再试试，猜想与0的大小关系为：___________； 证明你的猜想； 【拓展与应用】（3）直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）>，=；（2）；（3）4 【分析】本题考查因式分解-运用公式法、非负数的性质和计算求值； （1）利用代入法把x的值代入代数式可得答案； （2）首先根据题意代入几个其他数值求解，再把代数式变形为，根据非负数的性质可得，，进而得到答案； （3）首先把代数式化为，根据偶次幂具有非负性可得，进而得到即可． 【详解】（1）解：当时，代数式； 当时，代数式； 故答案为：>，=； （2）解：当时，代数式； 当时，代数式； 猜想与0的大小关系为； 故答案为：； （3）解： ∵ ∴， ∴代数式的最小值为． 3．观察下列等式，探究其中的规律并解答问题： (1)第个等式中，____________； (2)写出第个等式：______________； (3)写出第个等式：_______________（其中为正整数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字规律的探究，涉及对等式中数字特征（如首项、项数、等式右边底数等）的观察、分析与归纳能力，以及用代数式准确表达规律的能力．解题关键在于仔细观察等式两边数字的特征和变化规律，特别是等式左边数字的起始位置、个数以及与等式右边底数的内在联系． （1）观察数字规律，即可得出； （2）根据总结出的规律，即可列出第5个等式； （3）根据总结出的规律，即可列出第n个等式． 【详解】（1）（1）观察前面的等式：   ，等式左边个数，起始数字是，等式右边底数是．   ，等式左边个数，起始数字是，等式右边底数是． ，等式左边个数，起始数字是，等式右边底数是． 可以发现规律：等式左边数字的个数是从开始的连续奇数，第个等式左边数字个数为；等式右边的底数是从开始的连续奇数，第个等式右边底数为，且等式左边起始数字为． 对于第个等式，等式左边数字个数为个，起始数字是，等式右边底数应该是，即． （2）根据上述规律，第个等式左边起始数字是，数字个数为个． 等式左边为，等式右边底数为， 所以第个等式为． （3）根据上述规律，等式左边起始数字为，数字个数为个，依次为，，，．．．．等式右边底数为， 所以第个等式为． 故答案依次为：（1）；（2）；（3）． 一、单选题 1．下列命题中真命题是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．同角或等角的余角相等 C．已知点轴，且，则点的坐标一定是 D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． 【答案】B 【分析】本题考查了真假命题的判定，掌握平行线的性质，余角的性质，坐标与图形的特点是解题的关键． 根据平行线的性质，余角的性质，坐标与图形特点进行判定即可求解． 【详解】解：两条相互平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故A选项是假命题，不符合题意； 同角或等角的余角相等，B选项是真命题，符合题意； 已知点轴，且，则点的坐标是或，故C选项是假命题，不符合题意； 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故D选项是假命题，不符合题意． 故选：B ． 2．下面关于“证明”的说法正确的是（　　） A．“证明”是一种命题 B．“证明”是一种定理 C．“证明”是一种推理过程 D．“证明”就是举例说明 【答案】C 【分析】公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实， 这种推理的过程称为证明． 本题考查了证明的概念，根据证明的概念求解即可． 【详解】“证明”是一种推理过程． 故选：C． 二、解答题 3．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第5个等式：___________ (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) ； (2) 解：猜想的第个等式为， 证明： ， ， ∴． 【分析】本题考查数字类规律探索，完全平方公式，多项式乘法． （1）由前四个等式得出规律，即可得出结果； （2）根据已知等式找规律，进行猜想，根据完全平方公式和多项式乘法证明即可． 【详解】（1）解：通过观察可得，第5个等式为， 故答案为：． （2）略 4．阅读下列材料： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式：…… 以上前三个等式相加可得： (1)根据规律写出第四个等式： ； (2)根据规律写出第n个等式： ； (3)根据规律计算： 【答案】(1) (2) (3)2660 【分析】本题主要考查了数字规律、列代数式、有理数的混合运算等知识点，发现规律是解题的关键． （1）类比前3个等式，写出第四个等式即可； （2）根据（1）归纳规律即可解答； （3）按（2）的规律变形原式，然后整理即可解答． 【详解】（1）解：第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：． 故答案为：． （2）解：由（1）可归纳第n个等式为． （3）解： ． 5．在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形．如图1，AB是公共边，，．则△ABC与△ABD是共边偏差三角形．    (1)如图2，在线段AD上找一点E，连接CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由； (2)在图2中，已知，，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形． 【答案】(1) 解：在AD上取点E，使得，则点E即为所求．      理由： ∵AC是公共边，， ∴△ACE与△ACD是共边偏差三角形． (2) 证明：由（1）作法可知， ∴． 又∵，， ∴， 又∵，， ∴△ABC≌△AEC（AAS）． ∴． ∴． 在△ACB与△ACD中， ∵AC是公共边，，， ∴△ACB与△ACD是共边偏差三角形． 【分析】（1）根据共边偏差三角形的定义可知，取CE=CD即可； （2）根据AC是公共边，∠1=∠2，可证△ABC≌△AEC，再证BC=CD，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题是新定义题，主要考查了全等三角形的判定与性质，理解共边偏差三角形的定义，将问题转化为找全等三角形是解题的关键． 一、解答题 1．观察下面的变形规律：，，，…． 根据上面的规律，解答下面的问题： (1)________． (2)计算：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）根据（1）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可； （3）先将原式各项提取公因数，将原式转化为，再根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：； （2）原式， ． （3）原式， ， ， ． 2．阅读下面材料，并填空： 我们学过的一些代数公式很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，例如：平方差公式、完全平方公式． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证： 【规律探索】观察下面表示几何图形面积的方法：    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到 （1）如图，阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到______；    【解决问题】 （2）归纳猜想（不需要证明）：____________（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）根据以上结论，计算：______（直接写答案）． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题关键在于构造正方形，找到规律后得到结论． （1）如图构造正方形：A表示一个的正方形，表示个的正方形，表示个的正方形，而恰好可以拼成一个边长为的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出； （2）由以上几何图形的面积规律可猜测出； （3）提公因数即可转化为本题已经探究出的规律进行求解． 【详解】解：（1）如图， A表示一个的正方形，表示个的正方形，表示个的正方形，而恰好可以拼成一个边长为的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出， 故答案为：； （2）根据以上规律可知，为一个边长为的正方形面积， 故， 故答案为：；； （3）， 故答案为：288800． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $