数列求和及数列的综合应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列求和与综合应用，以题型为载体系统整合倒序相加、裂项相消等核心方法，构建从基础定义到综合应用的逻辑链条，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求和|单选1-5、填空11-13|倒序相加、裂项相消、错位相减、分组求和|从等差/等比定义出发，依据通项特征选择求和方法，强化运算能力| |递推与通项|单选2、6、填空14|累加法、构造法、新定义转化|通过递推关系抽象数列本质，发展推理意识，建立“递推-通项-求和”关联| |综合应用|单选3、7-8、解答16-19|函数单调性、不等式恒成立、跨知识整合|结合函数与不等式，体现数学思维的严谨性，提升综合应用意识|

高三数学一轮复习数列求和及数列的综合应用专项训练 一、单选题： 1.已知等比数列满足：，设，记数列的前项和为，则 A. B. C. D. 2.已知，，，则数列的通项公式为(    ) A. B. C. D. 3.已知数列满足，设，为数列的前项和若对任意恒成立，则实数的最小值为(    ) A. B. C. D. 4.已知，，则数列的前项和等于(    ) A. B. C. D. 5.数列满足，且，，则该数列的前项之和为(    ) A. B. C. D. 6.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”三角垛”的最上层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球，设各层球数构成数列该数列从第二项起每一项与前一项的差构成等差数列，则该“三角垛”中第层小球个数为(    ) A. B. C. D. 7.定义“等方差数列”如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差已知各项均为正数的数列是等方差数列，且公方差为，，则数列的前项的和为(    ) A. B. C. D. 8.已知数列满足：，，令，数列的前项和，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题： 9.已知等比数列的前项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是(    ) A. 数列的通项公式为 B. C. 数列的通项公式为 D. 的取值范围是 10.对于，将表示为其中，，，，，记为上述表示中为的个数例如，则，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 三、填空题： 11.已知数列的通项公式为，则其前项和等于          ． 12.已知数列，若，则数列的前项和为          ． 13.在数列中，已知，则的前项和           14.设数列的前项和为若，且数列是首项为，公比为的等比数列，则          ． 15.已知数列的前项和为，且，则使得的最小正整数的值为          ． 四、解答题 16.在等差数列中，已知，． 求数列的通项公式； 若，求数列的前项和． 17已知数列的前项和为且 求，并证明数列是等差数列． 若，求正整数的所有取值． 18.已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，． 求，的通项公式 设，记数列的前项和为，求． 19.已知公差不为零的等差数列的前项和为成等比数列，． 求数列的通项公式及； 设，求的最小值，并求取得最小值时的值； 设其中，求． 高三数学数列求和及数列的综合应用答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由题意，，故由得，解得， 从而数列的通项公式为 故， 从而． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查数列求和的倒序相加法，数列的通项公式，属于基础题． 利用倒序相加法得到即可求解． 【解答】 解：已知 ， 则， 由可得： ， 故． 故选： 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查裂项相消法求和，不等式恒成立问题，属于中档题． 先求出的通项，再利用裂项相消法可求，结合不等式的性质可求实数的最小值． 【解答】 解：时，， 因为， 所以时，， 两式相减得到，故时不适合此式， 所以 当时，， 当时，， 所以；所以的最小值； 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等比数列的求和公式及错位相减求和，属于中档题． 根据条件求出的通项公式，再利用错位相减求和即可． 【解答】 解：由题意 ， ， 两式相减得到： ， 所以． 故选C． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查分组求和法，涉及等差数列的前项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题． 由可得，所以中的所有偶数项构成以为首项，以为公差的等差数列，中的所有奇数项构成以为首项，以为公差的等差数列，从而利用分组求和法即可求出该数列的前项之和． 【解答】 解：由，得， 所以中的所有偶数项构成以为首项，以为公差的等差数列， 中的所有奇数项构成以为首项，以为公差的等差数列， 所以该数列的前项之和为， 即． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等差数列的实际应用，涉及等差数列的性质，属于基础题． 根据题意，设第层有个小球，分析可得，，则，，，由累加法分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，设第层有个小球， 则，，， 从第二项起每一项与前一项的差构成等差数列， 而，，则，，， 故，即该“三角垛”中第层小球个数为． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了等差数列的通项公式，裂项相消法求和，数列中的新定义，属于中档题． 由等方差数列的定义得：  ，求出 ，求出  ，则  ，利用裂项相消法求和即可． 【解答】 解：因为数列是等方差数列，且公方差为， 所以，又，所以， 又数列的各项均为正数，所以， 所以 ， 所以 ． 8.【答案】  【解析】解：， 当时，， 两式相减得，，即， 当时，， 时，， 即， ，， ， 所以． 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查数列的函数特征，等差、等比数列的性质，裂项相消的求和方法，属于中档题． 通过数列知识逐一求解判断即可． 【解答】 解：由可得，所以等比数列的公比，所以由是与的等差中项，可得，即，解得，所以，所以不正确 ，所以B正确 ，所以不正确 ，所以数列是递增数列，得，所以，所以D正确． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：，，A正确； ，故I，B正确； 将乘以相当于在三进制中右移两位即高位补两个， 例如：时，，，而 时，，，而 每次乘以后新增两位，故I，C正确 选项D，，无系数，，而，， 不成立，D错误． 故选：． 11.【答案】  【解析】解：数列的前项中有个奇数项，个偶数项，且个奇数项成以为首项，为公差的等差数列，个偶数项成以为首项，为公比的等比数列，所以其和为． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了递推公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 由，得，得，由裂项求和法求出结果． 【解答】 解：， 当时， ， 得，， 当时，，符合上式， ， ， 数列的前项和为： ． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查裂项相消法求和，属较易题． 因为，利用裂项相消法求和． 【解答】 解：因为， 所以 ． 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等差数列的概念，等差数列的通项公式，等比数列的通项公式和错位相减法，属于中档题． 利用等比数列的通项公式得，再利用等差数列的概念得数列是首项为，公差为的等差数列，再利用等差数列的通项公式得，最后利用错位相减法，计算得结论． 【解答】 解：因为数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，因此． 又因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 因此，即， 所以， ， 得 ， 即， 因此． 故答案为． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查错位相减法求数列前项和，考查不等式的解法，属于中档题． 由错位相减法可求，故，求解即可． 【解答】 解：，， 两式相减， 故， 故， 故的最小值为． 16.【答案】解由题意得 解得 所以 因为，， 所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，为偶数， 所以  【解析】本题考查等差数列的通项公式，数列的求和，属于基础题， 根据等差数列的性质求解， 分为奇数和偶数分别求和． 17.【答案】解：由，得， 当时，，所以， 当时，， 得，故， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； 由得，所以， ， ， 两式相减得， 所以， 则，．， 由， 得， 即， 令， 因为函数，在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 由， ， 则当时，， 所以若，正整数的所有取值为，，．  【解析】本题考查等差数列的证明，错位相减求和，函数单调性，属于中档题． 根据证明为定值即可 先根据求出，再利用错位相减法求出，从而可得，，再根据函数的单调性即可得解． 18.【答案】因为， 所以时． 当时，， 所以， ，满足，所以， 数列是正项等比数列，． 所以公比，． 由知 ，   【解析】【分析】由数列通项公式与求和公式的关系求出，以及等比数列的通项公式求出，可得答案； 由分组求和，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得答案． 19.【答案】解：设等差数列的公差为， 由题意得，解得 故数列的通项公式为，． 由得， 当且仅当，即时，等号成立， ，当时，；当时，， 所以当时，取得最小值． 当时，， 当时，，可知数列是等差数列， ， ．   【解析】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前项和公式，分组法求和数列的最小项问题，属于较难题． 根据等差数列的通项公式和前项和公式建立方程组，解之即可求解； 由得，结合基本不等式的应用和即可求解； 当时，则数列是等差数列，进而，进而，结合等比数列前项和公式计算即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $