专题02 数轴上的动点问题有关的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

专题02 数轴上的动点问题有关的五种模型 题型一 数轴上动点之相遇问题 题型二 数轴上动点之相距问题 题型三 数轴上动点之三点中点问题 题型四 数轴上动点之新定义型问题 题型五 数轴上动点之折线数轴问题 题型一：数轴上动点之相遇、相距问题 1．（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中是最小的正整数，且多项式的最高次项的系数为，常数项为． (1)___________，___________，___________； (2)若点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒，当为何值时与相距3个单位长度？ 【答案】(1)；1；9 (2)当或时，与相距3个单位长度 【分析】本题主要考查了多项式的定义、有理数、数轴上的动点问题、一元一次方程等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）是最小的正整数可确定b的值，再根据多项式的定义可确定a、c的值； （2）由题意得，运动秒后点，点表示的数分别为．然后分点在点右侧和左侧两种情况，分别列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵多项式的最高次项的系数为，常数项为． ∴，． 故答案为：；1；9． （2）解：由题意得，运动秒后点，点表示的数分别为． 当点在点右侧，与相距3个单位长度时，，解得； 当点在点左侧，与相距3个单位长度时，，解得． 综上所述，当或时，与相距3个单位长度． 2．（26-27七年级上·重庆璧山·阶段检测）如图，点、在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁、分别从、两点同时出发，相向而行，的速度为2个单位长度/秒，的速度为1个单位长度/秒． (1)运动_____秒钟时，两只蚂蚁相遇在点；点在数轴上表示的数是_____； (2)若运动秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出的值（写出解题过程）． 【答案】(1)； (2)解：运动t秒时，蚂蚁M所在位置的数为，蚂蚁N所在位置的数为， 由题意，得， 整理得：， 当时，解得． 当时，解得． 综上，t的值为​或10． 【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）先表示出运动t秒时蚂蚁M和蚂蚁N所在位置表示的数，然后根据两只蚂蚁的距离为10列方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动x秒时，两只蚂蚁相遇，根据题意可得： ， 解得：， ． （2）略． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒： (1)当时，线段的长度为________； (2)当为何值时，点与点相遇？ (3)当为何值时，线段的长度为个单位长度？ 【答案】(1) (2) (3)或秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间距离表示方法、一元一次方程等知识，数形结合，由数轴上两点之间距离表示列方程求解是解决问题的关键． （1）根据题意，结合点的运动情况先求出点表示的数为，点表示的数为，当时，由数轴两点之间距离表示方法计算即可得到答案； （2）由（1）知点表示的数为，点表示的数为，相遇时，表示出线段长度得到方程求解即可得到答案； （3）由（1）知点表示的数为，点表示的数为，分两种情况：①相遇前；②相遇后；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为， 线段的长度为， 故答案为： （2）解：由（1）知点表示的数为，点表示的数为， 相遇时，即， ， 解得， 答：当秒时，点与点相遇； （3）解：由（1）知点表示的数为，点表示的数为， 分两种情况： ①相遇前，即， ， 解得； ②相遇后，即， ， 解得； 综上所述，当或秒时，线段的长度为个单位长度． 4．（26-27七年级上·河北保定·阶段检测）已知数轴上点表示的数是，点表示的数是．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒（）． (1)用含的式子表示点、点在数轴上所表示的数； (2)求两点相遇时，相遇点在数轴上所表示的数； (3)当两点相距个单位长度时，求的值． 【答案】(1)点表示的数为，点表示的数为 (2)相遇点在数轴上表示的数是（即） (3)当秒或秒时，两点相距个单位长度 【分析】（1）根据沿数轴运动左减右加，列代数式即可； （2）根据当相遇时，在数轴上表示的数相等，即可得到答案； （3）根据用两点数值差的绝对值表示数轴上两点间的距离，列出两点距离为的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是，动点从点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数为，点表示的数为； （2）解：当相遇时，， 解得：，代入， ∴相遇点在数轴上表示的数是（即）； （3）解：由（1）可知，两点间的距离为， 由，得或， 解得或． ∴当秒或秒时，两点相距个单位长度． 5．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，已知数轴上点表示的数为12，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为20，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)若在点出发的同时，动点从点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：出发几秒后，点与点相遇？ (3)若点、出发的同时，点从原点以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，则出发________秒后，． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了两点间的距离公式、列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合的思想列方程求解是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求得点B表示的数，再由求解即可； （2）根据点P与点Q相遇时，，列方程求解即可； （3）结合数轴如图分类讨论：分别求得，，或，，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵由题意得，点B表示的数是，点P表示的数是， 故答案为：，； （2）解：由题意得，，， 当点P与点Q相遇时，， ∴，即， ∴， ∴出发后点P与点Q相遇； （3）解：如图， ，， ∵， ∴， ∴， ∴出发秒后，； 如图， 则，， ∵， ∴， ∴（不符合题意，舍去）   由（2）知：当P、Q重合，即时，， ∴出发或后，． 6．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为和4．点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动；同时点Q从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒． (1)A、B两点间的距离为________________； (2)当t为何值时，点P与点Q相遇？相遇点表示的数是多少？ (3)若点M在A、B两点之间（不含端点），且点M到点A的距离等于点M到点B的距离的3倍，求点M表示的数． 【答案】(1) (2)4；0 (3)1 【分析】（1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）用含t的式子表示出运动t秒时点P和点Q表示的数，再根据二者相遇时，点P与点Q表示的数相同建立方程求解即可； （3）设点M表示的数为m，根据两点间的距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，A、B两点间的距离为； （2）解：由题意得，运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P与点Q相遇时，点P与点Q表示的数相同，则， 解得， 此时，即相遇点表示的数是0； （3）解：设点M表示的数为m， 由题意得，， 解得， ∴点M表示的数为1． 7．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，在数轴上有两点，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒（）． (1)当时， ，此时点表示的数为 ； (2)当时，求的值； (3)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点同时出发，问经过多少秒，两点相遇？ 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，点表示的数为，将代入上式，即可求解． （2）根据题意可得，再结合，即可列式，分成当和两种情况，求解即可． （3）根据题意可得，，设经过秒相遇，则列，求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为， 当时，，点表示的数为， 故答案为：；． （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵，， ∴， 当时，，解得； 当时，，解得 （舍去）， ∴． （3）解：点表示的数为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴， ∵，点表示的数为，点表示的数为， 故可设经过秒相遇，则， 解得：． 8．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，已知数轴上点A表示的数为12，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为22．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是_________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1) (2)①；②或6 【分析】（1）利用数轴的性质列式计算即可； （2）①先分别求出点，所表示的数，再根据它们相遇时，所表示的数相等建立方程，解方程即可； ②根据数轴的性质建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：数轴上点表示的数是． （2）解：由题意得：点表示的数是，点表示的数为， ①当点与点相遇时，则， 解得， 即当点运动秒时，点与点相遇． ②当点与点间的距离为8个单位长度时，则， 即， ∴或， ∴或， 即当点运动秒或6秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 9．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．（） (1)数轴上点B表示的数是______；当时，点P所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)； (2)①2.5；②0.5或4.5 【分析】（1）根据两点间距离可得到点B，点P表示的数； （2）①根据当点P追上点Q时，点P表示的数和点Q表示的数一样，列方程即可求解； ②根据点P与点Q之间的距离为8个单位长度，根据两点间距离公式列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，B在A左侧，A，B两点间的距离为10， ∴点B表示的数是， 当时，点P所表示的数为：． （2）解：点P表示的数：，点Q表示的数：， ①点P追上点Q时： 解得， ∴当点P运动2.5秒时，点P追上点Q． ②∵点P与点Q间的距离为8， ∴ ， ∴或    ， ∴或， ∴当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 10．（25-26七年级上·辽宁辽阳·期末）如图，已知点，，是数轴上的三个点，点为原点，点，在数轴上表示的数分别为，，且，满足，点，点之间的距离记为． (1)________，________，________； (2)动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设，运动时间为秒． ①当时，求的长； ②若，求的值． ③若动点从原点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点比点，晚出发2秒，求（）为何值时，． 【答案】(1)，，； (2)①；②或；③或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题,数轴上两点间的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识． （1）根据非负数的性质得到，，根据两点间的距离公式即可求出的值； （2）①根据计算即可； ②分两种情况列方程求解即可； ③分两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：，，； （2）解：①由题意可知，当时，； ②，相遇前，，解得：； ，相遇后，，解得：； ③∵点比点，晚出发2秒， ∴当，相遇前，，解得：； ，相遇后，，解得：． 题型二：数轴上动点之定值问题 11．（25-26七年级上·广东惠州·期末）如图，数轴上的点，，分别表示数，，，其中是最大的负整数，且多项式是关于的二次多项式，一次项系数为． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，此时与点重合的点所表示的数为________； (3)若数轴上有一点，且点表示数，则的最小值为________； (4)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为． ①请你用含的代数式表示线段和线段的长； ②是否存在常数，使的值为定值？若存在，请求出的值和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，7 (2)3 (3)12 (4)①，；②当时，的值为定值，定值为． 【分析】本题主要考查了多项式的概念、数轴上两点间的距离、折叠问题、整式的加减运算、绝对值等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据b是最大的负整数可得，根据多项式的概念可得，； （2）先求出折痕表示的数，进而可求出与点B重合的点所表示的数； （3）分、、、四种情况，分别去绝对值求最值即可解答。 （4）①先表示出点P和点Q表示的数，进而可用含t的代数式表示线段和线段的长； ②根据，当时，其值为定值,据此求解即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴； ∵多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c， ∴， ∴． 故答案为：，，7； （2）解：∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折痕处的数是， ∴与点B重合的点所表示的数为． 故答案为：3； （3）解：当时，，当时，有最小值16； 当时，，当时，有最小值12； 当时，，当时，有最小值12； 当时，，当时，有最小值20； 综上，的最小值为12； （4）解：①∵后点P表示的数是，点Q表示的数是， ∴，， ②存在， ∵， ∴当，即时，的值为定值，定值为． 12．（25-26七年级上·河北保定·期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”；若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”． (1)若点A表示的数为，则A的幸福点F所表示的数应该是______； (2)如图1，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和为______； (3)如图2，A、B、C为数轴上三点，点A所表示的数为，点B所表示的数为4，点C所表示的数为8． ①若点F是A和B的幸福中心，则点F表示的数为______； ②若点P，Q分别从点A，B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过______秒时，点R是P和Q的幸福中心； ③若点P从点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q、R分别从点B、C以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，存在一个常数m，使得为定值，请求出m的值． 【答案】(1)或1 (2)7 (3)①a的值为或；②或；③当时，的值为定值30 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题，正确理解幸福中心和幸福点的定义，根据数轴上两点距离公式进行求解是解题的关键． （1）设点F表示的数为x，根据幸福点的定义列出方程，解方程即可得到答案； （2）设点F表示的数为m，根据幸福中心的定义列出方程，再讨论m的取值范围，去绝对值求出当时，，由此求出满足题意的整数m，再求和即可得到答案； （3）①设F表示的数为a，由点F是A和B的幸福中心，得到， 分类讨论：当时，当时，当时，逐项分析求解即可； ②设经过t秒时，点R是P和Q的幸福中心，则点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，根据幸福中心的定义得到，然后讨论m的取值范围，去绝对值求解即可；③设运动时间为t，则点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，求出，，，进而求出，再根据的值与t无关，则，解得，进而求出定值的值即可． 【详解】（1）解：设点F表示的数为x， 由题意得，， ∴或， ∴或， ∴A的幸福点F所表示的数应该是或1， 故答案为：或1； （2）解：设点F表示的数为m， 由题意得， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，，即此时点F和点M和点N的幸福中心， ∴满足题意的整数m有， ∴F所表示的所有数中，整数之和为， 故答案为：7； （3）解：①设F表示的数为a ∵点F是A和B的幸福中心， ∴， 即， 当时， ， 解得， 当时， ， ，不成立，舍去； 当时， ， ， ∴a的值为或． ②设经过t秒时，点R是P和Q的幸福中心， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， ∵点R是P和Q的幸福中心， ∴， ∴， 当时，， 解得，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 解得，符合题意； 综上所述，经过秒或秒，点R是P和Q的幸福中心； 故答案为：或； ③设运动时间为t， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， ∴，，， ∴ ， ∵的值为定值， ∴的值与t无关， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的值为定值30． 13．（25-26七年级上·广东深圳·期末）【背景知识】1．数轴揭示了数与点之间的内在联系，使数和数轴上的点建立起对应关系，它是“数形结合”的典型体现．有理数和在数轴上对应的点分别为和，则两点之间的距离表示为，记为． 2．定义：若是倍的（即），或是倍的（即），则称点为线段的“倍点”．例如：点表示的数是，点表示的数是1，则点作为线段的“2倍点”对应的数有（如图1-1），（如图1-2），0（如图1-3），4（如图1-4）． 【问题情境】如图2，已知点表示的数是，点表示的数是4．点从点出发，以每秒2单位长度的速度向右运动． 【综合运用】 (1)___________（请填写最简形式）； (2)若点表示的数是10，则点___________（填“是”或“不是”）线段的“2倍点”； (3)秒后，点表示的数为___________（用含的代数式表示）； (4)若点为线段的“1倍点”，点为线段的“1倍点”，请问点在运动过程中，线段的长度会不会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长； (5)若点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动．当点到达点时，，点同时停止运动．当___________时，原点为线段的“3倍点”． 【答案】(1)6 (2)是 (3) (4)线段的长度不会发生变化，的长为3 (5)当或或时，原点为线段的“3倍点” 【分析】（1）根据点表示的数是-2，点表示的数是4利用绝对值的几何意义进行计算的长即可； （2）根据点表示的数是10计算和的长度，因为此时点E已经在点D的右侧，因此只需判断是否存在即可； （3）根据点P的运动时间和运动速度写出点P运动的距离，再根据点表示的数是-2写出点表示的数即可； （4）首先根据“1倍点”推导出点为线段的中点，点为线段的中点，即可根据中点公式求出点、表示的数字，再结合绝对值的几何意义求出是否是定值不变即可得到结论； （5）首先根据点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动写出点表示的数为，再根据原点为线段的“3倍点”分为或进行分类讨论求解，注意当点到达点时，，点同时停止运动，所以的取值范围应该为，根据范围判断符合条件的值即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是4， ∴， 故答案为：6； （2）解：∵点表示的数是10， ∴，， ∴， ∴点是线段的“2倍点”， 故答案为：是； （3）解：∵点从点出发，以每秒2单位长度的速度向右运动， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：； （4）解：∵点为线段的“1倍点”， ∴， ∴点为线段的中点， ∴点表示的数为， ∵点为线段的“1倍点”， ∴， ∴点为线段的中点， ∴点表示的数为， ∴， ∴线段的长度不会发生变化，的长为3； （5）解：∵点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动， ∴点表示的数为，点表示的数为，原点表示的数字为0， ∵点为线段的“3倍点”， ∴或， 当时， ∴，解得：或， ∵当点到达点时，，点同时停止运动， ∴， ∴； 当时， ∴，解得：或， ∵当点到达点时，，点同时停止运动， ∴， ∴或； ∴当秒或秒或秒时，原点为线段的“3倍点”． 14．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最小的正整数，且a，c满足． (1)___________，___________，___________； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动，设后，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．问：为何值时，． (3)若为一个常数使得的值不随的变化而变化，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3 【分析】（1）因为是最小的正整数，且a，c满足，所以，且，据此求出即可； （2）由题意，秒后A的位置表示为，B的位置表示为，C的位置表示为，则，，因为，则，解方程即可； （3），若的值不随的变化而变化，则，求解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵是最小的正整数， ∴． 故答案为：； （2）解：由题意，秒后A的位置表示为，B的位置表示为，C的位置表示为， 则，，， ∵， ∴， ∴或， 解得或； （3）解： ， 若的值不随的变化而变化， 则， 解得：； 15．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如图，线段上有一点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，求运动时间的值； (2)在相遇前，分别取和的中点，的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值， 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及两点之间的距离、一元一次方程的应用． （）根据点的运动速度和方向，得出，并结合算出，确定运动总时长为秒，然后分“相遇前”和“相遇后”两种情况列方程，即可解答； （）先结合已知的和，推出；再根据分别为中点，得出，进而由算出；接着代入得到，最后将其与代入比值公式化简，约去含的项，得出． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动， ∴， ∵同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动， ∴， ∵， ∴， ∴运动总时长：秒，即， ∵向左运动，向右运动，当点到达点时，、两点同时停止运动， ∴当还未相遇时：， ∵， 则可列出方程， ∴， 当相遇后：， 则可列出方程， 解得， ∵， ∴； （2）解：是定值， ∵， ∴ ， ∵分别为中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即的值是定值． 题型三：数轴上动点之三点中点问题 16．（25-26七年级上·河北唐山·期末），两点在数轴上的位置如图所示，点在点的右侧，其中点对应的有理数为，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度与点同向运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，的长是____，点表示的有理数为___； (2)点追上点时，求的值； (3)当时，求的值； (4)当、两点中任意一点成为图中、、、四点组成的任意一段线段的中点时，直接写出所有的值． 【答案】(1)6，2 (2) (3)或 (4)的值为3或4或8． 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）首先求出点对应的有理数为，然后根据题意列方程求解即可； （3）根据列方程求解即可； （4）根据题意分情况讨论，分别根据中点的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（） ∴当时，的长是； ∴点表示的有理数为； （2）解：∵点对应的有理数为， ∴点对应的有理数为 ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴当点追上点时， 解得； （3）解：根据题意得， 解得或； （4）解：∵点对应的有理数为，点对应的有理数为， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当Q是中点时，，解得，不符合题意，舍去； 当Q是中点时，，无解； 当Q是中点时，，无解； 综上所述，的值为3或4或8． 17．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）动点探究题： 如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为10，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)运动开始前，线段的长度为________；当时，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)当，两点相遇时，求相遇点所表示的数． (3)若点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，是否存在使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)存在；秒或10.8秒 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）根据题意直接可得线段的长度，秒后，再求出当时，点表示的数及点表示的数为； （2）秒后点表示的数为，点表示的数为，再列出方程求解即可； （3）分别求出M点表示的数：，N点表示的数：，再求出，再求解即可． 【详解】（1）解：线段的长度为：； 时，点表示的数为：，点表示的数为：． 故答案为：，，； （2）解：秒后点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 解得：， 相遇点表示的数：； （3）解：M点表示的数：， N点表示的数：， ， 即或， 解得：或， 故存在，秒或10.8秒． 18．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，a，c满足，其中点B为线段的三等分点，且点B位于数轴正半轴上． (1)填空： ， ， ； (2)若在数轴上，点A以每秒3个单位长度向右运动，同时点B，点C分别以每秒2个，1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒． ①当点A在点C左侧时，是否存在常数m，使得的值不随t的改变而改变？若存在，请求出m；若不存在，请说明理由； ②求t为多少时，A，B，C三点中恰好有一个点为另外两点所连线段的中点． 【答案】(1) (2)①存在，；②或或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，整式加减中的无关型问题，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据非负性求出，根据三等分点，求出即可； （2）①表示出三个点表示的数，根据两点间的距离公式，以及整式的加减运算法则，求出的值，根据的值不随t的改变而改变，得到值与无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可；②分3种情况，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由题意，， ∴； （2）①由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 当点A在点左侧时， ； ∵的值不随t的改变而改变， ∴， ∴； ②当为中点时，则，解得； 当点为中点时，则，解得； 当点为中点时，则，解得； 综上：或或． 19．（25-26七年级上·江西景德镇·期末）【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点，表示的数分别是，． （1）当，分别取下列值时，求，两点间的距离． ，；，；，． （2）用，表示，两点间的距离 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）用，表示，两点之间的距离是____________． 【解决问题】 （2）当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是___________； （3）如图，已知数轴上有，两点，分别表示的数为，6，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度从点出发沿数轴向左匀速运动，点，均运动到对方起点后停止（不返回），设运动时间为秒． ①点运动秒后所在位置的点表示的数为____________；点运动秒后所在位置的点表示的数为____________；（用含的式子表示） ②，两点经过多少秒会相距6个单位长度？ ③在点，运动过程中，，，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）7；（3）①；；②秒或秒；③或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离公式，是解题的关键． （1）利用数轴上两点之间的距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值意义进行化简求值即可； （3）①根据点P、Q移动的速度表示出点P、Q表示的数即可； ②由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，构建绝对值方程，再解方程即可； ③分四种情况讨论：当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时，当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时，当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时，当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时，分别列出方程，再解方程即可． 【详解】解：（1）用，表示，两点之间的距离是； （2）∵表示数的点在与3之间移动， ∴， ∴； （3）①∵点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度从点出发沿数轴向左匀速运动， ∴点运动秒后所在位置的点表示的数为，点运动秒后所在位置的点表示的数为； ②∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距6个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过秒或秒时相距6个单位长度； ③当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：； 当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：， 当时，，， ∴当时，点Q在原点右侧，点P在原点左侧，不符合题意； 当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时， 由题意得， 解得：； 当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时， 由题意得：， 解得：； 综上所述：，，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，或或． 20．（25-26七年级上·全国·期末）已知数轴上有、、三点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且、满足，点在数轴上对应的数为，且是方程的解． (1)数轴上点、、表示的数________、________、________； (2)如图1，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，经过多少秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度？ (3)如图2，若动点、两点同时从、出发，向右匀速运动，同时动点从点出发，向左匀速运动，已知点的速度是点的速度的倍，点的速度是点的速度倍少个单位长度/秒．经过秒时，、、三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请求出动点的运动速度． 【答案】(1)，12，4 (2)经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度 (3)点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值和平方的非负性、一元一次方程的应用以及中点的性质，熟练掌握用代数式表示数轴上点的位置，结合距离和中点的性质列方程，是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求出、的值，再解方程求出的值． （2）设运动时间为未知数，用含时间的式子表示出、两点的位置，根据两点距离为列绝对值方程求解． （3）设点的运动速度为未知数，用含速度的式子表示出秒后、、三点的位置，分三种情况讨论其中一点为另外两点的中点，列方程求解并检验解的合理性． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ，， 解方程得， ， 故答案为：，，； （2）解：设经过秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度． 由题意得，运动秒后点表示的数为，点表示的数为， 、之间的距离恰好等于， ， ， 或， 解得或， 经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度； （3）解：设点的运动速度为个单位长度/秒，则点的运动速度为个单位长度/秒， 点的运动速度为个单位长度/秒，则运动秒后点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为， 当点为，的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得（舍去）； 综上所述，点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒． 题型四：数轴上动点之新定义型问题 21．（25-26七年级上·广东深圳·期末）【定义】 点在同一直线上，当点满足或时，则称点是点的“倍点”． 【理解】 （）若点在数轴上表示的数分别为，，，则点是否为点的“倍点”？________（填“是”或“否”） （）如图，点在数轴上对应的数分别为，，点是数轴上的一个动点，从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒： ①点对应的数为________；________（请用含的代数式表示）； ②当运动时间为何值时，点恰好是点的“倍点”？请求出符合条件的值． 【拓展】 （）小明和小颖同时从公园入口出发，沿笔直道路骑行至指定点（如图），骑行速度开始均为，间距离为．当骑行至道路上的自助售货机处时，小明停下来买矿泉水，停留后，以的速度继续骑行，最终两人同时到达点．请求出的长度，同时判断自助售货机处是否为点的“倍点”，并说明理由． 【答案】（）是； （）①；；②或； （）自助售货机处是点的“倍点”，理由： 设小明买完水后继续骑行的时间为秒， 由题意得，， 解得， ， ∴， ， ∴自助售货机处是点的“倍点”． 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式求出的长，再根据“倍点”的定义即可判断求解； （）①根据题意及数轴上两点间距离公式解答即可求解；②由题意可得的情况不成立，则，再根据数轴上两点间距离公式列出方程即可求解； （）设小明买完水后继续骑行的时间为秒，可得，解得，再分别求出的长，进而根据“倍点”的定义即可判断求解； 本题考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）∵点在数轴上表示的数分别为，，， ∴，， ∴， ∴是点的“倍点”， 故答案为：是；   （）①∵点从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为秒， ∴点对应的数为； ∵点在数轴上对应的数为， ∴， 故答案为：；； ②∵点从原点出发向右匀速运动， ∴的情况不成立，则， 即， 解得或； （）略 22．（25-26七年级上·北京延庆·期末）对于数轴上不重合的两点，给出如下规定：若该数轴上存在一点，通过比较线段和的长度，将较短线段的长度称为点到线段的“近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则线段或的长度为点到线段的“近距离” (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为2． ①若点P表示的数是，则点P到线段的“近距离”为___________； ②若点A表示的数为a，点A到线段的“近距离”为3，则a的值为___________； (2)如图2，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2．点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动．设点、运动的时间为秒，当点到线段的“近距离”为2时，直接写出的值． 【答案】(1)①；②或或； (2)或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）①分别求出和，再根据“近距离”的定义作答即可；②分三种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可； （2）由题意可知，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点和点的位置关系，分四种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为2，点P表示的数是， ，， 点P到线段的“近距离”为， 故答案为： ②当点在点左侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 当点在点、之间时，，， ，点A到线段的“近距离”为3， ， ，， 解得：； 当点在点右侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 综上可知，a的值为或或； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ①当时，点在点左侧，此时， ， 解得：； ②当时，点在点、之间，且， ， 解得：，不符合题意； ③当时，点在点、之间，且， ， 解得： 此时，不符合题意； ④当时，点在点右侧，此时， ， 解得：， 综上可知，当点到线段的“近距离”为2时，的值为或． 23．（25-26七年级上·全国·期末）对数轴上的点和线段，给出如下定义：点是线段的中点，点是线段的中点，称线段的长度为线段与的“中距离”． 已知数轴上，线段（点在点的左侧），（点在点的左侧）． (1)当点表示时， 若点表示，点表示，点表示，则线段与的“中距离”为，线段与的“中距离”为______； 若线段与的“中距离”为，则点表示的数是______． (2)线段、同时在数轴上运动，点从表示的点出发，点从原点出发，线段的速度为每秒个单位长度，线段的速度为每秒个单位长度，开始时，线段、都向数轴正方向运动；当点与点重合时，线段随即向数轴负方向运动，仍然向数轴正方向运动．运动过程中，线段、的速度始终保持不变． 设运动时间为秒． 当时，线段与的“中距离”为______； 当线段与的“中距离”恰好等于线段的长度时，求的值． 【答案】(1)；或1； (2)；当线段与的“中距离”恰好等于线段的长度时，的值为或或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，中点公式，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①求出两条线段的中点表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可；②求出，线段的中点表示的数，再根据“中距离”求出线段的中点表示的数，进而可求出点E表示的数； （2）①求出当点与点重合时，此时点E表示的数为，则可求出当时，点A表示的数和点E表示的数，进而可表示出两条线段的中点表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可；②分两种情：和，分别表示出两条线段中点表示的数，根据线段与的“中距离”恰好等于线段的长度建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，线段的中点表示的数为， 线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ②由题意得，线段的中点表示的数为， ∵线段与的“中距离”为， ∴线段的中点与表示数2的点的距离为2， ∴线段的中点表示的数为或， 当线段的中点表示的数为0时，∵，且点E在点F左侧， ∴点E表示的数为； 当线段的中点表示的数为4时，∵，且点E在点F左侧， ∴点E表示的数为； 综上所述，点E表示的数为或1； （2）解：①当没有改变方向前，点E表示的数为，点B表示的数为， 当点与点重合时，，解得，此时点E表示的数为， ∴运动3秒后，线段随即向数轴负方向运动； ∴当时，点A表示的数为，点E表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ②当时，点A表示的数为，点E表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ∵线段与的“中距离”恰好等于线段的长度， ∴， 解得； 当时，点A表示的数为，点E表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ∵线段与的“中距离”恰好等于线段的长度， ∴， 或， 解得或； 综上所述，t的值为1或或5． 24．（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，如果线段之间依次排列的点，，，…，将线段n等分，则这个点都叫做线段的n等分点．若是靠近A的第1个n等分点，记为，是靠近A的第2个n等分点，记为，…，是靠近A的第个n等分点，记为． (1)小利探究发现： 如图，点A、B表示的数分别为a、b（）， 点为线段上靠近点A的第2个五等分点，则点表示的数为， 点为线段上靠近点B的第1个五等分点，则点表示的数为． 根据小利的探究，若a、b分别为、4，则点表示的数为______，点表示的数为______； (2)数轴上A、B两点表示的数分别为、， ①数轴上C、D两点表示的数分别为、4，若线段的等分点与线段的等分点重合，则x的值为_____； ②点P从A点出发以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从B点出发以每秒4个单位的速度向左移动，点M为线段的中点，记点A与M的距离为，点为线段的等分点，记点B与的距离为，当与相等时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)，2 (2)①3；②和 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、列代数式及一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据等分点公式可直接进行求解； （2）①根据等分点公式列出代数式，再根据两点重合列出方程，再求解即可； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为：再列出方程，最后分类求解即可． 【详解】（1）解：， 线段的长度为． 点是靠近点的第1个六等分点，其表示的数为： 点是靠近点的第2个六等分点，其表示的数为： 所以，点表示的数为，点表示的数为2． 故答案为：，2； （2）解：①由题意可得：线段的长度．线段的长度． 点在线段上，其表示的数为： 点在线段上，其表示的数为： 由两点重合得： 解得： 所以的值为3． 故答案为：3； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为： 点与点的距离为： 点为线段上靠近点的第3个八等分点，其表示的数为： ， 点与点的距离为： 由得： 分三种情况讨论： 1．当时：．代入得：，解得： 2．当时：．代入得：，解得： 3．当时：．代入得：，解得： 但，不满足，舍去． 综上所述，当时，的值为和． 25．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）【定义】 点，，是一条直线上从左到右的三个点，若直线上点满足，则称点是点，，的“和谐点”．    【理解】 （1）如图①，在数轴上，点，，，表示的数分别为，0，5，1，点是不是点，，的“和谐点”？请通过计算作出判断． （2）点，，是一条直线上从左到右的三个点，且，，若点是点，，的“和谐点”，求的长． 【拓展】 （3）如图②，在数轴上，点，，表示的数分别为，，（是整数），点在点的左侧，且点是点，，的“和谐点”，点，，，表示的数之和是否能被4整除？请通过计算作出判断． 【答案】（1）点是点，，的“和谐点”，理由： 由题意，得，，， 所以． 所以点是点，，的“和谐点”． （2）的长为3或； （3）点，，，表示的数之和能被4整除，理由： 设，则，，且满足，即，解得． 所以点表示的数为． 因为，且是整数， 所以点，，，表示的数之和能被4整除． 【分析】（1）根据题目算出是否成立即可； （2）用字母表示数轴上的点，结合数轴两点之间的距离，分类讨论即可求解； （3）用字母表示数轴上的点，根据建立方程即可求解，进而可以判断是否能被4整除． 本题考查了数轴上两点之间的距离以及用字母表示数轴上的数，合理运用等量关系是解题关键． 【详解】解：（1）略 （2）如图，以点为原点，以向右的方向为正方向建立数轴，则点表示的数为0，点表示的数为2，点表示的数为5． 设点表示的数为． ①当点在点左侧时，令，即，解得，此时； ②当点在，两点之间时，令，即，解得（不符合题意，舍去）； ③当点在，两点之间时，令，即，解得，此时； ④当点在点右侧时，不成立． 综上所述，的长为3或． （3）略 26．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）【阅读理解】定义：在数轴上的三点中，如果其中一个点与另外两个点的距离之比为，那么这个点叫做其它两个点的“双伴点”． 例如，如图①，数轴上点分别表示0，1，2，那么点是点的“双伴点”． (1)如图②，数轴上点，，，分别表示，，0，3，那么点_____是点，的“双伴点”；点_____是点，的“双伴点”；（只能填写图②中的字母） (2)【问题解决】如图③，点和在数轴上表示的数分别是和10，点是点，的“双伴点”，求点在数轴上表示的数． (3)【应用拓展】在（2）的条件下，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动．点同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为秒，当为何值时，点是点，点的“双伴点”？ 【答案】(1)P，E (2)0或或5或25 (3)或 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式，结合“双伴点”的定义进行判断； （2）分和两种情况，结合数轴上两点间距离公式分别列方程求解； （3）用含t的式子表示出点P，Q表示的数，分或两种情况， 分别列方程求解． 【详解】（1）解：点，，，分别表示，，0，3， ，，，， ，， 点P是点，的“双伴点”，点E不是点，的“双伴点”； 同理，，，， ，， 点E是点，的“双伴点”，点G不是点，的“双伴点”； （2）解：设点C表示的数为x，分两种情况： 当时，点C位于点，中间，或点C位于点左侧， 可得或， 解得或； 当时，点C位于点，中间，或点C位于点B右侧， 可得或， 解得或； 综上可知，点在数轴上表示的数为0或或5或25． （3）解：， 由题意知，点Q先到达终点，用时（秒）． 运动的时间为秒时，点Q表示的数为，点P表示的数为， ，， 点是点，点的“双伴点”， 或，即或， 或， 解得或． 27．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“联盟点”，例如，如图，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”若点表示数，点表示数，且，满足，点为数轴上的一个动点，点对应的数为． (1)计算：______________，______________； (2)若点在点的右侧，且点是点，点的“联盟点”，求出此时点在数轴上对应的数； (3)若动点从点处以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时动点从点处以1个单位长度/秒的速度向左运动，在相遇后，点立刻原速返回，且到达点后停止运动．设点运动的时间为秒，在整个运动过程中，当点是点，点的“联盟点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)2或10或0 (3)或或或 【分析】（1）根据两个非负数的和为0，这两个非负数均为0可得和的值； （2）分别表示出点和的长度，根据点是点，点的“联盟点”，得到不同的方程，求得合适的解即可； （3）画出图形，分类探讨点和点相遇前；相遇后点在点的左边；相遇后点在点的右边，点是点，点的“联盟点”时的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． （2）解：由题意得：，， ∵点是点，点的“联盟点”， ∴或， ①，解得：； ②， 解得：， ③，解得：； ④， 解得：（不合题意，舍去）． 综上所述，点在数轴上对应的数为2或10或0． （3）解：、两点相遇需要时间为：（秒）， 两点相遇的点为：． ①点和点未相遇前，点是点，点的“联盟点”． 由题意得：点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∵点是点，点的“联盟点”， ∴， 即， 解得： ； ②点和点相遇后，点在点的左边，点是点，点的“联盟点”． 由题意得：点表示的数是，点表示的数是， ∴，， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； ③点和点相遇后，点在点的右边，点是点，点的“联盟点”． 由题意得：点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∵点是点，点的“联盟点”， ∴， 即， 解得：． 综上所述：的值为或或或． 28．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）定义：若在数轴上存在一点，使得点分别到另外两点的距离之和等于，则称点为另外两点的“格距点”． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． 例如：若点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)已知数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则最小为______，这样的整点有______个； (3)若动点从点出发，以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右运动，两点同时出发，运动时间为秒．是否存在，使得点是点、的“7格距点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)7 (2)5；6 (3)存在， 【分析】（1）根据新定义，结合两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式和绝对值的几何意义，得到当点在线段之间（包括两个端点）时，最小，即最小为之间的距离，即可得出结果； （3）根据新定义，结合两点间的距离公式，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是3， ∴当点表示的数是时， ∴； （2）解：∵； ∴当点在线段之间（包括两个端点）时，最小，即最小为之间的距离， ∴的最小值为， 此时整点有，共6个； （3）解：存在，由题意，，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 当点是点、的“7格距点”时，则， 解得. 29．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）在一条数轴上，若点M到点N的距离是点M到点Q的距离的k倍，则称M是的“k倍点”，记． 例如：若点M表示的数为，点N表示的数为0，点Q表示的数为4，则；． 根据规定解决下面问题： (1)如图1，_____； (2)如图1，若数轴上有一点M，满足，则点M表示的数是多少？ (3)如图2，若数轴上有三点，其中点表示的数分别是，现以点C为折点，将数轴向右对折，使点P（点A的对应点）落在点C的右侧，且，则点C表示的数是多少？ 【答案】(1)4 (2)11或3 (3)或0 【分析】（1）首先根据数轴，得到点P表示的数为，点B表示的数为5，点A表示的数为，根据定义，计算即可； （2）设点M表示的数为m，根据，建立等式，解答即可； （3）设点P表示的数为n，根据题意，得点C表示的数为，根据新定义，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得到点P表示的数为，点B表示的数为5，点A表示的数为， ， ． （2）解：根据题意，得点B表示的数为5，点A表示的数为， 设点M表示的数为m， ， ， ， 或 或， 解得或． （3）解：根据题意，得点B表示的数为15，点A表示的数为， 设点P表示的数为n， 根据题意，得点C表示的数为， ， ， ， ， 或 或， 解得或． 点C表示的数为或， 故点C表示的数为或． 30．（25-26七年级上·湖北荆门·期末）定义：数轴上的三个点A、B、C，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“奇妙点”．例如数轴上点A、B、C所表示的数分别为5、8、9，此时点B是点A、C的“奇妙点”．若点A表示数，点B表示数15． (1)如图1，若点M表示数25，判断点M是否为点A，B的“奇妙点”，并说明理由； (2)如图2，点N是数轴上位于点A的左侧，且点N是点A、B的“奇妙点”，求点N表示的数； (3)若动点P、Q分别从点A、B位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒． ①当点Q运动多少秒时，点Q追上点P？ ②在运动过程中，求出点P运动多少秒时点A成为点P、Q的“奇妙点”？ 【答案】(1)是， 理由：∵，， ∴ ∴点M为点A、B的“奇妙点” (2) (3)①20秒；②4秒或秒或12秒 【分析】本题考查绝对值，数轴，数轴上两点之间的距离，以及一元一次方程的应用，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据两点间的距离计算方法求出，，然后根据“奇妙点”可得答案； （2）设点N表示的数为x，根据题意，得到，求解即可． （3）①追及问题中，点Q追上点P时两者位置相同，列出位置相等的方程，解方程即可解答； ②点A是点P、Q的“奇妙点”，分两种情况：点Q在点A、B之间运动时，根据和列方程求解；当点Q运动到点A左边时，根据列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设点N表示的数为x， ∴， ∵点N是数轴上位于点A的左侧，且点N是点A、B的“奇妙点”， ∴ ∴ ∴ ∴点N表示的数为； （3）解：运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ①∵点Q追上点P， ∴， 解得， ∴运动20秒后，点Q追上点P． ②当Q在点A、B之间运动时，，， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 当Q运动到点A左边时，，， 则，， 解得， 综上所述，点运动4秒或秒或12秒时点A成为点P、Q的“奇妙点”． 题型五：数轴上动点之折线数轴问题 31．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，始终以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向终点运动，同时，动点从原点出发，也沿着“折线数轴”的正方向朝终点运动，点在线段以单位/秒的速度运动，在段以单位/秒的速度运动，设运动时间为秒．问： (1)动点、谁先到达终点？请通过计算说明． (2)、两点第一次相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)当为______时，、两点在数轴上相距的长度为个单位？ 【答案】(1)动点先到达终点，理由见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，根据题意列方程求解是解题的关键． （1）分别求出到达所用时间，再比较即可得到答案； （2）根据题意得到、两点在段第一次相遇，列方程求解即可； （3）根据题意分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：动点的运动时间为秒， 动点的运动时间为秒， ， 动点先到达终点； （2）解:秒， ， 、两点在段第一次相遇， 根据题意得， 解得， ， 相遇点所对应的数是； （3）解：由（2）知秒时，第一次相遇， 则有， 解得； 当到达点时，运动了个单位，此时超过个单位，则在到达之前有一次相距个单位且在前面， 则， 解得； 在过追上之前又有一次相距个单位， 则， 解得； 假设超过之后又有一次相距个单位， 则有， 解得（不符合题意，舍去）， 综上所述，当为或或时，、两点在数轴上相距的长度为个单位， 故答案为：或或 32．如图，将一条数轴在点B，点C，点D，点E处各折一下，得到“折线数轴”．图中点A 表示的数为，点B 表示的数为，点 C表示的数为，点D 表示的数为0，点E 表示的数为8，点F表示的数为12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从点F出发以每秒4个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时的速度均是各自初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)动点P从点A运动到点F需要多少秒？ (2)P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ 【答案】(1)20秒 (2) 【分析】本题主要考查数轴，有理数的运算，一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意． （1）分别求出动点P在每一段上运动的时间，再求和即可． （2）先求出点Q从点F运动到点C，点P从点A运动到点B所用时间，可得到P、Q的相遇点M在段，设P、Q相遇时用时x秒，根据题意，列出方程，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，动点P在段的速度均为2个单位长度/秒，在段的速度为1个单位长度/秒，在段的速度为4个单位长度/秒，， 所以动点P从点A运动至点F需要的时间为（秒） （2）点Q从点F运动到点C用时为（秒）， 点P从点A运动到点B用时（秒）， 当时，点P在上，且距离点C：个单位长度， 所以P、Q的相遇点M在段， 设P、Q相遇时用时x秒， ， 解得：， 则点M所对应的数为． 33.如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为，点B表示的数为10，点C表示为18，我们称点A和点C在该数轴上的“折线距离”为24个长度单位，动点P从点A出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为t秒，则： (1)动点P从点A运动至点C需要______秒，动点Q从点C运动至点A需要_______秒； (2)若P，Q两点在点M处相遇，求相遇时间t以及点M在折线数轴上所表示的数； (3)是否存在t值，使得P、O两点在数轴上的“折线距离”与Q、B两点在数轴上的的“折线距离”相等． 【答案】(1)19，17； (2)；点M在折线数轴上所表示的数是 (3)当秒或秒或 秒或17秒时， 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、数轴上的动点问题 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）利用路程除以速度求解即可得到答案； （2）先判断相遇点M在上，再根据题意列方程求解即可； （3）分四种情况讨论：①当点P在上，点Q在上时；②当点P在上时，点Q在上时；③当点P在上时，点Q在上时；④当点P在上时，点Q在上时，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：动点P从点A运动至点O需要秒， 从点O运动至点B需要秒， 从点B运动至点C需要秒， 则动点P从点A运动至点C需要秒； 动点Q从点C运动至点B需要秒， 从点B运动至点O需要秒， 从点O运动至点A需要秒， 则动点Q从点C运动至点A需要秒； 故答案为：19，17； （2）解：由（1）可得相遇点M在上， ∴由题意得， 解得， ∴，即点M在折线数轴上所表示的数是； （3）解：①当点P在上，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； ②当点P在上时，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； ③当点P在上时，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； ④当点P在上时，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； 综上：当秒或秒或秒或17秒时． 34．已知，如图，数轴上依次有、、三点，它们在数轴上对应的数分别是、、，其中、满足，点到点的距离为20． (1)求、、的值． (2)如图1，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点从点出发，以每秒1单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，、两点同时出发，在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少； (3)如图2，将数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中、两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为秒，请直接写出当为何值时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)；； (2) (3)4，7，10，16 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由题中条件，利用平方与绝对值非负性，结合非负式和为的条件求解即可得到答案，再由数轴上两点之间距离表示方法即可得到答案； （2）设相遇点所对应的数是，相遇时间为，由相遇问题列方程组求解即可得到答案； （3）根据数轴上动点问题，分四种情况：当不在线段上；当在线段上；当在线段上；当在线段上、在线段上；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 解得， 、在数轴上对应的数分别是、，如图所示： ， 解得； （2）解：设相遇点所对应的数是，相遇时间为，则 ，解得， 相遇点所对应的数是； （3）解：由（1）知；；， ，， 动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半， 走完用时为秒，走完用时秒； 动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍， 走完用时为秒，走完用时秒； 当不在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当在线段上时，如图所示： 当在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当在线段上、在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当为4或7或10或16时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 35．（26-27七年级上·河北张家口·阶段检测）解决问题 数学小组在一张白纸上制作了一条数轴，点由左至右依次在数轴上，且点到原点的距离均为两点之间的距离为9．点从点出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向终点移动，设点的移动时间为秒． 操作一： (1)以点为折点，折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，此时_____，则表示的点与表示_____的点重合； 操作二： (2)当时，以点为折点，折叠纸面． ①表示5的点与数轴上的点重合，点表示的数为_____． ②若两点折叠后重合，则表示的数为_____；表示的数为_____． 操作三： (3)以点为折点，折叠纸面． ①若折叠后，两点间的距离为4，此时点所表示的数为_____． ②当点从原点开始，沿数轴每向右移动1个单位长度后再折叠纸面，折叠后点，之间的距离都会增大_____个单位长度． 【答案】(1)10；2 (2)①；②； (3)①；②2 【分析】（1）根据题意可求出点M和点N表示的数，则可求出运动t秒时点P表示的数，再根据折叠的特点确定点P表示的数，则可得到答案； （2）①求出点P表示的数，再根据折叠后互相重合的两个点到中点的距离相等即可求解；②根据折叠后互相重合的两个点到中点的距离相等求出点A到点P的距离，再根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （3）①再分两种情况：折叠后点M在点N的左侧和折叠后点M在点N的右侧，求出折叠后点M表示的数即可得到答案；②设点P从原点开始，向右移动x个单位，则点P表示的数为x，则折叠后点M表示的数为，求出此时的长，同理求出点P从原点开始，向右移动个单位时的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点到原点的距离均为，且点M在点N的左侧， ∴点M表示的数为，点N表示的数为10， ∴运动t秒时，点P表示的数为； ∵以点为折点，折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合， ∴点P为表示1的点与表示的点组成的线段的中点， ∴， 解得， ∴点P表示的数为， ∴表示的点与表示的点重合； （2）解：①由（1）得，当时，点P表示的数为， ∵以点为折点，折叠纸面，表示5的点与数轴上的点重合， ∴点C表示的数为； ②∵两点折叠后重合， ∴点P为的中点， ∴， ∵点A在点B的左侧， ∴点A表示的数为，点B表示的数为； （3）解：①当折叠后点M在点N的左侧时，则折叠后点M表示的数为， ∴点P表示的数为； 当折叠后点M在点N的右侧时，则折叠后点M表示的数为， ∴点P表示的数为； 综上所述，点P表示的数为； ②设点P从原点开始，向右移动x个单位，则点P表示的数为x， 当时，点M和点N都在点P的左侧，折叠后这两点间的距离不变，故不符合题意； 当时，折叠后点M表示的数为， ∴， 当点P向右移动个单位长度时，则点P表示的数为， ∴折叠后点M表示的数为， ∴， ∵， ∴当点从原点开始，沿数轴每向右移动1个单位长度后再折叠纸面，折叠后点，之间的距离都会增大2个单位长度． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴上的动点问题有关的五种模型 题型一 数轴上动点之相遇问题 题型二 数轴上动点之相距问题 题型三 数轴上动点之三点中点问题 题型四 数轴上动点之新定义型问题 题型五 数轴上动点之折线数轴问题 题型一：数轴上动点之相遇、相距问题 1． 【答案】(1)；1；9 (2)当或时，与相距3个单位长度 【分析】本题主要考查了多项式的定义、有理数、数轴上的动点问题、一元一次方程等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）是最小的正整数可确定b的值，再根据多项式的定义可确定a、c的值； （2）由题意得，运动秒后点，点表示的数分别为．然后分点在点右侧和左侧两种情况，分别列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵多项式的最高次项的系数为，常数项为． ∴，． 故答案为：；1；9． （2）解：由题意得，运动秒后点，点表示的数分别为． 当点在点右侧，与相距3个单位长度时，，解得； 当点在点左侧，与相距3个单位长度时，，解得． 综上所述，当或时，与相距3个单位长度． 2． 【答案】(1)； (2)解：运动t秒时，蚂蚁M所在位置的数为，蚂蚁N所在位置的数为， 由题意，得， 整理得：， 当时，解得． 当时，解得． 综上，t的值为​或10． 【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）先表示出运动t秒时蚂蚁M和蚂蚁N所在位置表示的数，然后根据两只蚂蚁的距离为10列方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动x秒时，两只蚂蚁相遇，根据题意可得： ， 解得：， ． （2）略． 3． 【答案】(1) (2) (3)或秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间距离表示方法、一元一次方程等知识，数形结合，由数轴上两点之间距离表示列方程求解是解决问题的关键． （1）根据题意，结合点的运动情况先求出点表示的数为，点表示的数为，当时，由数轴两点之间距离表示方法计算即可得到答案； （2）由（1）知点表示的数为，点表示的数为，相遇时，表示出线段长度得到方程求解即可得到答案； （3）由（1）知点表示的数为，点表示的数为，分两种情况：①相遇前；②相遇后；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为， 线段的长度为， 故答案为： （2）解：由（1）知点表示的数为，点表示的数为， 相遇时，即， ， 解得， 答：当秒时，点与点相遇； （3）解：由（1）知点表示的数为，点表示的数为， 分两种情况： ①相遇前，即， ， 解得； ②相遇后，即， ， 解得； 综上所述，当或秒时，线段的长度为个单位长度． 4． 【答案】(1)点表示的数为，点表示的数为 (2)相遇点在数轴上表示的数是（即） (3)当秒或秒时，两点相距个单位长度 【分析】（1）根据沿数轴运动左减右加，列代数式即可； （2）根据当相遇时，在数轴上表示的数相等，即可得到答案； （3）根据用两点数值差的绝对值表示数轴上两点间的距离，列出两点距离为的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是，动点从点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数为，点表示的数为； （2）解：当相遇时，， 解得：，代入， ∴相遇点在数轴上表示的数是（即）； （3）解：由（1）可知，两点间的距离为， 由，得或， 解得或． ∴当秒或秒时，两点相距个单位长度． 5． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了两点间的距离公式、列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合的思想列方程求解是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求得点B表示的数，再由求解即可； （2）根据点P与点Q相遇时，，列方程求解即可； （3）结合数轴如图分类讨论：分别求得，，或，，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵由题意得，点B表示的数是，点P表示的数是， 故答案为：，； （2）解：由题意得，，， 当点P与点Q相遇时，， ∴，即， ∴， ∴出发后点P与点Q相遇； （3）解：如图， ，， ∵， ∴， ∴， ∴出发秒后，； 如图， 则，， ∵， ∴， ∴（不符合题意，舍去）   由（2）知：当P、Q重合，即时，， ∴出发或后，． 6． 【答案】(1) (2)4；0 (3)1 【分析】（1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）用含t的式子表示出运动t秒时点P和点Q表示的数，再根据二者相遇时，点P与点Q表示的数相同建立方程求解即可； （3）设点M表示的数为m，根据两点间的距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，A、B两点间的距离为； （2）解：由题意得，运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P与点Q相遇时，点P与点Q表示的数相同，则， 解得， 此时，即相遇点表示的数是0； （3）解：设点M表示的数为m， 由题意得，， 解得， ∴点M表示的数为1． 7． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，点表示的数为，将代入上式，即可求解． （2）根据题意可得，再结合，即可列式，分成当和两种情况，求解即可． （3）根据题意可得，，设经过秒相遇，则列，求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为， 当时，，点表示的数为， 故答案为：；． （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵，， ∴， 当时，，解得； 当时，，解得 （舍去）， ∴． （3）解：点表示的数为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴， ∵，点表示的数为，点表示的数为， 故可设经过秒相遇，则， 解得：． 8． 【答案】(1) (2)①；②或6 【分析】（1）利用数轴的性质列式计算即可； （2）①先分别求出点，所表示的数，再根据它们相遇时，所表示的数相等建立方程，解方程即可； ②根据数轴的性质建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：数轴上点表示的数是． （2）解：由题意得：点表示的数是，点表示的数为， ①当点与点相遇时，则， 解得， 即当点运动秒时，点与点相遇． ②当点与点间的距离为8个单位长度时，则， 即， ∴或， ∴或， 即当点运动秒或6秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 9． 【答案】(1)； (2)①2.5；②0.5或4.5 【分析】（1）根据两点间距离可得到点B，点P表示的数； （2）①根据当点P追上点Q时，点P表示的数和点Q表示的数一样，列方程即可求解； ②根据点P与点Q之间的距离为8个单位长度，根据两点间距离公式列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，B在A左侧，A，B两点间的距离为10， ∴点B表示的数是， 当时，点P所表示的数为：． （2）解：点P表示的数：，点Q表示的数：， ①点P追上点Q时： 解得， ∴当点P运动2.5秒时，点P追上点Q． ②∵点P与点Q间的距离为8， ∴ ， ∴或    ， ∴或， ∴当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 10． 【答案】(1)，，； (2)①；②或；③或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题,数轴上两点间的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识． （1）根据非负数的性质得到，，根据两点间的距离公式即可求出的值； （2）①根据计算即可； ②分两种情况列方程求解即可； ③分两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：，，； （2）解：①由题意可知，当时，； ②，相遇前，，解得：； ，相遇后，，解得：； ③∵点比点，晚出发2秒， ∴当，相遇前，，解得：； ，相遇后，，解得：． 题型二：数轴上动点之定值问题 11． 【答案】(1)，，7 (2)3 (3)12 (4)①，；②当时，的值为定值，定值为． 【分析】本题主要考查了多项式的概念、数轴上两点间的距离、折叠问题、整式的加减运算、绝对值等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据b是最大的负整数可得，根据多项式的概念可得，； （2）先求出折痕表示的数，进而可求出与点B重合的点所表示的数； （3）分、、、四种情况，分别去绝对值求最值即可解答。 （4）①先表示出点P和点Q表示的数，进而可用含t的代数式表示线段和线段的长； ②根据，当时，其值为定值,据此求解即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴； ∵多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c， ∴， ∴． 故答案为：，，7； （2）解：∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折痕处的数是， ∴与点B重合的点所表示的数为． 故答案为：3； （3）解：当时，，当时，有最小值16； 当时，，当时，有最小值12； 当时，，当时，有最小值12； 当时，，当时，有最小值20； 综上，的最小值为12； （4）解：①∵后点P表示的数是，点Q表示的数是， ∴，， ②存在， ∵， ∴当，即时，的值为定值，定值为． 12． 【答案】(1)或1 (2)7 (3)①a的值为或；②或；③当时，的值为定值30 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题，正确理解幸福中心和幸福点的定义，根据数轴上两点距离公式进行求解是解题的关键． （1）设点F表示的数为x，根据幸福点的定义列出方程，解方程即可得到答案； （2）设点F表示的数为m，根据幸福中心的定义列出方程，再讨论m的取值范围，去绝对值求出当时，，由此求出满足题意的整数m，再求和即可得到答案； （3）①设F表示的数为a，由点F是A和B的幸福中心，得到， 分类讨论：当时，当时，当时，逐项分析求解即可； ②设经过t秒时，点R是P和Q的幸福中心，则点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，根据幸福中心的定义得到，然后讨论m的取值范围，去绝对值求解即可；③设运动时间为t，则点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，求出，，，进而求出，再根据的值与t无关，则，解得，进而求出定值的值即可． 【详解】（1）解：设点F表示的数为x， 由题意得，， ∴或， ∴或， ∴A的幸福点F所表示的数应该是或1， 故答案为：或1； （2）解：设点F表示的数为m， 由题意得， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，，即此时点F和点M和点N的幸福中心， ∴满足题意的整数m有， ∴F所表示的所有数中，整数之和为， 故答案为：7； （3）解：①设F表示的数为a ∵点F是A和B的幸福中心， ∴， 即， 当时， ， 解得， 当时， ， ，不成立，舍去； 当时， ， ， ∴a的值为或． ②设经过t秒时，点R是P和Q的幸福中心， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， ∵点R是P和Q的幸福中心， ∴， ∴， 当时，， 解得，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 解得，符合题意； 综上所述，经过秒或秒，点R是P和Q的幸福中心； 故答案为：或； ③设运动时间为t， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， ∴，，， ∴ ， ∵的值为定值， ∴的值与t无关， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的值为定值30． 13． 【答案】(1)6 (2)是 (3) (4)线段的长度不会发生变化，的长为3 (5)当或或时，原点为线段的“3倍点” 【分析】（1）根据点表示的数是-2，点表示的数是4利用绝对值的几何意义进行计算的长即可； （2）根据点表示的数是10计算和的长度，因为此时点E已经在点D的右侧，因此只需判断是否存在即可； （3）根据点P的运动时间和运动速度写出点P运动的距离，再根据点表示的数是-2写出点表示的数即可； （4）首先根据“1倍点”推导出点为线段的中点，点为线段的中点，即可根据中点公式求出点、表示的数字，再结合绝对值的几何意义求出是否是定值不变即可得到结论； （5）首先根据点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动写出点表示的数为，再根据原点为线段的“3倍点”分为或进行分类讨论求解，注意当点到达点时，，点同时停止运动，所以的取值范围应该为，根据范围判断符合条件的值即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是4， ∴， 故答案为：6； （2）解：∵点表示的数是10， ∴，， ∴， ∴点是线段的“2倍点”， 故答案为：是； （3）解：∵点从点出发，以每秒2单位长度的速度向右运动， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：； （4）解：∵点为线段的“1倍点”， ∴， ∴点为线段的中点， ∴点表示的数为， ∵点为线段的“1倍点”， ∴， ∴点为线段的中点， ∴点表示的数为， ∴， ∴线段的长度不会发生变化，的长为3； （5）解：∵点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动， ∴点表示的数为，点表示的数为，原点表示的数字为0， ∵点为线段的“3倍点”， ∴或， 当时， ∴，解得：或， ∵当点到达点时，，点同时停止运动， ∴， ∴； 当时， ∴，解得：或， ∵当点到达点时，，点同时停止运动， ∴， ∴或； ∴当秒或秒或秒时，原点为线段的“3倍点”． 14． 【答案】(1) (2)或 (3)3 【分析】（1）因为是最小的正整数，且a，c满足，所以，且，据此求出即可； （2）由题意，秒后A的位置表示为，B的位置表示为，C的位置表示为，则，，因为，则，解方程即可； （3），若的值不随的变化而变化，则，求解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵是最小的正整数， ∴． 故答案为：； （2）解：由题意，秒后A的位置表示为，B的位置表示为，C的位置表示为， 则，，， ∵， ∴， ∴或， 解得或； （3）解： ， 若的值不随的变化而变化， 则， 解得：； 15． 【答案】(1) (2)是定值， 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及两点之间的距离、一元一次方程的应用． （）根据点的运动速度和方向，得出，并结合算出，确定运动总时长为秒，然后分“相遇前”和“相遇后”两种情况列方程，即可解答； （）先结合已知的和，推出；再根据分别为中点，得出，进而由算出；接着代入得到，最后将其与代入比值公式化简，约去含的项，得出． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动， ∴， ∵同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动， ∴， ∵， ∴， ∴运动总时长：秒，即， ∵向左运动，向右运动，当点到达点时，、两点同时停止运动， ∴当还未相遇时：， ∵， 则可列出方程， ∴， 当相遇后：， 则可列出方程， 解得， ∵， ∴； （2）解：是定值， ∵， ∴ ， ∵分别为中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即的值是定值． 题型三：数轴上动点之三点中点问题 16． 【答案】(1)6，2 (2) (3)或 (4)的值为3或4或8． 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）首先求出点对应的有理数为，然后根据题意列方程求解即可； （3）根据列方程求解即可； （4）根据题意分情况讨论，分别根据中点的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（） ∴当时，的长是； ∴点表示的有理数为； （2）解：∵点对应的有理数为， ∴点对应的有理数为 ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴当点追上点时， 解得； （3）解：根据题意得， 解得或； （4）解：∵点对应的有理数为，点对应的有理数为， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当Q是中点时，，解得，不符合题意，舍去； 当Q是中点时，，无解； 当Q是中点时，，无解； 综上所述，的值为3或4或8． 17． 【答案】(1)；； (2) (3)存在；秒或10.8秒 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）根据题意直接可得线段的长度，秒后，再求出当时，点表示的数及点表示的数为； （2）秒后点表示的数为，点表示的数为，再列出方程求解即可； （3）分别求出M点表示的数：，N点表示的数：，再求出，再求解即可． 【详解】（1）解：线段的长度为：； 时，点表示的数为：，点表示的数为：． 故答案为：，，； （2）解：秒后点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 解得：， 相遇点表示的数：； （3）解：M点表示的数：， N点表示的数：， ， 即或， 解得：或， 故存在，秒或10.8秒． 18． 【答案】(1) (2)①存在，；②或或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，整式加减中的无关型问题，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据非负性求出，根据三等分点，求出即可； （2）①表示出三个点表示的数，根据两点间的距离公式，以及整式的加减运算法则，求出的值，根据的值不随t的改变而改变，得到值与无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可；②分3种情况，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由题意，， ∴； （2）①由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 当点A在点左侧时， ； ∵的值不随t的改变而改变， ∴， ∴； ②当为中点时，则，解得； 当点为中点时，则，解得； 当点为中点时，则，解得； 综上：或或． 19． 【答案】（1）；（2）7；（3）①；；②秒或秒；③或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离公式，是解题的关键． （1）利用数轴上两点之间的距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值意义进行化简求值即可； （3）①根据点P、Q移动的速度表示出点P、Q表示的数即可； ②由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，构建绝对值方程，再解方程即可； ③分四种情况讨论：当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时，当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时，当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时，当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时，分别列出方程，再解方程即可． 【详解】解：（1）用，表示，两点之间的距离是； （2）∵表示数的点在与3之间移动， ∴， ∴； （3）①∵点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度从点出发沿数轴向左匀速运动， ∴点运动秒后所在位置的点表示的数为，点运动秒后所在位置的点表示的数为； ②∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距6个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过秒或秒时相距6个单位长度； ③当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：； 当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：， 当时，，， ∴当时，点Q在原点右侧，点P在原点左侧，不符合题意； 当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时， 由题意得， 解得：； 当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时， 由题意得：， 解得：； 综上所述：，，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，或或． 20． 【答案】(1)，12，4 (2)经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度 (3)点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值和平方的非负性、一元一次方程的应用以及中点的性质，熟练掌握用代数式表示数轴上点的位置，结合距离和中点的性质列方程，是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求出、的值，再解方程求出的值． （2）设运动时间为未知数，用含时间的式子表示出、两点的位置，根据两点距离为列绝对值方程求解． （3）设点的运动速度为未知数，用含速度的式子表示出秒后、、三点的位置，分三种情况讨论其中一点为另外两点的中点，列方程求解并检验解的合理性． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ，， 解方程得， ， 故答案为：，，； （2）解：设经过秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度． 由题意得，运动秒后点表示的数为，点表示的数为， 、之间的距离恰好等于， ， ， 或， 解得或， 经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度； （3）解：设点的运动速度为个单位长度/秒，则点的运动速度为个单位长度/秒， 点的运动速度为个单位长度/秒，则运动秒后点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为， 当点为，的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得（舍去）； 综上所述，点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒． 题型四：数轴上动点之新定义型问题 21． 【答案】（）是； （）①；；②或； （）自助售货机处是点的“倍点”，理由： 设小明买完水后继续骑行的时间为秒， 由题意得，， 解得， ， ∴， ， ∴自助售货机处是点的“倍点”． 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式求出的长，再根据“倍点”的定义即可判断求解； （）①根据题意及数轴上两点间距离公式解答即可求解；②由题意可得的情况不成立，则，再根据数轴上两点间距离公式列出方程即可求解； （）设小明买完水后继续骑行的时间为秒，可得，解得，再分别求出的长，进而根据“倍点”的定义即可判断求解； 本题考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）∵点在数轴上表示的数分别为，，， ∴，， ∴， ∴是点的“倍点”， 故答案为：是；   （）①∵点从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为秒， ∴点对应的数为； ∵点在数轴上对应的数为， ∴， 故答案为：；； ②∵点从原点出发向右匀速运动， ∴的情况不成立，则， 即， 解得或； （）略 22． 【答案】(1)①；②或或； (2)或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）①分别求出和，再根据“近距离”的定义作答即可；②分三种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可； （2）由题意可知，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点和点的位置关系，分四种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为2，点P表示的数是， ，， 点P到线段的“近距离”为， 故答案为： ②当点在点左侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 当点在点、之间时，，， ，点A到线段的“近距离”为3， ， ，， 解得：； 当点在点右侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 综上可知，a的值为或或； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ①当时，点在点左侧，此时， ， 解得：； ②当时，点在点、之间，且， ， 解得：，不符合题意； ③当时，点在点、之间，且， ， 解得： 此时，不符合题意； ④当时，点在点右侧，此时， ， 解得：， 综上可知，当点到线段的“近距离”为2时，的值为或． 23． 【答案】(1)；或1； (2)；当线段与的“中距离”恰好等于线段的长度时，的值为或或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，中点公式，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①求出两条线段的中点表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可；②求出，线段的中点表示的数，再根据“中距离”求出线段的中点表示的数，进而可求出点E表示的数； （2）①求出当点与点重合时，此时点E表示的数为，则可求出当时，点A表示的数和点E表示的数，进而可表示出两条线段的中点表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可；②分两种情：和，分别表示出两条线段中点表示的数，根据线段与的“中距离”恰好等于线段的长度建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，线段的中点表示的数为， 线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ②由题意得，线段的中点表示的数为， ∵线段与的“中距离”为， ∴线段的中点与表示数2的点的距离为2， ∴线段的中点表示的数为或， 当线段的中点表示的数为0时，∵，且点E在点F左侧， ∴点E表示的数为； 当线段的中点表示的数为4时，∵，且点E在点F左侧， ∴点E表示的数为； 综上所述，点E表示的数为或1； （2）解：①当没有改变方向前，点E表示的数为，点B表示的数为， 当点与点重合时，，解得，此时点E表示的数为， ∴运动3秒后，线段随即向数轴负方向运动； ∴当时，点A表示的数为，点E表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ②当时，点A表示的数为，点E表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ∵线段与的“中距离”恰好等于线段的长度， ∴， 解得； 当时，点A表示的数为，点E表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ∵线段与的“中距离”恰好等于线段的长度， ∴， 或， 解得或； 综上所述，t的值为1或或5． 24． 【答案】(1)，2 (2)①3；②和 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、列代数式及一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据等分点公式可直接进行求解； （2）①根据等分点公式列出代数式，再根据两点重合列出方程，再求解即可； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为：再列出方程，最后分类求解即可． 【详解】（1）解：， 线段的长度为． 点是靠近点的第1个六等分点，其表示的数为： 点是靠近点的第2个六等分点，其表示的数为： 所以，点表示的数为，点表示的数为2． 故答案为：，2； （2）解：①由题意可得：线段的长度．线段的长度． 点在线段上，其表示的数为： 点在线段上，其表示的数为： 由两点重合得： 解得： 所以的值为3． 故答案为：3； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为： 点与点的距离为： 点为线段上靠近点的第3个八等分点，其表示的数为： ， 点与点的距离为： 由得： 分三种情况讨论： 1．当时：．代入得：，解得： 2．当时：．代入得：，解得： 3．当时：．代入得：，解得： 但，不满足，舍去． 综上所述，当时，的值为和． 25． 【答案】（1）点是点，，的“和谐点”，理由： 由题意，得，，， 所以． 所以点是点，，的“和谐点”． （2）的长为3或； （3）点，，，表示的数之和能被4整除，理由： 设，则，，且满足，即，解得． 所以点表示的数为． 因为，且是整数， 所以点，，，表示的数之和能被4整除． 【分析】（1）根据题目算出是否成立即可； （2）用字母表示数轴上的点，结合数轴两点之间的距离，分类讨论即可求解； （3）用字母表示数轴上的点，根据建立方程即可求解，进而可以判断是否能被4整除． 本题考查了数轴上两点之间的距离以及用字母表示数轴上的数，合理运用等量关系是解题关键． 【详解】解：（1）略 （2）如图，以点为原点，以向右的方向为正方向建立数轴，则点表示的数为0，点表示的数为2，点表示的数为5． 设点表示的数为． ①当点在点左侧时，令，即，解得，此时； ②当点在，两点之间时，令，即，解得（不符合题意，舍去）； ③当点在，两点之间时，令，即，解得，此时； ④当点在点右侧时，不成立． 综上所述，的长为3或． （3）略 26． 【答案】(1)P，E (2)0或或5或25 (3)或 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式，结合“双伴点”的定义进行判断； （2）分和两种情况，结合数轴上两点间距离公式分别列方程求解； （3）用含t的式子表示出点P，Q表示的数，分或两种情况， 分别列方程求解． 【详解】（1）解：点，，，分别表示，，0，3， ，，，， ，， 点P是点，的“双伴点”，点E不是点，的“双伴点”； 同理，，，， ，， 点E是点，的“双伴点”，点G不是点，的“双伴点”； （2）解：设点C表示的数为x，分两种情况： 当时，点C位于点，中间，或点C位于点左侧， 可得或， 解得或； 当时，点C位于点，中间，或点C位于点B右侧， 可得或， 解得或； 综上可知，点在数轴上表示的数为0或或5或25． （3）解：， 由题意知，点Q先到达终点，用时（秒）． 运动的时间为秒时，点Q表示的数为，点P表示的数为， ，， 点是点，点的“双伴点”， 或，即或， 或， 解得或． 27． 【答案】(1)， (2)2或10或0 (3)或或或 【分析】（1）根据两个非负数的和为0，这两个非负数均为0可得和的值； （2）分别表示出点和的长度，根据点是点，点的“联盟点”，得到不同的方程，求得合适的解即可； （3）画出图形，分类探讨点和点相遇前；相遇后点在点的左边；相遇后点在点的右边，点是点，点的“联盟点”时的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． （2）解：由题意得：，， ∵点是点，点的“联盟点”， ∴或， ①，解得：； ②， 解得：， ③，解得：； ④， 解得：（不合题意，舍去）． 综上所述，点在数轴上对应的数为2或10或0． （3）解：、两点相遇需要时间为：（秒）， 两点相遇的点为：． ①点和点未相遇前，点是点，点的“联盟点”． 由题意得：点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∵点是点，点的“联盟点”， ∴， 即， 解得： ； ②点和点相遇后，点在点的左边，点是点，点的“联盟点”． 由题意得：点表示的数是，点表示的数是， ∴，， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； ③点和点相遇后，点在点的右边，点是点，点的“联盟点”． 由题意得：点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∵点是点，点的“联盟点”， ∴， 即， 解得：． 综上所述：的值为或或或． 28． 【答案】(1)7 (2)5；6 (3)存在， 【分析】（1）根据新定义，结合两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式和绝对值的几何意义，得到当点在线段之间（包括两个端点）时，最小，即最小为之间的距离，即可得出结果； （3）根据新定义，结合两点间的距离公式，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是3， ∴当点表示的数是时， ∴； （2）解：∵； ∴当点在线段之间（包括两个端点）时，最小，即最小为之间的距离， ∴的最小值为， 此时整点有，共6个； （3）解：存在，由题意，，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 当点是点、的“7格距点”时，则， 解得. 29． 【答案】(1)4 (2)11或3 (3)或0 【分析】（1）首先根据数轴，得到点P表示的数为，点B表示的数为5，点A表示的数为，根据定义，计算即可； （2）设点M表示的数为m，根据，建立等式，解答即可； （3）设点P表示的数为n，根据题意，得点C表示的数为，根据新定义，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得到点P表示的数为，点B表示的数为5，点A表示的数为， ， ． （2）解：根据题意，得点B表示的数为5，点A表示的数为， 设点M表示的数为m， ， ， ， 或 或， 解得或． （3）解：根据题意，得点B表示的数为15，点A表示的数为， 设点P表示的数为n， 根据题意，得点C表示的数为， ， ， ， ， 或 或， 解得或． 点C表示的数为或， 故点C表示的数为或． 30． 【答案】(1)是， 理由：∵，， ∴ ∴点M为点A、B的“奇妙点” (2) (3)①20秒；②4秒或秒或12秒 【分析】本题考查绝对值，数轴，数轴上两点之间的距离，以及一元一次方程的应用，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据两点间的距离计算方法求出，，然后根据“奇妙点”可得答案； （2）设点N表示的数为x，根据题意，得到，求解即可． （3）①追及问题中，点Q追上点P时两者位置相同，列出位置相等的方程，解方程即可解答； ②点A是点P、Q的“奇妙点”，分两种情况：点Q在点A、B之间运动时，根据和列方程求解；当点Q运动到点A左边时，根据列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设点N表示的数为x， ∴， ∵点N是数轴上位于点A的左侧，且点N是点A、B的“奇妙点”， ∴ ∴ ∴ ∴点N表示的数为； （3）解：运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ①∵点Q追上点P， ∴， 解得， ∴运动20秒后，点Q追上点P． ②当Q在点A、B之间运动时，，， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 当Q运动到点A左边时，，， 则，， 解得， 综上所述，点运动4秒或秒或12秒时点A成为点P、Q的“奇妙点”． 题型五：数轴上动点之折线数轴问题 31． 【答案】(1)动点先到达终点，理由见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，根据题意列方程求解是解题的关键． （1）分别求出到达所用时间，再比较即可得到答案； （2）根据题意得到、两点在段第一次相遇，列方程求解即可； （3）根据题意分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：动点的运动时间为秒， 动点的运动时间为秒， ， 动点先到达终点； （2）解:秒， ， 、两点在段第一次相遇， 根据题意得， 解得， ， 相遇点所对应的数是； （3）解：由（2）知秒时，第一次相遇， 则有， 解得； 当到达点时，运动了个单位，此时超过个单位，则在到达之前有一次相距个单位且在前面， 则， 解得； 在过追上之前又有一次相距个单位， 则， 解得； 假设超过之后又有一次相距个单位， 则有， 解得（不符合题意，舍去）， 综上所述，当为或或时，、两点在数轴上相距的长度为个单位， 故答案为：或或 32． 【答案】(1)20秒 (2) 【分析】本题主要考查数轴，有理数的运算，一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意． （1）分别求出动点P在每一段上运动的时间，再求和即可． （2）先求出点Q从点F运动到点C，点P从点A运动到点B所用时间，可得到P、Q的相遇点M在段，设P、Q相遇时用时x秒，根据题意，列出方程，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，动点P在段的速度均为2个单位长度/秒，在段的速度为1个单位长度/秒，在段的速度为4个单位长度/秒，， 所以动点P从点A运动至点F需要的时间为（秒） （2）点Q从点F运动到点C用时为（秒）， 点P从点A运动到点B用时（秒）， 当时，点P在上，且距离点C：个单位长度， 所以P、Q的相遇点M在段， 设P、Q相遇时用时x秒， ， 解得：， 则点M所对应的数为． 33. 【答案】(1)19，17； (2)；点M在折线数轴上所表示的数是 (3)当秒或秒或 秒或17秒时， 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、数轴上的动点问题 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）利用路程除以速度求解即可得到答案； （2）先判断相遇点M在上，再根据题意列方程求解即可； （3）分四种情况讨论：①当点P在上，点Q在上时；②当点P在上时，点Q在上时；③当点P在上时，点Q在上时；④当点P在上时，点Q在上时，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：动点P从点A运动至点O需要秒， 从点O运动至点B需要秒， 从点B运动至点C需要秒， 则动点P从点A运动至点C需要秒； 动点Q从点C运动至点B需要秒， 从点B运动至点O需要秒， 从点O运动至点A需要秒， 则动点Q从点C运动至点A需要秒； 故答案为：19，17； （2）解：由（1）可得相遇点M在上， ∴由题意得， 解得， ∴，即点M在折线数轴上所表示的数是； （3）解：①当点P在上，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； ②当点P在上时，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； ③当点P在上时，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； ④当点P在上时，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； 综上：当秒或秒或秒或17秒时． 34． 【答案】(1)；； (2) (3)4，7，10，16 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由题中条件，利用平方与绝对值非负性，结合非负式和为的条件求解即可得到答案，再由数轴上两点之间距离表示方法即可得到答案； （2）设相遇点所对应的数是，相遇时间为，由相遇问题列方程组求解即可得到答案； （3）根据数轴上动点问题，分四种情况：当不在线段上；当在线段上；当在线段上；当在线段上、在线段上；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 解得， 、在数轴上对应的数分别是、，如图所示： ， 解得； （2）解：设相遇点所对应的数是，相遇时间为，则 ，解得， 相遇点所对应的数是； （3）解：由（1）知；；， ，， 动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半， 走完用时为秒，走完用时秒； 动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍， 走完用时为秒，走完用时秒； 当不在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当在线段上时，如图所示： 当在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当在线段上、在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当为4或7或10或16时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 35． 【答案】(1)10；2 (2)①；②； (3)①；②2 【分析】（1）根据题意可求出点M和点N表示的数，则可求出运动t秒时点P表示的数，再根据折叠的特点确定点P表示的数，则可得到答案； （2）①求出点P表示的数，再根据折叠后互相重合的两个点到中点的距离相等即可求解；②根据折叠后互相重合的两个点到中点的距离相等求出点A到点P的距离，再根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （3）①再分两种情况：折叠后点M在点N的左侧和折叠后点M在点N的右侧，求出折叠后点M表示的数即可得到答案；②设点P从原点开始，向右移动x个单位，则点P表示的数为x，则折叠后点M表示的数为，求出此时的长，同理求出点P从原点开始，向右移动个单位时的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点到原点的距离均为，且点M在点N的左侧， ∴点M表示的数为，点N表示的数为10， ∴运动t秒时，点P表示的数为； ∵以点为折点，折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合， ∴点P为表示1的点与表示的点组成的线段的中点， ∴， 解得， ∴点P表示的数为， ∴表示的点与表示的点重合； （2）解：①由（1）得，当时，点P表示的数为， ∵以点为折点，折叠纸面，表示5的点与数轴上的点重合， ∴点C表示的数为； ②∵两点折叠后重合， ∴点P为的中点， ∴， ∵点A在点B的左侧， ∴点A表示的数为，点B表示的数为； （3）解：①当折叠后点M在点N的左侧时，则折叠后点M表示的数为， ∴点P表示的数为； 当折叠后点M在点N的右侧时，则折叠后点M表示的数为， ∴点P表示的数为； 综上所述，点P表示的数为； ②设点P从原点开始，向右移动x个单位，则点P表示的数为x， 当时，点M和点N都在点P的左侧，折叠后这两点间的距离不变，故不符合题意； 当时，折叠后点M表示的数为， ∴， 当点P向右移动个单位长度时，则点P表示的数为， ∴折叠后点M表示的数为， ∴， ∵， ∴当点从原点开始，沿数轴每向右移动1个单位长度后再折叠纸面，折叠后点，之间的距离都会增大2个单位长度． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴上的动点问题有关的五种模型 题型一 数轴上动点之相遇问题 题型二 数轴上动点之相距问题 题型三 数轴上动点之三点中点问题 题型四 数轴上动点之新定义型问题 题型五 数轴上动点之折线数轴问题 题型一：数轴上动点之相遇、相距问题 1．（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中是最小的正整数，且多项式的最高次项的系数为，常数项为． (1)___________，___________，___________； (2)若点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒，当为何值时与相距3个单位长度？ 2．（26-27七年级上·重庆璧山·阶段检测）如图，点、在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁、分别从、两点同时出发，相向而行，的速度为2个单位长度/秒，的速度为1个单位长度/秒． (1)运动_____秒钟时，两只蚂蚁相遇在点；点在数轴上表示的数是_____； (2)若运动秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出的值（写出解题过程）． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒： (1)当时，线段的长度为________； (2)当为何值时，点与点相遇？ (3)当为何值时，线段的长度为个单位长度？ 4．（26-27七年级上·河北保定·阶段检测）已知数轴上点表示的数是，点表示的数是．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒（）． (1)用含的式子表示点、点在数轴上所表示的数； (2)求两点相遇时，相遇点在数轴上所表示的数； (3)当两点相距个单位长度时，求的值． 5．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，已知数轴上点表示的数为12，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为20，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)若在点出发的同时，动点从点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：出发几秒后，点与点相遇？ (3)若点、出发的同时，点从原点以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，则出发________秒后，． 6．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为和4．点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动；同时点Q从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒． (1)A、B两点间的距离为________________； (2)当t为何值时，点P与点Q相遇？相遇点表示的数是多少？ (3)若点M在A、B两点之间（不含端点），且点M到点A的距离等于点M到点B的距离的3倍，求点M表示的数． 7．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，在数轴上有两点，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒（）． (1)当时， ，此时点表示的数为 ； (2)当时，求的值； (3)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点同时出发，问经过多少秒，两点相遇？ 8．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，已知数轴上点A表示的数为12，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为22．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是_________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 9．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．（） (1)数轴上点B表示的数是______；当时，点P所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 10．（25-26七年级上·辽宁辽阳·期末）如图，已知点，，是数轴上的三个点，点为原点，点，在数轴上表示的数分别为，，且，满足，点，点之间的距离记为． (1)________，________，________； (2)动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设，运动时间为秒． ①当时，求的长； ②若，求的值． ③若动点从原点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点比点，晚出发2秒，求（）为何值时，． 题型二：数轴上动点之定值问题 11．（25-26七年级上·广东惠州·期末）如图，数轴上的点，，分别表示数，，，其中是最大的负整数，且多项式是关于的二次多项式，一次项系数为． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，此时与点重合的点所表示的数为________； (3)若数轴上有一点，且点表示数，则的最小值为________； (4)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为． ①请你用含的代数式表示线段和线段的长； ②是否存在常数，使的值为定值？若存在，请求出的值和的值；若不存在，请说明理由． 12．（25-26七年级上·河北保定·期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”；若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”． (1)若点A表示的数为，则A的幸福点F所表示的数应该是______； (2)如图1，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和为______； (3)如图2，A、B、C为数轴上三点，点A所表示的数为，点B所表示的数为4，点C所表示的数为8． ①若点F是A和B的幸福中心，则点F表示的数为______； ②若点P，Q分别从点A，B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过______秒时，点R是P和Q的幸福中心； ③若点P从点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q、R分别从点B、C以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，存在一个常数m，使得为定值，请求出m的值． 13．（25-26七年级上·广东深圳·期末）【背景知识】1．数轴揭示了数与点之间的内在联系，使数和数轴上的点建立起对应关系，它是“数形结合”的典型体现．有理数和在数轴上对应的点分别为和，则两点之间的距离表示为，记为． 2．定义：若是倍的（即），或是倍的（即），则称点为线段的“倍点”．例如：点表示的数是，点表示的数是1，则点作为线段的“2倍点”对应的数有（如图1-1），（如图1-2），0（如图1-3），4（如图1-4）． 【问题情境】如图2，已知点表示的数是，点表示的数是4．点从点出发，以每秒2单位长度的速度向右运动． 【综合运用】 (1)___________（请填写最简形式）； (2)若点表示的数是10，则点___________（填“是”或“不是”）线段的“2倍点”； (3)秒后，点表示的数为___________（用含的代数式表示）； (4)若点为线段的“1倍点”，点为线段的“1倍点”，请问点在运动过程中，线段的长度会不会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长； (5)若点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动．当点到达点时，，点同时停止运动．当___________时，原点为线段的“3倍点”． 14．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最小的正整数，且a，c满足． (1)___________，___________，___________； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动，设后，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．问：为何值时，． (3)若为一个常数使得的值不随的变化而变化，求的值． 15．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如图，线段上有一点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，求运动时间的值； (2)在相遇前，分别取和的中点，的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由． 题型三：数轴上动点之三点中点问题 16．（25-26七年级上·河北唐山·期末），两点在数轴上的位置如图所示，点在点的右侧，其中点对应的有理数为，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度与点同向运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，的长是____，点表示的有理数为___； (2)点追上点时，求的值； (3)当时，求的值； (4)当、两点中任意一点成为图中、、、四点组成的任意一段线段的中点时，直接写出所有的值． 17．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）动点探究题： 如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为10，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)运动开始前，线段的长度为________；当时，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)当，两点相遇时，求相遇点所表示的数． (3)若点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，是否存在使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，a，c满足，其中点B为线段的三等分点，且点B位于数轴正半轴上． (1)填空： ， ， ； (2)若在数轴上，点A以每秒3个单位长度向右运动，同时点B，点C分别以每秒2个，1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒． ①当点A在点C左侧时，是否存在常数m，使得的值不随t的改变而改变？若存在，请求出m；若不存在，请说明理由； ②求t为多少时，A，B，C三点中恰好有一个点为另外两点所连线段的中点． 19．（25-26七年级上·江西景德镇·期末）【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点，表示的数分别是，． （1）当，分别取下列值时，求，两点间的距离． ，；，；，． （2）用，表示，两点间的距离 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）用，表示，两点之间的距离是____________． 【解决问题】 （2）当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是___________； （3）如图，已知数轴上有，两点，分别表示的数为，6，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度从点出发沿数轴向左匀速运动，点，均运动到对方起点后停止（不返回），设运动时间为秒． ①点运动秒后所在位置的点表示的数为____________；点运动秒后所在位置的点表示的数为____________；（用含的式子表示） ②，两点经过多少秒会相距6个单位长度？ ③在点，运动过程中，，，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时的值． 20．（25-26七年级上·全国·期末）已知数轴上有、、三点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且、满足，点在数轴上对应的数为，且是方程的解． (1)数轴上点、、表示的数________、________、________； (2)如图1，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，经过多少秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度？ (3)如图2，若动点、两点同时从、出发，向右匀速运动，同时动点从点出发，向左匀速运动，已知点的速度是点的速度的倍，点的速度是点的速度倍少个单位长度/秒．经过秒时，、、三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请求出动点的运动速度． 题型四：数轴上动点之新定义型问题 21．（25-26七年级上·广东深圳·期末）【定义】 点在同一直线上，当点满足或时，则称点是点的“倍点”． 【理解】 （）若点在数轴上表示的数分别为，，，则点是否为点的“倍点”？________（填“是”或“否”） （）如图，点在数轴上对应的数分别为，，点是数轴上的一个动点，从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒： ①点对应的数为________；________（请用含的代数式表示）； ②当运动时间为何值时，点恰好是点的“倍点”？请求出符合条件的值． 【拓展】 （）小明和小颖同时从公园入口出发，沿笔直道路骑行至指定点（如图），骑行速度开始均为，间距离为．当骑行至道路上的自助售货机处时，小明停下来买矿泉水，停留后，以的速度继续骑行，最终两人同时到达点．请求出的长度，同时判断自助售货机处是否为点的“倍点”，并说明理由． 22．（25-26七年级上·北京延庆·期末）对于数轴上不重合的两点，给出如下规定：若该数轴上存在一点，通过比较线段和的长度，将较短线段的长度称为点到线段的“近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则线段或的长度为点到线段的“近距离” (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为2． ①若点P表示的数是，则点P到线段的“近距离”为___________； ②若点A表示的数为a，点A到线段的“近距离”为3，则a的值为___________； (2)如图2，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2．点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动．设点、运动的时间为秒，当点到线段的“近距离”为2时，直接写出的值． 23．（25-26七年级上·全国·期末）对数轴上的点和线段，给出如下定义：点是线段的中点，点是线段的中点，称线段的长度为线段与的“中距离”． 已知数轴上，线段（点在点的左侧），（点在点的左侧）． (1)当点表示时， 若点表示，点表示，点表示，则线段与的“中距离”为，线段与的“中距离”为______； 若线段与的“中距离”为，则点表示的数是______． (2)线段、同时在数轴上运动，点从表示的点出发，点从原点出发，线段的速度为每秒个单位长度，线段的速度为每秒个单位长度，开始时，线段、都向数轴正方向运动；当点与点重合时，线段随即向数轴负方向运动，仍然向数轴正方向运动．运动过程中，线段、的速度始终保持不变． 设运动时间为秒． 当时，线段与的“中距离”为______； 当线段与的“中距离”恰好等于线段的长度时，求的值． 24．（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，如果线段之间依次排列的点，，，…，将线段n等分，则这个点都叫做线段的n等分点．若是靠近A的第1个n等分点，记为，是靠近A的第2个n等分点，记为，…，是靠近A的第个n等分点，记为． (1)小利探究发现： 如图，点A、B表示的数分别为a、b（）， 点为线段上靠近点A的第2个五等分点，则点表示的数为， 点为线段上靠近点B的第1个五等分点，则点表示的数为． 根据小利的探究，若a、b分别为、4，则点表示的数为______，点表示的数为______； (2)数轴上A、B两点表示的数分别为、， ①数轴上C、D两点表示的数分别为、4，若线段的等分点与线段的等分点重合，则x的值为_____； ②点P从A点出发以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从B点出发以每秒4个单位的速度向左移动，点M为线段的中点，记点A与M的距离为，点为线段的等分点，记点B与的距离为，当与相等时，请直接写出此时t的值． 25．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）【定义】 点，，是一条直线上从左到右的三个点，若直线上点满足，则称点是点，，的“和谐点”．    【理解】 （1）如图①，在数轴上，点，，，表示的数分别为，0，5，1，点是不是点，，的“和谐点”？请通过计算作出判断． （2）点，，是一条直线上从左到右的三个点，且，，若点是点，，的“和谐点”，求的长． 【拓展】 （3）如图②，在数轴上，点，，表示的数分别为，，（是整数），点在点的左侧，且点是点，，的“和谐点”，点，，，表示的数之和是否能被4整除？请通过计算作出判断． 26．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）【阅读理解】定义：在数轴上的三点中，如果其中一个点与另外两个点的距离之比为，那么这个点叫做其它两个点的“双伴点”． 例如，如图①，数轴上点分别表示0，1，2，那么点是点的“双伴点”． (1)如图②，数轴上点，，，分别表示，，0，3，那么点_____是点，的“双伴点”；点_____是点，的“双伴点”；（只能填写图②中的字母） (2)【问题解决】如图③，点和在数轴上表示的数分别是和10，点是点，的“双伴点”，求点在数轴上表示的数． (3)【应用拓展】在（2）的条件下，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动．点同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为秒，当为何值时，点是点，点的“双伴点”？ 27．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“联盟点”，例如，如图，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”若点表示数，点表示数，且，满足，点为数轴上的一个动点，点对应的数为． (1)计算：______________，______________； (2)若点在点的右侧，且点是点，点的“联盟点”，求出此时点在数轴上对应的数； (3)若动点从点处以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时动点从点处以1个单位长度/秒的速度向左运动，在相遇后，点立刻原速返回，且到达点后停止运动．设点运动的时间为秒，在整个运动过程中，当点是点，点的“联盟点”时，请直接写出的值． 28．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）定义：若在数轴上存在一点，使得点分别到另外两点的距离之和等于，则称点为另外两点的“格距点”． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． 例如：若点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)已知数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则最小为______，这样的整点有______个； (3)若动点从点出发，以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右运动，两点同时出发，运动时间为秒．是否存在，使得点是点、的“7格距点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 29．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）在一条数轴上，若点M到点N的距离是点M到点Q的距离的k倍，则称M是的“k倍点”，记． 例如：若点M表示的数为，点N表示的数为0，点Q表示的数为4，则；． 根据规定解决下面问题： (1)如图1，_____； (2)如图1，若数轴上有一点M，满足，则点M表示的数是多少？ (3)如图2，若数轴上有三点，其中点表示的数分别是，现以点C为折点，将数轴向右对折，使点P（点A的对应点）落在点C的右侧，且，则点C表示的数是多少？ 30．（25-26七年级上·湖北荆门·期末）定义：数轴上的三个点A、B、C，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“奇妙点”．例如数轴上点A、B、C所表示的数分别为5、8、9，此时点B是点A、C的“奇妙点”．若点A表示数，点B表示数15． (1)如图1，若点M表示数25，判断点M是否为点A，B的“奇妙点”，并说明理由； (2)如图2，点N是数轴上位于点A的左侧，且点N是点A、B的“奇妙点”，求点N表示的数； (3)若动点P、Q分别从点A、B位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒． ①当点Q运动多少秒时，点Q追上点P？ ②在运动过程中，求出点P运动多少秒时点A成为点P、Q的“奇妙点”？ 题型五：数轴上动点之折线数轴问题 31．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，始终以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向终点运动，同时，动点从原点出发，也沿着“折线数轴”的正方向朝终点运动，点在线段以单位/秒的速度运动，在段以单位/秒的速度运动，设运动时间为秒．问： (1)动点、谁先到达终点？请通过计算说明． (2)、两点第一次相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)当为______时，、两点在数轴上相距的长度为个单位？ 32．如图，将一条数轴在点B，点C，点D，点E处各折一下，得到“折线数轴”．图中点A 表示的数为，点B 表示的数为，点 C表示的数为，点D 表示的数为0，点E 表示的数为8，点F表示的数为12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从点F出发以每秒4个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时的速度均是各自初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)动点P从点A运动到点F需要多少秒？ (2)P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ 33.如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为，点B表示的数为10，点C表示为18，我们称点A和点C在该数轴上的“折线距离”为24个长度单位，动点P从点A出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为t秒，则： (1)动点P从点A运动至点C需要______秒，动点Q从点C运动至点A需要_______秒； (2)若P，Q两点在点M处相遇，求相遇时间t以及点M在折线数轴上所表示的数； (3)是否存在t值，使得P、O两点在数轴上的“折线距离”与Q、B两点在数轴上的的“折线距离”相等． 34．已知，如图，数轴上依次有、、三点，它们在数轴上对应的数分别是、、，其中、满足，点到点的距离为20． (1)求、、的值． (2)如图1，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点从点出发，以每秒1单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，、两点同时出发，在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少； (3)如图2，将数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中、两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为秒，请直接写出当为何值时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 35．（26-27七年级上·河北张家口·阶段检测）解决问题 数学小组在一张白纸上制作了一条数轴，点由左至右依次在数轴上，且点到原点的距离均为两点之间的距离为9．点从点出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向终点移动，设点的移动时间为秒． 操作一： (1)以点为折点，折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，此时_____，则表示的点与表示_____的点重合； 操作二： (2)当时，以点为折点，折叠纸面． ①表示5的点与数轴上的点重合，点表示的数为_____． ②若两点折叠后重合，则表示的数为_____；表示的数为_____． 操作三： (3)以点为折点，折叠纸面． ①若折叠后，两点间的距离为4，此时点所表示的数为_____． ②当点从原点开始，沿数轴每向右移动1个单位长度后再折叠纸面，折叠后点，之间的距离都会增大_____个单位长度． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $