专题3.1 列代数式表示数量关系（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版七年级数学上学期

专题3.1 列代数式表示数量关系 知识点1：代数式的概念 　　1.用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式；单独的一个数或字母也是代数式，如2、-3.1、m都是代数式。 　　2.这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方；含"＝""＞""＜"等关系的式子（如方程、不等式）不是代数式。 　　3.判断一个式子是否为代数式，关键看它是否由数、字母和运算符号组成，且不含等号或不等号。 知识点2：用含字母的式子表示数及书写规范 类型 书写规定 示例 数与字母相乘、字母与字母相乘 乘号通常省略不写，或写成"·" 写成，写成，写成 数字因数是1或-1 "1"通常省略不写 写成，写成 带分数与字母相乘 将带分数化成假分数 写成 除法运算 用分数线表示 写成 式子含单位（和为差的形式） 把整个式子用括号括起来 千克 　　1.数与字母相乘时，数通常写在字母前面；数字因数是分数时，一般保留分数形式（带分数要化假分数）。 　　2.代数式中不能含"×""÷"号，用省略、点乘、分数线代替。 知识点3：代数式的意义 　　1.根据生活实际，将给定代数式的意义用语言叙述出来，就是把代数式的字母及运算符号赋予具体的含义。 　　2.同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量关系，如0.6a既可表示打6折后的售价，也可表示每本0.6元的练习本买a本的总价。 　　3.解释代数式意义时，要遵循运算顺序，确保符号语言与文字语言准确转换，如表示x与5的和的倍，而表示x的倍与5的和。 知识点4：列代数式 　　1.在解决数学问题与实际问题时，先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式。 　　2.列代数式的步骤：（1）分析条件，找出数量关系；（2）抓住关键词语，如"大""小""多""少""和""差""积""商""倍"等，用数学符号表示。 　　3.常见数量关系式：购买分配类——费用=单位费用×数量，总费用=甲的单位费用×甲的数量+乙的单位费用×乙的数量；打折销售类——售价=标价×折扣，利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%。 知识点5：正比例关系和反比例关系 关系 本质 代数式表示 正比例关系 两个量的比值一定 （k是确定值且k≠0） 反比例关系 两个量的乘积一定 或（k是确定值且k≠0） 　　1.判断正比例：一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定。 　　2.判断反比例：两个量的乘积一定。如路程一定时，速度与时间成反比例关系；单价一定时，总价与数量成正比例关系。 　　3.用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示比值（或积），k叫作比例系数。 【基础必考题型】 【题型1】识别代数式 1.核心知识点 　　代数式的概念；含等号或不等号的式子不是代数式。 2.解题方法技巧 　　（1）逐式检查：看是否由数、字母和运算符号组成； 　　（2）排除含"＝""＞""＜"的式子（方程、不等式），单独的数或字母也算代数式； （3）含分式、根号、乘方的式子都是代数式。 【例题1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各式中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，均为代数式． 不是代数式． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·全国·期中）下列各式不是代数式的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对代数式的认识，代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的数学表达式，不包含等号或不等号，根据概念选择即可． 【详解】解：选项A是数字，是代数式，不符合题意； 选项B是代数式，不符合题意； 选项C含有等号，不是代数式，符合题意； 选项D是代数式，不符合题意； 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·福建福州·期中）在下列各式中：①x；②；③5；④；⑤．其中代数式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义． 代数式是由数或字母通过运算符号连接而成的式子，单独的数或字母也是代数式，但等式和不等式不是代数式． 【详解】解：①x是字母，属于代数式； ②是等式，不属于代数式； ③5是数，属于代数式； ④是不等式，不属于代数式； ⑤是加法式子，属于代数式； ∴代数式有①、③、⑤，共3个． 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·广东广州·期中）在式子：0，，，，，，中，代数式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查代数式的定义，代数式是由数字、字母和运算符号（如加、减、乘、除、乘方）组成的数学表达式，不包含等号或不等号，因此，方程和不等式不是代数式，据此判断． 【详解】∵ 代数式需由数字、字母和运算符号组成，且不含等号或不等号， ∴ 0是数字，是代数式； a是字母，是代数式； 含有等号，是方程，不是代数式； 由变量和数字通过减号连接，是代数式； 由数字和字母通过乘法连接，是代数式； 含有不等号，是不等式，不是代数式； 含有不等号，是不等式，不是代数式， ∴ 代数式有0、a、、，共4个， 故选：C 【题型2】判断代数式的书写是否规范 1.核心知识点 　　用含字母的式子表示数的书写规则。 2.解题方法技巧 　　（1）对照书写规则逐项检查：乘号省略、数在字母前、带分数化假分数、除号用分数线、含单位加括号； 　　（2）不规范的式子要会改写成规范形式； （3）注意乘法中数字因数通常写在字母前面，1可省略不写。 【例题2】.（26-27七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）下列代数式书写规范的是（     ） A．元 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、元书写规范，故此选项正确； B、正确的书写格式是，故此选项错误； C、正确的书写格式是，故此选项错误； D、正确的书写格式是，故此选项错误． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）下列代数式书写格式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A．正确的书写格式是，故此选项不符合题意； B．正确的书写格式是，故此选项不符合题意； C．正确的书写格式是，故此选项不符合题意； D．正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式题2-2】.（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列代数式符合书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写规范，根据代数式的书写规则即可得出答案，掌握代数式的书写规范要求是解题的关键． 【详解】解：、应写成，原式子不符合书写规范，不符合题意； 、符合书写规范，符合题意； 、应写成，原式子不符合书写规范，不符合题意； 、应写成，原式子不符合书写规范，不符合题意； 故选：． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·海南海口·期中）下列代数式书写规范的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的书写规范，根据数字与字母相乘时乘号省略、除法写成分数形式、带分数写成假分数等规则进行判断． 【详解】解：∵ ①中乘号“”应省略，写成，故不规范； ②书写规范； ③书写规范； ④是带分数，应写成，故不规范； ⑤中除法应写成分数形式，故不规范． ∴ 规范的有②和③，一共2个． 故选：B． 【题型3】用含字母的式子表示实际数量 1.核心知识点 　　借助现实情境，用含字母的式子表示数量和数量关系。 2.解题方法技巧 　　（1）明确题目中的已知量和未知量，找准数量关系； 　　（2）用字母表示未知量，按数量关系列出式子，注意书写规范； （3）涉及两位数、温度、水池进水等情境时，要结合数位意义和实际含义列式。 【例题3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某城市居民用水每吨2.85元，某户本月底水表显示为（单位：t），上月底水表显示为（单位：t），则本月应交水费________元． 【答案】 【分析】先求出本月实际用水量，再根据总价等于单价乘用水量计算应交水费． 【详解】解：本月实际用水量为本月底水表读数减去上月底水表读数，即， ∵每吨水的价格为元， ∴本月应交水费为元． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·云南昭通·期中）一盒糖有颗，盒糖共有_____颗． 【答案】 【分析】本题考查的是用字母表示数，理解“数量关系”是解题的关键．根据“总数每盒数量盒数”的基本关系，结合已知的每盒颗糖，进而得出盒糖的总数表达式． 【详解】解：每盒糖有颗，盒糖共有颗． 故答案为：． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 【答案】A 【分析】本题考查匀速进水问题．熟练掌握：总水量 = 原有水量 + 进水总量，进水总量 = 进水速度 × 时间，是解题的关键． 泳池总水量由原有水量和进水量组成，进水量为进水速率乘以时间． 【详解】∵原有水量为20立方米，进水速率为a立方米/小时，时间为t小时， ∴进水量为立方米， ∴总水量为立方米． 故选：A． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·北京·阶段检测）一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，也就是把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来； 百位上的数字是，表示个百，十位上的数字是，表示个十，个位上的数字是，表示个一，所以表示这个三位数的式子应该是． 【详解】因为百位上的数字是，表示个百，即， 因为十位上的数字是，表示个十，即， 因为个位上的数字是，表示个一，即， 所以表示这个三位数的式子应该是． 故选：D． 【培优高频题型】 【题型4】列代数式（和差倍分问题） 1.核心知识点 　　用代数式表示数的和、差、倍、分关系；运算顺序与文字语言的对应。 2.解题方法技巧 　　（1）抓住"大""小""多""少""和""差""积""商""倍""一半"等关键词； 　　（2）注意运算顺序：先翻译"和""差"，再处理"倍""商"，必要时加括号保证运算顺序正确； （3）如"x的2倍与y的差的一半"应写成。 【例题4】.（23-24七年级上·上海·阶段检测）用代数式表示：与的平方和的倍_____________． 【答案】 【详解】解：由题意可得代数式为． 【变式题4-1】.（24-25六年级上·上海·阶段检测）用代数式表示“数 的与数 的差”为____________． 【答案】 【分析】根据题意确定运算顺序，先求出数 的，再计算该结果与数 的差，即可列出所求代数式． 【详解】解：由题意可知，数 的可表示为 ， ∴用代数式表示“数 的与数 的差”为． 【变式题4-2】.（2026·贵州六盘水·二模）的3倍与2的和，列代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据文字描述列代数式. 解题思路是先表示出的3倍，再表示出它与2的和，即可得到正确结果. 【详解】解：∵的3倍可表示为 , ∴的3倍与2的和可表示为 ． 【变式题4-3】.（2026·海南海口·一模）“的两倍与的三分之一的差”用代数式表示为_______________． 【答案】 【分析】根据题意直接列代数式即可． 【详解】解：“的两倍与的三分之一的差”用代数式表达为． 【题型5】列代数式（销售与储蓄问题） 1.核心知识点 　　打折销售、本息和等实际数量关系的代数式表示。 2.解题方法技巧 　　（1）打折：售价=标价×折扣（打七折即×0.7），再优惠n元则再减去n； 　　（2）储蓄：本息和=本金+本金×年利率，已知本息和求本金时用除法表示； （3）用字母表示相关量后，按关系列式并化简。 【例题5】.（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）成都七中英才学校球队要购买20个篮球和12个足球，每个篮球元，每个足球元，一共需要_____元．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】购买个篮球需元，购买个足球需元，两部分相加即可． 【详解】解：购买个篮球需要元，购买个足球需要元， ∴一共需要元． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·全国·单元复习）甲种玩具每个元，乙种玩具每个元，芳芳买了4个甲种玩具和3个乙种玩具，一共花了________元．（用含，的代数式表示） 【答案】/ 【分析】根据总花费等于甲种玩具的总价加上乙种玩具的总价，分别计算两种玩具的花费再求和即可． 【详解】解：∵甲种玩具每个元，芳芳买了个， ∴甲种玩具的总花费为元， ∵乙种玩具每个元，芳芳买了个， ∴乙种玩具的总花费为元， ∴总花费为元． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）小明在支付时看到“超过元时，商品按原价打折后，再减少元”，若小明要购买商品的原价为元（），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵商品原价为元（），且按原价打折后，再减少元， ∴实际付款金额为元． 【变式题5-3】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）为支持校园“太空蔬菜育种”实验，小宇将积蓄元存入学校合作银行，定期年，年利率为．到期后，他计划将本金和利息全部投入实验，投入金额表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用利息本金利率期数，进而可得到本息表示为，化简即可． 【详解】解：由题意可知，利息表示为， 则本息表示为， 即投入金额表示为． 【题型6】列代数式（行程问题） 1.核心知识点 　　速度、时间、路程的数量关系；顺水逆水问题。 2.解题方法技巧 　　（1）路程=速度×时间，变形得时间=路程÷速度； 　　（2）顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度； （3）时间差等于两段时间相减，用分数线表示除法。 【例题6】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上动点从表示的位置出发，每秒 2 个单位向正方向运动，秒后点表示的数为______________． 【答案】 【分析】解题思路为：先确定点的初始位置，再计算秒内点运动的单位长度，根据向正方向运动的规则，在初始位置的基础上加上运动长度即可得到结果． 【详解】解：由题意得，点的初始位置对应的数为. 点运动速度为每秒个单位，运动时间为秒，根据路程等于速度乘时间，可得秒内点运动的路程为个单位， 因为点向数轴正方向运动，因此秒后点表示的数为初始位置的数加上运动的路程，即． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·河南信阳·期末）某轮船先顺水航行，后逆水航行，已知轮船在静水中的速度为．水流速度为，则轮船共航行了（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的实际应用，需先根据顺水、逆水速度与静水速度、水流速度的关系，分别计算两段航行的路程，再求和得到总航行路程． 【详解】解：根据题意得，顺水速度为，逆水速度为， ∴顺水航行的路程为，逆水航行的路程为， ∴总航行路程为． 故选：B． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）在学校举行的运动会上，小勇和小刚都进入了400米决赛，小勇速度为m米/秒，小刚为n米/秒，小勇获得了400米决赛的冠军．小刚比小勇多用了_______秒（列代数式即可）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键．分别求出小勇和小刚跑400米所需的时间，然后计算时间差． 【详解】解：小勇的速度为米/秒，跑400米的时间为 秒； 小刚的速度为米/秒，跑400米的时间为 秒． 由于小勇获得冠军，其时间更短，因此小刚比小勇多用的时间为秒． 故答案为：． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）走一段的路，步行用了，步行的速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，根据速度的计算公式，速度等于路程除以时间，即可求解. 【详解】解：   故选：B. 【题型7】正比例关系的判断与应用 1.核心知识点 　　正比例关系的本质；用代数式表示正比例关系。 2.解题方法技巧 　　（1）判断方法：看两个量的比值是否一定； 　　（2）票价一定时，票房收入与票数的比值（票价）一定，成正比例； （3）已知一组对应值，用表示关系，并会求k、求未知量。 【例题7】.（25-26六年级下·山东滨州·期中）下列各式中，表示x与y成反比例关系的是（    ） A． B． C． 【答案】C 【分析】根据反比例关系的定义，两种相关联的量，若对应数的乘积为定值，则两个量成反比例关系，据此判断各选项即可． 【详解】解：对A选项，，与的和为定值，乘积不是定值，∴与不成反比例关系． 对B选项，，与的比值为定值，乘积不是定值，∴与不成反比例关系． 对C选项，由变形得，与的乘积是定值，符合反比例关系的定义，∴与成反比例关系． 【变式题7-1】.（25-26六年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如果和是两种相关联的量，且，那么和成______比例． 【答案】正 【分析】根据正比例与反比例的定义，判断两种相关联的量和是比值一定还是乘积一定，若比值一定则成正比例，若乘积一定则成反比例，对已知等式变形后即可判断． 【详解】解：已知， 当时，将等式两边同时除以，得，是不为零的常数， 即与的比值为定值，符合正比例的定义， 因此和成正比例． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）如表， x与y成正比例， “△”和“▲”的组合不可能是（    ）． x 2 △ y ▲ 12 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例，掌握相关知识是解决问题的关键．若x与y成正比例，则▲△，由此解答问题即可． 【详解】解：若x与y成正比例，则▲△， 即▲△， 故C选项不符合题意， 故选：C． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·广东汕头·期中）一场电影的票价一定时，该场电影的票房收入与出售票数之间的关系是（   ） A．反比例 B．正比例 C．不成比例 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了正比例关系． 票价固定时，票房收入和出售票数比值一定，两者满足正比例关系． 【详解】解：票房收入票价出售票数， 票价固定时，票房收入和出售票数比值一定，两者满足正比例关系． 故选：B． 【题型8】反比例关系的判断与应用 1.核心知识点 　　反比例关系的本质；用代数式表示反比例关系。 2.解题方法技巧 　　（1）判断方法：看两个量的乘积是否一定； 　　（2）面积一定时长与宽、工作量一定时每天工作量与天数、总字数一定时速度与时间均成反比例； （3）已知一组对应值，用表示关系，由其中一个量求另一个量。 【例题8】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各选项中的两个量成反比例关系的是（     ） A．聪聪的年龄和体重 B．看一本书，已经看过的与未看过的页数 C．速度一定，路程和时间 D．长方体的体积一定，长方体的底面积与高 【答案】D 【分析】判断两个量是否成反比例，关键看二者的乘积是否为定值． 【详解】解：A. 聪聪的年龄和体重乘积不固定，不成反比例． B. 已看页数与未看页数的和为总页数（一定），乘积不一定，不成反比例． C. 速度一定时，（一定），比值一定，成正比例，不成反比例． D. 长方体体积一定时，（一定），乘积一定，成反比例． 故答案为D． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·全国·单元复习）若与两个量成反比例关系，且与的对应关系如下表所示，则的值为________． 1 2 5 20 … 500 250 25 … 【答案】100 【分析】由与成反比例关系，则为定值，先求出定值，再代入计算的值，即可求解． 【详解】解：∵与两个量成反比例关系， ∴的值为定值， ∵当时，， ∴定值， ∴当时，， 解得． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·重庆·阶段检测）下面各选项中，两个量成反比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例关系的判断，掌握反比例的定义是解题关键，两个相关联的量，若乘积为定值，则两个量成反比例． 【详解】解：A 选项， ， ，比值为定值，故和成正比例，不成反比例； B 选项， ，和为定值，两个量乘积不是定值，故和不成反比例； C 选项， ，等式两边同乘x得 ，乘积为定值，故和成反比例； D 选项， ，差为定值，两个量乘积不是定值，故和不成反比例． 故选C． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江西赣州·期末）若下表中的和两个量成反比例关系，则的值为___________． 6 【答案】2 【分析】本题考查了反比例关系．根据反比例关系的定义，x与y的乘积为常数，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵x和y两个量成反比例关系 ∴根据反比例关系的定义，可得为定值 即， 解得． 故答案为：2 【压轴素养题型】 【题型9】规律探究：数字的变化类 1.核心知识点 　　从数列中发现规律，用含n的代数式表示第n个数。 2.解题方法技巧 　　（1）观察数列中序号n与对应数的关系，寻找符号、绝对值、序号等的变化规律； 　　（2）奇偶符号用或表示； （3）将规律写成含n的代数式，可代回验证。 【例题9】.（2026·云南昆明·二模）按照一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别找出系数、的指数的变化规律，推导得到第个代数式，对应选项判断即可． 【详解】解：分别观察系数和的指数的变化规律： 当时，第1个代数式为； 当时，第2个代数式为； 当时，第3个代数式为； 当时，第4个代数式为； ∴第个代数式是． 【变式题9-1】.（2026·云南昆明·二模）按一定规律排列的代数式：，，，，…第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的规律探索，分别拆分系数和a的指数，找出对应变化规律即可求解． 【详解】解：∵ 观察给出的代数式： 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ... 可得，的指数等于该代数式的序号，系数是从1开始的连续奇数，第个奇数为， ∴ 第个代数式为． 【变式题9-2】.（2026·云南昆明·二模）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别从符号、系数绝对值、x的次数三个方面分析规律，整合后即可得到第n个代数式． 【详解】解：符号规律： 第1项为正，第2项为负，第3项为正……， ∴符号规律为； 系数绝对值依次为，且，，， ∴系数绝对值规律为； 的次数依次为， ∴的次数规律为； 整合得第个代数式为． 【变式题9-3】.（2026·山东烟台·一模）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”： 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中第六行第一个数为__________． 【答案】112 【分析】观察数表中每一行第一个数的数值变化规律，归纳出第行第一个数的通项公式，将代入计算即可． 【详解】观察每一行第一个数的规律： 第一行的第一个数为， 第二行的第一个数为， 第三行的第一个数为， 第四行的第一个数为， …… 第行的第一个数为， 当时，． 【题型10】规律探究：图形的变化类 1.核心知识点 　　从图形的排列规律中发现数量关系，用含n的代数式表示。 2.解题方法技巧 　　（1）先列出前几个图形对应的数量，寻找序号n与数量的关系； 　　（2）可采用"第一个图形数量+每增加一个图形增加的数量×(n-1)"的思路列式； （3）对多元素组合的图形（如正方形与三角形混合），分别找各自规律再合并。 【例题10】.（2026·重庆江津·三模）如图，将大小相同的等边三角形按以下规律进行排列，其中第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，…按照此规律排列下去，则第个图形中等边三角形的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据前几个图形中等边三角形个数，得到变化规律为：第个图形中有个等边三角形，当时，计算即可求解． 【详解】解：第个图形中有个等边三角形， 第个图形中有个等边三角形， 第个图形中有个等边三角形， 第个图形中有个等边三角形， 当时， 有个等边三角形． 【变式题10-1】.（2026·陕西渭南·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．如图是这类物质前三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1个图形中有4个氢原子，第2个图形中有6个氢原子，第3个图形中有8个氢原子，…，依此规律，第5个图形中有________________个氢原子． 【答案】12 【分析】观察前三个图形中氢原子的个数，发现后一个图形比前一个图形多2个氢原子，归纳出第n个图形中氢原子个数的代数式，将代入计算即可． 【详解】解：根据题意，第1个图形中有个氢原子， 第2个图形中有个氢原子， 第3个图形中有个氢原子， ⋯⋯ 由此规律可得，第n个图形中有个氢原子， 当时，氢原子的个数为． 【变式题10-2】.（2026·山西晋中·模拟预测）如图，这是一组有规律的图案，由若干个大小相同的圆和等边三角形组成，第1个图案有3个圆，第2个图案有5个圆，第3个图案有7个圆……依此规律第个图案有__________个圆．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】先列举出前3个图案中圆的个数，然后再归纳规律即可解答． 【详解】解：∵第1个图案中有3个圆，可以表示为， 第2个图案中有5个圆，可以表示为， 第3个图案中有7个圆，可以表示为， ……， ∴第n个图案中有个圆． 【变式题10-3】.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…，则第个图形中小正方形的个数为（    ） A．245个 B．246个 C．254个 D．255个 【答案】C 【分析】观察图形可知后面一个图形比前面一个图形多5个小正方形，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形共有小正方形个， 第2个图形共有小正方形个， 第3个图形共有小正方形个， ……， 以此类推，可知第n个图形共有小正方形个， ∴第50个图形中小正方形的总个数为个． 易错点 1、把含等号或不等号的式子（方程、不等式）误判为代数式。 2、书写不规范：乘号未省略、数写在字母后（如x2）、带分数未化假分数、除号未用分数线、含单位未加括号。 3、解释代数式意义时忽略运算顺序，如把误说成"x的一半与5的和"。 4、列代数式时因漏加括号导致运算顺序错误，如"x的2倍与y的差的一半"误写成。 5、混淆正比例与反比例关系：把比值一定看成乘积一定，或反之。 重点 1、掌握代数式的概念，能正确识别代数式并规范书写。 2、能根据实际数量关系列代数式，掌握和差倍分、销售储蓄、行程、图形面积等常见模型。 3、理解并会判断正比例关系与反比例关系，用代数式表示数量关系。 难点 1、代数式意义的准确表述，符号语言与文字语言的相互转换。 2、规律探究题中，从数字或图形的排列中抽象出含n的代数式。 3、跨学科、情境题中的数量关系抽象与代数式建模。 【对应练习题】 一、单选题 1．长方体的体积一定时，底面积和高（     ） A . 成正比例        B．成反比例       C． 不成比例       D．无法判断 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定．如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，就成反比例．据此解答即可． 【详解】解：根据长方体体积公式，即长方体的体积一定时，底面积×高的积一定， ∴底面积和高成反比例． 2．下列关于代数式的意义中，说法不正确的是（     ） A．表示的2倍与5的和 B．表示与6的和的2倍 C．表示的3倍与4的和的一半 D．表示与的和的平方 【答案】C 【详解】解：A．表示的2倍与5的和，正确； B．表示与6的和的2倍，正确； C．表示的3倍除以2再加4，而才是的3倍与4的和的一半，故不正确； D．表示与的和的平方，正确． 3．按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别分析代数式的系数和字母部分的变化规律，归纳即可得到第个代数式． 【详解】解：观察给出的代数式依次分析： ∵第1个代数式：， 第2个代数式：， 第3个代数式：， 第4个代数式： ，... ， 依次类推，所有代数式的字母部分均为 ，第个代数式的系数为， ∴第个代数式为． 二、填空题 4．某校现需购买甲、乙两种读本共80本供学生阅读，其中甲种读本的价格为10元/本，乙种读本的价格为8元/本，若购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为________元． 【答案】 【分析】先根据总本数求出乙种读本的数量，再乘以乙的单价得到总费用． 【详解】解：购买乙种读本的费用为元． 5．现有两块葡萄地，分别种了阳光玫瑰和巨峰两种不同品种的葡萄．种植阳光玫瑰的葡萄地的面积为4亩，平均每亩产葡萄约；种植巨峰的葡萄地的面积为亩，平均每亩产葡萄约，则两种葡萄的总产量约为______kg．（用含a，b的代数式表示） 【答案】 【分析】根据总产量等于平均亩产量产量乘以种植面积，分别求出两种葡萄的产量，再求和即可两种葡萄的总产量． 【详解】解：由题意可得：阳光玫瑰的葡萄地的产量为，巨峰的葡萄的产量为，则两种葡萄的总产量约为． 6．一棵树高h（m）与生长时间n（年）之间满足一定的关系，请你根据下表中的数据写出h（m）与n（年）之间的关系式，______． n（年） 2 4 6 8 10 h（m） 2.6 3.2 3.8 4.4 5.0 【答案】 【分析】由表格可知树每年生长的高度，然后问题可求解． 【详解】解：由表格可知树每生长一年长高， ∴当时，树高为， ∴满足的关系式为． 三、解答题 7．已知数轴上的点A、B所表示的数分别为a、b，用含a、b的代数式表示： (1)A、B两点间的距离： (2)到点A、B的距离相等的点所表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在数轴上，任意两点之间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值，列代数式即可． （2）数轴上两点中点所表示的数，等于这两点所表示的数之和的一半，列代数式即可． 【详解】（1）解：数轴上的点A、B所表示的数分别为、， 则A、B两点间的距离就是和的差的绝对值 距离为． （2）解：数轴上的点A、B所表示的数分别为、， 则到点A、B的距离相等的点所表示的数为 ． 8．电影院某部电影原来每张票60元，现在降价，观众人数增加．现在卖电影票的收入是否减少？ 【答案】现在卖电影票的收入没有减少 【分析】假设原来有观众人，根据“单价数量总价”求出变化前后电影票的总钱数； 【详解】解：设原来有观众人． 原收入：元， 现价：元， 现观众：人， 现收入：元， ， 答：现在卖电影票的收入没有减少． 9．一棵桃树结了m个桃子，有三只猴子先后来摘桃．第一只猴子摘走，再从树上摘一个吃掉；第二只猴子摘走剩下的，再从树上摘一个吃掉：第三只猴子再摘走剩下的，再从树上摘一个吃掉．用代数式表示树上最后剩下的桃子数． 【答案】最终剩余桃子为个 【详解】解：第一只猴子操作后剩余的桃子数：原有个桃，它先摘走，再吃掉1个，剩下的桃子为：； 第二只猴子操作后剩余的桃子数：它对第一只猴子剩下的桃子，先摘走当前数量的​，再吃掉1个，剩余桃子为：； 第三只猴子操作后剩余的桃子数：同理，对第二只猴子剩下的桃子重复操作，最终剩余桃子为：个． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 列代数式表示数量关系 知识点1：代数式的概念 　　1.用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式；单独的一个数或字母也是代数式，如2、-3.1、m都是代数式。 　　2.这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方；含"＝""＞""＜"等关系的式子（如方程、不等式）不是代数式。 　　3.判断一个式子是否为代数式，关键看它是否由数、字母和运算符号组成，且不含等号或不等号。 知识点2：用含字母的式子表示数及书写规范 类型 书写规定 示例 数与字母相乘、字母与字母相乘 乘号通常省略不写，或写成"·" 写成，写成，写成 数字因数是1或-1 "1"通常省略不写 写成，写成 带分数与字母相乘 将带分数化成假分数 写成 除法运算 用分数线表示 写成 式子含单位（和为差的形式） 把整个式子用括号括起来 千克 　　1.数与字母相乘时，数通常写在字母前面；数字因数是分数时，一般保留分数形式（带分数要化假分数）。 　　2.代数式中不能含"×""÷"号，用省略、点乘、分数线代替。 知识点3：代数式的意义 　　1.根据生活实际，将给定代数式的意义用语言叙述出来，就是把代数式的字母及运算符号赋予具体的含义。 　　2.同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量关系，如0.6a既可表示打6折后的售价，也可表示每本0.6元的练习本买a本的总价。 　　3.解释代数式意义时，要遵循运算顺序，确保符号语言与文字语言准确转换，如表示x与5的和的倍，而表示x的倍与5的和。 知识点4：列代数式 　　1.在解决数学问题与实际问题时，先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式。 　　2.列代数式的步骤：（1）分析条件，找出数量关系；（2）抓住关键词语，如"大""小""多""少""和""差""积""商""倍"等，用数学符号表示。 　　3.常见数量关系式：购买分配类——费用=单位费用×数量，总费用=甲的单位费用×甲的数量+乙的单位费用×乙的数量；打折销售类——售价=标价×折扣，利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%。 知识点5：正比例关系和反比例关系 关系 本质 代数式表示 正比例关系 两个量的比值一定 （k是确定值且k≠0） 反比例关系 两个量的乘积一定 或（k是确定值且k≠0） 　　1.判断正比例：一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定。 　　2.判断反比例：两个量的乘积一定。如路程一定时，速度与时间成反比例关系；单价一定时，总价与数量成正比例关系。 　　3.用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示比值（或积），k叫作比例系数。 【基础必考题型】 【题型1】识别代数式 1.核心知识点 　　代数式的概念；含等号或不等号的式子不是代数式。 2.解题方法技巧 　　（1）逐式检查：看是否由数、字母和运算符号组成； 　　（2）排除含"＝""＞""＜"的式子（方程、不等式），单独的数或字母也算代数式； （3）含分式、根号、乘方的式子都是代数式。 【例题1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各式中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·全国·期中）下列各式不是代数式的是（   ） A．0 B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·福建福州·期中）在下列各式中：①x；②；③5；④；⑤．其中代数式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题1-3】.（25-26七年级上·广东广州·期中）在式子：0，，，，，，中，代数式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2】判断代数式的书写是否规范 1.核心知识点 　　用含字母的式子表示数的书写规则。 2.解题方法技巧 　　（1）对照书写规则逐项检查：乘号省略、数在字母前、带分数化假分数、除号用分数线、含单位加括号； 　　（2）不规范的式子要会改写成规范形式； （3）注意乘法中数字因数通常写在字母前面，1可省略不写。 【例题2】.（26-27七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）下列代数式书写规范的是（     ） A．元 B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）下列代数式书写格式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列代数式符合书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·海南海口·期中）下列代数式书写规范的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3】用含字母的式子表示实际数量 1.核心知识点 　　借助现实情境，用含字母的式子表示数量和数量关系。 2.解题方法技巧 　　（1）明确题目中的已知量和未知量，找准数量关系； 　　（2）用字母表示未知量，按数量关系列出式子，注意书写规范； （3）涉及两位数、温度、水池进水等情境时，要结合数位意义和实际含义列式。 【例题3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某城市居民用水每吨2.85元，某户本月底水表显示为（单位：t），上月底水表显示为（单位：t），则本月应交水费________元． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·云南昭通·期中）一盒糖有颗，盒糖共有_____颗． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·北京·阶段检测）一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型4】列代数式（和差倍分问题） 1.核心知识点 　　用代数式表示数的和、差、倍、分关系；运算顺序与文字语言的对应。 2.解题方法技巧 　　（1）抓住"大""小""多""少""和""差""积""商""倍""一半"等关键词； 　　（2）注意运算顺序：先翻译"和""差"，再处理"倍""商"，必要时加括号保证运算顺序正确； （3）如"x的2倍与y的差的一半"应写成。 【例题4】.（23-24七年级上·上海·阶段检测）用代数式表示：与的平方和的倍_____________． 【变式题4-1】.（24-25六年级上·上海·阶段检测）用代数式表示“数 的与数 的差”为____________． 【变式题4-2】.（2026·贵州六盘水·二模）的3倍与2的和，列代数式是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（2026·海南海口·一模）“的两倍与的三分之一的差”用代数式表示为_______________． 【题型5】列代数式（销售与储蓄问题） 1.核心知识点 　　打折销售、本息和等实际数量关系的代数式表示。 2.解题方法技巧 　　（1）打折：售价=标价×折扣（打七折即×0.7），再优惠n元则再减去n； 　　（2）储蓄：本息和=本金+本金×年利率，已知本息和求本金时用除法表示； （3）用字母表示相关量后，按关系列式并化简。 【例题5】.（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）成都七中英才学校球队要购买20个篮球和12个足球，每个篮球元，每个足球元，一共需要_____元．（用含的代数式表示） 【变式题5-1】.（26-27七年级上·全国·单元复习）甲种玩具每个元，乙种玩具每个元，芳芳买了4个甲种玩具和3个乙种玩具，一共花了________元．（用含，的代数式表示） 【变式题5-2】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）小明在支付时看到“超过元时，商品按原价打折后，再减少元”，若小明要购买商品的原价为元（），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）为支持校园“太空蔬菜育种”实验，小宇将积蓄元存入学校合作银行，定期年，年利率为．到期后，他计划将本金和利息全部投入实验，投入金额表示为（     ） A． B． C． D． 【题型6】列代数式（行程问题） 1.核心知识点 　　速度、时间、路程的数量关系；顺水逆水问题。 2.解题方法技巧 　　（1）路程=速度×时间，变形得时间=路程÷速度； 　　（2）顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度； （3）时间差等于两段时间相减，用分数线表示除法。 【例题6】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上动点从表示的位置出发，每秒 2 个单位向正方向运动，秒后点表示的数为______________． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·河南信阳·期末）某轮船先顺水航行，后逆水航行，已知轮船在静水中的速度为．水流速度为，则轮船共航行了（    ）． A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）在学校举行的运动会上，小勇和小刚都进入了400米决赛，小勇速度为m米/秒，小刚为n米/秒，小勇获得了400米决赛的冠军．小刚比小勇多用了_______秒（列代数式即可）． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）走一段的路，步行用了，步行的速度是（    ） A． B． C． D． 【题型7】正比例关系的判断与应用 1.核心知识点 　　正比例关系的本质；用代数式表示正比例关系。 2.解题方法技巧 　　（1）判断方法：看两个量的比值是否一定； 　　（2）票价一定时，票房收入与票数的比值（票价）一定，成正比例； （3）已知一组对应值，用表示关系，并会求k、求未知量。 【例题7】.（25-26六年级下·山东滨州·期中）下列各式中，表示x与y成反比例关系的是（    ） A． B． C． 【变式题7-1】.（25-26六年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如果和是两种相关联的量，且，那么和成______比例． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）如表， x与y成正比例， “△”和“▲”的组合不可能是（    ）． x 2 △ y ▲ 12 A． B． C． D． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·广东汕头·期中）一场电影的票价一定时，该场电影的票房收入与出售票数之间的关系是（   ） A．反比例 B．正比例 C．不成比例 D．不确定 【题型8】反比例关系的判断与应用 1.核心知识点 　　反比例关系的本质；用代数式表示反比例关系。 2.解题方法技巧 　　（1）判断方法：看两个量的乘积是否一定； 　　（2）面积一定时长与宽、工作量一定时每天工作量与天数、总字数一定时速度与时间均成反比例； （3）已知一组对应值，用表示关系，由其中一个量求另一个量。 【例题8】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各选项中的两个量成反比例关系的是（     ） A．聪聪的年龄和体重 B．看一本书，已经看过的与未看过的页数 C．速度一定，路程和时间 D．长方体的体积一定，长方体的底面积与高 【变式题8-1】.（26-27七年级上·全国·单元复习）若与两个量成反比例关系，且与的对应关系如下表所示，则的值为________． 1 2 5 20 … 500 250 25 … 【变式题8-2】.（25-26七年级下·重庆·阶段检测）下面各选项中，两个量成反比例的是（   ） A． B． C． D． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江西赣州·期末）若下表中的和两个量成反比例关系，则的值为___________． 6 【压轴素养题型】 【题型9】规律探究：数字的变化类 1.核心知识点 　　从数列中发现规律，用含n的代数式表示第n个数。 2.解题方法技巧 　　（1）观察数列中序号n与对应数的关系，寻找符号、绝对值、序号等的变化规律； 　　（2）奇偶符号用或表示； （3）将规律写成含n的代数式，可代回验证。 【例题9】.（2026·云南昆明·二模）按照一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【变式题9-1】.（2026·云南昆明·二模）按一定规律排列的代数式：，，，，…第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【变式题9-2】.（2026·云南昆明·二模）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【变式题9-3】.（2026·山东烟台·一模）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”： 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中第六行第一个数为__________． 【题型10】规律探究：图形的变化类 1.核心知识点 　　从图形的排列规律中发现数量关系，用含n的代数式表示。 2.解题方法技巧 　　（1）先列出前几个图形对应的数量，寻找序号n与数量的关系； 　　（2）可采用"第一个图形数量+每增加一个图形增加的数量×(n-1)"的思路列式； （3）对多元素组合的图形（如正方形与三角形混合），分别找各自规律再合并。 【例题10】.（2026·重庆江津·三模）如图，将大小相同的等边三角形按以下规律进行排列，其中第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，…按照此规律排列下去，则第个图形中等边三角形的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式题10-1】.（2026·陕西渭南·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．如图是这类物质前三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1个图形中有4个氢原子，第2个图形中有6个氢原子，第3个图形中有8个氢原子，…，依此规律，第5个图形中有________________个氢原子． 【变式题10-2】.（2026·山西晋中·模拟预测）如图，这是一组有规律的图案，由若干个大小相同的圆和等边三角形组成，第1个图案有3个圆，第2个图案有5个圆，第3个图案有7个圆……依此规律第个图案有__________个圆．（用含的代数式表示） 【变式题10-3】.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…，则第个图形中小正方形的个数为（    ） A．245个 B．246个 C．254个 D．255个 易错点 1、把含等号或不等号的式子（方程、不等式）误判为代数式。 2、书写不规范：乘号未省略、数写在字母后（如x2）、带分数未化假分数、除号未用分数线、含单位未加括号。 3、解释代数式意义时忽略运算顺序，如把误说成"x的一半与5的和"。 4、列代数式时因漏加括号导致运算顺序错误，如"x的2倍与y的差的一半"误写成。 5、混淆正比例与反比例关系：把比值一定看成乘积一定，或反之。 重点 1、掌握代数式的概念，能正确识别代数式并规范书写。 2、能根据实际数量关系列代数式，掌握和差倍分、销售储蓄、行程、图形面积等常见模型。 3、理解并会判断正比例关系与反比例关系，用代数式表示数量关系。 难点 1、代数式意义的准确表述，符号语言与文字语言的相互转换。 2、规律探究题中，从数字或图形的排列中抽象出含n的代数式。 3、跨学科、情境题中的数量关系抽象与代数式建模。 【对应练习题】 一、单选题 1．长方体的体积一定时，底面积和高（     ） A . 成正比例        B．成反比例       C． 不成比例       D．无法判断 2．下列关于代数式的意义中，说法不正确的是（     ） A．表示的2倍与5的和 B．表示与6的和的2倍 C．表示的3倍与4的和的一半 D．表示与的和的平方 3．按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．某校现需购买甲、乙两种读本共80本供学生阅读，其中甲种读本的价格为10元/本，乙种读本的价格为8元/本，若购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为________元． 5．现有两块葡萄地，分别种了阳光玫瑰和巨峰两种不同品种的葡萄．种植阳光玫瑰的葡萄地的面积为4亩，平均每亩产葡萄约；种植巨峰的葡萄地的面积为亩，平均每亩产葡萄约，则两种葡萄的总产量约为______kg．（用含a，b的代数式表示） 6．一棵树高h（m）与生长时间n（年）之间满足一定的关系，请你根据下表中的数据写出h（m）与n（年）之间的关系式，______． n（年） 2 4 6 8 10 h（m） 2.6 3.2 3.8 4.4 5.0 三、解答题 7．已知数轴上的点A、B所表示的数分别为a、b，用含a、b的代数式表示： (1)A、B两点间的距离： (2)到点A、B的距离相等的点所表示的数． 8．电影院某部电影原来每张票60元，现在降价，观众人数增加．现在卖电影票的收入是否减少？ 9．一棵桃树结了m个桃子，有三只猴子先后来摘桃．第一只猴子摘走，再从树上摘一个吃掉；第二只猴子摘走剩下的，再从树上摘一个吃掉：第三只猴子再摘走剩下的，再从树上摘一个吃掉．用代数式表示树上最后剩下的桃子数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $