第1讲 任意角弧度制定义与同角关系专项训练-2027届高三数学一轮复习

任意角、弧度制、三角函数的定义与同角关系、诱导公式 三角函数 · 专题篇 任意角、弧度制与三角函数的定义 一、终边相同的角 与角 终边相同的角的集合：。 第 象限角的集合：。 二、弧度制 弧度； 弧度等于 。 弧长公式：。 扇形面积公式：。 三、三角函数的定义 在角 的终边上任取一点 （异于原点），记 ，则 ，，。 定义与终边上所取点的位置无关。 四、三角函数值的符号 第一象限全为正；第二象限正弦为正；第三象限正切为正；第四象限余弦为正。 五、终边的旋转与对称 逆时针旋转 ：；顺时针旋转 ：。 终边关于 轴对称：两角互为相反数。 终边关于 轴对称：。 终边关于原点对称：。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】题干只给出终边上一点的坐标，问的是同一个角的函数值 —— 这是定义最直接的考法，先算 。 【关键】，，。由定义 。选 C。 【易错】两处最容易错：一是 而不是 ；二是最后一步要分母有理化（），选项里给的是有理化后的形式。 【答案】C 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 = （ ） A. B. C. D. 3 【切入点】终边上一点 ⇒ 定义先给出 ；题目问的是 ，差角公式只是最后一步的工具。 【关键】由 得 ，于是 。选 B。 【易错】差角公式的分母是「加」（），与和角的「减」相反 —— 记反了分母的符号是这类题最常见的错。 【答案】B 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 若是角终边上一点，则 = （ ） A. B. C. 4 D. 【切入点】同上一题，先由定义得 ，再用和角公式。 【关键】由 得 ，于是 。选 D。 【易错】分母 是减负得加，写成 就错了。另外点的坐标是 （负的）， 的符号要跟着走。 【答案】D 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 已知角和角的顶点在坐标原点，始边均与轴非负半轴重合，终边关于直线对称，则 = （ ） A. B. C. 0 D. 1 【切入点】两个角的终边关于直线 对称，这条对称关系直接给出两角的和 —— 不必分别求出 、。 【关键】终边关于 对称的两个角满足 ，所以 。，选 C。 【易错】看到 容易往「和角公式」上想，但对称关系已经把 锁定成特殊角，用诱导公式（特殊角的函数值）一步到位。 别记成 。 【答案】C 例2（单选·★★☆☆☆） 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. - B. - C. D. 【切入点】题目的动作是「把终边绕原点旋转」—— 先把旋转写成角的关系，再用定义求出需要的函数值。 【关键】由 在角 的终边上，，故 。将终边逆时针旋转 ，即 ，于是 。选 A。 【易错】 中的负号是本题的命门，少了它就会选到 D。另外旋转方向要看清：逆时针是「加」，顺时针是「减」。 【答案】A 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】「终边旋转 」把 写成 ，于是问题变成「已知 求 」。 【关键】由 是第一象限角、，得 。，故 。选 C。 【易错】由 求 时先定符号再开方： 在第一象限所以取正号。另外 的正弦余弦值要记牢（、），弄反了就全错。 【答案】C 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. - B. - C. D. 【切入点】 在角 的终边上，由定义先取 、；逆时针旋转 得到 ，即 ，再用诱导公式把 化到 。 【关键】，故 、。由 得 ，选 A。 【易错】 的负号要背准（ 的终边把余弦变正弦、符号取第二象限）。旋转方向别看反：顺时针才是 ，那样 ，答案完全不同。 【答案】A 变式2-3（填空·★★☆☆☆） 已知为第一象限角，，则 = __________。 【切入点】 用诱导公式化成 ；条件给了 与象限，先用平方关系求 。 【关键】。 为第一象限角，。故填 。 【易错】，不是 ；开方取正号的依据是「 第一象限」—— 象限条件不给就得多写一个负值。 【答案】 或 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 已知点在角的终边上，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】终边上一点 ，由定义得 ，再用特殊角的正切值反查角； 的范围保证解唯一。 【关键】，。由 且 ，得 ，选 B。 【易错】 与 不要互混；定义式里 虽然可以不算，但要心里有数 —— 若点不在单位圆上， 依然成立，而 、 必须除以 。 【答案】B 例3（解答·★★★★☆） 已知。（1）化简；（2）若，且为第四象限角，求的值. 【切入点】（1）分子分母共五个因子，每个都是一条诱导公式，逐个化简再约分。（2） 化简后是单个函数值，条件给的就是它，所求的 用平方关系降次即可。 【关键】（1）、、、、、。 于是分子为 ，分母为 ，故 。 （2） 即 。 为第四象限角，。。 【易错】 的符号最容易错，口诀之外建议用「终边位置」再核一遍。（2）里用 直接降次即可，不必先写出 再平方，少一次开方少一处符号风险。 【答案】(1) ；(2) 变式3-1（填空·★★★★☆） 已知函数的图象过定点，点在角的终边上，若角的终边顺时针旋转后对应的角为，角、的始边均为平面直角坐标系中轴的非负半轴，则 = ___________。 【切入点】题眼是「指数函数图象过定点」—— 定点是 ，于是又回到「终边上一点」。 【关键】 过定点 ，故 ，。顺时针旋转 得 ，由诱导公式 ，，。所以 。 【易错】定点要找准： 当且仅当指数为 ，故 、，定点是 而不是 。另外顺时针旋转是 ，对应的两条诱导公式（正弦变余弦且变号、余弦变正弦不变号）要写对。 【答案】 变式3-2（填空·★★★☆☆） 角的终边经过点，且，则 = ________。 【切入点】点的坐标含参数 、条件里还有 —— 先用周期性把 去掉，再用定义建立方程。 【关键】（余弦的周期为 ，），故条件即 。又由定义 ，于是 。当 时两边都是 ，等式成立，此时点 在 轴正半轴上，；当 时可约去 ，得 ，，此时 ，。综上答案为 或 。 【易错】两边同除含参数的式子之前要先讨论它能不能为零 —— 本题 是一支独立的解，直接约掉 就会漏掉 。另外 是周期的整数倍，化简时不要算错倍数。 【答案】 或 变式3-3（单选·★★☆☆☆） 已知角与的终边关于轴对称，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【切入点】「两条终边关于 轴对称」是一条位置关系，先把它翻译成两角的等式，再求 的最大值。 【关键】若 与 的终边关于 轴对称，则 ，故 。又 ，，所以 ，最大值是 。选 B。 【易错】「关于 轴对称」不是 （那是关于 轴对称），而是 加周期。另外求的是 的最大值，对应 的最小值 —— 取反后大小关系翻转，别搞反。 【答案】B 变式3-4（单选·★★★★☆） 设和表示坐标平面内的几何变换，表示将几何对象绕原点逆时针旋转，表示将几何对象关于轴对称，表示连续次变换。已知角的终边经过点，若对角的终边先进行变换，再进行变换，得到角的终边，则 = （ ） A. B. C. D. 3 【切入点】新定义题 —— 先把 、 两个变换逐字翻译成角的关系，再回到「终边上一点求 」。 【关键】 是绕原点逆时针转 ， 是关于 轴对称。角 的终边过 ，先作 变换，终边变为过 的角 ，则 。再作 变换，即再逆时针转 ，故 ，。选 D。 【易错】两个变换的顺序是本题的考点： 轴对称会把横坐标变号，所以对称后 由 变成 ；若先旋转再对称，结果就不同了。另外 是「连续 次」，转动量是 而不是 。 【答案】D 同角三角函数的基本关系 一、同角三角函数的基本关系 平方关系：。 商数关系：。 二、平方关系的变形 ；。 ；。 三、 与 的关系 。 。 。 。 四、齐次分式的切化弦 。 。 五、高次齐次式的降次 。 。 。 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知为第二象限角，且，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】知道一个函数值、又知道角所在的象限，问另一个函数值 —— 用平方关系把两个函数值连起来，象限负责定符号。 【关键】 为第二象限角，故 。由 ，结合 得 。选 B。 【易错】公式 里出现的是平方，开方时正负号只能靠象限判断，不能想当然取正。若不用这个公式，也可以从 直接写出 ，再代平方关系同样可得。 【答案】B 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 已知为第四象限角，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】同一个角的 已知、象限已知，求 —— 与例 1 同型，也可以直接把两个关系式联立。 【关键】由 得 ，代入平方关系：，即 ，。 为第四象限角，，故 。选 C。 【易错】把 用 表示时不要丢符号： 是负的，所以 与 反号，这一步在平方之后看不出差别，但最后定号时要靠象限。 【答案】C 变式4-2（填空·★★☆☆☆） 若是第二象限角，，则 = ______。 【切入点】最基础的「知一求二」：给 与象限，求 。 【关键】 是第二象限角，故 。由 ，得 。 【易错】开方后取负号是唯一的考点。若把象限读错（比如把「第二象限」当成「第二象限的正弦为正」而顺手让余弦也取正），答案就会变成 。 【答案】 变式4-3（单选·★★☆☆☆） 已知是第三象限角，且，则 = A. B. C. D. 【切入点】已知 与象限，求的是 与 的一个组合 —— 先把两个函数值都算出来再代入。 【关键】 是第三象限角，故 。由 ，。于是 。选 A。 【易错】 在第三象限是正的（两个负号相除），算出负值一定是符号弄错了。另外最后合并同类项时 的系数是 ，别算成 。 【答案】A 变式4-4（单选·★★☆☆☆） 若，则＝（ ） A. 3 B. C. D. -3 【切入点】条件给的是 的值与一个开区间的范围，求 —— 先把待求式化简。 【关键】由 、 得 ，故 ，，。于是 。选 A。 【易错】 里的余弦为正，说明角落在第一象限，正弦取正 —— 这一步决定了 的符号。化简时把 写成 再与第一项通分，比分别算两个分数快得多。 【答案】A 例5（填空·★★★★☆） 已知且，则 = _______。 【切入点】题干给的是和，要求的是差 —— 两者都能通过平方与乘积互相表示，所以先把乘积算出来。 【关键】由 平方得 ，故 。又 ，乘积为负说明 与 异号，于是 ，此时 ，故 。由 ，所以 。 【易错】两步都要当心：一是先用乘积的符号缩小角的范围（把 收窄到 ），二是开方定号 —— 少了这一步就会丢掉负号。 【答案】 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】给的是和、求的是立方差 —— 立方差公式里恰好只出现「和」与「积」，所以先把积算出来。 【关键】由 平方得 ，故 。又 且乘积为负，故 ，。而 ，其中 ，故括号内为 ；又 ，取正根得 。所以 。选 C。 【易错】三个量（和、差、积）里任知其一即可推出另外两个，但符号都要单独判断。本题乘积为负、和为正，正好说明 、所以差为正 —— 漏掉这一步就会多一个负选项。 【答案】C 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 已知是第一象限角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件右边含 ，切化弦后条件变成 与 的线性关系，解出比例再用平方关系。 【关键】，条件即 ，得 。 代入 ：。 是第一象限角，、。，选 D。 【易错】切化弦默认 ——若 则 无意义，条件本身已排除。 化完再代入，别在最后一步又把 写成 。 【答案】D 变式5-3（单选·★★☆☆☆） 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】判断甲是乙的什么条件，两个方向都要走：乙能否推出甲、甲能否推出乙。两边都是同角关系的平方结构，平方是主要工具。 【关键】乙⇒甲：由 得 ，平方得 ，于是 ，甲成立。 甲⇏乙：取 、， 满足甲，但 ，乙不成立。 所以甲是乙的必要不充分条件，选 B。 【易错】「甲⇏乙」必须给出具体的反例（写出 、 的值），只说「不一定成立」不算证明。平方在两个方向都能用，但由「平方相等」推不回「原式相等」——符号丢了，这正是本题必要而不充分的原因。 【答案】B 变式5-4（单选·★★☆☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件里出现的是 —— 先把四次降成二次，凑出乘积，再回到差的平方。 【关键】，故 ，。又 ，，故 ，。于是 ，取负根得 。选 B。 【易错】降次用的是 的变形，别忘了系数 。取根号时先定 的符号：在 上正弦为负、余弦为正，差必为负。 【答案】B 例6（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是分式 ，分子含 、分母含 —— 同角关系的经典拆法：两边同乘 ，让分母上的 变成平方差，正好能用 。 【关键】两边乘 ：。由原式左边为 知 ，约去 得 ，即 。 代入 ：，，（ 舍去）。，，选 B。 【易错】约去 之前必须说明 （否则原式左边为 ，与 矛盾）—— 这一步是逻辑完整的保证。解二次方程得到的两根里 要舍去，它正是让原分式失去意义的那一支。 【答案】B 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 若，是方程的一个根，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件给的是 的一个方程，求的是 —— 把乘积补上分母 化成齐次式。 【关键】方程 的根为 与 ；由 知 ，故 。。选 B。 【易错】方程有两个根，必须用范围筛掉 ；补分母化成齐次式时，分子分母都是二次齐次，同除 才合法（需要 ，本题由范围保证）。 【答案】B 变式6-2（单选·★★☆☆☆） 已知角，向量，，若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】向量平行的坐标条件给出 与 的齐次关系，解出 ，再由 的范围定角。 【关键】 ，即 。由 且 知 在第一象限，故 ，选 B。 【易错】向量平行的坐标式是 ，交叉相乘别写反； 在 内只有 一个解（第三象限的解不在范围内），范围条件不能白给。 【答案】B 变式6-3（填空·★★★☆☆） 已知是方程的两根，则 = __________。 【切入点】、 是方程的两根 ⇒ 韦达定理给出和与积，再用同一个结果把待求式化简。 【关键】由韦达定理 ，。又 ，故 。待求式通分：。 【易错】第一步的平方关系给出的是和的平方为零，要说明「和本身为零」（平方为零则原数必为零，这一步是严密的）。通分时把两个分式的分母统一成 ，分子就成了平方差，正好能约掉一个因式 —— 这是本题最巧的一步。 【答案】 变式6-4（填空·★★★☆☆） 已知，则的值为__________。 【切入点】 的两边平方会同时给出乘积 —— 先平方定出 ，再代入所求。 【关键】两边平方：，即 ，故 。 时 ，故 ，。 （，正切以 为周期）。填 。 【易错】平方后得到的是「乘积为零」，由 排除 的那支（那要求 ，不在开区间内）。 在 时恰为 ，正切的周期性把 消掉 —— 这一步用的是 ，属于本讲范围。 【答案】 诱导公式与齐次式 一、诱导公式（、、） ，，。 ，，。 ，，。 ，，。 二、诱导公式（、） ，，。 ，。 ，。 ，。 三、记忆口径 把角写成 的形状： 为偶数时函数名不变， 为奇数时函数名改变（正弦与余弦互换）；符号取「把 看作锐角时，原角所在的象限内原函数的符号」。 四、三角函数的周期 ，，。 五、一次齐次分式的切化弦 。 六、二次齐次式的切化弦 ，，。 例7（单选·★★☆☆☆） 已知，则＝（ ） A. - B. - C. D. 【切入点】 的表达式里四个角全是诱导公式的形状 —— 先把 化成一个简单式子，再代入求值。 【关键】逐个用诱导公式：，，，。于是 。又 ，故 。选 B。 【易错】四个诱导公式各带一个符号，先把每个符号写清楚再约分，直接凭感觉约很容易多一个负号。另外 是 的偶数倍，余弦的值不变，只用处理 。 【答案】B 变式7-1（填空·★★★☆☆） 已知是第四象限角，且，则 = ______。 【切入点】分子分母各两项，全是诱导公式的形状；先把每个角化到 ，再齐次化。 【关键】 是第四象限角且 ，故 ，。由诱导公式 ，，，。于是原式等于 。 【易错】分子分母里 与 的位置不一样（分子是「」，分母是「」），同除 后对应的 系数也就不同，别抄成一样。 【答案】 变式7-2（填空·★★★☆☆） 已知，则 = ________。 【切入点】分子是 、分母是两个函数之积，全用诱导公式化到 ，再合并。 【关键】，，。故原式等于 。由 得 ，所以原式等于 。 【易错】分子分母各有一个负号，相乘变正，别漏。化简到 后不必求 本身（它的正负会被平方消掉），直接用平方关系即可。 【答案】 变式7-3（填空·★★★☆☆） 已知，则的值为______。 【切入点】条件给的是 ，待求式是两个函数之积 —— 先用诱导公式两边各化简一次。 【关键】由 。，。故原式等于 。 【易错】判断 时， 是 的奇数倍，函数名不变、符号由象限定，结果是 ；同理 。两个负号相乘变正，最后得到的是 （正的表达式）。 【答案】 变式7-4（填空·★★★☆☆） 已知，则的值为____。 【切入点】条件与待求式里全是诱导公式，先把两边都化到 的基本量。 【关键】，，故 。平方得 ，故 。又 ，，故原式等于 。 【易错】两个诱导各要看准： 是 的奇数倍 ⇒ （不是 ）； 是 的奇数倍 ⇒ 正弦变余弦。最后一步用 ，这里要的是 ，别与 混。 【答案】 变式7-5（填空·★★★☆☆） 已知为第四象限角,化简, = ________。 【切入点】根号里是分式、分母含 —— 先用诱导公式化到 ，再把根号里的分式有理化。 【关键】，，，。故原式等于 。把根号内分子分母同乘共轭因式，得 。 为第四象限角，，且 、，故原式等于 。 【易错】开方后要提绝对值：，再根据 与 的符号去掉绝对值。漏掉绝对值这一步，符号就可能出错。 【答案】 变式7-6（填空·★★★☆☆） 已知是方程的根，是第三象限角，则 = ______。 【切入点】条件先给一个方程，要先解出 ；待求式全是诱导公式，化到最后只剩 。 【关键】方程 的根为 与 ；由 是第三象限角知 ，故 ，，。由诱导公式 ，，，，。故原式等于 。 【易错】方程的根有两个，先用象限筛掉 （ 不能大于 ）。 要先把括号里的角整理成 的奇数倍再加 ，再套公式，直接凭感觉容易弄错符号。 【答案】 例8（单选·★☆☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】分子与分母都是 、 的一次齐次式 —— 上下同除 就变成 的式子。 【关键】由 得 。。选 D。 【易错】同除 需要 ，而题设给出 存在，这一点由题意保证。分子分母的常数项位置别写反： 的系数对应分子分母的常数项， 的系数对应 的系数。 【答案】D 变式8-1（单选·★★☆☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 的余弦是一条诱导公式； 已给、象限已定，先算 。 【关键】，。，选 D。 【易错】，负号别丢； 的符号由 （第二象限）定为负，两处负号叠出来是正。 【答案】D 变式8-2（单选·★★☆☆☆） 已知函数是偶函数，则实数 = （ ） A. B. C. 1 D. 2 【切入点】 含 ，先用诱导公式化成 ，再用偶函数条件定 。 【关键】，。由 ：。取 的 ，两边去分母：，即 ，整理 。由 不恒为零得 ，选 C。 【易错】偶函数条件是对一切 成立，所以整理出 后，结论是「」而不是「取某个具体的 」。先化掉 再动偶函数条件，否则式子里两类函数搅在一起没法比。 【答案】C 变式8-3（单选·★★★☆☆） 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】充分性：把 代入验证；必要性：解方程 ，解集是否恰好就是那串角。 【关键】充分性： 时 、， 成立。 必要性：两边平方，，即 ， 或 。 时 ，代回原式只有 成立（即 ）； 时 ，而 ，代回不成立。故解集恰为 ，充要，选 A。 【易错】必要性两边平方会引入增根 —— 那一支必须回代原式检验，不能平方完就直接下结论。本题 的周期性靠诱导公式归到一圆内讨论，与「充要条件」的判断合在一道题里。 【答案】A 变式8-4（单选·★★☆☆☆） 已知，且为第三象限角.复数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 的实部与虚部都是大角度的三角函数，先用诱导公式化简，再做复数的除法。 【关键】 且 第三象限，、。，，故 。 ，选 A。 【易错】 的符号（ 的终边位置决定取正）；复数除法用共轭：，分子 。 【答案】A 变式8-5（单选·★★☆☆☆） 若，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 用诱导公式化成 ，即得 ； 的值由 与象限共同决定。 【关键】，故 。由 且 知 为第一象限角，、，，选 B。 【易错】互余两角的正切互倒：，不是 。 配合 排除第三象限， 才能取正。 【答案】B 变式8-6（填空·★★☆☆☆） 已知，满足，则 = __________。 【切入点】 先用诱导公式化成 ，条件即 ，再用同角关系求 。 【关键】。 且 ，故 是锐角，，。填 。 【易错】，不是 ； 加上 才锁定第一象限、 取正 —— 两个条件缺一不可。 【答案】 变式8-7（单选·★★☆☆☆） 定义在上的函数是奇函数且，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 说明每加 函数值重复 —— 先用这条递推把 搬进可控范围，再用奇函数翻进已知表达式所在的区间。 【关键】，故 。 ，用奇函数：；而 ，由递推 。故 ，选 A。 【易错】递推给出的周期是 ，不是 ；搬移时加减 的整数倍即可， 的余数决定落点。「奇函数」与「递推」每步只用一条，交替把点送进已知区间。 【答案】A 例9（解答·★★★★☆） 已知。求的值。 【切入点】 给出 ；分子是两个大角度的余弦，用诱导公式逐个化到 ，再整体用 、 的比例求商。 【关键】由 且 得 。，故 ；。 分子为 。由 ，设 、（），分子为 、分母 ，故原式等于 。 【易错】 的符号要核： 的终边落在纵轴负方向附近，余弦值取正的那一支对应 。用「设 、」比解出具体函数值更快，也避免开方定号—— 的符号在商里自动消掉。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 任意角、弧度制、三角函数的定义与同角关系、诱导公式 三角函数 · 专题篇 任意角、弧度制与三角函数的定义 一、终边相同的角 与角 终边相同的角的集合：。 第 象限角的集合：。 二、弧度制 弧度； 弧度等于 。 弧长公式：。 扇形面积公式：。 三、三角函数的定义 在角 的终边上任取一点 （异于原点），记 ，则 ，，。 定义与终边上所取点的位置无关。 四、三角函数值的符号 第一象限全为正；第二象限正弦为正；第三象限正切为正；第四象限余弦为正。 五、终边的旋转与对称 逆时针旋转 ：；顺时针旋转 ：。 终边关于 轴对称：两角互为相反数。 终边关于 轴对称：。 终边关于原点对称：。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 = （ ） A. B. C. D. 3 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 若是角终边上一点，则 = （ ） A. B. C. 4 D. 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 已知角和角的顶点在坐标原点，始边均与轴非负半轴重合，终边关于直线对称，则 = （ ） A. B. C. 0 D. 1 例2（单选·★★☆☆☆） 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. - B. - C. D. 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. - B. - C. D. 变式2-3（填空·★★☆☆☆） 已知为第一象限角，，则 = __________。 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 已知点在角的终边上，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 例3（解答·★★★★☆） 已知。（1）化简；（2）若，且为第四象限角，求的值. 变式3-1（填空·★★★★☆） 已知函数的图象过定点，点在角的终边上，若角的终边顺时针旋转后对应的角为，角、的始边均为平面直角坐标系中轴的非负半轴，则 = ___________。 变式3-2（填空·★★★☆☆） 角的终边经过点，且，则 = ________。 变式3-3（单选·★★☆☆☆） 已知角与的终边关于轴对称，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 变式3-4（单选·★★★★☆） 设和表示坐标平面内的几何变换，表示将几何对象绕原点逆时针旋转，表示将几何对象关于轴对称，表示连续次变换。已知角的终边经过点，若对角的终边先进行变换，再进行变换，得到角的终边，则 = （ ） A. B. C. D. 3 同角三角函数的基本关系 一、同角三角函数的基本关系 平方关系：。 商数关系：。 二、平方关系的变形 ；。 ；。 三、 与 的关系 。 。 。 。 四、齐次分式的切化弦 。 。 五、高次齐次式的降次 。 。 。 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知为第二象限角，且，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 已知为第四象限角，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-2（填空·★★☆☆☆） 若是第二象限角，，则 = ______。 变式4-3（单选·★★☆☆☆） 已知是第三象限角，且，则 = A. B. C. D. 变式4-4（单选·★★☆☆☆） 若，则＝（ ） A. 3 B. C. D. -3 例5（填空·★★★★☆） 已知且，则 = _______。 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 已知是第一象限角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式5-3（单选·★★☆☆☆） 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式5-4（单选·★★☆☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 例6（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 若，是方程的一个根，则 = （ ） A. B. C. D. 变式6-2（单选·★★☆☆☆） 已知角，向量，，若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式6-3（填空·★★★☆☆） 已知是方程的两根，则 = __________。 变式6-4（填空·★★★☆☆） 已知，则的值为__________。 诱导公式与齐次式 一、诱导公式（、、） ，，。 ，，。 ，，。 ，，。 二、诱导公式（、） ，，。 ，。 ，。 ，。 三、记忆口径 把角写成 的形状： 为偶数时函数名不变， 为奇数时函数名改变（正弦与余弦互换）；符号取「把 看作锐角时，原角所在的象限内原函数的符号」。 四、三角函数的周期 ，，。 五、一次齐次分式的切化弦 。 六、二次齐次式的切化弦 ，，。 例7（单选·★★☆☆☆） 已知，则＝（ ） A. - B. - C. D. 变式7-1（填空·★★★☆☆） 已知是第四象限角，且，则 = ______。 变式7-2（填空·★★★☆☆） 已知，则 = ________。 变式7-3（填空·★★★☆☆） 已知，则的值为______。 变式7-4（填空·★★★☆☆） 已知，则的值为____。 变式7-5（填空·★★★☆☆） 已知为第四象限角,化简, = ________。 变式7-6（填空·★★★☆☆） 已知是方程的根，是第三象限角，则 = ______。 例8（单选·★☆☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 变式8-1（单选·★★☆☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式8-2（单选·★★☆☆☆） 已知函数是偶函数，则实数 = （ ） A. B. C. 1 D. 2 变式8-3（单选·★★★☆☆） 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式8-4（单选·★★☆☆☆） 已知，且为第三象限角.复数，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式8-5（单选·★★☆☆☆） 若，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式8-6（填空·★★☆☆☆） 已知，满足，则 = __________。 变式8-7（单选·★★☆☆☆） 定义在上的函数是奇函数且，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 例9（解答·★★★★☆） 已知。求的值。 学科网（北京）股份有限公司 $