任务强化练 15 空间中点、直线、平面的位置关系-【艺术生文化课考前100天】2027年高考数学艺术生文化课考前100天

2=6. 任务强化练15空间中点、直线、平面的位置关系 1.C解析：，a∩3=l,∴.lC3.又nL3,∴.n⊥l. 2.D解析：A选项，平行直线的平行投影可能平行：B选项，平 行于同一直线的两个平面可能相交；C选项，垂直于同一平面 的两个平面可能相交；D选项正确. 3.B解析：：'MN∥平面PAD,MNC平面PAC,平面PAD∩ 平面PAC=PA,∴.MN∥PA. 4.B解析：在三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1.,ABC平面 ABC,A1B中平面ABC,∴AB1∥平面ABC.过AB的平 面与平面ABC交于DE,.DE∥AB1,.DE∥AB. 5.B解析：.PA=PB,AD=DB,∴.PD⊥AB. 平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PDC 平面PAB,∴.PD⊥平面ABC. 6.C解析：如图，设a∩B=L,在平面a内任取一点P(P庄l),在 平面a内，过点P作直线b⊥L,则由a⊥B,可得bLB,又n⊥B, 则b∥n,b二a,n庄a,.n∥a,故C正确.由图可知，显然A, B,D错误 第6题图 第7题图 7.B解析：如图，将此多面体补成一个正方体.，AC∥BD, ∴.PB与AC所成的角的大小即为此正方体的体对角线PB与 棱BD所成角的大小.在Rt△PBD中，∠PDB=90°，PD= 2q,DB-a,.tan/DBP=DR-/ 8.A解析：原图中AD⊥DF,AB⊥BE,∴.折起后AH⊥FH, AH⊥EH,FH∩EH=H,又FHC平面EFH,EHC平面 EFH,.AH⊥△EFH所在平面.故A正确，B错误；由上知 ∠HGA≠7，故D错误；由原图知HF与EF不垂直，故C错误. 9.90°解析：PA⊥平面ABC, .PA⊥AB,PA⊥AC, .∠BAC为二面角BPA-C的平面角.又∠BAC=90°， 所求二面角的大小为90， 10.店解析：如图，作A0L月于点 O,AC⊥L于点C,连接OB,OC,则 .0 OC⊥1.设AB与3所成的角为0， B C 则∠AB0=0,由图得sin0=Ag= AB AB·AC=sin30°.sin60°-Y3 AC AO 4 1.号解析：设国维的底面半径为母线长为，由题意，知 πrl=3πr2,则1=3r.设母线与底面夹角为0，则cos0= 12.DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析：，'PA⊥底面ABCD, ∴.BD⊥PA.如图，连接AC,则BD⊥P AC,且PA∩AC=A, .BD平面PAC,.BD⊥PC,.当 DX DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平 面MBD,而PCC平面PCD, .平面MBD⊥平面PCD. 13.B解析：连接DP,由D1P⊥PC,DD1⊥PC,且DP,DD1是 -6 平面DDP内两条相交直线，得PCL平面DD1P,PCDP, 即，点P在以CD为直径的圆上，又点P在AB上，AB与圆 有公共点，即0<AD<?CD=2. 14.AC解析：对于A,由面面平行性质：两平面平行，在一平面 内的任意直线与另一平面平行，而a∥B,mCa,故m∥B,A正 确；对于B,aLB,mLa,此时m有可能在平面B内，故不能得 到m∥B,B错误；对于C,由于m∥n,则n可经平移到与m重 合的位置而平移不改变直线与平面是否直，mLa,故n⊥a,C 正确；对于D,当m∥a,m中a,过m上一，点作直线n⊥a,此时 mLn,不能得到n∥a,D错误.综上，AC正确. 15.B解析：如图，取正三角形ABC的中心O,连接OP,则 ∠PAO是PA与平面ABC所成的角. “底面边长为5，：AD-5×号=号，A0=号AD=号× 号=1.三棱柱的体积为×(5yAA=号，解得AA= 5,即0P=AA,=E,∴am∠PA0-8=.“直线与平 面所成角的范围是0，受]，∴∠PAO=哥 C 第15题图 第16题图 16.45°解析：如图，过，点A作AO⊥BD于点O. .平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AOC 平面ABD,.AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面 BCD所成的角.：∠BAD=90°，AB=AD,∠ADO=45. 17.①②为条件，③为结论解析：①②为条件，③为结论，命题 正确，证明：若1∥B,l中B,过l作平面Y,与平面B相交于直线 a,则L∥a.lLa,aLa,又aCB,a⊥B;②③为条件，①为结 论，命题错误.如图①，长方体中l∥B,α⊥B,但是l不垂直a; ① ①③为条件，②为结论，命题错误.如图②，，l⊥α，a⊥3， ∴.l∥B威者CR. 18.√3一1解析：由正方体的性质可知该组合体的外接球的球 心为正方体的中心.设正方体上底面AB1CD1的中心为 O,BC的中点为E,连接PO,OE,PE,则PE⊥BC, OE⊥BC,则∠PEO=A. 设正方体的棱长为a, P0=9。a,aB-, 则PO=3 .'tan 6= 0-g-1 D 0 B 第18题图 第19题图 2 19.5解析：如图，在正方体ABCD-A1B,CD,中，E为棱 AA1的中点，AB=1, 则0G=CG+0C-1+2=号，0E=0A+AE=}十 号=，BG=AG+AE=2+}=号，∴0C+0E EC,∴.OE⊥OC.又BD⊥平面ACC1A1,OC1C平面 ACCA1,.BD⊥OC1,且OE∩BD=O,.OC⊥平面BDE, 且Ss=号BD·0B=合×2×号-，脚平面a我孩正 2 方体所得减面图形的面积为。 任务强化练16球的切、接问题 1.C解析：设外接球的半径为R,易知2R=√3X2√3=6， .R=3,于是表面积S=4πR2=36π. 2.B解析：设圆柱的底面圆半径为7，则r=1-(合）广=子， “圆柱的体积V=子xX1=3不 3.B解析：如图，将三棱锥补形为正方体， :Q D上… … 则外接球半径R=S=AP+AB十BC=4士4十4- 2 √3，∴.三棱锥外接球表面积S=4π2=4π×3=12π 4B解析：设正四面体的棱长为a,则根据题意可得9。义4二 8√3，解得α=2√2.该正四面体的外接球与棱长为2的正方体 的外接球的半径相等，正方体的外接球半径为√3，故该正四面 体外接球的表面积S=4π×(3)2=12π. 5.D解析：由题可知，圆柱的母线长=2，则圆柱的底面圆的半 径为r=√(W6)2-12=√5，.圆柱的表面积为S=2π2+ 2πrl=2Xπ×(W5)2+2πXW5X2=(10+4W5)元. 6.B解析：如图，作轴截面，圆锥的轴截面 D 是等腰三角形PAB,△PAB的外接圆是 球的大圆，设该圆锥的外接球的半径为 R,依题意，得R=(3-R)2+(W3)2,解得 3πR= R=2,所求球的体积V= 告X2-号元 4 7.64:5解析：设表面积为16π的球的半径为，则4π=16m, 解得r=2.设内接正方体的棱长为a,则W3a=2r,∴.a= 4 31 内接正方体的体积V=a(告)广-64图 9 8.号解析：设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱 OO2的底面圆的半径为R,高为2R, 始--号剂 -6 9.125r解析：由题意，知球心到四个顶点的距离相等，球心 6 在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，矩形对角线 A0=5则V=专x(2)广-l要 10,受解析：三棱维的三个侧面两两套直，且侧棱长均为V3,可 将三棱锥补形成正方体，从而其外接球的直径为3，半径为 号，故所求外接球的体积V-警×（受）°-要 11.C解析：将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为球 O,D,D为上下底面的外心，O为DD的中点，AD为底面外接圆 的半径，由余弦定理得BC=√AB+AC-2AB·ACoos120°= 2√3 2,/5,由正孩定理得2AD=sn120-4,由OD-=1,AD=2, 得AO=√5，∴.球O的表面积为S=4π2=20π. D P p A 第11题图 第12题图 12.A解析：设圆锥的底面半径为r,由侧面展开图是圆心角为 2严的扇形，得2如25×2后，解得，一2.作出国维的轴 3 裁面如图所示，设圆锥的高为h,则h=√(2W6)2一(2W2)2=4, 设该圆锥的外接球的球心为O,半径为R,则R= √(h-R)2+7,即R=√(4-R)2+(22)2,解得R=3, ·该圃维的外接球的体积为4R 3 =36元. 13.B解析：BC⊥CD,∴BD=√7.又AB⊥底面BCD,∴.球O 的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为√0.利用张 衡的结论可得需=吾，则=V而球0的表面积为标× ()'=10x=10v. 14.C解析：由等边三角形ABC的面积为9，得AB 2得AB=3,则△ABC的外提司米径，-是×9AB 3 号AB=.设球的丰径为R,则由球的表西积为16，得 4πR2=16π，得R=2,则球心O到平面ABC的距离d= WR2-2=1. 15.C解析：如图，O,O2分别为底面中心，O为O1O2的中点，D 为AB的中点，设正六棱柱的底面边长为2，若正六棱柱有内 切球，则OO=OD=√3，即内切球的半径r=√3，OA OO十OA=7,即外接球的半径R=√7，则该正六棱柱的外 接球和内切球的表面积的比值，4πR2：4π2=R2: r2=7:3. 02 0 A-----46 B任务强化练15空间中 【基础保分练】 1.已知互相垂直的平面α，3交于直线l,若直线 m,n满足m∥&，n⊥3，则( A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 2.(2023·山东临沂模拟)在空间中，下列命题 正确的是() A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 3.（2023·江苏盐城模拟)如图，在四棱锥 P-ABCD中，M,N分别为AC,PC上的点， 且MN∥平面PAD,则( B A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的 平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的 位置关系是( ) D E A异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 5.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面 ABC,PA=PB,AD=DB,则() 点、直线、平面的位置关系 A.PDC平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC 6.已知直线m,n是平面a,3外的两条直线，且 m∥a,n⊥B,a⊥B,则( A.m∥n B.m⊥n C.n∥a D.nLa 7.如图，PA⊥平面ABC,∠ACB=90°，且PA= AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成的角 的正切值为( A.2 B.√2 C.3 D 8.(2023·湖南岳阳模拟)如图，在正方形AB CD中，E,F分别是BC,CD的中点，G是EF 的中点，现在沿AE,AF及EF把这个正方形 折成一个空间图形，使B,C,D三点重合，重 合后的点记为H,那么在这个空间图形中必 有( 30 A.AH⊥△EFH所在平面 B.AG⊥△EFH所在平面 C.HF⊥△AEF所在平面 D.HG⊥△AEF所在平面 9.如图，在三棱维P-ABC中，PA⊥平面ABC, ∠BAC=90°，则二面角B-PAC的大小等 于 10.如图，二面角a-1B的大小是60°，线段AB二a, B∈L,AB与L所成的角为30°，则AB与平面B 厅成的角的正弦值是 aA BI 11.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线 与底面夹角的余弦值为 12.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面AB- CD,且底面各边都相等，M是PC上的一动 点，当点M满足 时，平面MBD⊥平 面PCD(只要填写一个你认为正确的条件 即可). 【能力提分练】 13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=√3， AB=4,若在棱AB上存在点P,使得D1P1 PC,则AD的取值范围是() A.(0,1] B.(0,2] C.(1,w3] D.[1,4) 14.（多选)(2023·山东淄博模拟)若m,n是两 条不同的直线，α，3是两个不同的平面，则下 -3 列说法正确的有() A.若a∥B,mCa,则m∥3 B.若a⊥3，m⊥a,则m∥3 C.若m∥n,m⊥a,则n⊥a D.若m⊥n,m∥a,则n∥a 15.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂 直，体积为，底面是边长为3的正三角形， 若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面 ABC所成角的大小为( ) A B. C. D.否 16.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面 BCD,∠BAD=90°，且AB=AD,则AD与 平面BCD所成的角是 17.(2023·北京东城区模拟)已知直线l不在α， B内，给出下列三个论断：①l⊥a;②l∥β； ③a⊥B.以其中的两个论断作为条件，余下的 一个论断作为结论，写出一个正确的命题： (填序号). 18.一个纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体 建筑设计，如图，若该组合体内接于半径为R 的球O(即所有顶点都在球上)，记正四棱锥 侧面PB1C与正方体底面A1B1CD1所成 二面角为0，则tan0= P B 19.已知正方体ABCD-A1B,CD1的棱AA1的中 点为E,AC与BD交于点O,平面a过点E,且 与直线OC垂直，若AB=1,则平面α截该正 方体所得截面图形的面积为