精品解析：辽宁省大连市第八中学2026-2027学年高二上学期10月阶段测试数学试题

2026-2027学年度上学期高二年级10阶段 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分． 1. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 4 D. -2或1 3. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -13 4. 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知经过点，法向量为的平面方程为，现给出平面的方程为，平面的方程为，则平面、成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分． 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 恒过定点 C. 若，则或 D. 当时，不过第三象限 10. 平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 11. 已知，，直线，，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 空间直角坐标系中，，，，为三棱锥的内切球的球心，与平面所成角的正弦值为_______. 13. 已知实数满足，则的最大值为________． 14. 在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分． 15. 已知三个顶点坐标分别为、、． （1）求的面积S； （2）求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）证明：平面； （2）直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 （1）求点，的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程； （3）设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 19. 如图，在梯形中，，，，，，，分别为边，上的动点，且．沿将梯形翻折，使平面平面，且． （1）求的长； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若四面体的四个顶点都在球上，求三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期高二年级10阶段 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分． 1. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，则点到平面的距离为． 2. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 4 D. -2或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列出方程，求解可得. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，所以，解得或. 当时，；，即与重合； 当时，；，即，与平行. 所以的值为. 故选：B. 3. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -13 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面平行、平面与平面垂直的性质，得到向量之间的关系，进而列出方程求解 m 和 n，最后求差即可. 【详解】已知，直线 的方向向量 ， 平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， 因为：所以， 即，所以， 又因为，所以， 即，所以， 所以. 故选：C. 4. 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由异面直线夹角的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：如图：连接， 由正方体的性质可得：，在矩形中，显然不成立， 所以不成立，故错误； 对于B： 如图取中点，连接， 由正方体的结构特点，结合，可得平面， 又平面， 所以， 在正方形中，因为， 所以， 又为平面内两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，故B正确； 对于C： 如图，取的中点，连接， 在正方体中可知：， 所以为平行四边形， 所以， 在正方形中，可知， 所以不成立，即不成立，故C错误， 对于D： 如图，取的中点，连接， 由中位线可知， 又在正方体中可知：， 所以， 设正方体的棱长为2，可得：， 则，所以不成立， 即不成立，故D错误. 故选：B. 5. 已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线的方程得到直线过定点，再由直线与线段有交点得直线的斜率变化范围，进而可得直线倾斜角的范围. 【详解】由直线， 令，解得，所以直线经过定点. 由，则，， 要使直线与连接两点的线段总有公共点， 则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为. 故选：D. 6. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】因为点分别为的中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又，则，所以. 故选：D. 7. 在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设点坐标，利用可得点Q坐标，从而可以计算的值. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. . 又因为，，， 所以 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 因为点在平面上，所以， 即，解得. 所以. 8. 已知经过点，法向量为的平面方程为，现给出平面的方程为，平面的方程为，则平面、成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据经过点，法向量为的平面方程为的定义，分别求得平面、的法向量，由求解. 【详解】平面过点，则平面的方程为， 其法向量为， ， 平面过点，则平面的方程为， 其法向量为， ， 设平面、成角的平面角为，则， 故选：B. 【点睛】方法点睛：求二面角的向量方法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分． 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 恒过定点 C. 若，则或 D. 当时，不过第三象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线平行和垂直得到关于的方程，解出后即可判断AC，变形得，即可得到方程组，解出后即可判断B，将直线方程化为斜截式即可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得或， 当时，，，则与重合，故舍去， 当时，，，则，故A错误； 对于B，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故B正确； 对于C：若，则，解得或，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确． 故选：BCD． 10. 平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由可判断，对于B，由空间向量基本定理可判断，对于C，通过可判断，对于D，通过向量夹角公式可判断. 【详解】设，，， 由题意得：，三个向量两两夹角为， 因此两两点积， 选项A， ，则 ， 因此，A正确； 选项B ，平行六面体中，对比得， ，B错误； 选项C ，， 因此，C错误； 选项D ， ， ； 即； 因此，D正确. 11. 已知，，直线，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由两直线垂直即可得，再利用基本不等式对选项进行逐一判断即可得出结论. 【详解】由，得，即， ，，则， 当且仅当，即，时等号成立， 所以有，A选项错误； 由，有， 当且仅当，即，时等号成立，所以有，B选项正确； 由，有，，，则， ， 由二次函数性质可知，时，有最小值，C选项错误， 由，有， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，D选项正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 空间直角坐标系中，，，，为三棱锥的内切球的球心，与平面所成角的正弦值为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】推导出与重合，求出平面的法向量，从而求出与平面所成角的正弦值. 【详解】如图，，故， 易知三棱锥的四个顶点也是长方体的顶点. 四面体中，， 设为的中点，则， 所以三棱锥，，，是4个全等的三棱锥， 由此可知到平面，平面，平面，平面的距离相等， 故与重合. 设平面的法向量， 由，得 ， 令，则，故平面的法向量. 又，所以与平面所成角的正弦值为. 13. 已知实数满足，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用所求表达式的几何意义，转化求解对称点的坐标，利用距离公式求解最小值即可．. 【详解】由题可知，表示的是 直线0上一点到定点的距离之差． 如图，设点关于直线对称的点为， 则，解得， 当三点共线时，最大， 即最大，最大值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 14. 在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 【答案】6 【解析】 【详解】由题意知，，，， 而，为不共线向量，因此根据共面向量定理，应存在唯一一对实数，， 使得， 则应有，解得，，． 四、解答题：本题共5小题，共计77分． 15. 已知三个顶点坐标分别为、、． （1）求的面积S； （2）求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）确定直线的方程及，利用点到直线的距离求三角形的高，再求三角形面积； （2）的斜率求得高线的斜率，再根据B的坐标，写出高线方程，求出的中点，即可求出边上的中线，然后联立高线方程和中线方程，求交点坐标即可. 【小问1详解】 因为，所以直线的方程为，即.    所以点到直线的距离.    因为， 所以. 【小问2详解】 因为，所以AC边上的高的斜率为， 所以AC边上的高线的方程为，即. 因为、的中点为，又，所以边上的中线方程为， 由，解得， 所以边上的中线与AC边上的高的交点坐标为. 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据题意可得，结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，结合面面夹角余弦公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则 设平面法向量， 则，令，则 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）证明：平面； （2）直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）连接并延长，交圆于点，连接， 则，， 所以四边形为矩形，所以， 因为，所以， 故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线， 因为为直径，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，即平面. （2）存在，1 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线性质得，结合圆的直径特征构造矩形，以此确定两平面的交线；利用直径所对圆周角为直角得到线线垂直，再结合面面垂直的性质定理，证明平面. （2）建立空间直角坐标系，设出直线上点的坐标，求出平面的法向量；根据线面角的向量计算公式列方程，解出参数后得到的长度，验证点是否存在. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在上取点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 所以，，，， ，， 则， 设平面的法向量为， 则 解得，令，则， 故，又， 故， 解得，故，即直线上存在点， 使得直线与平面所成的角的正弦值为，且. 18. 设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 （1）求点，的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程； （3）设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方程转化成，由且，得到，再由，得到； （2）由中点坐标公式得到的中点坐标即可求解； （3）法一：由动点在上运动和动点在上运动，由斜率的几何意义即可求解；法二：确定线段的方程为且，设，联立得到，即可求解. 【小问1详解】 由可得， 令且，解得，， 故直线恒过定点 设，则， 故则， 解得，故 【小问2详解】 由于，， 故的中点坐标，则， 故直线方程为，即 【小问3详解】 法一：设与轴的交点为， ①当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当与重合时，， 当在轴上时，，所以. ②当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当在轴上时，， 当与重合时，，所以， 综上可得. 法二：由于，， 得，所以，即 则线段的方程为且③③ 设，其中不为0， 得代入③化简整理得， 即，且， 令，且， 解得 ，则， 即. 19. 如图，在梯形中，，，，，，，分别为边，上的动点，且．沿将梯形翻折，使平面平面，且． （1）求的长； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若四面体的四个顶点都在球上，求三角形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作于点,连接,证明平面，得到，再使用等面积法，计算出，最后求出的长； （2）以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再计算出平面与平面所成角的余弦值； （3）若四面体的四个顶点都在球上，由于为直角三角形，故球心在经过斜边中点与平面垂直的直线上，设球心,利用求出球心的坐标，再求出点到直线的距离，最后求得三角形的面积. 【小问1详解】 作于点,连接， 因为平面平面，平面平面，平面, 所以，平面，平面， 所以，，又，，平面, 所以，平面，平面， 所以，， 由，得 即, 翻折前在梯形中，由得，沿将梯形翻折后，, 在平面四边形中，，那么, 又所以四边形是平行四边形， 所以，, 设，则，， 即，解得, 所以，. 【小问2详解】 在原直角梯形中，作于点，那么 四边形为矩形，, ,所以为等腰直角三角形，， 由于,所以，， 所以，沿将梯形翻折后，为等腰直角三角形, , 以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，那么 ,, , 设平面法向量为，平面法向量为，那么 ， 取，则为平面一个法向量， , 取，则为平面一个法向量， , 所以，平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 若四面体的四个顶点都在球上， 由于为直角三角形，故球心在经过斜边中点与平面垂直的直线上，设球心，则由可得 ，解得， 所以，， 点到直线的距离为 , 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $