第6讲 全等三角形的性质 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册

第6讲 全等三角形的性质 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解全等三角形的概念，能正确找出对应边、对应角 · · 掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等 · · 能利用全等三角形性质求边长、角度、周长 · · 能解决动点、旋转、折叠等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形，记作△ABC≌△DEF 重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角 记全等时对应顶点字母要写在对应位置 对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边 概念辨析例题：△ABC≌△FDE，指出对应边和对应角 解析：按书写顺序找对应：A对应F，B对应D，C对应E ☆ 2.全等三角形的性质 全等三角形对应边相等 全等三角形对应角相等 全等三角形周长相等、面积相等 全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等 概念辨析例题：△ABC≌△DEF，∠A=40°，∠F=60°，求∠B 解析：对应角∠A=∠D=40°，∠C=∠F=60°，∠B=180-40-60=80° ☆ 3.利用性质求边长与角度 角度计算：利用对应角相等+三角形内角和180° 边长计算：利用对应边相等+线段和差 周长计算：△CDP与△BEP周长和=DC+DE+BC+BE 多个全等三角形共顶点时，周角360°找角度关系 概念辨析例题：△ABC≌△DBE，∠ABE=162°，∠CBD=36°，求∠CBE 解析：∠ABC=∠DBE，故∠ABD=∠CBE=(162-36)/2=63° ☆ 4.动点与旋转综合 动点问题：用t表示线段长，列方程求解 分类讨论：点在不同位置时对应关系不同 旋转：旋转角相等，对应边/角相等 折叠：折痕为对称轴，对应边/角相等 概念辨析例题：P从B向A以1m/s运动，Q从B向D以2m/s运动，何时△CAP≌△PBQ？ 解析：BP=t,BQ=2t,AP=12-t；由AC=BP=4得t=4，且AP=8=BQ=8 📋 知识总结表 核心概念 性质/方法 注意事项 全等三角形 能完全重合 对应顶点字母位置对应 对应边 相等 对应角所对的边 对应角 相等 对应边所对的角 周长面积 相等 反之不成立 对应线段 高/中线/角平分线相等 需对应边上 动点问题 用t列方程 注意分类讨论 ⚠️ 核心考点 【考点1】全等三角形的性质（第1-9题） · · 找对应边/角：按书写顺序 · · 角度计算用内角和180° · · 多个全等共顶点用周角360° · · 对应边相等列方程 1．（2026•成都）如图，已知△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∠E＝62°，则∠EDF的度数为（　　） A．40° B．62° C．78° D．102° 【分析】根据全等三角形的对应角相等得∠F＝∠A＝40°，然后在△FDE中，由三角形内角和定理可得∠EDF＝78°，据此可得出答案． 【解答】解：∵△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∴∠F＝∠A＝40°， 在△FDE中，∠E＝62°，∠F＝40°， ∴∠EDF＝180°﹣（∠E+∠F）＝180°﹣（62°+40°）＝78°． 故答案为：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握查了全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 2．（2025秋•西城区校级期中）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于（　　） A．120° B．135° C．150° D．180° 【分析】根据△ABC≌△DEF≌△PHG得∠B＝∠DEF，∠A＝∠PGH，再根据∠1＝180°﹣∠PGH﹣∠EGC，∠2＝180°﹣∠DEF﹣∠CEG，∠3＝180°﹣∠ACB﹣∠GCE得∠1+∠2+∠3＝540°﹣（∠PGH+∠DEF+∠ACB）﹣（∠EGC+∠CEG+∠GCE）在△ABC中，根据三角形内角和定理得∠A+∠B+∠ACB＝180°，则∠PGH+∠DEF+∠ACB＝180°，在△ECG中，根据三角形内角和定理得∠EGC+∠CEG+∠GCE＝180°，由此即可得出∠1+∠2+∠3的度数． 【解答】解：如图所示： ∵△ABC≌△DEF≌△PHG， ∴∠B＝∠DEF，∠A＝∠PGH， ∵∠1＝180°﹣∠PGH﹣∠EGC，∠2＝180°﹣∠DEF﹣∠CEG，∠3＝180°﹣∠ACB﹣∠GCE， ∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣（∠PGH+∠DEF+∠ACB）﹣（∠EGC+∠CEG+∠GCE） 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠PGH+∠DEF+∠ACB＝180°， 在△ECG中，∠EGC+∠CEG+∠GCE＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣80°﹣180°＝180°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，准确识图，熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 3．（2026•镜湖区校级一模）如图，△ABC≌△DEF，点A、E、B、D在同一直线上，若∠A＝45°，∠F＝65°，则∠CBE的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠F＝65°，再根据三角形内角和定理即可求出∠CBE的度数． 【解答】解：△ABC≌△DEF，点A、E、B、D在同一直线上， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠ACB＝∠F＝65°， ∵∠A＝45°， ∴∠CBE＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝70°， 故选：B． 【点评】此题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确进行计算是解题关键． 4．（2026•新市区二模）如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 【分析】先根据全等三角形性质求出∠DEC，然后根据等边对等角求出∠ADC，再利用平角性质求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°， ∴∠EDC＝∠A＝70°，CD＝AC， ∴∠ADC＝∠A＝70°， ∴∠BDE＝180°﹣∠EDC﹣∠CDA＝40°． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等是解题的关键． 5．（2026春•龙岗区期中）如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝131°，则∠α的度数为（　　） A．89° B．88° C．98° D．109° 【分析】由△ABC≌△ABE，得∠BAE＝∠1＝131°，则∠CAE＝360°﹣∠BAE﹣∠1＝98°，由△ABE≌△ADC，得∠E＝∠ACD，所以∠CFE＝∠α+∠E＝∠α+∠ACD，又因为∠CFE＝∠CAE+∠ACD，所以∠α+∠ACD＝∠CAE+∠ACD，则∠α＝∠CAE＝98°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC≌△ABE， ∴∠BAE＝∠1＝131°， ∴∠CAE＝360°﹣∠BAE﹣∠1＝360°﹣131°﹣131°＝98°， ∵△ABE≌△ADC， ∴∠E＝∠ACD， ∴∠CFE＝∠α+∠E＝∠α+∠ACD， ∵∠CFE＝∠CAE+∠ACD， ∴∠α+∠ACD＝∠CAE+∠ACD， ∴∠α＝∠CAE＝98°， 故选：C． 【点评】此题重点考查全等三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出∠CAE＝98°且∠α＝∠CAE是解题的关键． 6．（2026春•浦东新区期中）已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边长度为4、x+y和2x，△DEF的三边长度为6、x、x+2y，则△ABC的周长是　18　 ． 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 【解答】解：根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长如下： 情况1：列方程组，解得， 此时△ABC的三边长为4，x+y＝6，2x＝8，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由2x＝6得x＝3，与x＝4矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由x＝2x得x＝0，边长不能为0，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由x＝x+y得y＝0，则x+2y＝x＝4，此时2x＝2×4＝8，这与2x＝6矛盾，舍去， 故△ABC的周长为4+6+8＝18． 故答案为：18． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 7．（2025秋•裕安区校级期末）如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝125°，则∠α的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠1，∠ACD＝∠E，然后根据周角等于360°求出∠2，再根据三角形的内角和定理求出∠α＝∠2，从而得解． 【解答】解：如图， ∵△ABC≌△ABE≌△ADC，∠1＝125°，∴∠BAE＝∠1＝125°，∠ACD＝∠E（全等三角形对应角相等），∴∠2＝360°﹣∠1﹣∠BAE＝360°﹣125°﹣125°＝110°，∴∠DFE＝180°﹣∠α﹣∠E，∠AFC＝180°﹣∠2﹣∠ACD，∵∠DFE＝∠AFC，∴180°﹣∠α﹣∠E＝180°﹣∠2﹣∠ACD，∴∠α＝∠2＝110°， ∴∠α的度数为110°，故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角、邻补角，找出对应角是解题的关键． 8．（2025秋•佳县期中）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，∠D＝30°，∠EBD＝65°，则∠ABC 的度数为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 【分析】在△DEB中，由三角形内角和定理得∠DEB＝85°，然后根据全等三角形的对应角相等得∠ABC＝∠DEB＝85°，由此即可得出答案． 【解答】解：在△DEB中，∠D＝30°，∠EBD＝65°， ∴∠DEB＝180°﹣（∠D+∠EBD）＝85°， ∵△ABC≌△DEB， ∴∠ABC＝∠DEB＝85°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 9．（2025秋•宁乡市期末）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　） A．50° B．58° C．60° D．72° 【分析】由全等三角形的性质可得第二个图中∠1的对边为a，再由第一个图中边a的对角为72°，即可得出∠1． 【解答】解：∵图中的两个三角形全等， ∴由全等三角形的性质得，第二个图中∠1的对边为a（全等三角形对应角相等）， ∵第一个图中边a的对角为72°， ∴∠1＝72°（全等三角形对应角相等）， ∴选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质定理的应用． 【考点2】边长与线段计算（第10-18题） · · 利用对应边相等+线段和差 · · BE=BD+AD+AE，且BD=AE · · 动点问题用t表示线段 · · 分类讨论对应关系 10．（2026•成都模拟）如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝50°，则∠ADE的度数为　65°　 ． 【分析】由全等三角形的性质推出∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，得到∠BAD＝∠EAC＝50°，由等腰三角形的性质推出∠B＝∠ADB＝65°，于是得到∠ADE的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD， ∴∠BAD＝∠EAC＝50°， ∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB（180°﹣50°）＝65°， ∠ADE＝∠B＝65°． 故对答案为：65°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． 11．（2025秋•乳山市期中）如图，△ABE≌△CDF，∠C＝30°，∠D＝100°，则∠BEA＝ 　50　 °． 【分析】由△ABE≌△CDF可得∠A＝∠C＝30°，∠B＝∠D＝100°，在△ABE中，由三角形内角和定理可得∠BEA＝50°． 【解答】解：∵△ABE≌△CDF，∠C＝30°，∠D＝100°， ∴∠A＝∠C＝30°，∠B＝∠D＝100°， 在△ABE中，∠A+∠B+∠BEA＝180°， ∴∠BEA＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（30°+100°）＝50°． 故答案为：50． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 12．（2024秋•邗江区月考）如图，AB＝12米，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4米，P点从点B向点A运动，每分钟走1米，Q点从B向D运动，每分钟走2米，若P、Q两点同时开始出发，运动 　4　 分钟后△CAP≌△PBQ． 【分析】设t分钟后△CAP≌△PBQ，依题意得：BP＝t，BQ＝2t，∠A＝∠B＝90°，AP＝12﹣t，根据全等三角形的性质得AC＝BP，AP＝BQ，由此解出t即可． 【解答】解：设t分钟后△CAP≌△PBQ， 依题意得：BP＝t，BQ＝2t，∠A＝∠B＝90°， ∴AP＝AB﹣BP＝12﹣t， ∵△CAP≌△PBQ， ∴AC＝BP，AP＝BQ， 由AC＝BP，得：t＝4， 由AP＝BQ，得：12﹣t＝2t，解得：t＝4， ∴4分钟后△CAP≌△PBQ． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，准确识图，正确理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键． 13．（2026秋•江宁区月考）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中： ①∠ABF＝45°； ②△AFG≌△BFE； ③AG+CE＝AC； ④BC＝BG+2GF． 错误的是　④　 ．（写出所有错误结论的序号） 【分析】根据BF⊥AE，AF＝BF，得出∠ABF＝∠BAF＝45°，可判断①；根据AAS证明△AFG≌△BFE，可判断②；根据全等三角形的性质得出AG＝BE，EF＝GF，根据AE平分∠CAD，得出∠CAE＝∠DAE＝∠EBF，证出AC＝BC，即可得AG+CE＝BE+CE＝BC＝AC，可判断③；得出BG+2GF＝AE，即可判断④． 【解答】解：∵BF⊥AE，AF＝BF， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴，①正确； ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADE＝∠ADB＝90°， ∴∠EBF＝90°﹣∠BEF＝∠GAF， 在△AFG与△BFE中， ， ∴△AFG≌△BFE（AAS），②正确； ∴AG＝BE，EF＝GF， ∴AG+CE＝BE+CE＝BC， ∵AE平分∠CAD， ∴∠CAE＝∠DAE， ∴∠CAE＝∠DAE＝∠EBF， ∴∠ABF+∠EBF＝∠BAF+∠CAE， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴AC＝BC， ∴AG+CE＝BE+CE＝BC＝AC，③正确； ∵BG+2GF＝BG+GF+GF＝BF+EF＝AF+EF＝AE， ∵∠AEC＞∠BFE， ∴∠AEC＞90°， ∴∠AEC＞∠C， ∴AE＜AC， ∴AE＜BC， ∴BC＞BG+2GF，④错误． 故答案为：④． 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，关键是根据AAS证明△AFG≌△BFE解答． 14．（2026•泗洪县模拟）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝30°，∠ACB＝40°，则∠DCE的度数为 　110°　 ． 【分析】由全等三角形的对应角相等推出∠E＝∠ACB＝40°，由三角形内角和定理即可求出∠DCE的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴∠E＝∠ACB＝40°， ∵∠D＝30°， ∴∠DCE＝180°﹣∠D﹣∠E＝110°． 故答案为：110°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 15．（2025秋•新吴区校级月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，点P以1cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以2cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为　1或或　 ． 【分析】分三种情况讨论，一是当点P在AC上，点Q在开始由点E向点C运动，则PC＝5t，CQ＝6﹣2t，由全等三角形的性质得PC＝CQ，所以5﹣t＝6﹣2t；二是当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，则PC＝5t，CQ＝2t﹣6，由PC＝CQ得5﹣t＝2t﹣6；当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，则CP＝t﹣5，CQ＝18﹣2t，由CP＝CQ，得t﹣5＝18﹣2t，解方程分别求出相应的t值即得到问题的答案． 【解答】解：如图1，点P在AC上， ∵PM⊥BD于点M，QN⊥BD于点N，∴∠PMC＝∠CNQ＝90°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠CPM+∠PCM＝90°，∠QCN+∠PCM＝90°， ∴∠CPM＝∠QCN， ∴当△CPM≌△QCN时，则PC＝CQ， 当点P在AC上，点Q在开始由点E向点C运动，则PC＝5t，CQ＝6﹣2t， ∵PC＝CQ， ∴5﹣t＝6﹣2t， 解得t＝1； 当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，则PC＝5t，CQ＝2t﹣6， ∵PC＝CQ ∴5﹣t＝2t﹣6， 解得t； 如图2，点P在CE上， ∵∠CMP＝∠CNQ＝90°，∠PCM＝∠QCN， ∴当△CPM≌△QCN时，则CP＝CQ， 当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，则CP＝t﹣5，CQ＝18﹣2t， ∵CP＝CQ， ∴t﹣5＝18﹣2t， 解得t， 综上所述，t的值为1或或， 故答案为：1或或． 【点评】此题重点考查一元一次方程的应用、全等三角形的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，根据全等三角形的对应边相等正确地列出方程是解题的关键． 16．（2025秋•榆林期末）如图，△DBE≌△ABC，点A在DE上，DE∥BC，若∠E＝41°，则∠ABD的度数为　41°　 ． 【分析】利用全等三角形的性质得出∠E＝∠C＝41°，∠DBE＝∠ABC，再利用平行线的性质得出∠E＝∠EBC＝41°，根据角度的等量代换即可得出∠ABD＝41°． 【解答】解：∵△DBE≌△ABC，∠E＝41°， ∴∠E＝∠C＝41°，∠DBE＝∠ABC（全等三角形对应角相等）， 又∵DE∥BC， ∴∠E＝∠EBC＝41°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠DBA+∠ABE＝∠ABE+∠EBC， ∴∠ABD＝∠EBC， ∴∠ABD＝41°（等量代换）， 故答案为：41°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质及平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 17．（2025•成都模拟）如图，△ABC≌△DAE，点A，C，E在同一条直线上，AD交BC于点F，BC∥DE．若AC＝5，CF＝3，则BF的长为 　　 ． 【分析】根据全等三角形的性质得DE＝AC＝5，BC＝AE，根据BC∥DE得△ACF∽△AED，根据相似三角形的性质得AE，所以BC＝AE，即可求出答案． 【解答】解：∵△ABC≌△DAE，AC＝5， ∴DE＝AC＝5，BC＝AE， ∵BC∥DE， ∴△ACF∽△AED， ∴， ∴， ∴AE， ∴BC＝AE， ∴BF＝BC﹣CF3． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质和相似三角形的判定与性质是关键． 18．（2025秋•平房区校级期中）如图，△ABC≌△DEF，BE＝10，AD＝4，AB＝ 　7　 ． 【分析】根据全等三角形性质得AB＝ED，进而得BD＝AE，则BE＝BD+AD+AE＝2BD+AD，继而得10＝2BD+4，由此得BD＝3，然后根据AB＝AD+BD即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝ED， ∴AB﹣AD＝ED﹣AD， ∴BD＝AE， ∴BE＝BD+AD+AE＝2BD+AD， ∵BE＝10，AD＝4， ∴10＝2BD+4， ∴BD＝3， ∴AB＝AD+BD＝4+3＝7， 故答案为：7． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，线段的计算是解决问题的关键． 【考点3】解答题与周长面积（第19-22题） · · 周长和=DC+DE+BC+BE（代换公共边） · · 角度用外角=不相邻两内角和 · · 全等三角形对应边相等代换 · · 注意对应关系不要弄反 19．（2026春•镇平县期末）如图，已知△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，∠ABE＝162°，∠CBD＝36°． （1）求∠CBE的度数； （2）若AD＝DC＝5，BC＝8，求△CDP与△BEP的周长之和． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DBE，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出DC、DE、BC、BE，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ABE＝162°，∠CBD＝36°， ∴∠ABD+∠CBE＝126°． ∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABC﹣∠CBD＝∠DBE﹣∠CBD， 即∠ABD＝∠CBE， ∴． （2）∵△ABC≌△DBE， ∴DE＝AC＝AD+DC＝10，BE＝BC＝8， ∴△CDP与△BEP的周长和＝DC+DP+PC+BP+PE+BE， ＝DC+DE+BC+BE ＝5+10+8+8 ＝31． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． 20．（2025春•同步）如图，已知△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，∠ABE＝162°，∠CBD＝30°． （1）求∠CBE的度数； （2）若AD＝DC＝5，BC＝8，求△CDP与△BEP的周长之和． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DBE，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出DC、DE、BC、BE，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ABE＝162°，∠CBD＝30°， ∴∠ABD+∠CBE＝162°﹣30°＝132°， ∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABC﹣∠CBD＝∠DBE﹣∠CBD， 即∠ABD＝∠CBE， ∴∠CBE132°＝66°． （2）∵△ABC≌△DBE，AD＝DC＝5，BC＝8， ∴DE＝AC＝AD+DC＝10，BE＝BC＝8， ∴△CDP与△BEP的周长和＝DC+DP+PC+BP+PE+BE， ＝DC+DE+BC+BE ＝5+10+8+8 ＝31． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． 21．（2023秋•鹿城区期中）如图，已知△AEF≌△ABC，点E在BC边上，EF与AC交于点 D．若∠B＝66°，∠C＝30°，求∠CDF的度数． 【分析】根据全等三角形的性质得到AE＝AB，∠AEF＝∠B＝66°，求得∠AEB＝∠B＝66°，根据三角形外角的性质得到∠CDF＝∠DEC+∠C＝48°+30°＝78°． 【解答】解：∵△AEF≌△ABC， ∴AE＝AB，∠AEF＝∠B＝66°， ∵点E在BC边上， ∴∠AEB＝∠B＝66°， ∴∠DEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣66°﹣66°＝48°， 又∵∠C＝30°，且∠CDF是△CDE的外角， ∴∠CDF＝∠DEC+∠C＝48°+30°＝78°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 22．如图，△AFB≌△AED，∠F＝60°，∠B＝26°，求∠BOD的度数． 【分析】先根据三角形外角性质得∠OAE＝∠F+∠B＝86°，再根据全等三角形性质得∠F＝∠E＝60°，在△OAE中，根据三角形内角和定理得∠AOE＝34°，然后再根据对顶角相等即可得出∠BOD的度数． 【解答】解：∵∠OAE是△AFB的外角，∠F＝60°，∠B＝26°， ∴∠OAE＝∠F+∠B＝86°， ∵△AFB≌△AED， ∴∠F＝∠E＝60°， 在△OAE中，∠AOE＝180°﹣（∠OAE+∠E）＝180°﹣（86°+60°）＝34°， ∴∠BOD＝∠AOE＝34°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 【考点4】创新及压轴题（第23-27题） · · 中点倍长中线构造全等 · · 旋转问题找旋转角 · · 等腰三角形等边对等角 · · 综合题分小问逐步推导 23．（2025秋•广阳区期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，∠ADB＝∠ABC，BE是△ABD边AD上的高，延长BE交AC于点F，且△ADC≌△BFC，设∠ABC＝α，∠ACB＝β． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求∠ABF的度数； （3）判断α与β之间的数量关系，并说明理由．（若点B在线段AF的垂直平分线上，请直接写出β的度数．） 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AC＝BC，从而可判断△ABC为等腰三角形； （2）先利用互余得到∠DBE＝90°﹣α，所以∠ABF＝∠ABC﹣∠DBE＝2α﹣90°； （3）先由CA＝CB得到∠BAC＝∠ABC＝α，再根据三角形内角和定理得到2α+β＝180°；当点B在线段AF的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BF，所以∠BFA＝∠BAF＝α，利用三角形内角和定理得到2α﹣90°+α+α＝180°，则可得到2α＝135°，然后利用α与β得关系可计算出此时∠β的度数． 【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形． 理由如下：∵△ADC≌△BFC， ∴AC＝BC， ∴△ABC为等腰三角形． （2）∵BE是△ABD边AD上的高， ∴∠BED＝90°， ∵∠ADB＝∠ABC＝α， ∴∠DBE＝90°﹣α， ∴∠ABF＝∠ABC﹣∠DBE＝α﹣（90°﹣α）＝2α﹣90°； （3）2α+β＝180°． 理由如下：∵CA＝CB， ∴∠BAC＝∠ABC＝α， ∵∠ABC+∠BAC+ACB＝180°， ∴α+α+β＝180°， 即2α+β＝180°； 当点B在线段AF的垂直平分线上，则BA＝BF， ∴∠BFA＝∠BAF＝α， 在△ABF中，2α﹣90°+α+α＝180°， ∴2α＝135°， ∴135°+β＝180°， ∴β＝45°， 即点B在线段AF的垂直平分线上，此时β的度数为45°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．也考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质． 24．（2025秋•绵阳期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，求证：AD＝A′D′． 【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，再由三角形中线的定义推出BD＝B′D′，则可证明△ABD≌△A′B′D′（SAS），进而证明AD＝A′D′． 【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠B＝∠B′，AB＝A′B′，BC＝B′C′， ∵AD、A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的对应边上的中线， ∴B′D′B′C′，BD， ∴BD＝B′D′， ∴△ABD≌△A′B′D′（SAS）， ∴AD＝A′D′（全等三角形的对应边相等）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，掌握三角形中线的定义是解题的关键． 25．（2024春•香坊区期末）如图，在△ABC中，AD为高，AC＝12，点E为AC上的一点，AE＝2CE，连接BE交AD于点O，△BDO≌△ADC（∠DAC和∠EBD是对应角）． （1）求∠BEC的度数； （2）有一动点Q从点A出发沿线段AC以每秒4个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为18？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意可知∠ODB＝90°，再由△BDO≌△ADC，推出∠OBD＝∠DAC，结合∠BOD＝∠AOE即可得到∠BEC＝∠ODB＝90°； （2）由△BDO≌△ADC，AE＝2CE，可推出BO＝AC＝12，AE＝8，CE＝4，由（1）可知，∠BEQ＝90°，即△BOQ以BO为底时高为QE，从而推出当0≤t＜2时，Q在线段AE上，此时8﹣4t，则，解之得到t；当 2≤t≤3时，Q在线段EC上，此时QE＝4t﹣8，则，解之得到t． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，AD为高， ∴∠ODB＝90°， 又∵△BDO≌△ADC， ∴∠OBD＝∠DAC， ∵∠BOD＝∠AOE， ∴∠BEA＝∠ODB＝90°， ∴∠BEC＝180°﹣∠BEA＝180°﹣90°＝90°； （2）∵△BDO≌△ADC，AC＝12， ∴BO＝AC＝12， ∵AE＝2CE， ∴，， 由（1）可知，∠BEC＝90°，且Q点从点A出发，在AC上以4个单位的速度运动，那么AQ＝4t， ∴∠BEQ＝90°，即△BOQ以BO为底时高为QE，如图所示， 当0≤t＜2时，Q在线段AE上，则QE＝AE﹣AQ＝8﹣4t， ∴， 解得：， 当 2≤t≤3时，Q在线段EC上，则QE＝AQ﹣AE＝4t﹣8， ∴， 解得：． 综上所述，存在t的值为或 ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，用t表示出三角形的高是解题的关键． 26．（2023秋•淄川区期末）完成下列各题： 如图，已知△ABC≌△AEF，∠EAB＝25°，∠F＝57°． （1）请说明：∠EAB＝∠CAF； （2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换； （3）求∠AMB的度数． 【分析】（1）由全等三角形的性质可得∠BAC＝∠EAF，根据等角加同角相等即可得到∠EAB＝∠FAC； （2）根据旋转的性质即可求解； （3）由（1）知∠EAB＝∠FAC＝25°，由全等三角形的性质可得∠C＝∠F＝57°，根据三角形外角性质可得∠AMB＝∠C+∠FAC，代入计算即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△AEF， ∴∠BAC＝∠EAF， ∴∠EAB+∠BAF＝∠FAC+∠BAF， ∴∠EAB＝∠CAF； （2）∵∠EAB＝25°，△ABC≌△AEF， ∴△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF； （3）由（1）知，∠EAB＝∠FAC＝25°， ∵△ABC≌△AEF， ∴∠C＝∠F＝57°， ∴∠AMB＝∠C+∠FAC＝57°+25°＝82°． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质、旋转的性质、三角形外角性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 27．（2024秋•许昌期末）已知，平面内线段AB，点C，M，N，满足：∠CAM+∠CBN＝180°，AC＝AM，BC＝BN，连接MN，D为MN的中点，连接AD、BD． （1）如图1，当点C在线段AB上时，AD与BD的位置关系如何？请说明理由． 小明仔细思考后得出结论：AD⊥BD．思路是：延长BD交AM延长线于点H，易证△DMH≌△DNB，可得DH＝BD，MH＝BN，即D为BH中点，于是…，请你帮小明写出完整的推理过程． （2）如图2，当点C在线段AB上方时，若AB＝2BD，求∠MAC的度数． 【分析】（1）延长BD，交AM的延长线于点H，先证明AB∥BN得∠H＝∠DBN，∠HMD＝∠N，进而可依据“AAS”判定△DHM和△DBN全等，则DH＝BD，MH＝BN，继而得AH＝AB，然后根据等腰三角形的性质可得出AD⊥BD； （2）延长BD到H，使DH＝DB，连接AH，MH，先证明△DHM和△DBN全等得∠HMD＝∠N，MH＝BN，进而得MH＝BC，再利用四边形的内角和定理及三角形的内角和定理可证明∠AMH＝∠C，继而可依据“SAS”判定△AMH和△ACB全等，则AH＝AB，∠MAH＝∠CAB，进而得∠MAC＝∠BAH，由此得AH＝AB＝HB，则△ABH是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得出∠BAH＝∠MAC＝60°． 【解答】（1）证明：延长BD，交AM的延长线于点H，如图1所示： ∵∠CAM+∠CBN＝180°， ∴AB∥BN， ∴∠H＝∠DBN，∠HMD＝∠N， ∵D是MN的中点， ∴DM＝DN， 在△DHM和△DBN中 ， ∴△DHM≌△DBN（AAS）， ∴DH＝BD，MH＝BN， ∴点D是BH的中点， ∵BC＝BN， ∴BC＝MH， ∴AM+MH＝AC+BC， ∴AH＝AB， ∵点D是BH的中点， ∴AD⊥BD； （2）解：延长BD到H，使DH＝DB，连接AH，MH，如图2所示： ∵D为MN的中点， ∴DM＝DN， 在△DHM和△DBN中， ， ∴△DHM≌△DBN（SAS）， ∴∠HMD＝∠N，MH＝BN， ∵BC＝BN， ∴MH＝BC， ∵在四边形ABNM中，∠AMN+∠N+∠NBA+∠BAM＝360°， 又∵∠N＝∠HMD，∠CAM+∠CBN＝180°， ∴∠AMH+∠CAB+∠CBA＝180°， ∵∠C+∠CAB+∠CBA＝180°， ∴∠AMH＝∠C， 在△AMH和△ACB中， ， ∴△AMH≌△ACB（SAS）， ∴AH＝AB，∠MAH＝∠CAB， ∴∠MAH+∠HAC＝∠CAB+∠HAC，即∠MAC＝∠BAH， ∵BD＝HD， ∴HB＝2BD， ∵AB＝2BD， ∴AB＝HB， 又∵AH＝AB， ∴AH＝AB＝HB， ∴△ABH是等边三角形． ∴∠BAH＝60°， ∴∠MAC＝60°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，四边形内角和，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的难点． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•盐城期末）如图，点B，E在AD上，△ABC≌△DEF，若AD＝8，BE＝5，则AE的长是　1.5　 ． 【分析】由△ABC≌△DEF得AB＝DE，进而可得AE＝BD，利用线段的和差即可求解． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE， ∴AB﹣BE＝DE﹣BE， ∴AE＝BD， ∵AD＝8，BE＝5， ∴AE+BD＝8﹣5＝3， ∴AE＝1.5． 故答案为：1.5． 【点评】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 【练习 2】（2025秋•桃源县期末）已知图中两个三角形全等，则∠1的度数是　48°　 ． 【分析】由三角形内角和及全等的性质可得∠1＝∠2＝180°﹣60°﹣72°，即可求解． 【解答】解：已知图中的两个三角形全等， ∴∠1＝∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°， 所以∠1的度数为48°． 故答案为：48°． 【点评】本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【练习 3】（2024秋•白云区校级月考）如图，△AEB≌△DFC，AE⊥CB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且AE＝DF，若∠C＝28°，则∠A＝ 　62°　 ． 【分析】根据AE⊥CB，DF⊥BC得△AEB和△DFC都是直角三角形，在Rt△DFC中，可求出∠D＝62°，再根据AE＝DF，△AEB≌△DFC得∠A＝∠D＝62°，由此即可得出答案． 【解答】解：∵AE⊥CB，DF⊥BC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴△AEB和△DFC都是直角三角形， 在Rt△DFC中，∠C＝28°， ∴∠D＝90°﹣∠C＝62°， ∵AE＝DF，△AEB≌△DFC， ∴∠A＝∠D＝62°． 故答案为：62°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握了全等三角形的性质，直角三角形的性质是解决问题的关键． 【练习 4】（2025春•上海期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 　17　 ． 【分析】根据全等三角形的对应边相等可得x＝3，y＝7，根据三角形的三边关系求出等腰三角形的三边，即可求得答案． 【解答】解：∵三角形的三边长为x，5，7的三角形，与另一个三边长为3，y，5的三角形全等， ∴x＝3，y＝7， 当以x为腰时， ∴三角形的三边为3，3，7， ∵3+3＜7， ∴不能够组成三角形， 当以y为腰时， ∴三角形的三边为7，7，3， ∵3+7＞7， ∴能组成三角形， ∴三角形的周长＝3+7+7＝17， 故答案为：17． 【点评】此题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟记性质准确找出对应边得到x、y的值是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 全等三角形对应边相等、对应角相等 · · 记全等时对应顶点字母位置要对齐 · · 角度计算用内角和180°、外角定理 · · 周长问题善用代换，公共边消去 · · 动点问题分类讨论对应关系 【作业 1】（2024秋•太和县期末）如图，△ABC≌△DEF，∠F＝60°，∠A＝80°，则∠B的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．45° 【分析】根据全等三角形性质得∠ACB＝∠F＝60°，然后根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠F＝60°，∠A＝80°， ∴∠ACB＝∠F＝60°， 在△ABC中，∠B＝180°﹣（∠A+∠ACB）＝40°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 【作业 2】（2025秋•灵山县期中）如图，△ABE≌△ACD，点D，E分别在边AB，AC上，若AD＝3，AC＝5，CD＝4，则AE的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据全等三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵△ABE≌△ACD，AD＝3， ∴AE＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等． 【作业 3】（2025秋•大英县期末）如图，CA⊥AB于点A，AB＝10，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则t的值为 　3或7或10　 秒． 【分析】根据运动过程和三角形全等，分类讨论，确定点E的位置，从而可得运动路程，除以运动速度，即可得运动时间． 【解答】解：根据题意，进行分类讨论如下： 当点E在线段AB上，AC＝BE时，△BAC≌△DBE， ∴BE＝AC， ∵AC＝4， ∴BE＝4， ∵AB＝10， ∴AE＝10﹣4＝6， ∵点E的运动速度为2个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点E在AB延长线上，AC＝BE时，△BAC≌△DBE， ∴BE＝AC， ∵AC＝4， ∴BE＝4， ∵AB＝10， ∴AE＝10+4＝14， ∵点E的运动速度为2个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点E在AB延长线上，AB＝BE时，△BAC≌△EBD， ∴BE＝AB， ∵AB＝10， ∴AE＝10×2＝20， ∵点E的运动速度为2个单位/秒， ∴运动时间 t＝202＝10 （秒） ∴t的值为3或7或10， 故答案为：3或7或10． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【作业 4】（2026春•垦利区期末）如图，△ABC≌△DEC，∠DCE＝60°，∠ACE＝100°，点D恰好落在线段AB上，则∠ECB的度数为　40　 度． 【分析】由△ABC≌△DEC，得∠ACB＝∠DCE＝60°，而∠ACE＝100°，则∠ECB＝∠ACE﹣∠ACB＝40°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°， ∵∠ACE＝100°， ∴∠ECB＝∠ACE﹣∠ACB＝100°﹣60°＝40°， 故答案为：40． 【点评】此题重点考查全等三角形的性质、角的和差等知识，推导出∠ACB＝∠DCE＝60°是解题的关键． 【作业 5】（2026春•雁塔区校级月考）如图，AB＝10，∠A＝∠B，AC＝8．点P在线段AB上从点A向点B运动，点Q从点B出发沿着射线BD的方向运动．若△ACP与△BPQ全等，则AP的长为　2或5　 ． 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，已知∠A＝∠B，则点A与点B是对应顶点，分两种情况讨论：一是△ACP≌△BPQ，二是△ACP≌△BQP，设AP＝x，则BP＝10﹣x，根据对应边相等列出方程求解即可． 【解答】解：设AP＝x， ∵点P在线段AB上，AB＝10， ∴BP＝AB﹣AP＝10﹣x， ∵△ACP与△BPQ全等，且∠A＝∠B， ∴分两种情况讨论：①当△ACP≌△BPQ时AC＝BP（全等三角形对应边相等）， ∵AC＝8， ∴10﹣x＝8， 解得x＝2，即AP＝2； ②当△ACP≌△BQP时AP＝BP（全等三角形对应边相等）， ∴x＝10﹣x， 解得x＝5即AP＝5， 综上所述，AP的长为2或5， 故答案为：2或5． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 【作业 6】（2025秋•鄱阳县月考）（1）求出图中x的值． （2）如图，△ABC≌△ABD，∠C＝40°，∠DAB＝20°，求∠ABC的度数． 【分析】（1）由三角形的外角定理建立方程求解即可； （2）利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可得，（x+70）°＝x°+（x+10）°， 解得x＝60； （2）∵△ABC≌△ABD，∠DAB＝20°， ∴∠DAB＝∠CAB＝20°（全等三角形对应角相等）， ∵∠C＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠CAB＝120°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理三角形外角性质，全等三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【作业 7】（2024秋•房山区期末）如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝5cm． （1）求DE的长； （2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等及线段的和差关系可得答案； （2）根据全等三角形的对应角相等及余角的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC， ∴BE＝AB＝3cm，BD＝BC＝5cm． ∴DE＝BD﹣BE＝2cm； （2）AC与DB垂直，理由如下： ∵△ABD≌△EBC， ∴∠EBC＝∠ABD． 又∵∠ABD+∠EBC＝180°， ∴∠ABD＝∠EBC＝90°， ∴DB⊥AC． 【点评】本题侧重考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边、对应角分别相等． 【作业 8】（2025秋•桓台县期中）如图，△ABC≌△FEA，∠C＝∠CAF＝90°，试判断AB与EF的关系，并说明理由． 【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝EF，∠BAC＝∠F，根据直角三角形的性质求出∠AOF＝90°，得到AB⊥EF，得出结论． 【解答】解：AB与EF垂直且相等， 理由如下：∵△ABC≌△FEA， ∴AB＝EF，∠BAC＝∠F， ∵∠CAF＝90°， ∴∠BAC+∠BAF＝90°， ∴∠F+∠BAF＝90°， ∴∠AOF＝90°， ∴AB⊥EF， ∴AB与EF垂直且相等． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应角相等、对应边相等是解题的关键． 【作业 9】（2026春•余江区期末）如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝50°． （1）试说明∠BAD＝∠EAC； （2）求∠ADE的度数． 【分析】（1）由全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，进而即可求证； （2）由全等三角形的性质得∠ADE＝∠B，AB＝AD，由（1）知∠BAD＝∠EAC＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【解答】（1）证明：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠EAC； （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠ADE＝∠B，AB＝AD， 由（1）知∠BAD＝∠EAC＝50°， ∴， ∴∠ADE＝∠B＝65°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【作业 10】（2024春•即墨区期中）如图，点B、E在AF上，已知△ABC≌△FED，∠A和∠F是对应角，CB和DE是对应边． （1）再写出其他的一组对应边和一组对应角； （2）判断AC与DF的位置关系，并说明理由； （3）若AF＝8，BE＝2，求AB的长． 【分析】（1）根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据全等三角形的性质得到∠A＝∠F，即可判定AC∥DF； （3）根据全等三角形的对应边相等得到AB＝FE，进而得出AE＝BF，根据线段的和差求解即可． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△FED， ∴∠ABC和∠DEF是对应角，∠C和∠D是对应角，AC和FD是对应边，AB和EF是对应边；（答案不唯一） （2）AC∥DF． 理由：因为△ABC≌△FED， 所以∠A＝∠F， 所以AC∥DF． （3）因为△ABC≌△FED， 所以AB＝FE， 所以AB﹣BE＝FE＝BE，即AE＝BF． 因为AF＝8，BE＝2， 所以AE+BF＝AF﹣BE＝6， 所以AE＝3， 所以AB＝AE+BE＝5． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 全等三角形的性质 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解全等三角形的概念，能正确找出对应边、对应角 · · 掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等 · · 能利用全等三角形性质求边长、角度、周长 · · 能解决动点、旋转、折叠等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形，记作△ABC≌△DEF 重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角 记全等时对应顶点字母要写在对应位置 对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边 概念辨析例题：△ABC≌△FDE，指出对应边和对应角 解析：按书写顺序找对应：A对应F，B对应D，C对应E ☆ 2.全等三角形的性质 全等三角形对应边相等 全等三角形对应角相等 全等三角形周长相等、面积相等 全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等 概念辨析例题：△ABC≌△DEF，∠A=40°，∠F=60°，求∠B 解析：对应角∠A=∠D=40°，∠C=∠F=60°，∠B=180-40-60=80° ☆ 3.利用性质求边长与角度 角度计算：利用对应角相等+三角形内角和180° 边长计算：利用对应边相等+线段和差 周长计算：△CDP与△BEP周长和=DC+DE+BC+BE 多个全等三角形共顶点时，周角360°找角度关系 概念辨析例题：△ABC≌△DBE，∠ABE=162°，∠CBD=36°，求∠CBE 解析：∠ABC=∠DBE，故∠ABD=∠CBE=(162-36)/2=63° ☆ 4.动点与旋转综合 动点问题：用t表示线段长，列方程求解 分类讨论：点在不同位置时对应关系不同 旋转：旋转角相等，对应边/角相等 折叠：折痕为对称轴，对应边/角相等 概念辨析例题：P从B向A以1m/s运动，Q从B向D以2m/s运动，何时△CAP≌△PBQ？ 解析：BP=t,BQ=2t,AP=12-t；由AC=BP=4得t=4，且AP=8=BQ=8 📋 知识总结表 核心概念 性质/方法 注意事项 全等三角形 能完全重合 对应顶点字母位置对应 对应边 相等 对应角所对的边 对应角 相等 对应边所对的角 周长面积 相等 反之不成立 对应线段 高/中线/角平分线相等 需对应边上 动点问题 用t列方程 注意分类讨论 ⚠️ 核心考点 【考点1】全等三角形的性质（第1-9题） · · 找对应边/角：按书写顺序 · · 角度计算用内角和180° · · 多个全等共顶点用周角360° · · 对应边相等列方程 1．（2026•成都）如图，已知△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∠E＝62°，则∠EDF的度数为（　　） A．40° B．62° C．78° D．102° 2．（2025秋•西城区校级期中）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于（　　） A．120° B．135° C．150° D．180° 3．（2026•镜湖区校级一模）如图，△ABC≌△DEF，点A、E、B、D在同一直线上，若∠A＝45°，∠F＝65°，则∠CBE的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 4．（2026•新市区二模）如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 5．（2026春•龙岗区期中）如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝131°，则∠α的度数为（　　） A．89° B．88° C．98° D．109° 6．（2026春•浦东新区期中）已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边长度为4、x+y和2x，△DEF的三边长度为6、x、x+2y，则△ABC的周长是_______ ． 7．（2025秋•裕安区校级期末）如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝125°，则∠α的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 8．（2025秋•佳县期中）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，∠D＝30°，∠EBD＝65°，则∠ABC 的度数为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 9．（2025秋•宁乡市期末）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　） A．50° B．58° C．60° D．72° 【考点2】边长与线段计算（第10-18题） · · 利用对应边相等+线段和差 · · BE=BD+AD+AE，且BD=AE · · 动点问题用t表示线段 · · 分类讨论对应关系 10．（2026•成都模拟）如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝50°，则∠ADE的度数为________ ． 11．（2025秋•乳山市期中）如图，△ABE≌△CDF，∠C＝30°，∠D＝100°，则∠BEA＝ _______ °． 12．（2024秋•邗江区月考）如图，AB＝12米，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4米，P点从点B向点A运动，每分钟走1米，Q点从B向D运动，每分钟走2米，若P、Q两点同时开始出发，运动 _____ 分钟后△CAP≌△PBQ． 13．（2026秋•江宁区月考）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中： ①∠ABF＝45°； ②△AFG≌△BFE； ③AG+CE＝AC； ④BC＝BG+2GF． 错误的是_____ ．（写出所有错误结论的序号） 14．（2026•泗洪县模拟）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝30°，∠ACB＝40°，则∠DCE的度数为 _________ ． 15．（2025秋•新吴区校级月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，点P以1cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以2cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为____________________ ． 16．（2025秋•榆林期末）如图，△DBE≌△ABC，点A在DE上，DE∥BC，若∠E＝41°，则∠ABD的度数为________ ． 17．（2025•成都模拟）如图，△ABC≌△DAE，点A，C，E在同一条直线上，AD交BC于点F，BC∥DE．若AC＝5，CF＝3，则BF的长为 ___________________ ． 18．（2025秋•平房区校级期中）如图，△ABC≌△DEF，BE＝10，AD＝4，AB＝ _____ ． 【考点3】解答题与周长面积（第19-22题） · · 周长和=DC+DE+BC+BE（代换公共边） · · 角度用外角=不相邻两内角和 · · 全等三角形对应边相等代换 · · 注意对应关系不要弄反 19．（2026春•镇平县期末）如图，已知△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，∠ABE＝162°，∠CBD＝36°． （1）求∠CBE的度数； （2）若AD＝DC＝5，BC＝8，求△CDP与△BEP的周长之和． 20．（2025春•同步）如图，已知△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，∠ABE＝162°，∠CBD＝30°． （1）求∠CBE的度数； （2）若AD＝DC＝5，BC＝8，求△CDP与△BEP的周长之和． 21．（2023秋•鹿城区期中）如图，已知△AEF≌△ABC，点E在BC边上，EF与AC交于点 D．若∠B＝66°，∠C＝30°，求∠CDF的度数． 22．如图，△AFB≌△AED，∠F＝60°，∠B＝26°，求∠BOD的度数． 【考点4】创新及压轴题（第23-27题） · · 中点倍长中线构造全等 · · 旋转问题找旋转角 · · 等腰三角形等边对等角 · · 综合题分小问逐步推导 23．（2025秋•广阳区期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，∠ADB＝∠ABC，BE是△ABD边AD上的高，延长BE交AC于点F，且△ADC≌△BFC，设∠ABC＝α，∠ACB＝β． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求∠ABF的度数； （3）判断α与β之间的数量关系，并说明理由．（若点B在线段AF的垂直平分线上，请直接写出β的度数．） 24．（2025秋•绵阳期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，求证：AD＝A′D′． 25．（2024春•香坊区期末）如图，在△ABC中，AD为高，AC＝12，点E为AC上的一点，AE＝2CE，连接BE交AD于点O，△BDO≌△ADC（∠DAC和∠EBD是对应角）． （1）求∠BEC的度数； （2）有一动点Q从点A出发沿线段AC以每秒4个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为18？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 26．（2023秋•淄川区期末）完成下列各题： 如图，已知△ABC≌△AEF，∠EAB＝25°，∠F＝57°． （1）请说明：∠EAB＝∠CAF； （2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换； （3）求∠AMB的度数． 27．（2024秋•许昌期末）已知，平面内线段AB，点C，M，N，满足：∠CAM+∠CBN＝180°，AC＝AM，BC＝BN，连接MN，D为MN的中点，连接AD、BD． （1）如图1，当点C在线段AB上时，AD与BD的位置关系如何？请说明理由． 小明仔细思考后得出结论：AD⊥BD．思路是：延长BD交AM延长线于点H，易证△DMH≌△DNB，可得DH＝BD，MH＝BN，即D为BH中点，于是…，请你帮小明写出完整的推理过程． （2）如图2，当点C在线段AB上方时，若AB＝2BD，求∠MAC的度数． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•盐城期末）如图，点B，E在AD上，△ABC≌△DEF，若AD＝8，BE＝5，则AE的长是________ ． 【练习 2】（2025秋•桃源县期末）已知图中两个三角形全等，则∠1的度数是________ ． 【练习 3】（2024秋•白云区校级月考）如图，△AEB≌△DFC，AE⊥CB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且AE＝DF，若∠C＝28°，则∠A＝ ________ ． 【练习 4】（2025春•上海期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 _______ ． 💯 课后巩固 复习建议 · · 全等三角形对应边相等、对应角相等 · · 记全等时对应顶点字母位置要对齐 · · 角度计算用内角和180°、外角定理 · · 周长问题善用代换，公共边消去 · · 动点问题分类讨论对应关系 【作业 1】（2024秋•太和县期末）如图，△ABC≌△DEF，∠F＝60°，∠A＝80°，则∠B的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．45° 【作业 2】（2025秋•灵山县期中）如图，△ABE≌△ACD，点D，E分别在边AB，AC上，若AD＝3，AC＝5，CD＝4，则AE的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【作业 3】（2025秋•大英县期末）如图，CA⊥AB于点A，AB＝10，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则t的值为 ___________ 秒． 【作业 4】（2026春•垦利区期末）如图，△ABC≌△DEC，∠DCE＝60°，∠ACE＝100°，点D恰好落在线段AB上，则∠ECB的度数为_______ 度． 【作业 5】（2026春•雁塔区校级月考）如图，AB＝10，∠A＝∠B，AC＝8．点P在线段AB上从点A向点B运动，点Q从点B出发沿着射线BD的方向运动．若△ACP与△BPQ全等，则AP的长为________ ． 【作业 6】（2025秋•鄱阳县月考）（1）求出图中x的值． （2）如图，△ABC≌△ABD，∠C＝40°，∠DAB＝20°，求∠ABC的度数． 【作业 7】（2024秋•房山区期末）如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝5cm． （1）求DE的长； （2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． 【作业 8】（2025秋•桓台县期中）如图，△ABC≌△FEA，∠C＝∠CAF＝90°，试判断AB与EF的关系，并说明理由． 【作业 9】（2026春•余江区期末）如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝50°． （1）试说明∠BAD＝∠EAC； （2）求∠ADE的度数． 【作业 10】（2024春•即墨区期中）如图，点B、E在AF上，已知△ABC≌△FED，∠A和∠F是对应角，CB和DE是对应边． （1）再写出其他的一组对应边和一组对应角； （2）判断AC与DF的位置关系，并说明理由； （3）若AF＝8，BE＝2，求AB的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $