专题01三角形中的线段和角期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题01三角形中的线段和角期中复习讲义 1.认识三角形的相关概念，会识别三角形的边、内角、顶点，掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否构成三角形、根据边长求取值范围，利用三边关系求解线段相关计算。 2.掌握三角形三条重要线段：中线、角平分线、高。能够画出任意三角形（锐角、直角、钝角三角形）的高、中线、角平分线；理解中线平分三角形面积，会利用中线进行面积计算。 3.掌握三角形内角和定理，会证明并运用定理求三角形内角度数；掌握直角三角形两锐角互余的性质，能进行角度计算。 4.理解三角形外角的定义与外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和、外角大于任意一个不相邻内角，熟练用于角度推导与计算。 5.掌握三角形的分类，按边分为不等边三角形、等腰三角形；按角分为锐角、直角、钝角三角形，能够对三角形进行分类判断。 6.可以综合运用内角和、外角性质、高线、角平分线、中线，解决角度计算、几何简单推理、多步推导的中档几何题，规范书写简单几何推理步骤。 7.梳理易错点：钝角三角形的高容易画错；区分外角和内角；利用三边关系做题要注意 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，记得分类讨论。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 ★ 题型二 三角形的个数问题 ★★ 题型三 构成三角形的条件 ★ 题型四 确定第三边的取值范围 ★★ 题型五 三角形三边关系的应用 ★★ 题型六 大（小）边对大（小）角定理 ★★ 题型七 根据三角形中线求长度 ★★ 题型八 根据三角形中线求面积 ★★ 题型九 重心的概念 ★ 题型十 三角形角平分线的定义 ★ 题型十一 画三角形的高 ★ 题型十二 与三角形的高有关的计算问题 ★★ 题型十三 利用网格求三角形面积 ★★ 题型十四 垂心 ★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:三角形基础概念 1. 定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 2.三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角，记作△ ABC。 2.三角形两种分类 （1）.按边分类 （2）.按角分类 直角三角形记作Rt △ABC，直角两边为直角边，对边为斜边。 知识点02:.三角形三条重要线段（本节重中之重） 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； 区分易错：角平分线（线段）≠ 角的平分线（射线） “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 知识点03:三角形三边关系（高频考点） 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 若三边为a、b、c，则：|a-b|<c<a+b 两大应用 ①给定三条线段，判断能否围成三角形（只需验证最短两边之和＞最长边）； ②已知两边长，求第三边取值范围。 易错：忽略 “任意”，只用一组两边和判断。 知识点04:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点05:常考基础题型总结（配套知识使用） 1.给定三条线段，判断能否组成三角形； 2.已知两边，求第三边整数取值、取值范围； 3.在不同类型三角形中规范画出三条高、中线、角平分线； 4.利用中线面积等分性质，求解三角形面积； 题型一：三角形的识别与有关概念 1．如图，在中，的对边是_______． 2．将两个三角形叠在一起，得到如图所示的图形，其中以为边的三角形有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为_________． 题型二：三角形的个数问题 4．如图，共有______个三角形． 5．如图所示，图中共有三角形______个． 6．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则图中以为公共角的“共角三角形”有（     ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 题型三：构成三角形的条件 7．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是3，但它不是最短边，这样的三角形共有____个． 9．某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型四：确定第三边的取值范围 10．长为，的两根木条，加一根木条使这三根木条构成三角形，应加________．（写一个即可） 11．已知三角形的三边长分别为2，，4，则化简的结果为__________． 12．如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（     ） A． B． C． D． 题型五：三角形三边关系的应用 13．小阳有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框，那新选的木条的长度可以为（     ） A． B． C． D． 14．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是________，S的最大值是________． 15．如图，中，，沿过点的直线折叠这个三角形，折痕为（点在线段上且不与重合）．若点落在边下方的点处，则的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六：大（小）边对大（小）角定理 16．如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 17．在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 18．在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 题型七：根据三角形中线求长度 19．如图，，，是的三条中线，则__________，__________． 20．如图，是的中线．已知的周长为24，的周长为28，，求________． 21．在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是4名同学的折纸示意图（C的对应点是），其中折出的是中边上的中线的是（   ） A．B． C． D． 题型八：根据三角形中线求面积 22．如图，在中，分别是，，的中点，（阴影部分）的面积是，则的面积为______． 23．如图，在中，是边上的中线，若的面积等于，则的面积为___________ 24．如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 题型九：重心的概念 25．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形三条_______的交点．（请从“高”、“角平分线”、“中线”中选择）    26．如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____． 27．如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 题型十：三角形角平分线的定义 28．如图，若是的角平分线，若，则___________．    29．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 30．如图，某同学在“做·中·学”课上，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则一定是的一条角平分线的为（     ） A． B． C． D． 题型十一：画三角形的高 31．如图，于点E，于点F，于点D，则中边上的高是线段________． 32．如图，点在同一条直线上，在中，边上的高是线段________． 33．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 题型十二：与三角形的高有关的计算问题 34．如图，在三角形ABC中，，，，，点P是上一点，则的最小值等于______________． 35．如图，在中，，边上的高，点P为上一点，于点E，于点F，则__________． 36．在锐角中，点是边上一动点（不与点、重合），且，点、点到直线的距离分别为、，记，则在点从点向点运动的过程中，以下说法： ①至少存在两个点，使得的值最小； ②对于任意的点，的值始终保持不变； ③至多存在两个点，使得； 其中正确的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型十三：利用网格求三角形面积 37．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上，则格点四边形的面积为_____． 38．如图，方格纸中每一个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，在小方格的顶点上确定一点C，使的面积为2，这样的点C有________个． 39．如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 题型十四：垂心 40．直角三角形的三条高的交点在___________________． 41．如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点，连接AO并延长交BC于点F．则∠AFC的度数为_______． 42．如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 解答题 43．如图，，垂足为B，，垂足为C，且与交于点E，那么， (1)的边上的高为__________，边上的高为__________． (2)若，，，求的长． 44．已知是的三边长，且都是实数． (1)若，则c的取值范围是 ． (2)化简：． 45．已知、、为的三边长． (1)化简； (2)为上一点，连接，若，求证：． 46．如图，在 与中，，直角边与交于E． (1)求作：线段，使，交于点 F．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，延长线段、和，求证：、、必相交于同一点． 47．如图，在中，，分别是，边上的中线，的周长比的周长多1.5，若，． (1)求，的长； (2)求的周长． 48．综合实践：定义三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图③，点是的重心，则与的面积关系为：________（填、或）； (2)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (3)如图④点是的重心，且，若，，请直接写出四边形的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形中的线段和角期中复习讲义 1.认识三角形的相关概念，会识别三角形的边、内角、顶点，掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否构成三角形、根据边长求取值范围，利用三边关系求解线段相关计算。 2.掌握三角形三条重要线段：中线、角平分线、高。能够画出任意三角形（锐角、直角、钝角三角形）的高、中线、角平分线；理解中线平分三角形面积，会利用中线进行面积计算。 3.掌握三角形内角和定理，会证明并运用定理求三角形内角度数；掌握直角三角形两锐角互余的性质，能进行角度计算。 4.理解三角形外角的定义与外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和、外角大于任意一个不相邻内角，熟练用于角度推导与计算。 5.掌握三角形的分类，按边分为不等边三角形、等腰三角形；按角分为锐角、直角、钝角三角形，能够对三角形进行分类判断。 6.可以综合运用内角和、外角性质、高线、角平分线、中线，解决角度计算、几何简单推理、多步推导的中档几何题，规范书写简单几何推理步骤。 7.梳理易错点：钝角三角形的高容易画错；区分外角和内角；利用三边关系做题要注意 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，记得分类讨论。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 ★ 题型二 三角形的个数问题 ★★ 题型三 构成三角形的条件 ★ 题型四 确定第三边的取值范围 ★★ 题型五 三角形三边关系的应用 ★★ 题型六 大（小）边对大（小）角定理 ★★ 题型七 根据三角形中线求长度 ★★ 题型八 根据三角形中线求面积 ★★ 题型九 重心的概念 ★ 题型十 三角形角平分线的定义 ★ 题型十一 画三角形的高 ★ 题型十二 与三角形的高有关的计算问题 ★★ 题型十三 利用网格求三角形面积 ★★ 题型十四 垂心 ★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:三角形基础概念 1. 定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 2.三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角，记作△ ABC。 2.三角形两种分类 （1）.按边分类 （2）.按角分类 直角三角形记作Rt △ABC，直角两边为直角边，对边为斜边。 知识点02:.三角形三条重要线段（本节重中之重） 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； 区分易错：角平分线（线段）≠ 角的平分线（射线） “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 知识点03:三角形三边关系（高频考点） 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 若三边为a、b、c，则：|a-b|<c<a+b 两大应用 ①给定三条线段，判断能否围成三角形（只需验证最短两边之和＞最长边）； ②已知两边长，求第三边取值范围。 易错：忽略 “任意”，只用一组两边和判断。 知识点04:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点05:常考基础题型总结（配套知识使用） 1.给定三条线段，判断能否组成三角形； 2.已知两边，求第三边整数取值、取值范围； 3.在不同类型三角形中规范画出三条高、中线、角平分线； 4.利用中线面积等分性质，求解三角形面积； 题型一：三角形的识别与有关概念 1．如图，在中，的对边是_______． 【答案】/ 【分析】考查了三角形，关键是掌握三角形的边、三角形的角的定义．根据三角形的定义，找准所在三角形，然后确定答案即可． 【详解】解：在中，的对边是， 故答案为：． 2．将两个三角形叠在一起，得到如图所示的图形，其中以为边的三角形有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：由图可知，以为边的三角形有、、，共三个． 3．如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为_________． 【答案】4 【分析】由三角形面积公式，当高一样时，面积比=底边比，由，解得，，由解得，据此解答． 【详解】解：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形面积公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 题型二：三角形的个数问题 4．如图，共有______个三角形． 【答案】6 【详解】解：，共6个． 5．如图所示，图中共有三角形______个． 【答案】5/五 【详解】解：图中有：，，，，，共个． 6．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则图中以为公共角的“共角三角形”有（     ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 【答案】C 【分析】数出以为其中一个内角的三角形的个数即可得出结果. 【详解】解：由图可知，以为其中一个内角的三角形有， 故以为公共角的“共角三角形”有和，和，和，和，和，和共6对. 题型三：构成三角形的条件 7．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A选项，三边为，，，较短两边和为，∵，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合要求； B选项，三边为，，，较短两边和为，∵，满足三边关系，∴能组成三角形，符合要求； C选项，三边为，，，较短两边和为，∵，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合要求； D选项，三边为，，，较短两边和为，∵，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合要求． 8．已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是3，但它不是最短边，这样的三角形共有____个． 【答案】4 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，用穷举法即可得出答案． 【详解】解：∵三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是3，但它不是最短边， 列举法：当3是最大边时，有． 当3是中间的边时，有． 共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，难度一般，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 9．某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．若存在两边之和等于或小于第三边，则无法构成三角形；逐一验证各选项是否满足三角形三边关系即可． 【详解】解：三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，实际判断时，只需检验两短边之和大于最长边． A．，满足三边关系，可以制作三角形班旗，故本选项不符合题意； B．，两边之和等于第三边，三条线段在同一直线上，无法围成三角形，不能制作，故本选项符合题意； C．，满足三边关系，可以制作三角形班旗，故本选项不符合题意； D．，满足三边关系，可以制作三角形班旗，故本选项不符合题意． 题型四：确定第三边的取值范围 10．长为，的两根木条，加一根木条使这三根木条构成三角形，应加________．（写一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】已知两根木条长度，根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：设第三根木条的长度为， ∵三角形三边满足两边之差小于第三边，两边之和大于第三边， ∴，化简得 ， 因此在到之间任取一个数都符合要求，例如取． 11．已知三角形的三边长分别为2，，4，则化简的结果为__________． 【答案】6 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，再确定、的取值范围，即可化简． 【详解】解：根据三角形三边关系得：，即：， ∴，， ∴． 12．如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：由三角形三边关系可得， ∵， ∴， ∴折叠凳的宽可能为． 题型五：三角形三边关系的应用 13．小阳有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框，那新选的木条的长度可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设新选木条的长度为，根据三边关系求出，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：设新选木条的长度为，根据三角形三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∵已有两边长度分别为和， ∴， 化简得， 对比选项，只有满足该范围． 14．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是________，S的最大值是________． 【答案】 【分析】根据三角形两边之和等于第三边可得，当A，B，C在同一直线上时，，此时S最大；，此时S最小． 【详解】解：连接, 当A，B，C不在同一直线上时，， 当A，B，C在同一直线上时， ，此时S最大；如图： ，此时S最小．如图： 故S最小值为：；最大值为：． 15．如图，中，，沿过点的直线折叠这个三角形，折痕为（点在线段上且不与重合）．若点落在边下方的点处，则的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质，三角形三边关系，根据翻折变换的性质可得， ，再求出，根据三角形三边关系得到的取值范围，最后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵折叠这个三角形顶点落在边下方的点处， ∴，， ∴在中，， 在中，，即， ∴ 故选：C． 题型六：大（小）边对大（小）角定理 16．如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 17．在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：在中，边所对的角为，边所对的角为，边所对的角为， ∵， ∴． 故答案为：． 18．在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 题型七：根据三角形中线求长度 19．如图，，，是的三条中线，则__________，__________． 【答案】 或 【分析】根据三角形的中线定义可知点为中点，点为中点，据此解答即可． 【详解】解：是边上的中线，是边上的中线， ，． 20．如图，是的中线．已知的周长为24，的周长为28，，求________． 【答案】 【分析】由三角形中线的定义可得，分别表示出、的周长，作差即可得出结果． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为24，的周长为28， ∴，， 由得， ∵， ∴． 21．在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是4名同学的折纸示意图（C的对应点是），其中折出的是中边上的中线的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义、折叠的性质，根据折叠的性质结合中线的定义即可得解． 【详解】解：根据中线的定义结合图形可得： 折出的是中边上的中线的是 故选：D． 题型八：根据三角形中线求面积 22．如图，在中，分别是，，的中点，（阴影部分）的面积是，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，逐步推导各三角形的面积关系即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴． 23．如图，在中，是边上的中线，若的面积等于，则的面积为___________ 【答案】 【分析】根据三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分即可求解． 【详解】解：∵中，是边上的中线，的面积是， ∴的面积为． 24．如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【答案】A 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得的值，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 题型九：重心的概念 25．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形三条_______的交点．（请从“高”、“角平分线”、“中线”中选择）    【答案】中线 【分析】支撑点应是三角形的重心，根据三角形重心是三角形得三条中线的交点． 【详解】解：支撑点是三角形的重心，三角形的重心是三角形得三条中线的交点， 故答案为：中线． 【点睛】本题考查了三角形的重心的概念和性质． 26．如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____． 【答案】10 【分析】此题主要考查了三角形重心的定义，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等是解决问题的关键． 依题意得点O是的重心，则，，，根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，，由，得，进而得，再由，得，由此得，据此即可得出的面积． 【详解】解：依题意得：点O是的重心， ∴，，均为的中线， ∴，，， 根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，， ∵，， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 27．如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形重心的概念，由题意可得、、均为的中线，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握三角形重心的概念是解此题的关键． 【详解】解：∵O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F， ∴、、均为的中线， ∴平分，故A选项结论成立，符合题意； 故不一定垂直，不一定平分，不一定等于，故B、C、D选项结论不成立，不符合题意； 故选：A． 题型十：三角形角平分线的定义 28．如图，若是的角平分线，若，则___________．    【答案】/40度 【分析】根据三角形角平分线的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． 29．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中线、角平分线、高线性质，逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：是的中线， ， 故A正确，不符合题意； 是的角平分线， 故B正确，不符合题意； 是的高线， ， 故C正确，不符合题意； 由现有条件，推不出，故D错误，符合题意； 30．如图，某同学在“做·中·学”课上，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则一定是的一条角平分线的为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由折叠可知是的中线，而不是角平分线，故A不符合题意； B、由折叠可知不是的角平分线，故B不符合题意； C、由折叠可知是的角平分线，故C符合题意； D、由折叠可知是的高线，故D不符合题意． 题型十一：画三角形的高 31．如图，于点E，于点F，于点D，则中边上的高是线段________． 【答案】/ 【分析】过三角形的一个顶点向对边作垂线，这个垂线段就叫做该顶点对边上的高，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴中边上的高是线段． 32．如图，点在同一条直线上，在中，边上的高是线段________． 【答案】/ 【分析】根据三角形高线的定义，求解即可，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 【详解】解：由三角形高线的定义可得：中，边上的高是线段． 33．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 题型十二：与三角形的高有关的计算问题 34．如图，在三角形ABC中，，，，，点P是上一点，则的最小值等于______________． 【答案】 【分析】根据题意，当时，的长度最短，利用等面积求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， ∴在直角三角形中，由面积公式得：， 解得此时． 35．如图，在中，，边上的高，点P为上一点，于点E，于点F，则__________． 【答案】6 【分析】连接，根据求解即可． 【详解】解：连接， 则， ∵，为边上的高， ∴， 即． 36．在锐角中，点是边上一动点（不与点、重合），且，点、点到直线的距离分别为、，记，则在点从点向点运动的过程中，以下说法： ①至少存在两个点，使得的值最小； ②对于任意的点，的值始终保持不变； ③至多存在两个点，使得； 其中正确的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【分析】通过作、到直线的垂线，利用相似三角形得到与的比值等于与的比值，结合面积关系逐一分析三个说法． 【详解】解：如图，分别作直线于，直线于，则，， ∵直线于，直线于 又 即 即， ① 当，即为中点时， ，，为绝对值的最小值， 仅存在1个这样的点，故①错误； ② 由面积关系，， 得， 点运动时长度变化，故的值随的位置变化而变化，故②错误； ③ 由，得，该式对所有符合条件的点恒成立，即有无数个点满足，故③错误， 综上，正确的个数为0． 题型十三：利用网格求三角形面积 37．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上，则格点四边形的面积为_____． 【答案】13 【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，直接利用长方形的面积，再减去三个三角形的面积即可． 【详解】解：如图，作长方形， ∵正方形网格中的每一个小正方形的边长为1， ∴，，，，，，， ∴． 故答案为： 38．如图，方格纸中每一个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，在小方格的顶点上确定一点C，使的面积为2，这样的点C有________个． 【答案】5 【分析】的面积底高，所以确定的点，只要满足的面积为即可，这样的点有个． 【详解】解：满足条件的点有个，如图平行于的直线上，与网格的所有交点就是． 39．如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知，且其边上的高为，即可求出．由勾股定理可求出，设边上的高为x，结合三角形面积公式可列出关于x的方程，解出x的值即可． 【详解】解：由图可知，且其边上的高为2， ∴． 由图可知， 设边上的高为x， ∴， ∴， 解得：， ∴边上的高是． 故选：B． 题型十四：垂心 40．直角三角形的三条高的交点在___________________． 【答案】直角顶点 【分析】根据三角形高的概念解答即可． 【详解】解：∵直角三角形有两条高与直角边重合， ∴它们的交点是直角顶点． 故答案为：直角顶点． 【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，注意：锐角三角形的三条高在三角形的内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 41．如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点，连接AO并延长交BC于点F．则∠AFC的度数为_______． 【答案】90° 【分析】根据三角形高的定义和三角形的垂心定义以及三角形内角和定理即可求解. 【详解】解：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点， ∴点O为三角形ABC的垂心， ∵连接AO并延长交BC于点F． ∴AF⊥BC， ∴∠AFC＝90°． 故答案为：90°． 【点睛】本题主要考查的是垂线的概念，掌握三角形三条边上的高线相交于一点是解决本题的关键． 42．如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据锐角三角形的三条高交于一点，判断出为边上的高，利用等面积法建立方程求解即可． 【详解】解：是的两条高，且相交于点， ∴也是的高 ， ， ， ， ， ． 解答题 43．如图，，垂足为B，，垂足为C，且与交于点E，那么， (1)的边上的高为__________，边上的高为__________． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据三角形高的定义进行判断即可； （2）根据等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，垂足为B，，垂足为C， ∴由图形可知：的边上的高为，边上的高为． （2）解：∵， ∴， ∴． 44．已知是的三边长，且都是实数． (1)若，则c的取值范围是 ． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系可进行求解； （2）根据三角形三边关系及绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∴c的取值范围是； （2）解：根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得， ， ， ∴ ∴ ． 45．已知、、为的三边长． (1)化简； (2)为上一点，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：在中，， ， 在中，， ， ． 【分析】（1）根据三角形三边关系可得，，再根据绝对值的性质化简即可； （2）根据在同一个三角形中，大角对大边证明即可． 【详解】（1）解：∵、、为的三边长， ∴，， ∴，， ∴ ； （2）略 46．如图，在 与中，，直角边与交于E． (1)求作：线段，使，交于点 F．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，延长线段、和，求证：、、必相交于同一点． 【答案】(1) 如图，线段即为所求作； (2) 证明：如图，延长线段、交于点，连接， ， ，， 、分别是边、上的高， 与交于E，且三角形的三条高所在直线交于一点， ， 又， 和在一条直线上，即点、、三点共线， 、、必相交于同一点． 【分析】本题考查了复杂作图——作垂线，三角形垂心，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据垂线的作法作图即可； （2）延长线段、交于点，连接，根据三角形的三条高交于一点，可得，再结合过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直，可得和在一条直线上，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 47．如图，在中，，分别是，边上的中线，的周长比的周长多1.5，若，． (1)求，的长； (2)求的周长． 【答案】(1)； (2)30.5 【分析】（1）根据三角形的中线的定义直接求解即可； （2）先根据的周长比的周长长1.5，得到，即可求解，继而可求解周长． 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点E，F分别为的中点． ∵， ∴，； （2）解：∵的周长比的周长多1.5， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的周长为． 48．综合实践：定义三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图③，点是的重心，则与的面积关系为：________（填、或）； (2)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (3)如图④点是的重心，且，若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)= (2) (3) 【分析】（1）由为的中线，可得，再由为的中线，为的中线，可得，，进而得出； （2）由（1）得：，，同理可得：，，进而得出，由为的中线，为的中线，得出，进而得出，进而得出，即可得出； （3）连接并延长交于点，由（2）可得：，，进而求出，，由，从而求出，再由即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点是的重心， ∴为的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴． （2）解：由（1）得：，， 同理可得：，， ∵， ∴， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图所示，连接并延长交于点， ∵点是的重心， 由（2）可得：，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $