第13章《三角形的边角关系、命题与证明》 几何模型专题03 飞镖筝型翻折模型讲义 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

沪科版数学八年级上册 几何模型专题03 剪刀筝型翻折模型讲义（解析版） 飞镖（燕尾）型 · 风筝（鹰爪）型 · 翻角（折叠）型　——　凹凸四边形与轴对称倒角通法 导语 多边形倒角，是三角形内角和与外角性质的"升级版"：把一个四边形沿对角线或折痕拆成两个三角形，复杂角度关系就会露出"固定结论"的真面目。本专题研究三类最常考的倒角模型——飞镖（燕尾）模型处理凹四边形，风筝（鹰爪）模型处理凸四边形嵌套，翻角模型处理三角形纸片折叠。它们不是死记硬背的套路，而是"作辅助线把多边形拆回三角形"这一化归思想的结晶。 命题趋势：弱化逐角硬算，强化模型识别。选择填空压轴常把飞镖、风筝嵌进折纸、剪纸、三角板拼摆、校园测绘等真实情境，大题则要求先探究结论、再迁移应用。 推导逻辑：一切结论都从三角形外角性质与轴对称性质出发，通过连对角线、延长边、作折痕把多边形拆成三角形，列等式求差。 核心素养目标：①掌握三类模型的条件、结论与证明；②能从复杂图形中一眼识别模型、快速求角；③经历"特殊—猜想—证明—迁移"的探究过程，发展几何直观与逻辑推理。 一、模型来源与知识储备 模型来源：飞镖模型源于凹四边形——当一个顶点陷进三角形内部时，凹点处的角等于另外三个角之和，形似飞镖或燕尾；风筝模型源于凸四边形内一点与两底角的外角关系，形似风筝；翻角模型源于把三角形纸片沿某条直线折叠，折痕两侧新出现的两个角与原角之间存在两倍关系。三类模型的本质，都是三角形外角性质与轴对称性质的多次使用。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： · 三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； · 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°； · 四边形内角和定理：任意四边形的内角和等于360°； · 轴对称的性质：折叠前后对应线段相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线； · 平角的定义：一条直线上的平角等于180°； · 常用辅助线：连对角线并延长、延长边构造外角、准确画出折痕。 二、模型精讲 模型1　飞镖（燕尾）模型 飞镖（燕尾）模型是凹四边形的倒角工具：一个顶点陷进三角形内部，整体像一只回旋镖或燕尾。 【基本模型】 条件：如图1，凹四边形ABCD中，点C落在△ABD内部，连接BC、DC。 图1　飞镖（燕尾）基本模型 结论：∠BCD = ∠A + ∠B + ∠D。 证明：连接AC并延长。 在△ABC中，∠BCP是外角，∴ ∠BCP = ∠BAC + ∠B； 在△ADC中，∠DCP是外角，∴ ∠DCP = ∠DAC + ∠D。 两式相加：∠BCD = ∠BCP + ∠DCP = (∠BAC + ∠DAC) + ∠B + ∠D = ∠BAD + ∠B + ∠D。 ★核心结论：凹四边形中，"陷进去"那个顶点处的角，等于其余三个角之和。 点拨：证明套路是"连凹点与对面顶点并延长"，一下拆出两个外角；考试中见到飞镖形可直接套结论。 【拓展模型1】 条件：如图2，在飞镖形ABCD中，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，两条平分线交于点O。 图2　双底角平分线夹角 结论：∠BOD = (∠A + ∠BCD)。 证明：对凹四边形ABOD用飞镖结论：∠BOD = ∠ABO + ∠ADO + ∠A。 ∵ BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，∴ ∠ABO = ∠ABC，∠ADO = ∠ADC。 ∴ ∠BOD = (∠ABC + ∠ADC) + ∠A。 又由基本结论：∠BCD = ∠ABC + ∠ADC + ∠A，即∠ABC + ∠ADC = ∠BCD − ∠A。 代入得：∠BOD = (∠BCD − ∠A) + ∠A = (∠A + ∠BCD)。 【拓展模型2】 条件：如图3，在飞镖形ABCD中，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，两条平分线交于点O。 图3　顶角与凹角平分线夹角 结论：∠O = (∠D − ∠B)（当∠D > ∠B时）。 证明：射线AO与DC相交处构成对顶角，观察两个共边三角形可得： ∠D + ∠DAO = ∠O + ∠DCO（第三个角是对顶角，相等）。 ∵ AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴ ∠DAO = ∠A，∠DCO = ∠BCD。 ∴ ∠O = ∠D + ∠A − ∠BCD。 又由基本结论：∠BCD − ∠A = ∠B + ∠D，代入得 ∠O = ∠D − (∠B + ∠D) = (∠D − ∠B)。 ★核心结论：顶角与凹角的平分线夹角，等于另外两角之差的一半；注意先判断谁大谁小，是"大角减小角"。 模型2　风筝（鹰爪）模型 【基本模型】 条件：如图4，∠BAC内部有一点O，分别延长AB、AC，连接BO、CO。 图4　风筝（鹰爪）基本模型 结论：∠1 + ∠2 = ∠A + ∠O。 证明：∵ ∠1是△ABO的外角，∴ ∠1 = ∠BAO + ∠BOA； 同理，∠2是△ACO的外角，∴ ∠2 = ∠CAO + ∠COA。 两式相加：∠1 + ∠2 = (∠BAO + ∠CAO) + (∠BOA + ∠COA) = ∠BAC + ∠BOC = ∠A + ∠O。 【变形（角在外侧）】 条件：如图5，固定点O跑到△ABC外侧，延长AB、AC的方向不变。 图5　风筝模型变形（O在外侧） 结论：∠2 − ∠1 = ∠A + ∠O。 证明：此时∠2是△ABO的外角，∠2 = ∠BAO + ∠BOA；∠1是△ACO的外角，∠1 = ∠CAO + ∠COA。 两式相减：∠2 − ∠1 = (∠BAO − ∠CAO) + (∠BOA − ∠COA) = ∠BAC + ∠BOC = ∠A + ∠O。 ★核心结论：O在∠A内部，两个外角相加等于"顶角+中心角"；O翻到外侧，变成大外角减小外角。 模型3　翻角（折叠）模型 【内折】 条件：如图6，三角形纸片ABC沿EF折叠，顶点C落在四边形ABFE内部的点C′处，折痕为EF。 图6　翻角内折（C′在四边形内部） 结论：∠1 + ∠2 = 2∠C。 证明：由轴对称性质，△EFC与△EFC′关于EF成轴对称，∴ ∠CEF = ∠C′EF，∠CFE = ∠C′FE。 设∠CEF = α，∠CFE = β。则点E处∠1 = 180° − 2α，点F处∠2 = 180° − 2β。 在△CEF中，∠C = 180° − α − β。 ∴ ∠1 + ∠2 = 360° − 2(α + β) = 360° − 2(180° − ∠C) = 2∠C。 【外折】 条件：如图7，沿EF折叠后，顶点C落在四边形ABFE外部的点C′处。 图7　翻角外折（C′在四边形外部） 结论：∠2 − ∠1 = 2∠C。 证明：同样由轴对称，∠CEF = ∠C′EF，∠CFE = ∠C′FE。设∠CEF = α，∠CFE = β。 外折时点E处∠1 = 2α − 180°，点F处∠2 = 180° − 2β， ∴ ∠2 − ∠1 = (180° − 2β) − (2α − 180°) = 360° − 2(α + β) = 2∠C。 ★核心结论：折进去，两折角相加等于原角的两倍；折到外面，大折角减小折角等于原角的两倍。 三、模型运用·典例 典例1（飞镖基本）　市中心步行街上一家文创店把书签剪成凹四边形（飞镖形）ABCD，点C落在△ABD内部。如图，量得∠A = 80°，∠B = 28°，∠D = 22°，则凹角∠BCD的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【解】由飞镖基本结论：∠BCD = ∠A + ∠B + ∠D = 80° + 28° + 22° = 130°。故选B。 【错因】飞镖凹角等于另外三个角之和，不能只加两个；80+28+22=130，别漏加∠A。 典例2（飞镖拓展1）　研学小组把一面三角小旗设计成飞镖形ABCD。如图，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，两线交于O。若∠A = 70°，凹角∠BCD = 110°，则∠BOD =（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【解】由拓展1结论：∠BOD = (∠A + ∠BCD) = (70° + 110°) = 90°。故选B。 【错因】双底角平分线夹角是"顶角+凹角"和的一半，不要忘乘；先加再除。 典例3（飞镖拓展2）　科技节上，同学用硬纸板拼出飞镖形装饰板ABCD。如图，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，两线交于O。若∠D = 75°，∠B = 35°，则∠O的度数为______。 【解】由拓展2结论：∠O = (∠D − ∠B) = (75° − 35°) = 20°。 【错因】顶角与凹角平分线夹角是两角之差的一半，不是之和；75−35=40，再除以2得20°。 典例4（风筝基本）　手工课上，小明把四根吸管拼成风筝形骨架。如图，∠BAC内部有一点O，分别延长AB、AC并连接BO、CO。若∠A = 55°，∠BOC = 75°，则∠1 + ∠2 =（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【解】由风筝基本结论：∠1 + ∠2 = ∠A + ∠O = 55° + 75° = 130°。故选B。 【错因】O在∠A内部时用加法：两外角之和等于顶角加中心角，直接55+75。 典例5（风筝变形）　如图，风筝骨架的固定点O滑到了△ABC外侧。若∠1 = 25°，∠2 = 105°，∠A = 45°，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【解】由变形结论：∠2 − ∠1 = ∠A + ∠O，即105° − 25° = 45° + ∠O，解得∠O = 35°。故选B。 【错因】O翻到外侧用减法：大外角减小外角；移项时∠O = 105−25−45 = 35°，别把∠A也减掉后忘了。 典例6（翻角内折）　如图，把三角形纸片ABC沿EF折叠，点C落在四边形ABFE内部的C′处。若量得∠1 = 40°，∠2 = 60°，则∠C的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【解】由内折结论：∠1 + ∠2 = 2∠C，即40° + 60° = 2∠C，解得∠C = 50°。故选B。 【错因】内折是两角之和等于2∠C，求∠C要先加再除以2：(40+60)÷2=50°。 典例7（翻角外折）　如图，把三角形纸片ABC沿EF折叠，点C落在四边形ABFE外部的C′处。若∠1 = 20°，∠C = 55°，则∠2的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【解】由外折结论：∠2 − ∠1 = 2∠C，即∠2 = 2×55° + 20° = 130°。故选C。 【错因】外折是大角减小角等于2∠C，求∠2要"2∠C + ∠1"：110+20=130°，别写成110−20。 （综合典例·多模型叠加） 典例8（模型递推·加项型）　如图，在△ABC中，∠A = 60°，三角形内部有一点O，连接BO、CO，测得∠BOC = 140°。∠ABO与∠ACO的平分线交于点O₁，∠ABO₁与∠ACO₁的平分线交于点O₂。 （1）求∠BO₁C的度数； （2）求∠BO₂C的度数； （3）若按此规律继续平分，第n次得到点Oₙ，用含n的式子表示∠BOₙC。 【解】设∠ABO = 2x，∠ACO = 2y。在△BOC中，∠OBC + ∠OCB = 180° − 140° = 40°；在△ABC中，60° + 2x + 2y + 40° = 180°，∴ x + y = 40°。 （1）∵ O₁B平分∠ABO，O₁C平分∠ACO，∴ ∠O₁BC = x + ∠OBC，∠O₁CB = y + ∠OCB。∠BO₁C = 180° − (x + ∠OBC) − (y + ∠OCB) = 180° − (x + y) − (∠OBC + ∠OCB) = 180° − 40° − 40° = 100°。 （2）同理，∠BO₂C = (∠A + ∠BO₁C) = (60° + 100°) = 80°。 （3）设 aₙ = ∠BOₙC，a₀ = ∠BOC = 140°，则 aₙ = (60° + aₙ₋₁)，即 aₙ − 60° = (aₙ₋₁ − 60°)，∴ aₙ = 60° + 。 【错因】递推要先锁定"不变量"60°（每步都出现60°），再把超出部分（140−60=80）逐次减半；通项是60°＋，别误写成只把140°逐次减半，那样会漏掉60°这个不变量。 典例9（飞镖应用·五角星）　如图，正五角星由一个正五边形的五条对角线相交而成，五个尖角依次记为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。 （1）利用三角形外角性质，求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E的度数； （2）求每一个尖角的度数； （3）求五角星内部正五边形每一个内角的度数。 【解】设边AC、AD分别交边BE于点M、N。 （1）在△CME中，∠CMB是外角（MB是ME的延长），∴ ∠CMB = ∠MCE + ∠MEC = ∠C + ∠E；而∠AMN = ∠CMB（对顶角），∴ ∠AMN = ∠C + ∠E。同理，在△DNB中∠ANB为外角，∠ANB = ∠D + ∠B，且∠ANM = ∠ANB。在△AMN中，∠A + ∠AMN + ∠ANM = 180°，即 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°。 （2）正五角星五个尖角相等，每个尖角 = 180° ÷ 5 = 36°。 （3）内部正五边形的内角 = (5 − 2) × 180° ÷ 5 = 108°。 【错因】五角星不是每个尖角60°（那是300°）；要用外角把五个尖角收拢到一个三角形，总和恒为180°；正五角星每个尖角是36°。 典例10（折叠+角平分线）　如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°。将纸片沿过点A的一条直线折叠，使点C落在斜边AB上的点C′处，折痕AD交边BC于点D。 （1）求证：折痕AD平分∠CAB； （2）求∠C′DB的度数； （3）探究线段BD与CD的数量关系，并说明理由。 【解】（1）由折叠知 AC = AC′，DC = DC′，∠AC′D = ∠C = 90°，∠CAD = ∠C′AD，∴ AD平分∠CAB。 （2）∵ ∠C = 90°，∠B = 30°，∴ ∠CAB = 60°，∠CAD = ∠C′AD = 30°。在Rt△AC′D中∠ADC′ = 60°，由折叠∠ADC = ∠ADC′ = 60°。∴ ∠C′DB = 180° − ∠ADC − ∠ADC′ = 180° − 120° = 60°。 （3）∵ ∠BC′D = 180° − ∠AC′D = 90°，在Rt△BC′D中∠B = 30°，∴ DC′ = BD·sin30° = BD。又DC′ = DC，∴ BD = 2CD。 【错因】折叠后C′在AB上，∠AC′D=90°，由平角∠BC′D也为90°；C′处同样构成含30°的直角三角形，得BD=2CD，别只在∠C处使用直角关系。 典例11（综合探究·风筝翻角）　如图，在△ABC中，∠A = 70°，点D在边AB上，点E在边AC上。将三角形纸片沿折痕DE折叠，使点A落在三角形内部的点P处（P不与各顶点重合），连接PD、PE。 （1）当∠BDP = 65°，∠CEP = 45°时，求∠DPE的度数； （2）当∠BDP = 65°，∠CEP = 25°时，求∠DPE的度数； （3）猜想∠DPE、∠BDP、∠CEP之间的数量关系，并说明理由； （4）当∠BDP = 125°，∠CEP = 35°时，求∠DPE的度数。 【解】连接AP。 （1）∠DPE = ∠BDP + ∠CEP − ∠A = 65° + 45° − 70° = 40°。 （2）∠DPE = 65° + 25° − 70° = 20°。 （3）∵ ∠BDP是△ADP的外角，∴ ∠BDP = ∠DAP + ∠DPA，即 ∠DPA = ∠BDP − ∠DAP；同理 ∠EPA = ∠CEP − ∠EAP。两式相加：∠DPE = ∠DPA + ∠EPA = ∠BDP + ∠CEP − (∠DAP + ∠EAP) = ∠BDP + ∠CEP − ∠A。 （4）∠DPE = 125° + 35° − 70° = 90°。 【错因】把折到内部的角拆成∠DPA+∠EPA，再用外角分别表示；∠DAP+∠EAP恰好等于顶角∠A，要减去∠A，不能漏减。 四、模型拓展与易错总结 【模型拓展】 1．飞镖模型可以继续嵌套：两个小镖套在一起，结论仍是外角性质的连续使用； 2．风筝模型与飞镖模型可以互相转化——把风筝的两个外角补成平角，就回到内角和框架； 3．翻角模型可推广到四边形、多边形折叠，核心永远是"折叠前后对应角相等"。 【常见易错点】 1．飞镖结论漏角：误记成∠BCD = ∠B + ∠D，漏掉∠A。避坑：凹角=三个角之和，画图时数清四个顶点。 2．拓展2符号反：把(∠D−∠B)记成(∠D+∠B)。避坑：顶角与凹角平分线夹角是"差"不是"和"，先判断谁大谁小。 3．风筝内外不分：O在内用加法，O在外用减法。避坑：先看O在∠A内部还是外侧，再决定加或减。 4．翻角内外混淆：内折∠1+∠2=2∠C，外折∠2−∠1=2∠C。避坑：折叠后C′落在四边形内就加、落到外就减。 ★口诀：飞镖凹角三角和，双半夹角和之半；风筝内外看O点，内加外减不会乱；翻角先看落里外，内加外减两倍角。 五、变式训练 （一）选择题 1．校园自行车棚的支架构成△ABC，棚顶一根斜撑从内部点D处穿过，连接BD、CD。如图，测得∠A = 56°，∠ABD = 22°，∠ACD = 18°，则∠BDC的度数为（　　） A．88° B．92° C．96° D．100° 【解】内点模型：∠BDC = ∠A + ∠ABD + ∠ACD = 56° + 22° + 18° = 96°。故选C。 【错因】内点处的角等于顶角加两侧小角，三个角都要加，别漏加∠A或只加两个小角。 2．工人检修一块三角形警示牌时，在其内部取点D并连接BD、CD。如图，测得∠BDC = 128°，∠ABD = 26°，∠ACD = 22°，则顶角∠A为（　　） A．70° B．76° C．80° D．86° 【解】由∠BDC = ∠A + ∠ABD + ∠ACD，得∠A = 128° − 26° − 22° = 80°。故选C。 【错因】已知内点角反求顶角用连减：128−26−22=80°，不要误作加法。 3．一块飞镖形导视牌ABCD中，点C向内凹入，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，两线交于点O。如图，∠A = 80°，∠ABC = 24°，∠ADC = 28°，则∠BOD的度数为（　　） A．100° B．102° C．106° D．112° 【解】先求凹角∠BCD = ∠A + ∠ABC + ∠ADC = 80° + 24° + 28° = 132°；再由拓展1：∠BOD = (∠A + ∠BCD) = (80° + 132°) = 106°。故选C。 【错因】分两步：先算凹角132°，再套双底角平分线公式取半；直接½(80+24+28)会漏掉凹角关系。 4．风筝节上一只风筝的骨架如图，O在∠BAC内部，AB、AC分别延长至M、N，连接BO、CO。若∠1 = 108°，∠2 = 122°，∠A = 60°，则∠BOC的度数为（　　） A．160° B．165° C．170° D．175° 【解】由∠1 + ∠2 = ∠A + ∠BOC，得∠BOC = 108° + 122° − 60° = 170°。故选C。 【错因】O在∠A内部用加法，中心角=两外角和−顶角=170°，别算成108+122+60。 5．如图，三角形纸片ABC中，∠A = 70°，∠B = 58°。沿EF折叠，点C落在四边形ABFE内部的点C′处，则∠1 + ∠2的度数为（　　） A．96° B．100° C．104° D．108° 【解】先求∠C = 180° − 70° − 58° = 52°；内折∠1 + ∠2 = 2∠C = 2×52° = 104°。故选C。 【错因】先由内角和算∠C=52°，再用内折公式乘2；不能直接把∠A、∠B相加。 6．如图，三角形纸片ABC中，∠A = 68°，∠B = 60°。沿EF折叠，点C落在四边形ABFE外部的点C′处，若∠1 = 24°，则∠2的度数为（　　） A．120° B．124° C．128° D．132° 【解】先求∠C = 180° − 68° − 60° = 52°；外折∠2 − ∠1 = 2∠C，∴ ∠2 = 2×52° + 24° = 128°。故选C。 【错因】先算∠C=52°，外折大角=2∠C+∠1=104+24=128°，别写成104−24。 7．如图，把一张等腰三角形纸片ABC沿折痕DE折叠，顶角A落在三角形内部的点A′处。若∠A = 64°，则∠1 + ∠2的度数为（　　） A．118° B．124° C．128° D．132° 【解】折顶角到内部：∠1 + ∠2 = 2∠A = 2×64° = 128°。故选C。 【错因】折顶角A时折痕两侧两角之和=2∠A，直接乘2；与折底角C的结论区分，都是"被折的角"的两倍。 8．如图，一枚六角星饰品由两个三角形交叉而成（六个尖角未必相等）。则这六个尖角的度数之和为（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【解】六个尖角恰好是组成六角星的两个三角形的全部内角，∴ 六尖角和 = 2×180° = 360°。故选C。 【错因】六角星由两个三角形组成，六尖角和=360°；别与五角星（五尖角和=180°）混淆。 （二）填空题 9．如图，一顶帐篷的支架构成△ABC，顶部撑杆交于内部点D。若∠A = 64°，∠ABD = 24°，∠ACD = 28°，则∠BDC = ______。 【解】∠BDC = 64° + 24° + 28° = 116°。 【错因】三个角相加=116°，注意∠ABD、∠ACD是从底角分出的小角，别多加或漏加。 10．如图，风筝骨架中，O在∠BAC内部，若∠1 = 66°，∠2 = 72°，∠A = 62°，则∠BOC = ______。 【解】∠BOC = ∠1 + ∠2 − ∠A = 66° + 72° − 62° = 76°。 【错因】中心角=两外角和−顶角=138−62=76°，是减不是加。 11．如图，把三角形纸片ABC沿折痕DE折叠，顶角A落在三角形内部的点A′处（折痕不与底边平行）。若∠A = 68°，则∠1 + ∠2 = ______。 【解】折顶角到内部：∠1 + ∠2 = 2∠A = 2×68° = 136°。 【错因】折痕倾斜不影响结论，两角之和仍=2∠A=136°，别因为折痕倾斜就另算。 12．如图，一张细长的三角形纸片沿EF外折，点C落在四边形ABFE外部的点C′处。若∠C = 56°，∠1 = 28°，则∠2 = ______。 【解】外折：∠2 − ∠1 = 2∠C，∠2 = 2×56° + 28° = 140°。 【错因】外折求大角=2∠C+∠1=112+28=140°，符号是加，别写成112−28。 13．如图，飞镖形装饰板ABCD中，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，两线交于点O（O在底边下方）。若∠D = 44°，∠B = 18°，则∠O = ______。 【解】拓展2：∠O = (∠D − ∠B) = (44° − 18°) = 13°。 【错因】顶角与凹角平分线夹角是"大角减小角"再取半，(44−18)÷2=13°；注意是差不是和。 14．如图，一块飞镖形零件的顶角∠A = 90°，凹角∠BCD = 140°，且∠ABC = ∠ADC，则∠ABC = ______。 【解】设∠ABC = ∠ADC = x，则∠BCD = ∠A + 2x = 90° + 2x = 140°，解得 x = 25°。 【错因】两个底角相等要设同一个x，由90+2x=140得x=25°；别把140−90=50直接当成所求角。 （三）解答题 15．某工厂生产一种飞镖形零件ABCD，出厂标准要求凹角∠BCD = 145°。质检时如图，测得顶角∠A = 90°，∠B = 32°，∠D = 21°。 （1）请判定该零件是否合格，并说明理由； （2）若要使其合格，在∠A、∠D保持不变的情况下，∠B应调整为多少度？ 【解】（1）∠BCD = ∠A + ∠B + ∠D = 90° + 32° + 21° = 143°≠145°，故该零件不合格。 （2）合格需 90° + ∠B + 21° = 145°，解得∠B = 34°。 【错因】判定要用凹角公式算出实测143°再与标准145°比较；第（2）问列方程90+∠B+21=145，得∠B=34°（比原来增大2°），不能只判"不合格"而不调整。 16．如图，一只横向放飞的风筝骨架中，AB = AC，点O在对称轴上，AB、AC分别延长至M、N，连接BO、CO。 （1）求证：∠1 + ∠2 = ∠A + ∠BOC； （2）若∠A = 64°，∠BOC = 168°，求∠1的度数。 【解】（1）证明：∠1是△ABO的外角，∠1 = ∠BAO + ∠BOA；∠2是△ACO的外角，∠2 = ∠CAO + ∠COA。两式相加得∠1 + ∠2 = (∠BAO + ∠CAO) + (∠BOA + ∠COA) = ∠BAC + ∠BOC = ∠A + ∠BOC。 （2）由AB = AC及图形对称知∠1 = ∠2；又∠1 + ∠2 = 64° + 168° = 232°，∴ ∠1 = 116°。 【错因】第（2）问要利用AB=AC的对称得到∠1=∠2，再由2∠1=232°得∠1=116°；不能只算出∠1+∠2=232°就停止。 17．如图，把三角形纸片ABC沿折痕DE折叠，顶角A落在三角形内部的点A′处。 （1）求证：∠1 + ∠2 = 2∠A； （2）若∠A = 66°，∠1 = 60°，求∠2的度数。 【解】（1）证明：由轴对称，∠ADE = ∠A′DE，∠AED = ∠A′ED。点D处∠1 = 180° − 2∠ADE，点E处∠2 = 180° − 2∠AED。两式相加：∠1 + ∠2 = 360° − 2(∠ADE + ∠AED) = 360° − 2(180° − ∠A) = 2∠A。 （2）∠2 = 2×66° − 60° = 72°。 【错因】折顶角的两个角在两腰D、E处，要分别用平角−2倍再相加；∠2=132−60=72°，别算成132−60后再除以2。 18．如图，把三角形纸片ABC沿折痕DE折叠，使底角B落在三角形外部的点B′处（D在AB上，E在BC上）。 （1）求证：∠2 − ∠1 = 2∠B； （2）若∠B = 60°，∠1 = 15°，求∠2的度数。 【解】（1）证明：由轴对称，∠BDE = ∠B′DE，∠BED = ∠B′ED。外折时点D处∠1 = 2∠BDE − 180°，点E处∠2 = 180° − 2∠BED。两式相减：∠2 − ∠1 = 360° − 2(∠BDE + ∠BED) = 360° − 2(180° − ∠B) = 2∠B。 （2）∠2 = 2×60° + 15° = 135°。 【错因】折的是底角B，结论应为2∠B（不是2∠C）；外折大角=2∠B+∠1=120+15=135°，别套错角。 19．如图，飞镖形ABCD中，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，两线交于点O。 （1）求证：∠BOD = (∠A + ∠BCD)； （2）若∠A = 68°，∠ABC = 26°，∠ADC = 30°，求∠BOD的度数。 【解】（1）证明：对凹四边形ABOD用飞镖结论，∠BOD = ∠ABO + ∠ADO + ∠A。由角平分线，∠ABO = ∠ABC，∠ADO = ∠ADC，故∠BOD = (∠ABC + ∠ADC) + ∠A。又∠BCD = ∠ABC + ∠ADC + ∠A，代入得∠BOD = (∠A + ∠BCD)。 （2）先求∠BCD = 68° + 26° + 30° = 124°，再求∠BOD = (68° + 124°) = 96°。 【错因】第（2）问先算凹角124°再取半：(68+124)÷2=96°；不能直接½(68+26+30)。 20．如图，公路AB与CD平行（AB∥CD），两公路之间有一条折线B—E—D，点B在AB上、点D在CD上。 （1）求证：∠BED = ∠ABE + ∠CDE； （2）若∠ABE = 38°，∠CDE = 42°，求∠BED的度数； （3）若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，两线交于点F（F在E左侧），求∠BFD的度数。 【解】（1）证明：过E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴EG∥CD。由两直线平行、内错角相等，∠BEG = ∠ABE，∠DEG = ∠CDE，∴∠BED = ∠BEG + ∠DEG = ∠ABE + ∠CDE。 （2）∠BED = 38° + 42° = 80°。 （3）∠EBF = ×38° = 19°，∠EDF = ×42° = 21°；同（1）法，∠BFD = 19° + 21° = 40°。 【错因】猪蹄模型要过折点E作平行线，把∠BED拆成两个内错角；第（3）问先对平分线取半再用同样方法，19+21=40°，别直接用80°。 （四）培优压轴题 21．如图，正六角星（大卫之星）由两个全等的正三角形交叉重叠而成，六个尖角依次记为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F，交叉部分围成一个正六边形。 （1）求六个尖角的度数之和； （2）求每一个尖角的度数； （3）求内部正六边形每一个内角的度数。 【解】（1）六个尖角恰好是组成六角星的两个正三角形的全部内角，故六尖角和 = 2×180° = 360°。 （2）由正六角星对称，六个尖角相等，每个尖角 = 360°÷6 = 60°。 （3）内部正六边形每一个内角 = (6 − 2)×180°÷6 = 120°。 【错因】六角星由两个三角形组成，六尖角和=360°（不是180°）；每尖角60°、内部正六边形内角120°，别与五角星（36°、108°）混淆。 22．如图，把一张长方形纸条ABCD沿折痕EF折叠，使点D落在边BC上的点D′处，点C落在点C′处。 （1）若∠DEF = α，用含α的式子表示∠DED′； （2）用含α的式子表示∠AED′； （3）当α = 65°时，求∠AED′的度数。 【解】（1）由轴对称，∠D′EF = ∠DEF = α，∴∠DED′ = 2α。 （2）∠AED′与∠DED′互补，∠AED′ = 180° − ∠DED′ = 180° − 2α。 （3）当α = 65°时，∠AED′ = 180° − 2×65° = 50°。 【错因】折叠后∠D′EF=∠DEF，故∠DED′=2α，再用平角得∠AED′=180−2α；代入α=65得50°，别漏乘2或把平角写成90°。 23．如图，等腰三角形纸片ABC中，AB = AC，∠A = 70°。沿折痕DE折叠，使顶角A落在底边BC上的点A′处（D在AB上，E在AC上）。 （1）求证：∠BDA′ + ∠CEA′ = 2∠A； （2）当A′不是BC中点时，△BDA′与△CEA′的周长之和与AB + AC + BC有怎样的数量关系？请说明理由； （3）若A′恰好是BC的中点，此时DE与BC有怎样的位置关系？D、E分别是两腰的什么特殊点？ 【解】（1）证明：由轴对称，∠ADE = ∠A′DE，∠AED = ∠A′ED。点D处∠BDA′ = 180° − 2∠ADE，点E处∠CEA′ = 180° − 2∠AED。相加得∠BDA′ + ∠CEA′ = 360° − 2(∠ADE + ∠AED) = 360° − 2(180° − ∠A) = 2∠A。 （2）折叠知AD = A′D，AE = A′E。△BDA′周长 = BD + DA′ + BA′ = BD + AD + BA′，△CEA′周长 = CE + EA′ + CA′ = CE + AE + CA′。两式相加 = AB + AC + (BA′ + CA′) = AB + AC + BC。 （3）A′为BC中点时，AA′为等腰三角形对称轴，折痕DE垂直平分AA′，故DE∥BC，且D、E分别是AB、AC的中点。 【错因】（2）要把AD、AE分别替换成A′D、A′E，两段BA′、CA′恰好拼成BC；（3）由对称轴与中线重合知DE∥BC、D、E为中点，别误以为折痕仍倾斜。 24．如图，△ABC内部有两个依次向内的点D、E，连接BD、CD、BE、CE。已知∠A = 62°，∠ABD = 16°，∠ACD = 14°，∠DBE = 18°，∠DCE = 20°。 （1）求∠BDC的度数； （2）求∠BEC的度数； （3）直接写出∠BEC、∠A、∠ABD、∠ACD、∠DBE、∠DCE之间的数量关系。 【解】（1）∠BDC = ∠A + ∠ABD + ∠ACD = 62° + 16° + 14° = 92°。 （2）∠BEC = ∠BDC + ∠DBE + ∠DCE = 92° + 18° + 20° = 130°。 （3）∠BEC = ∠A + ∠ABD + ∠ACD + ∠DBE + ∠DCE。 【错因】内点模型可连续使用两次，每向内一层就把两侧小角加进去；（3）是（1）（2）的合并，∠BEC等于顶角加四个小角，别漏加中间层的18°、20°。 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版数学八年级上册 几何模型专题03 飞镖筝型翻折模型讲义（原卷版） 飞镖型 · 风筝型 · 翻角（折叠）型　——　凹凸四边形与轴对称倒角通法 导语 多边形倒角，是三角形内角和与外角性质的"升级版"：把一个四边形沿对角线或折痕拆成两个三角形，复杂角度关系就会露出"固定结论"的真面目。本专题研究三类最常考的倒角模型——飞镖（燕尾）模型处理凹四边形，风筝（鹰爪）模型处理凸四边形嵌套，翻角模型处理三角形纸片折叠。它们不是死记硬背的套路，而是"作辅助线把多边形拆回三角形"这一化归思想的结晶。 命题趋势：弱化逐角硬算，强化模型识别。选择填空压轴常把飞镖、风筝嵌进折纸、剪纸、三角板拼摆、校园测绘等真实情境，大题则要求先探究结论、再迁移应用。 推导逻辑：一切结论都从三角形外角性质与轴对称性质出发，通过连对角线、延长边、作折痕把多边形拆成三角形，列等式求差。 核心素养目标：①掌握三类模型的条件、结论与证明；②能从复杂图形中一眼识别模型、快速求角；③经历"特殊—猜想—证明—迁移"的探究过程，发展几何直观与逻辑推理。 一、模型来源与知识储备 模型来源：飞镖模型源于凹四边形——当一个顶点陷进三角形内部时，凹点处的角等于另外三个角之和，形似飞镖或燕尾；风筝模型源于凸四边形内一点与两底角的外角关系，形似风筝；翻角模型源于把三角形纸片沿某条直线折叠，折痕两侧新出现的两个角与原角之间存在两倍关系。三类模型的本质，都是三角形外角性质与轴对称性质的多次使用。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： · 三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； · 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°； · 四边形内角和定理：任意四边形的内角和等于360°； · 轴对称的性质：折叠前后对应线段相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线； · 平角的定义：一条直线上的平角等于180°； · 常用辅助线：连对角线并延长、延长边构造外角、准确画出折痕。 二、模型精讲 模型1　飞镖（燕尾）模型 飞镖（燕尾）模型是凹四边形的倒角工具：一个顶点陷进三角形内部，整体像一只回旋镖或燕尾。 【基本模型】 条件：如图1，凹四边形ABCD中，点C落在△ABD内部，连接BC、DC。 图1　飞镖（燕尾）基本模型 结论：∠BCD = ∠A + ∠B + ∠D。 证明：连接AC并延长。 在△ABC中，∠BCP是外角，∴ ∠BCP = ∠BAC + ∠B； 在△ADC中，∠DCP是外角，∴ ∠DCP = ∠DAC + ∠D。 两式相加：∠BCD = ∠BCP + ∠DCP = (∠BAC + ∠DAC) + ∠B + ∠D = ∠BAD + ∠B + ∠D。 ★核心结论：凹四边形中，"陷进去"那个顶点处的角，等于其余三个角之和。 点拨：证明套路是"连凹点与对面顶点并延长"，一下拆出两个外角；考试中见到飞镖形可直接套结论。 【拓展模型1】 条件：如图2，在飞镖形ABCD中，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，两条平分线交于点O。 图2　双底角平分线夹角 结论：∠BOD = (∠A + ∠BCD)。 证明：对凹四边形ABOD用飞镖结论：∠BOD = ∠ABO + ∠ADO + ∠A。 ∵ BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，∴ ∠ABO = ∠ABC，∠ADO = ∠ADC。 ∴ ∠BOD = (∠ABC + ∠ADC) + ∠A。 又由基本结论：∠BCD = ∠ABC + ∠ADC + ∠A，即∠ABC + ∠ADC = ∠BCD − ∠A。 代入得：∠BOD = (∠BCD − ∠A) + ∠A = (∠A + ∠BCD)。 【拓展模型2】 条件：如图3，在飞镖形ABCD中，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，两条平分线交于点O。 图3　顶角与凹角平分线夹角 结论：∠O = (∠D − ∠B)（当∠D > ∠B时）。 证明：射线AO与DC相交处构成对顶角，观察两个共边三角形可得： ∠D + ∠DAO = ∠O + ∠DCO（第三个角是对顶角，相等）。 ∵ AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴ ∠DAO = ∠A，∠DCO = ∠BCD。 ∴ ∠O = ∠D + ∠A − ∠BCD。 又由基本结论：∠BCD − ∠A = ∠B + ∠D，代入得 ∠O = ∠D − (∠B + ∠D) = (∠D − ∠B)。 ★核心结论：顶角与凹角的平分线夹角，等于另外两角之差的一半；注意先判断谁大谁小，是"大角减小角"。 模型2　风筝（鹰爪）模型 【基本模型】 条件：如图4，∠BAC内部有一点O，分别延长AB、AC，连接BO、CO。 图4　风筝（鹰爪）基本模型 结论：∠1 + ∠2 = ∠A + ∠O。 证明：∵ ∠1是△ABO的外角，∴ ∠1 = ∠BAO + ∠BOA； 同理，∠2是△ACO的外角，∴ ∠2 = ∠CAO + ∠COA。 两式相加：∠1 + ∠2 = (∠BAO + ∠CAO) + (∠BOA + ∠COA) = ∠BAC + ∠BOC = ∠A + ∠O。 【变形（角在外侧）】 条件：如图5，固定点O跑到△ABC外侧，延长AB、AC的方向不变。 图5　风筝模型变形（O在外侧） 结论：∠2 − ∠1 = ∠A + ∠O。 证明：此时∠2是△ABO的外角，∠2 = ∠BAO + ∠BOA；∠1是△ACO的外角，∠1 = ∠CAO + ∠COA。 两式相减：∠2 − ∠1 = (∠BAO − ∠CAO) + (∠BOA − ∠COA) = ∠BAC + ∠BOC = ∠A + ∠O。 ★核心结论：O在∠A内部，两个外角相加等于"顶角+中心角"；O翻到外侧，变成大外角减小外角。 模型3　翻角（折叠）模型 【内折】 条件：如图6，三角形纸片ABC沿EF折叠，顶点C落在四边形ABFE内部的点C′处，折痕为EF。 图6　翻角内折（C′在四边形内部） 结论：∠1 + ∠2 = 2∠C。 证明：由轴对称性质，△EFC与△EFC′关于EF成轴对称，∴ ∠CEF = ∠C′EF，∠CFE = ∠C′FE。 设∠CEF = α，∠CFE = β。则点E处∠1 = 180° − 2α，点F处∠2 = 180° − 2β。 在△CEF中，∠C = 180° − α − β。 ∴ ∠1 + ∠2 = 360° − 2(α + β) = 360° − 2(180° − ∠C) = 2∠C。 【外折】 条件：如图7，沿EF折叠后，顶点C落在四边形ABFE外部的点C′处。 图7　翻角外折（C′在四边形外部） 结论：∠2 − ∠1 = 2∠C。 证明：同样由轴对称，∠CEF = ∠C′EF，∠CFE = ∠C′FE。设∠CEF = α，∠CFE = β。 外折时点E处∠1 = 2α − 180°，点F处∠2 = 180° − 2β， ∴ ∠2 − ∠1 = (180° − 2β) − (2α − 180°) = 360° − 2(α + β) = 2∠C。 ★核心结论：折进去，两折角相加等于原角的两倍；折到外面，大折角减小折角等于原角的两倍。 三、模型运用·典例 典例1（飞镖基本）　市中心步行街上一家文创店把书签剪成凹四边形（飞镖形）ABCD，点C落在△ABD内部。如图，量得∠A = 80°，∠B = 28°，∠D = 22°，则凹角∠BCD的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 典例2（飞镖拓展1）　研学小组把一面三角小旗设计成飞镖形ABCD。如图，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，两线交于O。若∠A = 70°，凹角∠BCD = 110°，则∠BOD =（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 典例3（飞镖拓展2）　科技节上，同学用硬纸板拼出飞镖形装饰板ABCD。如图，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，两线交于O。若∠D = 75°，∠B = 35°，则∠O的度数为______。 典例4（风筝基本）　手工课上，小明把四根吸管拼成风筝形骨架。如图，∠BAC内部有一点O，分别延长AB、AC并连接BO、CO。若∠A = 55°，∠BOC = 75°，则∠1 + ∠2 =（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 典例5（风筝变形）　如图，风筝骨架的固定点O滑到了△ABC外侧。若∠1 = 25°，∠2 = 105°，∠A = 45°，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 典例6（翻角内折）　如图，把三角形纸片ABC沿EF折叠，点C落在四边形ABFE内部的C′处。若量得∠1 = 40°，∠2 = 60°，则∠C的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 典例7（翻角外折）　如图，把三角形纸片ABC沿EF折叠，点C落在四边形ABFE外部的C′处。若∠1 = 20°，∠C = 55°，则∠2的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° （综合典例·多模型叠加） 典例8（模型递推·加项型）　如图，在△ABC中，∠A = 60°，三角形内部有一点O，连接BO、CO，测得∠BOC = 140°。∠ABO与∠ACO的平分线交于点O₁，∠ABO₁与∠ACO₁的平分线交于点O₂。 （1）求∠BO₁C的度数； （2）求∠BO₂C的度数； （3）若按此规律继续平分，第n次得到点Oₙ，用含n的式子表示∠BOₙC。 解：＿＿＿＿＿＿＿＿ 典例9（飞镖应用·五角星）　如图，正五角星由一个正五边形的五条对角线相交而成，五个尖角依次记为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。 （1）利用三角形外角性质，求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E的度数； （2）求每一个尖角的度数； （3）求五角星内部正五边形每一个内角的度数。 解：＿＿＿＿＿＿＿＿ 典例10（折叠+角平分线）　如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°。将纸片沿过点A的一条直线折叠，使点C落在斜边AB上的点C′处，折痕AD交边BC于点D。 （1）求证：折痕AD平分∠CAB； （2）求∠C′DB的度数； （3）探究线段BD与CD的数量关系，并说明理由。 解：＿＿＿＿＿＿＿＿ 典例11（综合探究·风筝翻角）　如图，在△ABC中，∠A = 70°，点D在边AB上，点E在边AC上。将三角形纸片沿折痕DE折叠，使点A落在三角形内部的点P处（P不与各顶点重合），连接PD、PE。 （1）当∠BDP = 65°，∠CEP = 45°时，求∠DPE的度数； （2）当∠BDP = 65°，∠CEP = 25°时，求∠DPE的度数； （3）猜想∠DPE、∠BDP、∠CEP之间的数量关系，并说明理由； （4）当∠BDP = 125°，∠CEP = 35°时，求∠DPE的度数。 解：＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、模型拓展与易错总结 【模型拓展】 1．飞镖模型可以继续嵌套：两个小镖套在一起，结论仍是外角性质的连续使用； 2．风筝模型与飞镖模型可以互相转化——把风筝的两个外角补成平角，就回到内角和框架； 3．翻角模型可推广到四边形、多边形折叠，核心永远是"折叠前后对应角相等"。 【常见易错点】 1．飞镖结论漏角：误记成∠BCD = ∠B + ∠D，漏掉∠A。避坑：凹角=三个角之和，画图时数清四个顶点。 2．拓展2符号反：把(∠D−∠B)记成(∠D+∠B)。避坑：顶角与凹角平分线夹角是"差"不是"和"，先判断谁大谁小。 3．风筝内外不分：O在内用加法，O在外用减法。避坑：先看O在∠A内部还是外侧，再决定加或减。 4．翻角内外混淆：内折∠1+∠2=2∠C，外折∠2−∠1=2∠C。避坑：折叠后C′落在四边形内就加、落到外就减。 ★口诀：飞镖凹角三角和，双半夹角和之半；风筝内外看O点，内加外减不会乱；翻角先看落里外，内加外减两倍角。 五、变式训练 （一）选择题 1．校园自行车棚的支架构成△ABC，棚顶一根斜撑从内部点D处穿过，连接BD、CD。如图，测得∠A = 56°，∠ABD = 22°，∠ACD = 18°，则∠BDC的度数为（　　） A．88° B．92° C．96° D．100° 2．工人检修一块三角形警示牌时，在其内部取点D并连接BD、CD。如图，测得∠BDC = 128°，∠ABD = 26°，∠ACD = 22°，则顶角∠A为（　　） A．70° B．76° C．80° D．86° 3．一块飞镖形导视牌ABCD中，点C向内凹入，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，两线交于点O。如图，∠A = 80°，∠ABC = 24°，∠ADC = 28°，则∠BOD的度数为（　　） A．100° B．102° C．106° D．112° 4．风筝节上一只风筝的骨架如图，O在∠BAC内部，AB、AC分别延长至M、N，连接BO、CO。若∠1 = 108°，∠2 = 122°，∠A = 60°，则∠BOC的度数为（　　） A．160° B．165° C．170° D．175° 5．如图，三角形纸片ABC中，∠A = 70°，∠B = 58°。沿EF折叠，点C落在四边形ABFE内部的点C′处，则∠1 + ∠2的度数为（　　） A．96° B．100° C．104° D．108° 6．如图，三角形纸片ABC中，∠A = 68°，∠B = 60°。沿EF折叠，点C落在四边形ABFE外部的点C′处，若∠1 = 24°，则∠2的度数为（　　） A．120° B．124° C．128° D．132° 7．如图，把一张等腰三角形纸片ABC沿折痕DE折叠，顶角A落在三角形内部的点A′处。若∠A = 64°，则∠1 + ∠2的度数为（　　） A．118° B．124° C．128° D．132° 8．如图，一枚六角星饰品由两个三角形交叉而成（六个尖角未必相等）。则这六个尖角的度数之和为（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° （二）填空题 9．如图，一顶帐篷的支架构成△ABC，顶部撑杆交于内部点D。若∠A = 64°，∠ABD = 24°，∠ACD = 28°，则∠BDC = ______。 10．如图，风筝骨架中，O在∠BAC内部，若∠1 = 66°，∠2 = 72°，∠A = 62°，则∠BOC = ______。 11．如图，把三角形纸片ABC沿折痕DE折叠，顶角A落在三角形内部的点A′处（折痕不与底边平行）。若∠A = 68°，则∠1 + ∠2 = ______。 12．如图，一张细长的三角形纸片沿EF外折，点C落在四边形ABFE外部的点C′处。若∠C = 56°，∠1 = 28°，则∠2 = ______。 13．如图，飞镖形装饰板ABCD中，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，两线交于点O（O在底边下方）。若∠D = 44°，∠B = 18°，则∠O = ______。 14．如图，一块飞镖形零件的顶角∠A = 90°，凹角∠BCD = 140°，且∠ABC = ∠ADC，则∠ABC = ______。 （三）解答题 15．某工厂生产一种飞镖形零件ABCD，出厂标准要求凹角∠BCD = 145°。质检时如图，测得顶角∠A = 90°，∠B = 32°，∠D = 21°。 （1）请判定该零件是否合格，并说明理由； （2）若要使其合格，在∠A、∠D保持不变的情况下，∠B应调整为多少度？ 解：＿＿＿＿＿＿＿＿ 16．如图，一只横向放飞的风筝骨架中，AB = AC，点O在对称轴上，AB、AC分别延长至M、N，连接BO、CO。 （1）求证：∠1 + ∠2 = ∠A + ∠BOC； （2）若∠A = 64°，∠BOC = 168°，求∠1的度数。 解：＿＿＿＿＿＿＿＿ 17．如图，把三角形纸片ABC沿折痕DE折叠，顶角A落在三角形内部的点A′处。 （1）求证：∠1 + ∠2 = 2∠A； （2）若∠A = 66°，∠1 = 60°，求∠2的度数。 解：＿＿＿＿＿＿＿＿ 18．如图，把三角形纸片ABC沿折痕DE折叠，使底角B落在三角形外部的点B′处（D在AB上，E在BC上）。 （1）求证：∠2 − ∠1 = 2∠B； （2）若∠B = 60°，∠1 = 15°，求∠2的度数。 解：＿＿＿＿＿＿＿＿ 19．如图，飞镖形ABCD中，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，两线交于点O。 （1）求证：∠BOD = (∠A + ∠BCD)； （2）若∠A = 68°，∠ABC = 26°，∠ADC = 30°，求∠BOD的度数。 解：＿＿＿＿＿＿＿＿ 20．如图，公路AB与CD平行（AB∥CD），两公路之间有一条折线B—E—D，点B在AB上、点D在CD上。 （1）求证：∠BED = ∠ABE + ∠CDE； （2）若∠ABE = 38°，∠CDE = 42°，求∠BED的度数； （3）若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，两线交于点F（F在E左侧），求∠BFD的度数。 解：＿＿＿＿＿＿＿＿ （四）培优压轴题 21．如图，正六角星（大卫之星）由两个全等的正三角形交叉重叠而成，六个尖角依次记为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F，交叉部分围成一个正六边形。 （1）求六个尖角的度数之和； （2）求每一个尖角的度数； （3）求内部正六边形每一个内角的度数。 解：＿＿＿＿＿＿＿＿ 22．如图，把一张长方形纸条ABCD沿折痕EF折叠，使点D落在边BC上的点D′处，点C落在点C′处。 （1）若∠DEF = α，用含α的式子表示∠DED′； （2）用含α的式子表示∠AED′； （3）当α = 65°时，求∠AED′的度数。 解：＿＿＿＿＿＿＿＿ 23．如图，等腰三角形纸片ABC中，AB = AC，∠A = 70°。沿折痕DE折叠，使顶角A落在底边BC上的点A′处（D在AB上，E在AC上）。 （1）求证：∠BDA′ + ∠CEA′ = 2∠A； （2）当A′不是BC中点时，△BDA′与△CEA′的周长之和与AB + AC + BC有怎样的数量关系？请说明理由； （3）若A′恰好是BC的中点，此时DE与BC有怎样的位置关系？D、E分别是两腰的什么特殊点？ 解：＿＿＿＿＿＿＿＿ 24．如图，△ABC内部有两个依次向内的点D、E，连接BD、CD、BE、CE。已知∠A = 62°，∠ABD = 16°，∠ACD = 14°，∠DBE = 18°，∠DCE = 20°。 （1）求∠BDC的度数； （2）求∠BEC的度数； （3）直接写出∠BEC、∠A、∠ABD、∠ACD、∠DBE、∠DCE之间的数量关系。 解：＿＿＿＿＿＿＿＿ 学科网（北京）股份有限公司 $