专题二 第2讲 等差、等比数列-【艺术生文化课考前100天】2027年高考数学艺术生文化课考前100天

第二讲 等 知识清单 【基础梳理】 1.等差数列的有关公式 (1)通项公式：am=a1+(n-1)d. (2)通项公式的推广：an=am十(n-m)d(n, m∈N*). (3)前n项和公式：S,=a+nn,1Dd= 2 n(atan) 2 2.等差数列的性质 (1)若{an}为等差数列，且k十l=m十n(k,l, m,n∈N*),则ak十au=am十an (2)若{an}是等差数列，公差为d,则a,a+m, a+2m,…(k,m∈N*)是公差为d的等差 数列. (3)若{an},{bn}是等差数列，则{pam十qbn}也 是等差数列： (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差 数列，公差为md. (5)若Sm.为等差数列{an}的前n项和，则数列 务引也为等差数列. 3.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an=a1g”1。 (2)前n项和公式： na1,q=1, Sn= (1-g)=1-a9,g≠1. 1-q 1-g 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am·g-m(n,m∈ N*). (2)若{an}为等比数列，且k十l=m十n(k,l, 专题二数列 差、等比数列 ·精准记忆◆ m,n∈N*),则ak·a=am·am (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列，则 {an}(≠0)， 1 a,a·6.,侵：仍是 等比数列， (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也 构成一个等比数列，即an,an+k,am+,an+3, 成等比数列，公比为g. (5)若公比不为一1的等比数列{an}的前n项 和为Sm,则Sm,S2n一Sn,S3m一S2m,…成等比数 列，其公比为g 【自主检测】 题组一等差数列 1.设数列{an}(n∈N*)是公差为d的等差数列， 若a2=4,a4=6,则d等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2.已知m和2m的等差中项是4,2m和n的等差 中项是5，则m和n的等差中项是() A.2 B.3 C.6 D.9 3.已知在等差数列{an}中，a7十ag=16,a4=1, 则a12的值是 4.(2025·上海高考)已知等差数列{an}的首项 a1=一3，公差d=2,则该数列的前6项和为 题组二等比数列 1.在等比数列a中，a=9=a,=2,则 1 -1 n=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如果一1，a,b,c,一9成等比数列，那么() A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 艺术生文化课考前100天数学 3.在等比数列{am}中，an>0,且a1a1o=27,则 log3a2十log3ag等于() A.9 B.6 C.3 D.2 ◆方法清单 考点一 等差、等比数列的基本运算 【高考这样考】 知(2026·全国Ⅱ卷)记Sm为等差数列{an}的前 n项和，若a1=一1，a4=5,则S6= 【方法规律】等差（比)数列基本运算的解题 途径 (1)设基本量a1和公差d(公比q). (2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d (q)的方程（组），然后求解，注意整体计算，以 减少运算量， 【备考这样练】 考向1等差数列的基本运算 1.(2024·全国甲卷理)设Sn为等差数列{an}的 前n项和，已知S5=So,a5=1,则a1=() A号 B日 c- D.-7 2.(2022·全国乙卷)记S为等差数列{an}的前n 项和.若2S3=3S2+6,则公差d= 3.(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的 前n项和，若a3十a4=7,3a2十a5=5,则S1o= 考向2等比数列的基本运算 1.(2023·全国甲卷理)已知等比数列{an}中， a1=1,Sm为{an}的前n项和，S5=5S3一4，则 S4=() A.7 B.9 C.15 D.30 2.(2022·全国乙卷)已知等比数列{anm}的前3 项和为168，a2一a5=42,则a6=() A.14 B.12 C.6 D.3 3.(2026·上海卷)已知数列{am}是等比数列，且 a1=2,a2=6,则a4= 4.(2025·全国I卷)若一个正项等比数列的前 4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的 公比为 把控高考心 4.(2024·北京卷)汉代刘款设计的“铜嘉量”是 龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中 升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆 柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等 比数列，底面直径依次为65mm,325mm, 325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器 的高为 mm,升量器的高为 mm.（不计量器的厚度) 考点二等差、等比数列的性质 【高考这样考】 题(2025·北京高考)已知{an}是公差不为0的 等差数列，a1=一2，若a3,a4,a6成等比数列， 则a1o=() A.-20B.-18C.16 D.18 【方法规律】等差、等比数列性质问题求解策略 (1)抓关系：抓住项与项之间的关系及项的序 号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的 性质进行求解， (2)用性质：数列是一种特殊的函数，具有函 数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用 函数性质解题， 【备考这样练】 考向1等差数列性质的运用 1.(2024·全国甲卷文)已知等差数列{am}的前 n项和为Sn,若Sg=1,则a3十a,=() A.-2 &名 C.1 n号 2.(2026·北京卷)已知等差数列{am}的前n项 和为Sm,且S6=6a6+30,则公差d= 若Sn≤S恒成立，则符合条件的a1的一个取 值为 考向2等比数列性质的运用 1.(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前 n项和.若S2=4,S4=6,则S6=() A.7 B.8 C.9 D.10 2.在等比数列{am}中，如果a1十a2=40,a3+ a4=60,那么a7十a8=() A.135B.100C.95 D.80 3.(2023·山东束庄模拟)已知等比数列{an}满 足a2十a4十a6十a8=20,a2·a8=2,则1十 1+1+1的值为( as a6 A.20 B.10 C.5 D. 考点三 等差、等比数列的判定与证明 【高考这样考】 题(2021·全国甲卷)记Sm为数列{am}的前n项 和，已知an>0,a2=3a1,且数列{√S}是等差 数列.证明：{an}是等差数列. 【方法规律】判定和证明数列是等差（比）数列 的方法 (1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证 a+1-a(或“a)为与正整数m无关的某- 常数. (2)中项公式法： ①若2an=am-1十au+1(n∈N*,n≥2)，则{an} 为等差数列； ②若a品=am-1·a+1≠0(n∈N*,n≥2)，则 {an}为等比数列. 专题二数列 【备考这样练】 考向1等差数列的判定与证明问题 1.已知数列{an}中，a1=1,Sm为数列{an}的前n 项和，且当≥2时，有。2=1皮立，则 S2024= 2.已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为 Sm,且满足2S.=a十n-4(n∈N*). (1)求证：数列{an}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 考向2等比数列的判定与证明问题 1.（多选)(2026·全国Ⅱ卷)等比数列{an}的公 比q≠1，a1>0,2a3=a1十a2,记数列{an}的前 n项和为Sm,则( ) Aq=-2 a5>号a, C.2S+2=S+1+Sn D.Sa 2.已知各项都为正数的数列{an}满足am+2 2ant1+3an (1)证明：数列{an十ant1}为等比数列； (2)若a=2a=,求a的通项公式。 92,…心a=2 方法二a=品·…是·盘=（合）1 an-2 (合) 2品解折：由条件知会升分别令n=1,23,a一1， 代入上式得n-1个等式，即%·82·公…2=合 a-1 号×星×…X”,即经=又a=号ia=品 2 n 3.士n+2解析：由条件知a1一4.=十1，则a.=(e-a)十 (a一a2)+(a4-a)+…+(an一a-1)十a1=(2+3十4+…十 )+2=0+n+2 4.4-解析：a1一a.Fn(m十=n一n中' 1 11 ∴.当n>2时，an一an-1= 11 n-1n' a-an2n,a-a=1-分， 11 以上各式相加，得a,-a1=1一， ∴a.=4-.又a1=3适合上式，a=4- n 考向2 1.a.=2·31-1解析：a+1=3a十2，.a+1十1=3(a.十 D出-3，数列{a.十1)为等比数列，公比g=3.又 a.十1 a1十1=2，an十1=23-1，an=2·3-1-1. 2品解折a学a=10=十 合。d-分又a-1,则站-1品}是以1为黄 a 项，2为公差的等差数列，“-+(m-1)×日-号十 an a 合a= 2 考向3 1.D解析：a1=2a=2,as=-1,a4=之，as=2,as=-1, ,归纳得an+3=am…a2024=a3x674+2=a2=2. 2.9 解析：计算得a=2a-1=号，4=2a-1=号，a=24= 号故数列a,是以3为月朝的同期数列。 又：2017=672×3+1，amn=a=9. 第二讲等差、等比数列 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1.D解析：，a4-a2=2d=6-4=2,.d=1. 2.B解析：由题意知，2十m=8,2m十n=10,两式相加得3m+ 3n=18,m十n=6,∴.m和n的等差中项是3. 3.15解析：方法一：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 a+6d+a1+8d=2a+14d=16.① a+3d=1.② 联立①@，得a=-d=子iau=a+1d=15 方法二：a十a=a4+a2,a12=16-1=15. 412解析：设该数列的前n项和为S,则S=60十6必5d= -18+30=12. 题组二 1.C解析：a=ag,∴号×(2）=2，即(2)”= (合）》”，解得m=5. 2.B解析：.=（一1）×（一9）=9且b与首项一1同号，.b -3,且a,c必同号，∴ac=b=9. 3.C解析：：a2a=a1ao=27,log3a2十log3a=log27=3. 4.2解析：设等比数列为{an},其公比为q,前n项和为Sm 因为等比数列{a.}的各项均为正数，所以q>0. 又5=4,5=68，所以g≠1.由S=4得4二9）=4① 1-9 由8=68得9二，2=68@8释1号-9=1，所 1-q 以g=16.又q>0,所以q=2. 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 24解析：Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=一1，a4=5, 公差d=二04=5-（9-1D=2, 4-1 3 则S=6a+54=-6+30=24 【备考这样练】 考向1 1.B解析：由S=S,得5a,十+a）=10a,十an）,5a 2 2 5(as十as),a=0,公差d=gg=-号a=as-4d= 1-4X(-3)子故选B 2.2解析：由2S3=3S2十6可得2(a1十a2十a3)=3(a1十a2)十 6,化简得2ag=a1+a2十6，即2(a1+2d)=2a1+d+6,解 得d=2. 3.95解析：设{am}的公差为d,由a3十a4=a1+2d+a1+3d= 2a1+5d=7,3a2+as=3(a1+d)+a1+4d=4a1+7d=5,解得 a1=-4,d=3,则S10=10a1十45d=95. 考向2 1.C解析：在等比数列{am}中，设公比为q,由题意知1十q+ d+q+g=5(1+q十gd)-4,即g+g=4g十4g,即q+ 4q-4=0,即(q-2)(q十1)(q十2)=0.由题意知q>0,∴.q= 2,,.S4=1+2+4+8=15. 2.D解析：设{an}的公差为d,d≠0，因为a3,a4,a6成等比数 列，所以(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+5d),即a+d=0.因为a =一2，所以a1o=a1十9d=16.方法一：设等比数列的公比为 g,9≠0，由题意，g≠1，则a十a十a6=802=168,a 1-g s=a1q-a1g=a9(1-q)=42,联立两式解得9=2，a1= 96,则a6=a19=96×32=3. 方法二：设等比数列的公比为q,q≠0，则a1十a2十a=a1(1十 q+q)=168,a2-5=aq-a1g=a1q(1-q)=42,.q(1- 9g)=号，解得g=合∴a=96,∴a=au=96×2=3. 3.54解析：数列{an}是等比数列，且a1=2,a2=6, 由题意，q=3→a4=a1·q=54. 4.2357.5解析：设升、斗量器的高分别为hmm,h2mm,升、 斗、斛量器的容积分别为V1mm3,V2mm3,V3mm3..'升、斗 斛量器的容积成公比为10的等比数列，∴.V3=10V2,即π× (2)）°×230=10×π×（受）×，解得a=23.又V,= 10M,甲元×(2)）'×23=10×x(要)‘×A=57.5, ∴.升、斗量器的高分别为57.5mm,23mm. 考点二 【高考这样考】 C解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为ag,a4,a6成等比数列，且a1=一2， 所以a=aa6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得 d=2或d=0(舍去)， 所以a1o=a1十9d=-2+9X2=16. 【备考这样练】 考向1 1.D解析：方法一：设等差数列{an}的公差为d,由S=9a1十 981=9a十4d0=1,得a十4d=日，则a十a=a十2d+ a十6d=2a十8d=2a十4dD=号.故选D 方法二：(a}为等差数列，S,=9@a》=9a,=1,得as 2 1 ，则a十a,=2a=号故选D, 2.一29（答案不唯一）解析：等差数列{an}的前n项和为Sn, S6=6a6十30， 所以6a,+5d=6ai十5d0+30, 所以号d=5d+5,所以d=-2. 由Sn≤S恒成立，可知S是前n项和的最大值， 结合d=一2<0可知数列单调递减，可得a≥0， la6≤0， 代入通项公式a,=a-2(n-1),所以{a一8≥0， a1-10≤0， 解得8≤α1≤10，区间内任意取值均符合要求，例如9（或8,10 等) 考向2 1.A解析：方法一：设等比数列{an}的公比为q,则由等比数列 s,=0二2)-=4,0 的前n项和公式得 1-9 s=42=6.② 1-9 ②÷①，得1十d=受，解得=之代入①得2g8 8-a92-e。1-1=8x-)- 方法二：等比数列{an}的前n项和有如下的性质：S2,S4-S,， 8-5…成等比数列，且公比g-8s3=分则5-5 S2 (8-s)g=(6-40×7=1s=S+(S-S)+ (S-S4)=4+2+1=7. 2.A解析：由等比数列的性质知，a十a2,ag十a4,a十as,a,十 a成等比数列，共首项为40，公比为8-号，∴a十a=40× (2）-135. 3.B解析：在等比数列{an}中，由等比数列的性质可得a4·a6= 十a十-2=10. 考点三 【高考这样考】 证明：设等差数列{√S}的公差为d, 则d=v√S-√S,=√a+a-√a=√/4a-√a=√a, ∴.√/S=a1+(n-1)d=a1+(n-l)/a1=nwa1, ..S=na. 当n≥2时，a,=S。-S-1=ta-(n-1)2a=(2n-1)a1. .a.-ar-1=(2n-1)a1-[2(n-1)-1]a1=2a1, ∴.数列{am}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列. 【备考这样练】 考向1 2 12025解析：当m≥2时，由a5空=1，得2(S-S1)= “侵}是以2为首项，1为公差的等差数列受=十1，故 2 8.=n千1，则Sa4=2025: 2.(1)证明：当n=1时，有2a1=a+1一4，即a一2a1一3=0，解 得a1=3(a1=-1舍去). 当n>2时，有2S.-1=a2-1十n-5,又2S=a+n-4, 两式相减得2an=a2一a21十1，即a2一2am十1=a21,也即 (am-1)2=a4-1, 因此a,-1=am-1或an-1=一a-1 若a.一1=一a-1,则a十a-1=1. 而a1=3,∴.a2=一2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾， ∴.am-1=an-1,即an-ar-1=1, 因此数列{am}是首项为3，公差为1的等差数列. (2)解：由(1)知a1=3,d=1,.数列{am}的通项公式为am= 3+(n-1)×1=n+2. 考向2 1.ACD解析：由题意，2a1q=a19十a1, 因为a1>0,所以2q=q十1， 因为≠1，所以g=-2,A正确； S=十a,=0<号，B错送 因为9=-2，所以2S+2=2S+1十2a+2=2S+1一a+1, 因为S+1十Sn=2S+1一a+1,所以2Sn+2=S+1十Sn,C正确； 因为s=号a[1-(-2)门，所以名s=号a· [m-(←含)()广--()门=婴-台· (-2)[1-(-2)] 1十2 当→十c0时，2g. ([1-(古门是肉咎· 1十2 (- 1+2 2-2g则2g+>0, 所以S>2,D正确 3 2.(1)证明：：a+2=2a+1+3a, ∴.at2十amt1=3(at1十an). 数列{an}中各项均为正数， ∴at1+十a,>0,∴022t021=3, a+1十am ∴.数列{an十a+1}是公比为3的等比数列. (2)解：由(1)知数列{an十an+1}是以a1十a2为首项，3为公比 的等比数列，且a=,a=是， 则a.十a+1=(a十a2)3-1=2X3m-1. a+2=2a+1十3am, .a+2-3a+1=-(a+1-3an)=(-1)2(an-3an-1)=…= (-1)"(a2-3a1）. 又.'a2-3a1=0,∴.a+1-3am=0, 故a+1=3a,.4a.=2X31,a,=7·31. 第三讲 数列求和 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 解：(1)由题意，得 b=a2=a+1=2,b2=a4=a+1=a2十2+1=5. 易得a2+2=a2+1十l,a2m+1=a2n十2， ∴a2+2=a2n十3，即b+1-bn十3， ∴.bn=2+3(n-1)=3n-1. (2)由(1)可得a2m=3n-1, a2m-1=a2m-2十2=bn-1十2=3n-2. ∴.a19=3X10-2=28,a20=3×10-1=29. ∴.{an}的前20项的和为 (a1十a3+…十a19)十(a2+a4+…+a20)