精品解析：湖南株洲市第二中学2026-2027学年九年级上学期数学 第二次课堂练习

初三数学第二次课堂练习 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简含根号的数，再判断各选项是否为无理数． 【详解】解：A、是无理数； B、是有理数，不是无理数； C、是有理数，不是无理数； D、是有理数，不是无理数． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，A错误， ，B错误， ，C正确， ，D错误． 4. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位，再向下平移3个单位到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律，平移规律为：左右平移改变横坐标，右移加、左移减；上下平移改变纵坐标，上移加、下移减，按照规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵点向右平移个单位，横坐标加，再向下平移个单位，纵坐标减 ∴的横坐标为，的纵坐标为 ， ∴点的坐标为． 6. 关于的方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 7. 如图，在菱形中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 8. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意，， ∵的长度为， ∴. 9. 如图，在中，，按以下步骤作图：① 以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，在分别以点、，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点② 以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，在分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】解：由作图可知平分，， ，， ， ， ， ． 10. 如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取，连接并延长交射线于点，设，，则(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质结合已知得出，，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 即 整理得：． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. “湘超”联赛期间，现场约有42000名球迷到场．42000用科学记数法表示为______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和公式，根据多边形内角和公式列一元一次方程，求解即可得到多边形的边数. 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由多边形内角和公式得， 方程两边同除以得， 解得． 13. 不等式组的解集为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是分别求出每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集． 先解第一个不等式，通过移项求出其解集；再解第二个不等式，通过移项、系数化为1求出其解集；最后确定两个解集的公共部分，得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，移项得，即； 解不等式，移项得，即，系数化为1得； 则不等式组的解集为． 故答案为：． 14. 如图，一次函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集是______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在的图象的上方， ∴关于x的不等式的解集是：． 15. 正方形和正方形中，点D在上，，，H是的中点，那么的长是 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质和勾股定理可推出的长，以及，利用勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形和正方形中，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵H是的中点， ∴． 16. 已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则______________； （2）下列结论正确的是______________（写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形； ②若，，，则； ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为6 【答案】 ①. ②. ①③ 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形三边相等的性质代入计算即可； （2）分别结合勾股定理的逆定理，三角形三边关系，一元一次不等式组对三个结论逐一判断即可． 【详解】解：（1）∵ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ； （2）判断： ∵ ，， ∴ ， 整理得 ， 由勾股定理的逆定理可得，为直角三角形，故正确； 判断： ∵ ，，， ∴ ， 根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，分情况讨论： 当时， ，即 ， 解得； 当时， ，即 ， 解得 ， 综上可得 ； ∵ 随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴ ，不符合，故错误； 判断： ∵ ，，，，为三个连续整数，， 设 ，，， 为正整数， ∵ 三角形三边满足 ，且 ， ∴ 可得不等式组 ， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴， ∴整数的取值为 ，共个， 即满足条件的的个数为，故正确． 综上，正确结论为． 三、解答题（共8大题，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，先进行特殊角的三角函数值，负整数指数幂，去绝对值，开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. “低碳生活，绿色出行”，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某销售中心新能源汽车销量自2026年起逐月增加，据统计，该销售中心7月份销售100辆，9月份销售了144辆． （1）若销售中心7月至9月新能源汽车销量的月平均增长率相同，销售中心8月份售出多少辆新能源汽车？ （2）考虑新能源汽车需求不断增加，销售中心准备再购进一批两种规格的新能源汽车共120辆，已知A型新能源汽车进价为8万元/辆，售价为9万元/辆，B型新能源汽车进价为12万元/辆，售价为14万元/辆，根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，假设所进车全部售完，为使利润最大，该销售中心应如何进货？ 【答案】（1）销售中心8月份售出120辆新能源汽车 （2）购进A型新能源汽车80辆，B型新能源汽车40辆时，所获利润最大 【解析】 【分析】（1）根据月平均增长率相同的条件，结合7月、9月的销量列一元二次方程，求解增长率后计算8月销量； （2）设A型车进货量为自变量，根据A型车与B型车的数量关系得自变量的取值范围，结合总利润与进货量的一次函数关系求最值对应的进货方案． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为a， 根据题意得：， 解得：，（舍去） ∴8月份销量为（辆）， 答：销售中心8月份售出120辆新能源汽车； 【小问2详解】 解：设购进A型新能源汽车x辆，则购进B型新能源汽车辆， ∵A型车不少于B型车的2倍， ∴ 解得， 设总利润为w万元， 根据题意得，， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴x的最小值为80， 当时，w取得最大值，此时， 答：购进A型新能源汽车80辆，B型新能源汽车40辆时，所获利润最大． 20. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角： （1）由等边对等角，得，结合，即可作答； （2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵， ∴ 解得 21. 为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理：跳绳个数记为，共分为五组： A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134； 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 135 女同学 134 136 认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________；并补全频数直方图． （2）若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数． （3）结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由． 【答案】（1），136，20， 补全频数分布直方图如下： （2）128 （3） 解：我认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀，因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳中位数，女生跳绳个数的众数大于男生跳绳个数，所以认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀（答案不唯一，合理均可）． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得a、b的值，先求出被抽取的女同学跳绳个数在C组人数所占百分比，再根据百分比之和为1可得m的值； （2）总人数分别乘以男、女生跳绳个数不少于140个的人数所占比例，再求和即可得出答案． （3）根据众数、中位数及平均数的意义求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：由男同学跳绳个数在C组的数据可知，C组人数为6人，则被抽取的男同学A组的人数为（人），被抽取的男同学跳绳个数数据的第10、11个数据分别为130、133，则中位数； 被抽取的女同学跳绳个数在C组人数所占百分比为，B组人数所占百分比，即； 被抽取的A组女同学人数为：（人），B组人数为：（人），C组人数为：（人），D组人数为：（人），E组人数为：（人）， 因为C组中136的个数为5，在C组中的个数最多且大于其它组总人数，所以被抽取的女同学跳绳个数的众数． 补全频数分布直方图略； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数为128． 【小问3详解】 略 22. 河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡度的斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米． （1） ， ． （2）求点到直线的距离； （3）求桥墩的高（结果保留位小数）．（，，，） 【答案】（1）， （2）24米 （3）米 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识点，熟知解直角三角形的方法和步骤是解题的关键． （1）延长交于点E，过点C作于点F，则，，，可得，在中，根据，可得； （2）在中，根据直角三角形的性质，即可求解； （3）在中，可得 米，从而得到米，在中，可得 米，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点E，过点C作于点F，则，，， ∴． ∴， 在中，，即， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：在中，，米， ∴米； 【小问3详解】 解：在中，，米， ∴米， 由（1）得：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， 即桥墩的高为米． 23. 【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 （1）如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求直线的函数表达式及点的坐标； （2）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为， （2）反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为； （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先根据证明，结合全等三角形性质推出点坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，结合一次函数图象与性质，以及全等三角形性质推出点的坐标，再设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）设点的坐标为，过点作于点，过点作于点，根据点是直线上的一点，分两种情况①当点在轴上方时，②当点在轴下方时，结合全等三角形性质与判定，以及勾股定理分析求解，即可解题． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， 点， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：过点作轴于点， 由题知， 由（1）同理可证，， 一次函数的图象交轴于点，交轴于点， 且当时，，当时，， ∴，， ， ， ， ， 设反比例函数的表达式为， 则， 反比例函数的表达式为， 设直线的函数表达式为， 又有， 解得， 直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 过点作于点，过点作于点， ①当点在轴上方时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为； ②当点在轴下方时， 同理可求得， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 24. 边长为的菱形中，记（），该菱形的周长为，面积为． （1）判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①与成正比例关系；（ ） ②当时，；（ ） ③若该菱形的两条对角线的长满足，则．（ ） （2）当时，解答下列问题： ①如图1，点在边上运动（不与点，重合），连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点．请问的大小是否发生变化？如果不变，请求出的度数；如果变化，请说明理由； ②如图2，点在边的延长线上运动，连接交边于点，连接并延长交于点．设，当时，求的值． 【答案】（1）①√；②×；③×； （2）①不变，；②或 【解析】 【分析】（1）画出图形，根据菱形的性质，结合锐角三角函数和成正比例关系的定义求解①②③即可； （2）①连接，先根据菱形的性质得到，，，可证明为等边三角形得到，，设，则，分别证明和，得到，然后利用三角形的外角性质求解即可； ②连接，先证明得到，，再分别证明和，得到，进而解关于k的一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，菱形中，对角线、相交于O，过点D作于E，， ①周长，与成正比例关系，正确； ②当时， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②错误； ③∵，即， ∴菱形是正方形， ∴，故③错误； 【小问2详解】 解：①如图1，连接， 在菱形中，，，， ∴为等边三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②如图2，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 整理得， 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学第二次课堂练习 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位，再向下平移3个单位到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，按以下步骤作图：① 以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，在分别以点、，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点② 以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，在分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 7 D. 8 10. 如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取，连接并延长交射线于点，设，，则(　　) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. “湘超”联赛期间，现场约有42000名球迷到场．42000用科学记数法表示为______________． 12. 一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是________． 13. 不等式组的解集为_______． 14. 如图，一次函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集是______________． 15. 正方形和正方形中，点D在上，，，H是的中点，那么的长是 __ ． 16. 已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则______________； （2）下列结论正确的是______________（写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形； ②若，，，则； ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为6 三、解答题（共8大题，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. “低碳生活，绿色出行”，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某销售中心新能源汽车销量自2026年起逐月增加，据统计，该销售中心7月份销售100辆，9月份销售了144辆． （1）若销售中心7月至9月新能源汽车销量的月平均增长率相同，销售中心8月份售出多少辆新能源汽车？ （2）考虑新能源汽车需求不断增加，销售中心准备再购进一批两种规格的新能源汽车共120辆，已知A型新能源汽车进价为8万元/辆，售价为9万元/辆，B型新能源汽车进价为12万元/辆，售价为14万元/辆，根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，假设所进车全部售完，为使利润最大，该销售中心应如何进货？ 20. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 21. 为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理：跳绳个数记为，共分为五组： A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134； 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 135 女同学 134 136 认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________；并补全频数直方图． （2）若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数． （3）结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由． 22. 河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡度的斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米． （1） ， ． （2）求点到直线的距离； （3）求桥墩的高（结果保留位小数）．（，，，） 23. 【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 （1）如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求直线的函数表达式及点的坐标； （2）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 24. 边长为的菱形中，记（），该菱形的周长为，面积为． （1）判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①与成正比例关系；（ ） ②当时，；（ ） ③若该菱形的两条对角线的长满足，则．（ ） （2）当时，解答下列问题： ①如图1，点在边上运动（不与点，重合），连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点．请问的大小是否发生变化？如果不变，请求出的度数；如果变化，请说明理由； ②如图2，点在边的延长线上运动，连接交边于点，连接并延长交于点．设，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $