专题04 圆锥曲线的方程（期中真题汇编，广东专用）高二数学上学期

专题04 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·广东领航高中联）若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（     ） A. 2 B. 4 C.  D.  2．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）（多选）已知椭圆，则（       ） A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的焦距为12 C. 椭圆的短半轴长为 D. 椭圆的离心率为 3．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（       ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 81 4．（2026·广东部分学校·联考）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·广东东莞·联考）椭圆的焦点为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）（多选）椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（       ） A. 椭圆C的焦距为2 B. 的周长为8 C. 椭圆C的离心率为 D. 的面积为 8．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·广东广州·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）（多选）若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（　　） A. m＝2 B. 椭圆C的长轴长为 C. 椭圆C的短轴长为2 D. 椭圆C的离心率为 11．（2026·广东东莞高级中学·联考）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，焦距为4，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（2026·广东麻涌中学·联考）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（2026·广东东莞·联考）已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）（多选）关于，的方程，下列说法正确的是（       ） A. 存在实数，使得该方程表示两条直线 B. 若，则该方程表示圆，其半径为 C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 15．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，过右焦点的直线与交于，两点（点在轴上方），且，，则直线的斜率为（       ） A. 2 B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（2026·广东麻涌中学·联考）椭圆的左､右焦点分别为，，P是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·广东广州·期中）若椭圆的离心率是，则的值为　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）过点，且与椭圆有相同的焦点． （2）经过两点，． 22．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．若椭圆是“黄金椭圆”，则　　　　　　　，若“黄金椭圆”两个焦点分别为，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则　　　　　　　 23．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，并且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值． 24．（25-26学年高二上·广东领航高中联）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为　　　　　　. 25．（2026·广东麻涌中学·联考）在平面直角坐标系中，曲线上的点到两定点的距离之和等于定值4. （1）求曲线的方程； （2）若直线与交于两点，且以为直径的圆过原点，求的值. 26．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）已知椭圆的右焦点为，长半轴长与短半轴长的比值为. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，.若点在以线段为直径的圆上,求直线的方程. 27．（25-26学年高二上·广东广州·期中）已知椭圆的焦距为，且经过点． （1）求的方程； （2）若直线与相交于不同于的，两点，的中点为，当时， ①求证：为直角． ②求的值． 28．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，且是面积为的正三角形．过垂直于的直线交椭圆M于B，C两点，则的周长为　　　　　　　　　　　． 29．（2026·广东部分学校·联考）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与椭圆在第四象限交于点．若，则的离心率为　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）已知点P为椭圆上任意一点，直线l过圆的圆心且与圆M交于A，B两点，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　. 31．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）当为钝角时，求点横坐标的取值范围. 32．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 33．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数k的值为　　　　　　　　　　　. 34．（25-26学年高二上·广东领航高中联）已知椭圆：经过点，且与椭圆：的离心率平方之和为. （1）求的方程； （2）已知，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线与交于点，. （ⅰ）若，分别在第一、四象限，求四边形面积的取值范围； （ⅱ）若直线，的倾斜角分别为，，且，求直线与直线的交点到直线的距离. 35．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C． （1）求动点Q的轨迹C的方程； （2）设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过点F作一条直线与交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围． 36．（2026·广东东莞·联考）已知椭圆． （1）结合椭圆的定义以及椭圆与圆的关系，猜想椭圆上的所有点到某个焦点的平均距离和椭圆的面积（不需证明）； （2）已知，请利用（1）的猜想解答下面问题． ①求椭圆的方程； ②为坐标原点，设点，过右焦点作的垂线交椭圆于两点．求面积的最大值． 37．（25-26学年高二上·广东广州·期中）有一个半径为4的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点M与点F重合，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF中点为原点O，建立平面直角坐标系． （1）记折痕与ME的交点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程． （2）若直线与曲线C交于A，B两点． （ⅰ）当k为何值时，为常数d，并求出d的值． （ⅱ）以A，B为切点，作曲线C的两条切线，设其交点为Q，当时，证明： 38．（2026·广东部分学校·联考）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为． （1）求C的方程； （2）过不与坐标轴垂直的直线与椭圆C交于A，B两点． （i）若M为AB的中点，O为坐标原点，设AB，OM的斜率分别为，，求； （ⅱ）过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，证明：直线AQ与BP的交点的横坐标为定值． 39．（2026·广东东莞高级中学·联考）已知椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程； （3）如图，直线为椭圆与抛物线的公切线，其中点分别在椭圆与抛物线上，线段交于点，求的面积的最小值． 考点02 双曲线 1．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）双曲线的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·广东领航高中联）双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 3．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（     ） A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 双曲线 D. 射线 4．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（     ） A. 若曲线表示圆，则 B. 若曲线表示椭圆，则 C. 若曲线表示双曲线，则 D. 若曲线表示轴，则 5．（2026·广东东莞高级中学·联考）中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·广东东莞高级中学·联考）（多选）已知曲线：，则下列命题中，正确的是（     ） A. 若，则曲线表示圆，且半径为 B. 若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C. 若，，则曲线表示两条直线 D. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 7．（25-26学年高二上·广东领航高中联）（多选）已知曲线：，则（     ） A. 可能是椭圆 B. 不可能是双曲线 C. 不可能是圆 D. 可能是两条直线 8．（25-26学年高二上·广东领航高中联）已知双曲线：（），的右支上存在两点,，使得线段的中点是.若过的右焦点且垂直于轴的直线与的右支分别交于点,，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）（多选）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（       ） A.  B.  C. 是直角三角形 D. 是个定值 10．（25-26学年高二上·广东领航高中联）已知，，动点满足，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若点在上，且，求的面积. 11．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线的一条渐近线过点，则的共轭双曲线的标准方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 12．（2026·广东东莞·联考）已知双曲线过点，左右焦点分别为． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求； （3）若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率． 13．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）已知双曲线过点，离心率，左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左支交于两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线的斜率的取值范围； （3）设，直线、直线与双曲线的右支分别交于，两点，求证直线过定点． 14．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）在平面直角坐标系xOy中，利用公式 ①（其中a，b，c，d为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，…表示．若在平面直角坐标系xOy中，双曲线通过二阶矩阵 进行线性变换后得到双曲线C． （1）求双曲线C的方程； （2）根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：若直线是过C的右支上点P的切线，且不与x轴垂直，，为双曲线C的左、右焦点，过、分别作直线的垂线，垂足为，． ①求证：点，均在以O为圆心的定圆上，且，； ②求证：是定值． 考点03 抛物线 1．（2026·广东东莞高级中学·联考）已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线的方程 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．B 2．AD 3．A 4．D 5．D 6．C 7．ABD 8．D 9．D 10．ACD 11．A 12．B 13．D 14．AC 15．B 16．C 17．D 18．D 19．【答案】 【分析】 由已知结合椭圆定义求出，再由勾股定理可得答案. 【详解】 因为P是椭圆上一点，所以， 再由可得， 因为，所以， 即，可得，即， 则椭圆的离心率为. 故答案为：. 20．【答案】或 【分析】 分焦点在轴和轴分类讨论，结合离心率得表达式即可求解 【详解】 ① 当椭圆的焦点在x轴上时，由题意得，解得； ② 当椭圆的焦点在y轴上时，由题意得，解得. 综上所述，或 故答案为：或 【点睛】 本题考查由椭圆的离心率求解参数值，属于基础题 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由共焦点求得，再通过点在椭圆上，列出方程即可求解； （2）通过待定系数法即可求解. (1) 小问详解： 因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且． 设所求椭圆的标准方程为． 因为所求椭圆过点，所以有① 又，② 由① ② 解得． 故所求椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： 设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以 ，则椭圆方程. 22．【答案】①     ② 【分析】 由离心率的定义可求得，利用结合椭圆定义可求解． 【详解】 由题，，所以． 如图， 连接，设内切圆半径为， 则，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设椭圆标准方程，由椭圆上的点和焦点建立方程组，即可解得椭圆标准方程； （2）设直线的方程，联立方程组并整理得到一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理写出交点坐标与参数的关系.并代入三角形面积公式，借助基本不等式即可求得最大值. (1) 小问详解： 设椭圆方程为，由题意可知 则 ，∴ ， 即椭圆. (2) 小问详解： 设直线， 联立方程组得 ，整理后得， 令，则， ， 令，则，∴， ∵，当且仅当，即时取等号， ∴. 24．【答案】 【分析】 设的下焦点为，由椭圆定义得出，则，当且仅当点为延长线与的交点时取等号，即可得解. 【详解】 在椭圆中，，，则， 故是的上焦点，设的下焦点为， 由椭圆定义可得，故，如下图所示： 则， 当且仅当点为延长线与的交点时取等号. 故的最大值为. 故答案为：. 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆定义得到曲线是以为焦点的椭圆，从而得到椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据垂直关系得到，从而求出的值. (1) 小问详解： 由题设， 故曲线是以为长轴长，以为焦点的椭圆， 所以，故， 故椭圆方程为. (2) 小问详解： 满足 消去得：， 恒成立， 由题意， 其中， 而以为直径的圆过原点， 所以 ， 解得. 26．【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）利用已知条件列出方程，求出即可得到椭圆方程； （2）设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理，结合在以线段为直径的圆上，转化求解即可. 【详解】 （1）由题意可知，，， 椭圆的方程为； （2）易知当直线的斜率为或直线的斜率不存在时，不合题意， 当直线的斜率存在且不为时， 设直线的方程为，， 联立 ，可得， ，，， 在以线段为直径的圆上， ， ，， ， ， 整理得， 解得或， 直线的方程为，或. 【点睛】 (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 27．【答案】（1）；     （2）① 在中， 又，两点不同于，的中点为， 当时， 此时， 所以为直角，得证； ②.      【分析】 （1）根据点在椭圆上及焦距列方程求椭圆参数，即可得方程； （2）① 由题设有，结合，有，即可证结论； ② 设，将直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理及列方程求解即可. (1) 小问详解： 由题意，且，则， 所以椭圆； (2) 小问详解： ① 略 ② 设，联立 ， 整理得， 则， 所以，则，， 由， 综上，将韦达公式代入上式整理得，可得或， 而时，直线过点，不合题设， 当时，满足条件， 所以. 28．【答案】 【分析】 由面积为，且其为正三角形，可得.后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案. 【详解】 如图，设，则，因面积为，且其为正三角形，又，则，则. 又直线BC过，与垂直，为正三角形，则直线BC为中垂线， 则，又， 故的周长，又C，B在椭圆上，则由椭圆定义有. 故答案为： 29．【答案】 【分析】 借助光的反射定律确定入射点的坐标，由斜率求出，再结合椭圆定义及余弦定理求出离心率. 【详解】 设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点， 则点，直线的斜率为，即， 于是，由 ，得， 在中，由余弦定理得， 整理为0，即，而，解得， 所以椭圆的离心率为． 故答案为： 30．【答案】 【分析】 由题意可得，所以 ，再由的范围，可得的取值范围． 【详解】 由椭圆的方程可知，， 可得， 易知圆的圆心，半径为1，    因为，所以 ， 可知恰为椭圆的右焦点，所以， 所以． 故答案为：． 31．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）结合圆与圆的位置关系，利用椭圆的定义求解即可； （2）设点，将为钝角转化为且、、三点不共线，然后结合点在椭圆上，利用数量积的坐标运算列不等式求解即可. (1) 小问详解： 设动圆的半径为，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为.因为动圆与圆外切，且与圆内切， 所以 ，所以， 所以曲线是以，为焦点，长轴长为10的椭圆. 设椭圆方程为，所以，，即，， 所以，又， 所以圆与圆内切于点， 所以的方程为； (2) 小问详解： 设点，，， 所以，， 若为钝角，且、、三点不共线， 所以，------①              又由椭圆的方程得，------②              联合① ② 得，解得 所以点的横坐标的取值范围是. 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. (1) 小问详解： 已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立 ，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 33．【答案】1 【分析】 根据给定条件确定椭圆长短半轴长，再利用椭圆离心率计算公式列式计算得解. 【详解】 因椭圆的焦点在x轴上，其长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，离心率为e， 于是得，，因此有：，解得， 所以实数k的值为1. 故答案为：1 34．【答案】（1）     （2）（ⅰ）；（ⅱ）6      【分析】 （1）根据椭圆经过的点以及与椭圆的离心率平方之和来确定椭圆的参数和. （2）（ⅰ）求出及的值，根据面积公式求出四边形面积并确定其取值范围. （ⅱ）根据及直线，斜率之间的关系，求出直线，的方程，联立得到交点坐标，最后根据点到直线的距离公式求出交点到直线的距离. (1) 小问详解： 由椭圆经过点，得，解得， 所以椭圆的离心率为； 椭圆的离心率为， 由椭圆与椭圆的离心率平方之和为得， ，即，解得. 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设，，直线的方程为， 联立，整理得， ， 所以，. （ⅰ）因为，分别在第一、四象限， 所以 ，即 ，解得. 四边形的面积 ， 设，则，则， 故四边形面积的取值范围为. （ⅱ）由，，得， 所以 ，由题知， 又， 得，与联立得，， 所以直线，的方程分别为，， 两式联立得，直线与联立得， 代入，求得直线的方程为， 所以点到直线的距离为. 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义可求得轨迹C的方程； （2）先求出两点的坐标，再分直线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，分别求出四边形AMBN面积的表达式，最后根据表达式即可求出面积的取值范围即可. (1) 小问详解： 连接，根据题意，， 则， 故的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则有， ，则， 的轨迹方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知，， 当直线的斜率为0时，不能构成四边形AMBN，不合题意 当直线的斜率不等于0时，直线过点， 故设直线的方程为， 设，联立 ，消去， 得， 韦达定理，得， 四边形AMBN的面积 ， 令，则， 代入，得， 根据均值不等式，得，当且仅当，即时等号成立， ，当时，，四边形AMBN的面积的最大值为， 则四边形AMBN面积的取值范围为， 综上所述，四边形AMBN面积的取值范围为. 36．【答案】（1）     （2）① ；②      【分析】 （1）根据椭圆上一点到两焦点的距离之和为，猜想椭圆上所有点到某个焦点的平均距离为，椭圆面积通过与圆的面积公式类比猜想椭圆面积为. （2）根据猜想求得椭圆方程，再设出直线方程，与椭圆方程联立，求得弦长，再求出到直线的距离，得到面积表达式，最后通过求函数最值求出面积的最大值. (1) 小问详解： （1）根据椭圆的定义和椭圆与圆的关系（当椭圆退化为圆时，，焦点即为圆心），可以猜想： 椭圆上所有点到某个焦点的平均距离  等于半长轴 ，即 。 椭圆的面积  为 . (2) 小问详解： （2）① 由（1）知，， 所以 所以椭圆的标准方程为． ② 因为，，所以， 因为，所以， 故直线的方程为，即， 联立 并整理得， 设，则， 所以， 所以的面积， 令，则，， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为． 37．【答案】（1）     （2）（ⅰ），5； （ⅱ）设，则 当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与x轴垂直时，切线方程为， 即，得， 所以另一条切线方程为，即与x轴平行， 显然，两切线垂直，即． 当斜率存在时，，设切线方程为， 由 ， 消去y，得， 由 ， 化简得 ． 设两条切线的斜率分别为，， 因为，所以， 所以两条切线相互垂直，即． 综上，． 【分析】 （1）利用椭圆的定义判断轨迹，即可求出方程． （2）（ⅰ）联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出，写出关于k的表达式分析可得．（ⅱ）分情况讨论，当切线斜率存在时，根据切线与椭圆只有一个切点，利用以及根与系数的关系，得到QA，QB的斜率关系，即可证得． (1) 小问详解： 由题意可知，， 所以P点轨迹是以F，E为焦点，4为长轴长的椭圆， 即，，所以， 所以曲线C的方程，即椭圆方程为． (2) 小问详解： （ⅰ）由 消元得，， 由，得， 设，，则，， 所以 ， 当为常数d时，即与无关， 令，得，此时恒成立， 即当时，． （ii）略 【点睛】 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 38．【答案】（1）     （2）（i） （ⅱ）证明：    如图所示，设，则直线方程为， 直线方程为， 联立方程得 ，消去得， 解得，因为， 代入得， 由韦达定理得，代入得， 所以直线AQ与BP的交点的横坐标为定值4.      【分析】 （1）根据椭圆的概念，求出参数值，写出椭圆标准方程即可； （2）根据椭圆和直线的位置关系，以及韦达定理，设出点的坐标，写出斜率的代数式和中点坐标，求出斜率的积，再根据直线的性质，求出直线方程，证明其交点的横坐标为定值即可. (1) 小问详解： 因为，所以，因为离心率为，所以，则， 所以椭圆标准方程为. (2) 小问详解： （i） (3) 小问详解： (4) 小问详解：    如图所示，由（1）可知，，则过不与坐标轴垂直的直线设为， 联立方程组得 ，消去得， 化简得，易知， 设，根据韦达定理可知， 则， 可知中点，则， 所以. （ⅱ）略 39．【答案】（1）     （2）     （3）．      【分析】 （1）由题意列式求解的值，代入可解； （2）解法一：设直线的方程为，由弦长公式列式计算可解；解法二：由椭圆的长轴长，先证得椭圆在圆内，再证明长轴是最长的弦，且唯一即可求解； （3）直线的方程为，直线与椭圆联立方程由题意可得，直线与抛物线方程联立方程由题意可得，进而可得直线，直线与椭圆联立方程可得，，由点到直线距离公式及三角形面积公式列式结合基本不等式计算可解. (1) 小问详解： 由题意可得，即． 因为椭圆的离心率为，所以，所以， 所以， 所以椭圆的方程为； (2) 小问详解： 解法一：显然直线的斜率存在， 设过点的直线的方程为， 联立方程 消去整理得， 则，即． 设，， 则，， 由弦长公式可得 解得或（舍）， 所以，即直线的方程为． 解法二：椭圆的长轴长， 又椭圆中，长轴为最长的弦，且唯一，而， 所以线段为长轴， 又点在长轴所在的直线轴上，所以直线的方程为． 以下证明椭圆中，长轴是最长的弦，且唯一： 任取椭圆上一点，则，所以 所以， 所以，所以椭圆上任一点均在圆内， 当且仅当时取等号，即点在圆上， 即椭圆在圆内， 如图，设是椭圆上的任一条弦， 直线交圆于两点，则， 当且仅当是椭圆的长轴时，取最大值． 所以，椭圆中，长轴是最长的弦，且唯一． (3) 小问详解： 设，，直线的方程为，不妨取，． 联立 整理得① ， 则， 所以．将其代入① 式，得， 解得，所以． 联立 整理得② ， 则，所以． 将其代入② 式，解方程得， 所以，所以． 由可得，所以， 所以直线．联立 整理得， 所以，， 所以点到的距离为， 所以， 令， 则 ， 当且仅当，即时取等号． 由椭圆和抛物线的对称性， 可知当，，最小值也是． 综上，的最小值为． 考点02 双曲线 1．A 2．B 3．B 4．AD 5．D 6．ACD 7．AD 8．D 9．ACD 10．【答案】（1）     （2）5      【分析】 （1）根据双曲线的定义求解即可； （2）设，，由双曲线的定义和勾股定理列方程组，进而可求出，从而可得出答案. (1) 小问详解： 由双曲线的定义及， 可得点的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 设其标准方程为（，）， 则 ，解得，， 所以的方程为； (2) 小问详解： 设，，由双曲线的定义得， 因为，所以， 所以的面积为. 11．【答案】 【分析】 先通过双曲线渐近线经过的点求出的方程为，即得解. 【详解】 解：双曲线的渐近线方程为，一条渐近线过点，可得， ，故的方程为，即， 所以的共轭双曲线的标准方程为． 故答案为： 12．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据双曲线的定义求得，进而求得双曲线的方程. （2）求得直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，根据弦长公式求得. （3）利用点差法求得直线的斜率. (1) 小问详解： 根据题意可得， ， 所以， 故双曲线C的方程为； (2) 小问详解： 直线的方程为， 设，由 得， ， 所以． (3) 小问详解： 设，则， 则 两式相减得． 设，则 所以， 即， 所以，所以直线OQ的斜率. 13．【答案】（1）；     （2）；     （3） 由题意得直线的方程为， 代入：，得， 设，所以， 即，则， 所以，同理得， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点.      【分析】 （1）根据双曲线所过点坐标和离心率公式得到方程组，解出即可； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程得到一元二次方程，再根据韦达定理和判别式即可得到不等式组，解出即可； （3）写出直线的方程为，将其与双曲线方程联立得到点坐标，同理得到点坐标，再写出直线方程，最后化简即可. (1) 小问详解： 由题意，得 ，解得 ， 故双曲线的标准方程为. (2) 小问详解： 设，由题意得， 当直线的斜率为0时，此时交于双曲线左右两支，不合题意，则， 设直线的方程为． 联立 ，得 因为、在的左支，所以， 所以 解得或， 所以的取值范围为． (3) 小问详解： 略 14．【答案】（1）双曲线的方程为     （2）①在以O为圆心，半径为的定圆上；在以O为圆心，半径为的定圆上；且，； ②是定值，且定值为.      【分析】 （1）根据题干中的定义，结合，以及二阶矩阵 ，进行线性变换后即可得到双曲线的方程； （2）① 根据题干中垂直和角平分线的条件，可证明出，然后得到为的中点，且，同时为的中点，再利用中位线的性质，即证明出；根据双曲线的定义：，所以，所以，即证明出在以O为圆心，半径为的定圆上；同理：，得到为的中点，且； 又因为为的中点，再利用中位线的性质，即，，即证明出；根据双曲线的定义：，所以，所以，即证明出在以O为圆心，半径为的定圆上. ② 分别在和中，利用正弦的定义表示出，，结合，化简得到；然后利用双曲线的定义得：， 在中，再利用余弦定理得：，结合方程组得到：，再利用二倍角公式和化简得到，即，最终得到是定值，且定值为. (1) 小问详解： 解：设双曲线上任意一点在二阶矩阵 线性变换后对应的点为，根据线性变换公式 得： ； 化简得： ，又因为，所以，所以，即； 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： ① 由双曲线的方程：得：，，； 证明：在以O为圆心的定圆上； 如图：过双曲线C的右支上点P作切线，且不与x轴垂直； 由题意得：于点，于点，延长，交于点； 因为平分，所以, 又因为于点，所以，为公共边，所以，所以，即为的中点，且； 又因为为的中点，所以为的中位线，即，,即； 所以，根据双曲线的定义：， 所以，所以， 即在以O为圆心，半径为的定圆上. 证明：在以O为圆心的定圆上； 同理：延长交于点； 因为平分，所以, 又因为于点，所以，为公共边，所以，所以，即为的中点，且； 又因为为的中点，所以为的中位线，即，，即； 所以，根据双曲线的定义：， 所以，所以， 即在以O为圆心，半径为的定圆上. ② 证明：在中，， 在中，， 因为平分，所以， 所以， 由双曲线的定义得：，所以，即， 在中，由余弦定理得：； 由 得：， ，且，， 所以，即， 所以， 即是定值，且定值为. 考点03 抛物线 1．【答案】2 【分析】 将点代入抛物线方程，求出及准线方程，进而可得出答案. 【详解】 因为在抛物线C：上， 所以，解得， 故抛物线C的准线为， 所以点A到抛物线C的准线的距离为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·广东领航高中联）若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（     ） A. 2 B. 4 C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆是轴对称图形，所给的三点中有两个点关于轴对称，进而可得点在椭圆上，因此可得椭圆的短轴长. 【详解】 因为，关于轴对称，椭圆也关于轴对称， 所以，要么都在椭圆上，要么都不在椭圆上，而椭圆仅经过，，中的一个点， 所以椭圆经过，代入得，解得，所以椭圆的短轴长为. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）（多选）已知椭圆，则（       ） A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的焦距为12 C. 椭圆的短半轴长为 D. 椭圆的离心率为 【答案】AD 【分析】 利用椭圆的标准方程分析其性质即可得解. 【详解】 因为椭圆，所以， 且椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的长轴长为，焦距为，短半轴长为，离心率． 故选：AD 3．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（       ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 81 【答案】A 【分析】 根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系列式计算即得. 【详解】 由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2， 于是得，解得， 所以的值为1. 故选：A 4．（2026·广东部分学校·联考）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据椭圆方程各参数的意义求解. 【详解】 因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以. 解得. 故选： 5．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求得椭圆的蒙日圆，然后根据圆与圆的位置关系求得. 【详解】 对于椭圆，， 所以椭圆的蒙日圆为， 此圆的圆心为，半径为. 圆的圆心为，半径为， 由于圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点， 所以，无解， 或，解得. 故选：D 6．（2026·广东东莞·联考）椭圆的焦点为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据方程分析可知焦点在x轴上，，即可得焦点坐标. 【详解】 椭圆方程为，即， 可知，且焦点在x轴上， 则，所以焦点坐标为. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）（多选）椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（       ） A. 椭圆C的焦距为2 B. 的周长为8 C. 椭圆C的离心率为 D. 的面积为 【答案】ABD 【分析】 由已知结合椭圆的定义及性质先求出，，，即可根据焦距，焦点三角形的周长以及离心率求解ABC，根据余弦定理以及三角形面积公式可得D. 【详解】 由题意可知，，， 故为等边三角形，则，， 又， 所以，，， 所以焦距，A正确； 离心率，C错误； 由椭圆定义可知，的周长，B正确． 设，则，又， 由余弦定理可得， 所以，D正确， 故选：ABD． 8．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用椭圆的定义求解即可. 【详解】 由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，， 所以，故所求的轨迹方程为. 故选：D 9．（25-26学年高二上·广东广州·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由方程表示焦点在轴上的椭圆列出不等式组求解即可. 【详解】 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得. 故选：D. 10．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）（多选）若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（　　） A. m＝2 B. 椭圆C的长轴长为 C. 椭圆C的短轴长为2 D. 椭圆C的离心率为 【答案】ACD 【分析】 根据题设判断椭圆焦点位置，确定,求出的值，即易得其他选项结果. 【详解】 对于A项，由题意，椭圆的焦点在轴上，且，，由已知可得， 解得m＝2或m＝－1（舍去），故A项正确； 对于B项，C项，把的值代入椭圆方程即得：.则， 即椭圆C的长轴长为，短轴长为，故B项错误；C项正确； 对于D项，即a＝，b＝，则， 则离心率为,故D项正确. 故选:ACD. 11．（2026·广东东莞高级中学·联考）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，焦距为4，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据直线过定点求出，进而可判定为直角三角形，根据椭圆的定义即可求出，进而可求出椭圆的离心率. 【详解】 因为焦距为4，所以，所以. 因为直线过点，斜率为，所以， 那么，所以为直角三角形， 所以. 根据椭圆的定义得，所以. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 12．（2026·广东麻涌中学·联考）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题可知焦点在y轴上，可设，再代入求解即可． 【详解】 由题可知焦点在y轴上，可设， ，解得 ， 所以椭圆的方程是． 故选：B 13．（2026·广东东莞·联考）已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 取椭圆的上顶点，可根据求离心率的取值范围. 【详解】 如图： 取椭圆的上顶点，因为存在，分别是上第二、四象限上的点，使得四边形为矩形，所以必有. 即. 所以. 所以，又椭圆的离心率， 所以. 故选：D 14．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）（多选）关于，的方程，下列说法正确的是（       ） A. 存在实数，使得该方程表示两条直线 B. 若，则该方程表示圆，其半径为 C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 【答案】AC 【分析】 根据不同的取值范围，结合直线、圆、椭圆的方程特征来逐一分析选项. 【详解】 对于A，当，，方程表示两条直线，故A正确； 对于B，当时，方程表示圆，其半径为，故B错误； 对于C，当时，，则，方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故C正确； 对于D，当时，，则，方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故D错误. 故选：AC. 15．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，过右焦点的直线与交于，两点（点在轴上方），且，，则直线的斜率为（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，设，则，，，再在利用勾股定理可得，进而得到即可求解． 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得， 所以，，直线的斜率， 而，直线的斜率． 故选：B． 16．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】 圆可化为，圆心，半径为. 圆可化为，圆心，半径为. 设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示： 由题意得，三点共线，三点共线，，， ∴， ∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，， ∴， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 17．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先设出点，然后由向量数量积得到的轨迹，应用在椭圆上则两个曲线有交点，再求离心率即可. 【详解】 设点，则， 即，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即，则，则 则，即椭圆离心率， 故选：D. 18．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则，即， 所以线段的长度的最小值为. 故选：D. 19．（2026·广东麻涌中学·联考）椭圆的左､右焦点分别为，，P是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由已知结合椭圆定义求出，再由勾股定理可得答案. 【详解】 因为P是椭圆上一点，所以， 再由可得， 因为，所以， 即，可得，即， 则椭圆的离心率为. 故答案为：. 20．（25-26学年高二上·广东广州·期中）若椭圆的离心率是，则的值为　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 分焦点在轴和轴分类讨论，结合离心率得表达式即可求解 【详解】 ① 当椭圆的焦点在x轴上时，由题意得，解得； ② 当椭圆的焦点在y轴上时，由题意得，解得. 综上所述，或 故答案为：或 【点睛】 本题考查由椭圆的离心率求解参数值，属于基础题 21．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）过点，且与椭圆有相同的焦点． （2）经过两点，． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由共焦点求得，再通过点在椭圆上，列出方程即可求解； （2）通过待定系数法即可求解. (1) 小问详解： 因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且． 设所求椭圆的标准方程为． 因为所求椭圆过点，所以有① 又，② 由① ② 解得． 故所求椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： 设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以 ，则椭圆方程. 22．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．若椭圆是“黄金椭圆”，则　　　　　　　，若“黄金椭圆”两个焦点分别为，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则　　　　　　　 【答案】①     ② 【分析】 由离心率的定义可求得，利用结合椭圆定义可求解． 【详解】 由题，，所以． 如图， 连接，设内切圆半径为， 则，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 23．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，并且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设椭圆标准方程，由椭圆上的点和焦点建立方程组，即可解得椭圆标准方程； （2）设直线的方程，联立方程组并整理得到一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理写出交点坐标与参数的关系.并代入三角形面积公式，借助基本不等式即可求得最大值. (1) 小问详解： 设椭圆方程为，由题意可知 则 ，∴ ， 即椭圆. (2) 小问详解： 设直线， 联立方程组得 ，整理后得， 令，则， ， 令，则，∴， ∵，当且仅当，即时取等号， ∴. 24．（25-26学年高二上·广东领航高中联）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 设的下焦点为，由椭圆定义得出，则，当且仅当点为延长线与的交点时取等号，即可得解. 【详解】 在椭圆中，，，则， 故是的上焦点，设的下焦点为， 由椭圆定义可得，故，如下图所示： 则， 当且仅当点为延长线与的交点时取等号. 故的最大值为. 故答案为：. 25．（2026·广东麻涌中学·联考）在平面直角坐标系中，曲线上的点到两定点的距离之和等于定值4. （1）求曲线的方程； （2）若直线与交于两点，且以为直径的圆过原点，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆定义得到曲线是以为焦点的椭圆，从而得到椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据垂直关系得到，从而求出的值. (1) 小问详解： 由题设， 故曲线是以为长轴长，以为焦点的椭圆， 所以，故， 故椭圆方程为. (2) 小问详解： 满足 消去得：， 恒成立， 由题意， 其中， 而以为直径的圆过原点， 所以 ， 解得. 26．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）已知椭圆的右焦点为，长半轴长与短半轴长的比值为. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，.若点在以线段为直径的圆上,求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）利用已知条件列出方程，求出即可得到椭圆方程； （2）设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理，结合在以线段为直径的圆上，转化求解即可. 【详解】 （1）由题意可知，，， 椭圆的方程为； （2）易知当直线的斜率为或直线的斜率不存在时，不合题意， 当直线的斜率存在且不为时， 设直线的方程为，， 联立 ，可得， ，，， 在以线段为直径的圆上， ， ，， ， ， 整理得， 解得或， 直线的方程为，或. 【点睛】 (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 27．（25-26学年高二上·广东广州·期中）已知椭圆的焦距为，且经过点． （1）求的方程； （2）若直线与相交于不同于的，两点，的中点为，当时， ①求证：为直角． ②求的值． 【答案】（1）；     （2）① 在中， 又，两点不同于，的中点为， 当时， 此时， 所以为直角，得证； ②.      【分析】 （1）根据点在椭圆上及焦距列方程求椭圆参数，即可得方程； （2）① 由题设有，结合，有，即可证结论； ② 设，将直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理及列方程求解即可. (1) 小问详解： 由题意，且，则， 所以椭圆； (2) 小问详解： ① 略 ② 设，联立 ， 整理得， 则， 所以，则，， 由， 综上，将韦达公式代入上式整理得，可得或， 而时，直线过点，不合题设， 当时，满足条件， 所以. 28．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，且是面积为的正三角形．过垂直于的直线交椭圆M于B，C两点，则的周长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由面积为，且其为正三角形，可得.后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案. 【详解】 如图，设，则，因面积为，且其为正三角形，又，则，则. 又直线BC过，与垂直，为正三角形，则直线BC为中垂线， 则，又， 故的周长，又C，B在椭圆上，则由椭圆定义有. 故答案为： 29．（2026·广东部分学校·联考）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与椭圆在第四象限交于点．若，则的离心率为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 借助光的反射定律确定入射点的坐标，由斜率求出，再结合椭圆定义及余弦定理求出离心率. 【详解】 设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点， 则点，直线的斜率为，即， 于是，由 ，得， 在中，由余弦定理得， 整理为0，即，而，解得， 所以椭圆的离心率为． 故答案为： 30．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）已知点P为椭圆上任意一点，直线l过圆的圆心且与圆M交于A，B两点，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意可得，所以 ，再由的范围，可得的取值范围． 【详解】 由椭圆的方程可知，， 可得， 易知圆的圆心，半径为1，    因为，所以 ， 可知恰为椭圆的右焦点，所以， 所以． 故答案为：． 31．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）当为钝角时，求点横坐标的取值范围. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）结合圆与圆的位置关系，利用椭圆的定义求解即可； （2）设点，将为钝角转化为且、、三点不共线，然后结合点在椭圆上，利用数量积的坐标运算列不等式求解即可. (1) 小问详解： 设动圆的半径为，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为.因为动圆与圆外切，且与圆内切， 所以 ，所以， 所以曲线是以，为焦点，长轴长为10的椭圆. 设椭圆方程为，所以，，即，， 所以，又， 所以圆与圆内切于点， 所以的方程为； (2) 小问详解： 设点，，， 所以，， 若为钝角，且、、三点不共线， 所以，------①              又由椭圆的方程得，------②              联合① ② 得，解得 所以点的横坐标的取值范围是. 32．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. (1) 小问详解： 已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立 ，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 33．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数k的值为　　　　　　　　　　　. 【答案】1 【分析】 根据给定条件确定椭圆长短半轴长，再利用椭圆离心率计算公式列式计算得解. 【详解】 因椭圆的焦点在x轴上，其长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，离心率为e， 于是得，，因此有：，解得， 所以实数k的值为1. 故答案为：1 34．（25-26学年高二上·广东领航高中联）已知椭圆：经过点，且与椭圆：的离心率平方之和为. （1）求的方程； （2）已知，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线与交于点，. （ⅰ）若，分别在第一、四象限，求四边形面积的取值范围； （ⅱ）若直线，的倾斜角分别为，，且，求直线与直线的交点到直线的距离. 【答案】（1）     （2）（ⅰ）；（ⅱ）6      【分析】 （1）根据椭圆经过的点以及与椭圆的离心率平方之和来确定椭圆的参数和. （2）（ⅰ）求出及的值，根据面积公式求出四边形面积并确定其取值范围. （ⅱ）根据及直线，斜率之间的关系，求出直线，的方程，联立得到交点坐标，最后根据点到直线的距离公式求出交点到直线的距离. (1) 小问详解： 由椭圆经过点，得，解得， 所以椭圆的离心率为； 椭圆的离心率为， 由椭圆与椭圆的离心率平方之和为得， ，即，解得. 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设，，直线的方程为， 联立，整理得， ， 所以，. （ⅰ）因为，分别在第一、四象限， 所以 ，即 ，解得. 四边形的面积 ， 设，则，则， 故四边形面积的取值范围为. （ⅱ）由，，得， 所以 ，由题知， 又， 得，与联立得，， 所以直线，的方程分别为，， 两式联立得，直线与联立得， 代入，求得直线的方程为， 所以点到直线的距离为. 35．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C． （1）求动点Q的轨迹C的方程； （2）设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过点F作一条直线与交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义可求得轨迹C的方程； （2）先求出两点的坐标，再分直线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，分别求出四边形AMBN面积的表达式，最后根据表达式即可求出面积的取值范围即可. (1) 小问详解： 连接，根据题意，， 则， 故的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则有， ，则， 的轨迹方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知，， 当直线的斜率为0时，不能构成四边形AMBN，不合题意 当直线的斜率不等于0时，直线过点， 故设直线的方程为， 设，联立 ，消去， 得， 韦达定理，得， 四边形AMBN的面积 ， 令，则， 代入，得， 根据均值不等式，得，当且仅当，即时等号成立， ，当时，，四边形AMBN的面积的最大值为， 则四边形AMBN面积的取值范围为， 综上所述，四边形AMBN面积的取值范围为. 36．（2026·广东东莞·联考）已知椭圆． （1）结合椭圆的定义以及椭圆与圆的关系，猜想椭圆上的所有点到某个焦点的平均距离和椭圆的面积（不需证明）； （2）已知，请利用（1）的猜想解答下面问题． ①求椭圆的方程； ②为坐标原点，设点，过右焦点作的垂线交椭圆于两点．求面积的最大值． 【答案】（1）     （2）① ；②      【分析】 （1）根据椭圆上一点到两焦点的距离之和为，猜想椭圆上所有点到某个焦点的平均距离为，椭圆面积通过与圆的面积公式类比猜想椭圆面积为. （2）根据猜想求得椭圆方程，再设出直线方程，与椭圆方程联立，求得弦长，再求出到直线的距离，得到面积表达式，最后通过求函数最值求出面积的最大值. (1) 小问详解： （1）根据椭圆的定义和椭圆与圆的关系（当椭圆退化为圆时，，焦点即为圆心），可以猜想： 椭圆上所有点到某个焦点的平均距离  等于半长轴 ，即 。 椭圆的面积  为 . (2) 小问详解： （2）① 由（1）知，， 所以 所以椭圆的标准方程为． ② 因为，，所以， 因为，所以， 故直线的方程为，即， 联立 并整理得， 设，则， 所以， 所以的面积， 令，则，， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为． 37．（25-26学年高二上·广东广州·期中）有一个半径为4的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点M与点F重合，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF中点为原点O，建立平面直角坐标系． （1）记折痕与ME的交点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程． （2）若直线与曲线C交于A，B两点． （ⅰ）当k为何值时，为常数d，并求出d的值． （ⅱ）以A，B为切点，作曲线C的两条切线，设其交点为Q，当时，证明： 【答案】（1）     （2）（ⅰ），5； （ⅱ）设，则 当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与x轴垂直时，切线方程为， 即，得， 所以另一条切线方程为，即与x轴平行， 显然，两切线垂直，即． 当斜率存在时，，设切线方程为， 由 ， 消去y，得， 由 ， 化简得 ． 设两条切线的斜率分别为，， 因为，所以， 所以两条切线相互垂直，即． 综上，． 【分析】 （1）利用椭圆的定义判断轨迹，即可求出方程． （2）（ⅰ）联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出，写出关于k的表达式分析可得．（ⅱ）分情况讨论，当切线斜率存在时，根据切线与椭圆只有一个切点，利用以及根与系数的关系，得到QA，QB的斜率关系，即可证得． (1) 小问详解： 由题意可知，， 所以P点轨迹是以F，E为焦点，4为长轴长的椭圆， 即，，所以， 所以曲线C的方程，即椭圆方程为． (2) 小问详解： （ⅰ）由 消元得，， 由，得， 设，，则，， 所以 ， 当为常数d时，即与无关， 令，得，此时恒成立， 即当时，． （ii）略 【点睛】 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 38．（2026·广东部分学校·联考）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为． （1）求C的方程； （2）过不与坐标轴垂直的直线与椭圆C交于A，B两点． （i）若M为AB的中点，O为坐标原点，设AB，OM的斜率分别为，，求； （ⅱ）过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，证明：直线AQ与BP的交点的横坐标为定值． 【答案】（1）     （2）（i） （ⅱ）证明：    如图所示，设，则直线方程为， 直线方程为， 联立方程得 ，消去得， 解得，因为， 代入得， 由韦达定理得，代入得， 所以直线AQ与BP的交点的横坐标为定值4.      【分析】 （1）根据椭圆的概念，求出参数值，写出椭圆标准方程即可； （2）根据椭圆和直线的位置关系，以及韦达定理，设出点的坐标，写出斜率的代数式和中点坐标，求出斜率的积，再根据直线的性质，求出直线方程，证明其交点的横坐标为定值即可. (1) 小问详解： 因为，所以，因为离心率为，所以，则， 所以椭圆标准方程为. (2) 小问详解： （i） (3) 小问详解： (4) 小问详解：    如图所示，由（1）可知，，则过不与坐标轴垂直的直线设为， 联立方程组得 ，消去得， 化简得，易知， 设，根据韦达定理可知， 则， 可知中点，则， 所以. （ⅱ）略 39．（2026·广东东莞高级中学·联考）已知椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程； （3）如图，直线为椭圆与抛物线的公切线，其中点分别在椭圆与抛物线上，线段交于点，求的面积的最小值． 【答案】（1）     （2）     （3）．      【分析】 （1）由题意列式求解的值，代入可解； （2）解法一：设直线的方程为，由弦长公式列式计算可解；解法二：由椭圆的长轴长，先证得椭圆在圆内，再证明长轴是最长的弦，且唯一即可求解； （3）直线的方程为，直线与椭圆联立方程由题意可得，直线与抛物线方程联立方程由题意可得，进而可得直线，直线与椭圆联立方程可得，，由点到直线距离公式及三角形面积公式列式结合基本不等式计算可解. (1) 小问详解： 由题意可得，即． 因为椭圆的离心率为，所以，所以， 所以， 所以椭圆的方程为； (2) 小问详解： 解法一：显然直线的斜率存在， 设过点的直线的方程为， 联立方程 消去整理得， 则，即． 设，， 则，， 由弦长公式可得 解得或（舍）， 所以，即直线的方程为． 解法二：椭圆的长轴长， 又椭圆中，长轴为最长的弦，且唯一，而， 所以线段为长轴， 又点在长轴所在的直线轴上，所以直线的方程为． 以下证明椭圆中，长轴是最长的弦，且唯一： 任取椭圆上一点，则，所以 所以， 所以，所以椭圆上任一点均在圆内， 当且仅当时取等号，即点在圆上， 即椭圆在圆内， 如图，设是椭圆上的任一条弦， 直线交圆于两点，则， 当且仅当是椭圆的长轴时，取最大值． 所以，椭圆中，长轴是最长的弦，且唯一． (3) 小问详解： 设，，直线的方程为，不妨取，． 联立 整理得① ， 则， 所以．将其代入① 式，得， 解得，所以． 联立 整理得② ， 则，所以． 将其代入② 式，解方程得， 所以，所以． 由可得，所以， 所以直线．联立 整理得， 所以，， 所以点到的距离为， 所以， 令， 则 ， 当且仅当，即时取等号． 由椭圆和抛物线的对称性， 可知当，，最小值也是． 综上，的最小值为． 考点02 双曲线 1．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）双曲线的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，确定焦点在轴上，再求出，写出方程即可． 【详解】 双曲线，则双曲线焦点在轴上，则， 所以渐近线方程． 故选：A． 2．（25-26学年高二上·广东领航高中联）双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 【答案】B 【详解】由双曲线的方程求出，然后由离心率公式求解. 【详解】 因为双曲线， 所以，， 则， 所以. 故选：B 【点睛】 本题主要考查双曲线的离心率求法，属于基础题. 3．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（     ） A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 双曲线 D. 射线 【答案】B 【分析】 根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】 因为，，所以， 则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 4．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（     ） A. 若曲线表示圆，则 B. 若曲线表示椭圆，则 C. 若曲线表示双曲线，则 D. 若曲线表示轴，则 【答案】AD 【分析】 由椭圆、双曲线、圆的方程以及直线方程列式求解判断即得. 【详解】 对A，当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 则，则曲线的方程为， 若曲线表示圆，则有，则，A对； 对B，若曲线表示椭圆，则有 ，则且，B错； 对C，若曲线表示双曲线，则有，则或，C错； 对D，若曲线表示轴，则，此时表示直线，即轴，D正确. 故选：AD 5．（2026·广东东莞高级中学·联考）中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题意可求出直线与轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双曲线为等轴双曲线即可得出结论． 【详解】 因为双曲线的中心在原点，顶点在轴上，所以双曲线的焦点在轴上， 又因为双曲线的一个焦点在直线上，令，得， 所以，又，所以等轴双曲线的方程为. 故选：D. 6．（2026·广东东莞高级中学·联考）（多选）已知曲线：，则下列命题中，正确的是（     ） A. 若，则曲线表示圆，且半径为 B. 若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C. 若，，则曲线表示两条直线 D. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【分析】 结合已知条件及圆锥曲线方程逐项进行分析判断即可. 【详解】 选项A：若，方程可化为，符合圆的标准方程，其中圆心坐标为，半径为，故选项A正确. 选项B：若，则、一正一负，此时曲线为双曲线. 若，，方程可化为，渐近线为； 若，，方程可化为，渐近线为； 故选项B错误. 选项C：若，，方程可化为，即，表示两条平行于轴的直线，故选项C正确. 选项D：若，方程可化为，由得，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，故选项D正确. 故选：ACD. 7．（25-26学年高二上·广东领航高中联）（多选）已知曲线：，则（     ） A. 可能是椭圆 B. 不可能是双曲线 C. 不可能是圆 D. 可能是两条直线 【答案】AD 【分析】 根据椭圆，双曲线及圆的标准方程，直线方程应用特殊值法判断各个选项. 【详解】 当，时，为椭圆，故A正确； 当，时，为双曲线，故B错误； 当时，为圆，故C错误； 当，时，为两条直线，故D正确. 故选：AD. 8．（25-26学年高二上·广东领航高中联）已知双曲线：（），的右支上存在两点,，使得线段的中点是.若过的右焦点且垂直于轴的直线与的右支分别交于点,，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据点差法可得直线的斜率为，由直线与的右支有2个交点，可得， 根据点在的上方可得，由结合单调性求解即可. 【详解】 设，，由线段的中点为， 则且，，. 因为，，两式相减整理得， 即，所以， 所以直线的斜率为， 由于双曲线的渐近线方程为：，因为直线与的右支有2个交点， 所以，化简得，解得. 把代入，得， 依题意，点在点的下方， 所以，解得.综上得，. 由于，将代入中，计算可得 ， 则， 由于当时，随的增大而增大， 又当时，. 所以，则的取值范围是 故选：D. 9．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）（多选）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（       ） A.  B.  C. 是直角三角形 D. 是个定值 【答案】ACD 【分析】 由椭圆和双曲线的定义和性质推理和判断得出. 【详解】 选项A，因为有公共的焦点，得， 即，又，所以可得.故A正确； 选项B，因为有公共的焦点，可得，，， 得，即，故B错误； 选项C，因为有公共的焦点，可得，不妨设点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得， ，，所以，，，， 所以，故是直角三角形，故C正确； 选项D，因为有公共的焦点，可得，，， 因此，故D正确. 故选：ACD. 10．（25-26学年高二上·广东领航高中联）已知，，动点满足，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若点在上，且，求的面积. 【答案】（1）     （2）5      【分析】 （1）根据双曲线的定义求解即可； （2）设，，由双曲线的定义和勾股定理列方程组，进而可求出，从而可得出答案. (1) 小问详解： 由双曲线的定义及， 可得点的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 设其标准方程为（，）， 则 ，解得，， 所以的方程为； (2) 小问详解： 设，，由双曲线的定义得， 因为，所以， 所以的面积为. 11．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线的一条渐近线过点，则的共轭双曲线的标准方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先通过双曲线渐近线经过的点求出的方程为，即得解. 【详解】 解：双曲线的渐近线方程为，一条渐近线过点，可得， ，故的方程为，即， 所以的共轭双曲线的标准方程为． 故答案为： 12．（2026·广东东莞·联考）已知双曲线过点，左右焦点分别为． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求； （3）若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据双曲线的定义求得，进而求得双曲线的方程. （2）求得直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，根据弦长公式求得. （3）利用点差法求得直线的斜率. (1) 小问详解： 根据题意可得， ， 所以， 故双曲线C的方程为； (2) 小问详解： 直线的方程为， 设，由 得， ， 所以． (3) 小问详解： 设，则， 则 两式相减得． 设，则 所以， 即， 所以，所以直线OQ的斜率. 13．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）已知双曲线过点，离心率，左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左支交于两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线的斜率的取值范围； （3）设，直线、直线与双曲线的右支分别交于，两点，求证直线过定点． 【答案】（1）；     （2）；     （3） 由题意得直线的方程为， 代入：，得， 设，所以， 即，则， 所以，同理得， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点.      【分析】 （1）根据双曲线所过点坐标和离心率公式得到方程组，解出即可； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程得到一元二次方程，再根据韦达定理和判别式即可得到不等式组，解出即可； （3）写出直线的方程为，将其与双曲线方程联立得到点坐标，同理得到点坐标，再写出直线方程，最后化简即可. (1) 小问详解： 由题意，得 ，解得 ， 故双曲线的标准方程为. (2) 小问详解： 设，由题意得， 当直线的斜率为0时，此时交于双曲线左右两支，不合题意，则， 设直线的方程为． 联立 ，得 因为、在的左支，所以， 所以 解得或， 所以的取值范围为． (3) 小问详解： 略 14．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）在平面直角坐标系xOy中，利用公式 ①（其中a，b，c，d为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，…表示．若在平面直角坐标系xOy中，双曲线通过二阶矩阵 进行线性变换后得到双曲线C． （1）求双曲线C的方程； （2）根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：若直线是过C的右支上点P的切线，且不与x轴垂直，，为双曲线C的左、右焦点，过、分别作直线的垂线，垂足为，． ①求证：点，均在以O为圆心的定圆上，且，； ②求证：是定值． 【答案】（1）双曲线的方程为     （2）①在以O为圆心，半径为的定圆上；在以O为圆心，半径为的定圆上；且，； ②是定值，且定值为.      【分析】 （1）根据题干中的定义，结合，以及二阶矩阵 ，进行线性变换后即可得到双曲线的方程； （2）① 根据题干中垂直和角平分线的条件，可证明出，然后得到为的中点，且，同时为的中点，再利用中位线的性质，即证明出；根据双曲线的定义：，所以，所以，即证明出在以O为圆心，半径为的定圆上；同理：，得到为的中点，且； 又因为为的中点，再利用中位线的性质，即，，即证明出；根据双曲线的定义：，所以，所以，即证明出在以O为圆心，半径为的定圆上. ② 分别在和中，利用正弦的定义表示出，，结合，化简得到；然后利用双曲线的定义得：， 在中，再利用余弦定理得：，结合方程组得到：，再利用二倍角公式和化简得到，即，最终得到是定值，且定值为. (1) 小问详解： 解：设双曲线上任意一点在二阶矩阵 线性变换后对应的点为，根据线性变换公式 得： ； 化简得： ，又因为，所以，所以，即； 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： ① 由双曲线的方程：得：，，； 证明：在以O为圆心的定圆上； 如图：过双曲线C的右支上点P作切线，且不与x轴垂直； 由题意得：于点，于点，延长，交于点； 因为平分，所以, 又因为于点，所以，为公共边，所以，所以，即为的中点，且； 又因为为的中点，所以为的中位线，即，,即； 所以，根据双曲线的定义：， 所以，所以， 即在以O为圆心，半径为的定圆上. 证明：在以O为圆心的定圆上； 同理：延长交于点； 因为平分，所以, 又因为于点，所以，为公共边，所以，所以，即为的中点，且； 又因为为的中点，所以为的中位线，即，，即； 所以，根据双曲线的定义：， 所以，所以， 即在以O为圆心，半径为的定圆上. ② 证明：在中，， 在中，， 因为平分，所以， 所以， 由双曲线的定义得：，所以，即， 在中，由余弦定理得：； 由 得：， ，且，， 所以，即， 所以， 即是定值，且定值为. 考点03 抛物线 1．（2026·广东东莞高级中学·联考）已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 将点代入抛物线方程，求出及准线方程，进而可得出答案. 【详解】 因为在抛物线C：上， 所以，解得， 故抛物线C的准线为， 所以点A到抛物线C的准线的距离为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $