任务强化练 9 数列综合问题-【艺术生文化课考前100天】2027年高考数学艺术生文化课考前100天

任务强化练9数列综合问题 1.B解析：a5,a是函数f(x)=x-4x十3的两个零点， as,a是方程x2-4x十3=0的两个根，as·a=3,由等 比数列的性质可得a3·ag=as·a7=3. 2.C解析：设公比为q(q≠0)，a2,ag,a4一2成等差数列， 2a=a2十a4-2,则2×2q=2+2g-2,解得q=2或q=0(舍 去).a2=2,4=1,故S=2=15 3.A解析：由题意可设f(x)=kx十1(k≠0)，则(4k十1) (k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2× 2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=n(2n+3). 44解折a-a-m2程-产28 n+3 当n≥2时，a+1-an>0,即a+1>an,当n=1时，a2-a1<0, ,数列{an}中，从a2开始是递增的.又a2<a,.{an}中最小 项是a2=4. 5.(-o∞，10]解析：.an=4n,∴.Sn=2n2十2n,不等式Sn十8≥ n对任意的n∈N恒成立，即≤2r+2m+8又2i+2m+8 7 2 2m十8十2≥10（当且仅当n=2时取等号），实数入的取值 范围为(-∞，10]. 6.解：(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q, 则an=-1+(n-1)d,bn=q1 由a2十b2=3,得d+g=4,① 由a3十b3=7,得2d十gd=8,② 联立①②，解得q=2或q=0(舍去)， 因此{bn}的通项公式为bn=2-1 (2).T3=b(1+q+g), .1十q十q=13,解得q=3或q=-4, 由a2+b=3得d=4-q,∴.d=1或d=8. 由S.=a1+2nn-1)d, 得s.=t-号n或S,=4r-5m 7.解：(1).函数f(x)=ax2十bx的图象经过点（一1,0），∴.a b=0,即a=b.① ,f(x)=2ax十b,函数f(x)=ax2+bx在x=一1处的切线 斜率为-1，.-2a十b=-1.② 由①②得a=1,b=1, ∴.数列{am}的前n项和S.=f(n)=n2十n. 当n≥2时，S-1=(n-1)2+(n-1), .an=S-S-1=2n 当n=1时，a1=2符合上式，则an=2n. aa,2xn+日)， (2)由于a.=2m,则。1 则红=(1-+日3++员)=(1-) n 二4n十4 8.解：(1)由a1=1,1=1 an 2am≠0， {a,}是首项为1，公比为2的等比数列， a-(侵)， 6=2-oge(3)-2m+2, (2)由(1)得，Tn=n2+3n, ∴.m≥一2m十6n对任意正整数n都成立. 设f(n)=-2n+6n, fm)=-2m+6m=-2(a-2）‘+号， -5 ∴.当n=1或n=2时，f(n)的最大值为4， ∴.m≥4，即m的取值范围是[4，十o∞). 2S% 9.证明：(1)当n≥2时，S。-S-1=2Sn1' 整理得S,n-1-Sn=2Sn·Sw-1(n≥2)， 发=2， 从而侵}构成以2为首项，2为公差的等差数列。 ②)由1可知，安-专十a-1D×2=2,8- 7 当m=1时，5.=号<1， 方法一：当≥2时，5=京<分·号（片 》, “s+2s+3s+…+0s.<2+2(1-2+号 ++)=1-<1. ∴原不等式得证. 方法二：当≥2时7<2D(片》， s+分s+号s+…+s.<2+(1-骨+3 寸+日日++之+片中)名+(+ 合日)<分+(1+号)=8<1 ∴.原命题得证 10.(1)解：设数列{an}的公差为d, 则/3a+3d=9, l(a1+2d)2=a1(a1+6d), 解得任”支份3（会去 a:=n十1，S=n(n十3) 2 又b1=a1=2,b2=a8=4, ∴.bn=2,Tn=2+1一2. (2)证明：.an·bn=(n十1)·2m, ∴.Kn=2·22+3·22十…十(n+1)·2m,① ∴2Kn=2·22十3·23+…十n·2"+(n+1)·2+1,② ①-②得-Kn=2·21十22十23+…十2"-(n十1)·2+1， ∴Kn=n·2+1. 则c,-S工=n+3)(2-D 2m+1 c1-6,=n+4,2t1-_+3)(2-1D 2+2 2+1 =21++2>0, 2n+2 ,'.ct1>cn(n∈N*). 11.解：(1)(1,2)，(1,6)，(5,6). (2)当m=3时，删去a2,a,其余项可分为以下3组：a,a4, a,a1n为第1组，a3,a6,a,a12为第2组，a5,ag,a1,a14为第 3组， 当m>3时，删去a2,a1s,其余项可分为以下m组：a,a4,a, a1o为第1组，a,as,a,a1z为第2组，a5,a8a11,a为第3组， a15,a16,a7,a1g为第4组，a19,a20,21,a22为第5组，…， a4m-1,a4m,am+1,a4m+2为第m组，可知每组的4个数都能构成 等差数列，故数列a1,a2,…,a+2是(2，l3)一可分数列. (3)易知a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分数列→1,2，…，4m十2 是(4p+1,4g十2)-可分数列，其中p,9∈{0,1，…，m以. 当0≤≤gqm时，删去4p+1,4q十2， 其余项从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数都能 构成等差数列， 故数列1,2，…，4m十2是(4p十1,4q十2)一可分数列，可分为 (1,2,3,4),…,(4p3,4p-2,4p-1,4p),…,(4(q+1) 1,4(g+1),4(g+1)+1,4(g+1)+2),…,(4m-1,4m,4m+ 1,4m+2).p,q的可能取值的方法数为Cm1十m+1 =(m+1)(m+2) 易知a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分数列→1,2，…，4m十2是 (4p十2,4q十1)-可分数列，其中p,q∈{0,1，…，m. 当q-p>1时，删去4p+2,4q十1， 将1~4p与4g十3~4m十2从小到大，每4项分为1组，可知 每组的4个数成等差数列. 考虑4p十1,4p+3,4p+4,…,4q,4q十2是否可分，等同于考 虑1,3,4，…，4t,4t十2是否可分，其中t=q一p>1,可分为 (1,t+1,2t+1,3t+1),(3,t+3,2t+3,3t+3),(4,t+4,2t+ 4,3t+4),…,(t,2t,3t,4t),(t+2,2t+2,3t+2,4t+2),每组 4个数都能构成等差数列，故数列1,2，…，4m十2是(4p十2， 4q十1)一可分数列， p,g且gp>1的可能取值的方法数为C1-m=m,Dm 2 (m+1)(m+2)+m-1)m 2. 从而Pm≥ 牛计>含 任务强化练10三角函数的图象与性质 1,B解析：根搭已知条件得m&--计≥2，当且仅当 t=1时，等号成立，tana取得最小值2. 2.A解折：由题意，知当广子时=-受或为=停，即血8 -停或m。-g.又：sm(登+2a）=cs2a=1-2sima, 21 “sm(受+2a)=1-2×=-号 3.B解析：sin(乏+a）sina=sin cs=sima十cosa sin acos a 2品 3 4B解析：由题中图象可知十子一=子，T=受， ÷=受=4 5.C解析：函数fx)=sin(2x+p+石)为偶函数，则9十否 受+kr,k∈Z,解得p=x十5，k∈乙令=0，则9-子，则 函数f()为偶函数的一个充分条件为p一哥 6.D解析：f(x)=sim(受-2x)=cos2x,当x∈(0，x时，2x∈ (0,2π)，∴.f(x)=cos2x不单调，故A,B错误；当x∈ （-,0)时，2x∈(-元，0)，f(x)=c0s2x在2x∈(-，0)上 单调递增，故D正确，C错误， 7.D解析：函数f(x)的定义域为R,且f(一x)=f(x),则f(x) 为偶函数.又f(x)=cosx一c0s2x=cosx一(2cos2x一1)= -2osz+cos十1=-2(ms-号)厂+号，故的最大 值为是 8.B解析：由题意，知当=14时，f0=7,即Asim1x+5=7, A=4:当9≤<16时，吾45∈[后，]当晋 号-受时，0取得最大值，且最大值为4十5=9。 9.一2解析：sin(π-》=sin0 =-tanf=-2. sin(0-2) -cos 0 10.- 。解析：a与B的终边关于原点对称，B=2kπ十π十a (keD,cosg=os(2kx十x+a)=-cosa.“a∈[晋，苓]， ∴os6e[分号1.m9e[-号，-]∴s日的最大 值为- ll.x十sinx(答案不唯一)解析：f(x)的解析式形式：ax士 bsin(x+p(ab≠0)或ax士bcos(x+p)(ab≠0)均可.如 f(x)=x十sinx的定义域为R,不是周期函数，且f(x)= 1十cosx的周期为2元 12.弩解析：由题图，知-智）-0一行。十吾=受+ (∈2D,解得。=-3（∈Z.说f)的最小正月期为 工易知T<2m<2T,高<2x<语1<w<2,当且仅 当=一1时，特合题意，此时w一多，T-西-禁 3 l3.C解析：f(x)=x-sin元x是定义在R上的奇函数，∫(x)= 1-08元，令f()=0,得c0s元r=只，不坊设解为西，且 z∈(0,1)，则当x∈(0，x)时，f(x)<0,f(x)单调递减，A 错误；f(x)=x十sin元x是定义在R上的奇函数，但f(1)= 1+sinx=1,与图中f(1)<0矛盾，B错误；f(x)=sin元x-x 是定义在R上的奇函数，f(x)=πcosπx-1,令f(x)=0, 得0s元x=元，不坊设解为西，且∈(0,1)，则当x(0, xo)时，f(x)>0,f(x)单调递增，当x∈（xo,1)时，f(x)< O,f(x)单调递减，C正确；f(x)=x·sinπx是定义在R上的 偶函数，D错误， 14.B解析：函数f(x)=cos(2z十p)满足f(x-）- f-),“f(x)的图象关于直线x=-对称，“2× （-）十g=r,k∈Z,∴p=kx+g,k∈乙，lg的最小值 为 15.专解析：由题意可得wX受十子-r,k∈Z,解得w=2 号k∈Z又w>0,u的最小值为学 16.cos2x解析：根据函数f(x)=Asin(x十p)(A>0,w>0, 19<受)的年分图象，可得A=1,}×-径-吾 2再结合五点法作图，可得2×于十9=9-号) sin(2x十哥)，将f(m)图象上的所有点向左平移沿个单位长 度得到函数g()=sin(2z+受)=cos2x的图象 17.x=一牙解析：y=3sim2(z-看）+平=3sin(2z- ),2x-臣=m十受，k∈么∴x=经+经，k∈乙当k= -1时，x= 7任务强化练9 【基础保分练】 1.在等比数列{an}中，a5,a是函数f(x)=x2- 4x十3的两个零点，则a3·ag等于() A.-3 B.3 C.-4 D.4 2.(2023·广西南宁模拟)设等比数列{an}的前 n项和为Sn,若a2=2,且a2,a3,a4一2成等差 数列，则S4=() A.7 B.12 C.15 D.31 3.设y=f(x)是一次函数，若f(0)=1,且f(1), f(4),f(13)成等比数列，则f(2)+f(4)+…+ f(2m)等于( ) A.n(2n+3) B.n(n+4) C.2m(2n+3) D.2n(n+4) 4若数列a}中，a,=号，nEN,则数列 {am}中的项的最小值为 5.已知数列{an}的前n项和为Sm,且an=4n,若 不等式S.十8≥λn对任意的n∈N*都成立， 则实数入的取值范围为 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,等比数 列{bn}的前n项和为Tm,a1=一1，b1=1,a2十 b2=3. (1)若a3十b3=7,求{bn}的通项公式； (2)若T3=13,求Sm 17 数列综合问题 7.已知函数f(x)=ax2+bx的图象经过点 (-1,0),且在x=-1处的切线斜率为一1. 设数列{an}的前n项和Sn=f(n)(n∈N*). (1)求数列{am}的通项公式； (2)求数列{。1一的前n项和Tn an·an+1 8.已知数列{am}满足a1=1,2am+1=am,数列{bn} 满足bn-2-log2a%+1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式； (2)设数列{bm}的前n项和为Tm,求使得 2Tm≤4n2+m对任意正整数n都成立的实数 m的取值范围. 【能力提分练】 11.(2024·新高考I卷)设m为正整数，数列 9.已知数列a,中，a=,其前m项的和为S, a1,a2,…,a4m+2是公差不为0的等差数列，若 从中删去两项a:和a;(i<j)后剩余的4m项 2S% 且满足a,2S。n≥2).求证： 可被平均分为m组，且每组的4个数都能构 成等差数列，则称数列a1,a2,…,a4m+2是(i, (1数列侵}是等差数列， )一可分数列 ②5+s+s+5.<1. (1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6，使数列 a1,a2,…,a6是(i,j)一可分数列； （2)当m≥3时，证明：数列a1,a2,…,a4m+2是 (2,13)一可分数列； (3)从1,2，…，4m+2中一次任取两个数i和 j(i<j),记数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)一可 分数列的概率为P,证明：P>名 10.已知各项均不相等的等差数列{a,m}的前三项 和为9，且a1,a3,a恰为等比数列{bn}的前 三项 (1)分别求数列{an},{bn}的前n项和Sm,Tm; (2)记数列{abn}的前n项和为Km,设cm Ta,求证：c1>c.(n∈N). K -18