专题2.1 直线的倾斜角与斜率讲义（8类必考点）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.1 直线的倾斜角与斜率 【考点导航】 【知识梳理】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．直线的方向向量 我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为. 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则. 【考点1：求直线的倾斜角】 1．（贵州省部分学校2026-2027学年高二上学期10月联考数学试题）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知过两点，的直线的倾斜角为45°，则的值为（     ） A．-3 B．-4 C．1 D．2 3．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若，经过，两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）过，两点的直线的倾斜角为，则______. 【考点2：求直线的斜率】 1．（26-27高二上·重庆合川·阶段检测）已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（    ） A． B．4 C． D．5 2．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 3．（26-27高二上·江西·阶段检测）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________. 4．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）如图，已知正方形的一条对角线所在的直线斜率为2，则该正方形两条邻边所在的直线的斜率之和为__________ 5．（25-26高二·全国·暑假作业）已知（为坐标原点）是等腰直角三角形的直角顶点，点在第一象限，点B在第二象限，，则斜边的斜率为_________. 【考点3：直线的方向向量】 1．（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）直线的一个方向向量是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·宁夏吴忠·二模）已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 3．（25-26高二上·广东广州·期末）经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（    ） A． B．2 C． D．6 4．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）若直线的方向向量是，则直线的倾斜角的取值范围是______． 5．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知点，若直线的一个方向向量坐标为，则实数的值为________ 【考点4：斜率与倾斜角的变化关系】 1．（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·重庆合川·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系Oxy中，直线的位置如图所示，记的斜率和倾斜角分别为和，其中，2，3，4，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·全国·课前预习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·湖南永州·阶段检测）将直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线的斜率为__________． 【考点5：已知两点求斜率】 1．（26-27高二上·山东·期中）已知直线过、两点，则该直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）经过，两点的直线的斜率为________. 3．（25-26高一上·陕西汉中·期末）经过，两点的直线的斜率为__________. 4．（26-27高二上·辽宁锦州·阶段检测）已知，，则直线的斜率为___________. 5．（26-27高二上·福建三明·阶段检测）若直线l经过，两点，则直线l的斜率为______. 【考点6：已知斜率求参数】 1．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 3．（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【考点7：斜率公式的应用】 1．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二上·上海·期末）设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 3．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 4．（26-27高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知，，，不能构成三角形，则______． 5．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）如图，已知四边形为正方形，记所在直线的斜率分别为.若，则__________. 【考点8：由直线与线段的相交关系求斜率范围】 1．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知平面直角坐标系中的三个点，，，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（     ） A．0 B． C． D．3 2．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）已知实数，满足，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 3．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，，是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·重庆合川·阶段检测）在平面直角坐标系中，、、，若是的边上的动点，则直线的斜率的取值范围为______． 5．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知，，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是__________． 6．（26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知点，． (1)求直线的倾斜角； (2)过点的直线与过，两点的线段有公共点，求直线斜率和倾斜角的取值范围． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 直线的倾斜角与斜率 【考点导航】 【知识梳理】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．直线的方向向量 我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为. 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则. 【考点1：求直线的倾斜角】 1．（贵州省部分学校2026-2027学年高二上学期10月联考数学试题）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的倾斜角为，， 因为直线的斜率，所以． 2．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知过两点，的直线的倾斜角为45°，则的值为（     ） A．-3 B．-4 C．1 D．2 【答案】B 【详解】可知，可得，解得. 3．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点得到直线的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系，即，即可得到倾斜角. 【详解】由题可知，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 所以. 4．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若，经过，两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由两点式知，且倾斜角的范围是， 根据斜率与倾斜角的关系知，直线的倾斜角大小为. 5．（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）过，两点的直线的倾斜角为，则______. 【答案】 【分析】根据直线倾斜角求得斜率，结合两点斜率公式列方程求解，再检验舍去两点重合的增根即可得到结果. 【详解】因为直线的倾斜角为，故直线的斜率存在且斜率， 因为，， 由两点斜率公式得 ，即，即， 当时，此时，，两点重合，不能确定直线，舍去； 当时，得 ，整理得， 所以 ， 代入验证，、两点不重合，符合题意， 综上，的值为. 【考点2：求直线的斜率】 1．（26-27高二上·重庆合川·阶段检测）已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【详解】直线l的斜率． 2．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【答案】5 【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率,进一步得到直线的倾斜角的正切值,再根据同角关系式和半角公式求得直线的倾斜角的正切值，即为直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为,则直线的斜率, 由于,所以, 所以直线的斜率. 3．（26-27高二上·江西·阶段检测）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________. 【答案】 / 【分析】由已知结合直线的倾斜角与斜率关系及两角和与差的正切公式可求． 【详解】解：设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为，则， 由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为，， 因为，， 所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为为，． 故答案为：，． 4．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）如图，已知正方形的一条对角线所在的直线斜率为2，则该正方形两条邻边所在的直线的斜率之和为__________ 【答案】/ 【详解】如图，设直线的倾斜角为，则， 则正方形的边所在直线斜率为正、负时的倾斜角分别为， 则该正方形两条邻边所在的直线的斜率之和为 5．（25-26高二·全国·暑假作业）已知（为坐标原点）是等腰直角三角形的直角顶点，点在第一象限，点B在第二象限，，则斜边的斜率为_________. 【答案】 【分析】通过三角形求得，再结合斜率公式即可求解. 【详解】如图，设直线与轴的交点为， 则. 所以， 即斜边的斜率为. 【考点3：直线的方向向量】 1．（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）直线的一个方向向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的斜率，再由方向向量的定义可得. 【详解】直线的斜率为， 由直线的方向向量为可得其一个方向向量可以是. 故选：A. 2．（2026·宁夏吴忠·二模）已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解. 【详解】直线的斜率为，又因为直线的一个方向向量为，所以该直线的斜率也为，故. 故选：C. 3．（25-26高二上·广东广州·期末）经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系可求出t的值. 【详解】由题意，，则. 故选：C 4．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）若直线的方向向量是，则直线的倾斜角的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，的方向向量是，此时直线倾斜角； 当时，，结合且， 当时，；当时，； 即，则， 综合可得直线的倾斜角的取值范围是. 5．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知点，若直线的一个方向向量坐标为，则实数的值为________ 【答案】 【分析】根据直线方向向量的概念和向量共线的坐标表示列方程组求解即可. 【详解】由题意可得， 因为直线的一个方向向量坐标为， 所以，即，解得， 故答案为： 【考点4：斜率与倾斜角的变化关系】 1．（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 2．（26-27高二上·重庆合川·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系Oxy中，直线的位置如图所示，记的斜率和倾斜角分别为和，其中，2，3，4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据图中四条直线的上升、下降方向及陡缓程度判断各斜率的正负与大小，再结合倾斜角的定义比较各倾斜角。 【详解】因为，所以，则由图可得，． 3．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简得到斜率，得到斜率范围，再反求倾斜角范围. 【详解】由，得存在，所以,即， 若，则，原方程变成，不成立，所以，所以， 所以，则， 直线方程化为，即， 所以 ， 倾斜角，, 当 ，即 ， 当 ，即 ， 所以. 4．（26-27高二上·全国·课前预习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合的图象，进行求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 则有，且， 作出的图象，如图所示： 由此可得. 5．（26-27高二上·湖南永州·阶段检测）将直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线的斜率为__________． 【答案】 【分析】设直线的倾斜角为，易得直线的斜率为，设所得直线的倾斜角为，则直线的斜率由求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 则直线的斜率为， 设该直线绕点顺时针旋转得到直线的倾斜角为， 则直线的斜率是， 【考点5：已知两点求斜率】 1．（26-27高二上·山东·期中）已知直线过、两点，则该直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点连线的斜率公式可求得该直线的斜率. 【详解】由题意可知，直线的斜率为. 2．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）经过，两点的直线的斜率为________. 【答案】3 【详解】由斜率公式 3．（25-26高一上·陕西汉中·期末）经过，两点的直线的斜率为__________. 【答案】-1 【解析】根据两点间的斜率公式求解即可. 【详解】由题经过,两点的直线的斜率. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了两点,间斜率的公式,属于基础题. 4．（26-27高二上·辽宁锦州·阶段检测）已知，，则直线的斜率为___________. 【答案】 【分析】根据斜率公式可直接求解. 【详解】因为， 则 故答案为: 5．（26-27高二上·福建三明·阶段检测）若直线l经过，两点，则直线l的斜率为______. 【答案】 【详解】因为直线l经过，两点，所以直线l的斜率. 【考点6：已知斜率求参数】 1．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线过、两点，且倾斜角为，故. 由斜率公式可得，解得. 2．（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【详解】因为直线过点，，且斜率为1， 所以，解得． 3．（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，整理得，解得. 4．（25-26高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点求概率即可求参； 【详解】点，在斜率为的直线l上，则. 故选：D. 5．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【分析】根据斜率公式可得关于m的方程，求解可得实数的值. 【详解】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 故答案为：. 【考点7：斜率公式的应用】 1．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据直线的斜率公式进行求解即可. 【详解】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 2．（25-26高二上·上海·期末）设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 【答案】或 【分析】分别设出两直线的倾斜角，根据斜率公式列出方程即可求解. 【详解】依题意，设直线与直线的倾斜角分别为，则； 又，所以； 又直线与直线的夹角为， 所以当时， ，即，此时直线的斜率不存在，即； 所以当时， ，即，解得；所以，即，解得； 综上，或. 故答案为：或. 3．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据倾斜角的取值范围确定直线斜率的取值范围，再利用表示斜率，解不等式即可． 【详解】因为直线的倾斜角，可得直线的斜率， 又因为，可得直线的斜率，解得， 即的范围为， 故答案为：． 4．（26-27高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知，，，不能构成三角形，则______． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 5．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）如图，已知四边形为正方形，记所在直线的斜率分别为.若，则__________. 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为， 四边形是正方形，为正方形对角线， 直线倾斜角为，直线倾斜角为， 于是： ， ， ， 已知，代入： ， 通分整理： ， ， ， ， ， 因式分解：，得或， ①当时， ，， ， ②当时， ，此时，与题图中对角线斜率为正矛盾，舍去， 综上，. 【考点8：由直线与线段的相交关系求斜率范围】 1．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知平面直角坐标系中的三个点，，，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（     ） A．0 B． C． D．3 【答案】D 【分析】画出图形，利用直线斜率的计算公式，结合直线与线段的位置关系分析求解即可. 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或， 又， 所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 2．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）已知实数，满足，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】的几何意义：点与定点连线的斜率，先求线段两个端点坐标，定点，分别计算斜率，点从移动到，连线的斜率逐渐减小，从而得到斜率最小值，从而得到的最小值. 【详解】的几何意义：点与定点连线的斜率，     因为，即且， 当，，端点， 当，，端点， 所以动点是线段上的点， ，， 因为直线单调递增，从增大到， 点从移动到，连线的斜率逐渐减小. 所以斜率最小值为. 3．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，，是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可. 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 4．（26-27高二上·重庆合川·阶段检测）在平面直角坐标系中，、、，若是的边上的动点，则直线的斜率的取值范围为______． 【答案】 【详解】如图，由题意得，， 所以直线的斜率的取值范围为． 5．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知，，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用两点间距离及三角不等式的取等条件，将点的距离条件转化为直线与线段相交，再求斜率范围并转化为倾斜角范围． 【详解】由、得，由三角不等式及其取等条件，当且仅当点在线段上（含端点）． 令，则，． 因为在线段上的值随点的位置作线性变化，所以直线与线段相交当且仅当，即，化简得，解得或． 将直线方程化为，可知其斜率为且始终存在． 设直线的倾斜角为，则、，且，由正切函数在和上分别递增，得． 当时直线经过点，当时直线经过点，故两个端点均可取． 下图示意时直线与线段的交点． 6．（26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知点，． (1)求直线的倾斜角； (2)过点的直线与过，两点的线段有公共点，求直线斜率和倾斜角的取值范围． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用两点坐标求直线斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角； （2）先求出的斜率，结合图像观察直线绕定点旋转时斜率的变化规律，得到斜率取值范围，再结合倾斜角与斜率的对应关系，分段求出倾斜角范围，注意竖直直线倾斜角存在、斜率不存在的特殊情况． 【详解】（1）由已知得直线的斜率，设直线的倾斜角为，其中， 由斜率和倾斜角的关系，得，因此倾斜角． （2）直线的斜率，直线的斜率， 因为过点的直线与过两点的线段有公共点， 结合图像分析：直线绕点从位置逆时针转到位置的过程中， 斜率从趋向负无穷，经过竖直直线（斜率不存在）后从正无穷连续减小到， 所以直线斜率的取值范围为． 设直线倾斜角为，． 当，即，此时倾斜角； 当，即，此时倾斜角； 竖直直线倾斜角为，也满足题意． 综上合并，倾斜角取值范围：． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $