15.1.2　线段的垂直平分线 （第2课时） 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时）（教学设计） 年级 八年级 学科 数学 课题 15.1.2 线段的垂直平分线 课时 第2课时 教材 人教版（2024）八年级数学上册第十五章 课型 新授课 授课教师 ＿＿＿＿＿＿ 授课班级 ＿＿＿＿＿＿ 一、教材分析 上一课时把线段垂直平分线的性质和判定说清楚了，可光会说不算数——几何里很多结论，得能“画”出来才叫真会用。第2课时干的就是这件事：用尺规把线段的垂直平分线作出来，再顺着这个办法去作一个简单图形的对称轴，还会顺带学一手“过一点作已知直线的垂线”。 这节课的分量不轻。章头就说对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线，那么“怎样找到一条对称轴”这个问题，归根到底就是“怎样作一条线段的垂直平分线”。学生在例1里要给五角星找对称轴，用到的正是这一手。往后尺规作图的考查里，“作垂直平分线”出现的频率相当高，中考的作图题、综合题里也常拿它当第一步。所以这一节是必须练熟的基本功。 教材的安排很讲究顺序：先给一个证明题（DA=DC、BA=BC，证BD是AC的垂直平分线），让学生看清楚“两个点就能定下这条线”，再去想这两个点怎么用尺规找出来，最后才是作法的规范和“为什么这样做”的道理。一步扣一步，把“为什么能作”讲在了“怎么作”之前。 二、学情分析 我这两届学生学尺规作图，普遍有两个坎。第一个坎是“会说不会画”。性质的文字背得溜，可真拿圆规在纸上一比划，半径取多长、圆弧怎么交，手上就乱了。第二个坎是“只画不想”。尺规作图要求“保留作图痕迹”，有些孩子画完不知道痕迹留着干什么，把关键弧线擦掉了，等于把依据给擦了。 具体到这节课，还有一处特别容易翻车：为什么半径要大于线段的一半。学生照着做能做出交点，可要是追问一句“取小了行不行”，多数答不上来。我在备课时就打定主意，这个问题不能由我直接给答案，得让学生自己把半径取小，试一次交不上点，才知道为什么。 另外，班里学生的书写习惯是个老问题。尺规作图题常常要求“不写作法，保留作图痕迹”，学生又常常把痕迹画得太轻、太乱，改卷老师看不清。所以这节课我会专门强调一句：痕迹要留得清楚、干净。 三、教学目标 1．会用尺规作一条线段的垂直平分线，说得出每一步作法的依据；能用这个办法作出简单图形的对称轴。 2．会用尺规过一点作已知直线的垂线，知道它与作垂直平分线之间的联系。 3．在动手作图的过程中，体会“作法”背后是“依据”，学会一边画一边想为什么，逐步养成作图规范、痕迹清晰的好习惯。 四、教学重点与难点 教学重点：用尺规作线段的垂直平分线。 教学难点：用尺规过一点作已知直线的垂线。 五、教学准备 多媒体课件，每人一套尺规（圆规、无刻度直尺）、铅笔、练习本；教师准备大号圆规一副，供黑板演示。 六、教学过程 （一）复习导入（约3分钟） 【教师活动】 上课先花两分钟把上节的话头接上。我问：什么叫线段的垂直平分线？它的性质和判定定理分别怎么说？学生答完，我再抛一个更有意思的问题：上节我们说，对称轴就是任意一对对称点所连线段的垂直平分线。那么，如果给你一个轴对称图形，要你把它的一条对称轴画出来，该怎么下手？ 学生愣了一下——光知道结论，还不知道怎么落笔。我就顺势把课题写上黑板：今天咱们就来解决“动手作出来”这件事。 【学生活动】 回忆垂直平分线的定义、性质定理和判定定理，明确本节课要学研究“怎样把这条线作出来”。 （二）用尺规作线段的垂直平分线（约14分钟） 1．用证明题铺路 【教师活动】 屏幕上先给一道证明题：已知DA=DC，BA=BC，求证直线BD是线段AC的垂直平分线。 学生刚学过判定定理，很快就能说出来：因为DA=DC，所以点D在线段AC的垂直平分线上；同理点B也在上面；两点确定一条直线，所以直线BD就是AC的垂直平分线。 我接着问：这道题告诉了我们什么？学生答：只要找到两个到A、C距离相等的点，连起来就是垂直平分线。我再追一句：那这两个点怎么找？ 【学生活动】 独立完成证明，说出“两个点定一条线”的道理，思考怎样用尺规把这两个点作出来。 2．想清楚两个点怎么来 【教师活动】 学生议论一会儿，会想到用圆规画弧。我带着他们把想法说规范：分别以线段的两个端点为圆心，用大于线段一半的长为半径作弧，两弧的两个交点就是我们要找的两个点。这个“大于一半”的说法，我先记在黑板上，暂时不解释，等作完再回头算账。 【学生活动】 讨论确定两个点的办法，尝试说出半径该怎么取。 3．规范作法 【教师活动】 我把题目亮清楚：已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线。 然后一边在大号圆规上演示，一边带学生把作法讲规范： 作法：1．分别以点A，B为圆心，大于½AB的长为半径作弧，两弧交于点C，D两点； 2．作直线CD。 直线CD即为所求。 学生照着在大屏幕上跟做一遍，我在下面转一圈，看谁的圆规张得不对、谁的痕迹画得太轻。 4．回头算账：两个“为什么” 【教师活动】 作法做完了，我把先前记下的问题拿出来。第一个问题：为什么要以大于½AB的长为半径作弧？学生这会儿有了实践，能说上来：如果小于½AB，两弧根本碰不上，就没有交点。我请一个之前取小了半径的学生说他的遭遇，全班都笑了，也记住了。第二个问题：CD凭什么就是AB的垂直平分线？学生用刚学的判定说：点C到A、B距离相等，点D到A、B距离也相等，所以都在垂直平分线上；两点确定一条直线，所以CD就是。 【学生活动】 尝试把半径取小，观察两弧交不上，说出“为什么必须大于½AB”；再用判定定理说明CD为什么是垂直平分线。 【设计意图】 “为什么”不是提前灌给学生的，是让他们作图之后回头自己找答案。半径取小试一次，比听十遍讲解都记得牢。 （三）典例精讲（约9分钟） 例1 下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴。 作法：①找出五角星的一对对应点A和A'，连接AA'。 ②作出线段AA'的垂直平分线l。 则l就是这个五角星的一条对称轴。 用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴。 【讲解思路】 这道题的价值在于把刚学的尺规作图用起来。我在黑板上先把A、A'这一对对称点圈出来，问一句：它们连线的垂直平分线是什么？学生答“对称轴”。那就说明——找对称轴这件事，被我们变成了“作一条线段的垂直平分线”。学生一看原来是一回事，立刻觉得轻松了。不过我得提醒他们：一对点只能定一条对称轴，五角星有五对，所以得重复做五次。这一步不提醒，总有人做一条就停手。 【学生活动】 用尺规独立作出五角星的对称轴，画完在本子上数一数总共几条；同桌互相检查痕迹留得清不清楚。 例2 教科书P68例题 【教师活动】 这道题按教科书的安排处理。我先让学生自己读题、自己动笔，我在教室里转一圈看看谁卡住了。遇到普遍问题再统一讲。 【学生活动】 独立完成，遇到困难的同学可以参考例题的作法表述，写完与同桌交换检查。 例3 如图，在某条公路的同旁有两座城市A、B，为了方便市民就医治疗，政府决定在公路边建一所医院，这所医院建在什么位置，能使两座城市到这个医院的路程一样长？ 分析：医院到A、B两地的路程一样长，说明它必须落在AB的垂直平分线上；同时它还得挨着公路。两个要求一交，位置就定死了——就是AB的垂直平分线与公路的交点。 解：如图所示，(1)连接AB，分别以A，B为圆心，以大于½AB长为半径画弧，两弧相交于C，D两点； (2)作直线CD，交公路所在直线于P，则点P即为所建医院的位置。 总结：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 【易错提醒】 这类实际应用题，学生最怕的是“看不懂题在说什么”。我带他们做一次翻译：题目里“路程一样长”，翻译成几何语言就是“医院到A、B两点距离相等”，那它在哪儿？在AB的垂直平分线上。再加上一句“在公路边”，就变成“垂直平分线与公路的交点”。翻完这两句，学生自己就能笑了——原来这么简单。做题时我还提醒一句：图上的公路是一条直线，交点只有一个，别漏了。 【学生活动】 先把实际语言翻译成几何语言，再自己动手作图定点；请一名学生上台在黑板上完成全过程，其余同学检查痕迹与标注。 【设计意图】 三个例题，一个练“用垂直平分线找对称轴”，一个跟着教科书走，一个把垂直平分线用回生活。学生会发现，课本上那条性质，原来能解决真问题。 （四）当堂检测（约11分钟） 1．通过如下尺规作图，能得到BD=AD的是（　　） 2．(2024·河北中考)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（　　） A．角平分线　　B．高线 C．中位线　　　D．中线 3．如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于½AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，CD交直线l于点F，则下列结论不一定正确的是（　　） A．CD=CA　　B．CD⊥直线l C．AF=BF　　D．CD平分线段AB 4．如图，在△ABC中，∠B=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为＿＿＿＿＿＿＿＿。 5．(2025·柳州质检)如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于½AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，若AE=4 cm，△ABD的周长为14 cm，则△ABC的周长为＿＿＿＿＿＿＿＿cm。 6．如图，△ABC与△DEF关于某直线对称，请画出它们的对称轴。 7．如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺在图①和图②中，分别作出直线l。 8．如图，已知△ABC。 (1)按要求作图： ①作出△ABC的角平分线AD；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) ②作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F； (2)在(1)的基础上，若△ABC的面积是21，AB=8，DF=3，求AC的长。 **【参考答案与解析】 1．C　解析：C的作图是作线段AB的垂直平分线，交BC于点D，点D在AB的垂直平分线上，所以DA=DB，即BD=AD；A作的是BC的垂直平分线，得DB=DC；B作的是∠BAC的平分线；D中只以A为圆心画弧，得AD=AE，都不能得BD=AD。 2．B　解析：痕迹是先以B为圆心画弧交AC于两点，再以这两点为圆心、同样长为半径画弧交于点E。B到这两点的距离相等，E到这两点的距离也相等，所以直线BE是这两点连线段的垂直平分线，它与AC的交点D就是垂足，即BD⊥AC，所以BD是△ABC的高线。 3．A　解析：C到A、B的距离相等，D到A、B的距离也相等，所以直线CD是AB的垂直平分线。于是CD⊥l、AF=BF、CD平分线段AB都成立；而CD与CA只是两条线段，长度不一定相等，A不一定正确。 4．50°　解析：痕迹是过点C作AB的垂线，垂足为G，所以CG⊥AB。在Rt△BCG中，∠BCG=90°-∠B=90°-40°=50°。 5．22　解析：MN是AC的垂直平分线，所以E是AC的中点，AC=2AE=8，且AD=CD。△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=14，所以△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22。 6．作图：连接一对对应点（如点A与点D），再作这条线段的垂直平分线，它就是所求的对称轴。（图略） 7．作图：连接B与F、C与E，设直线BF与CE的交点为P；再连接A与F、C与D，设交点为Q，直线PQ就是对称轴l。理由：整个图形关于l对称，折叠时B与E重合、C与F重合，交叉连线BF与CE的交点折叠后不动，一定落在对称轴l上；同理Q也在l上，两点确定一条直线。（图略） 8．(1)①用尺规作∠BAC的平分线AD，交BC于D；②过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为E、F。（图略） (2)6　解析：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=DF=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。S△ABC=S△ABD+S△ACD=½×AB×DE+½×AC×DF=½×8×3+½×AC×3=12+1.5×AC=21，解得AC=6。 【处理方式】** 第1～5题当堂笔答，做完对答案，第1、2题让学生说清“痕迹告诉了我们什么”；第6、7题让全对的同学上台演示，第7题特别讲究——只给无刻度直尺，靠的是对称点连线被对称轴垂直平分这个道理，我会请学生先想再画；第8题作为综合题留到课后，下节课讲评。 （五）课堂小结（约3分钟） 下课前留三分钟，我让学生自己说：今天学会了哪两件作图的本事？作线段垂直平分线的时候，圆规该张多大？CD为什么就是垂直平分线？学生答完，我在黑板上把“作法”和“依据”两栏并排写出来，让他们看清一件事——尺规作图，画的每一步都要有个道理撑着。 七、板书设计 课题：15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 左侧（作法）—— 已知：线段AB。 求作：线段AB的垂直平分线。 作法：1．分别以A，B为圆心，大于½AB的长为半径作弧，两弧交于C，D； 2．作直线CD。直线CD即为所求。 中间（依据）—— 点C、D到A、B距离相等 → 都在AB的垂直平分线上 → 两点确定一条直线 → CD就是所求。 右侧（例题与板演）—— 例1（五角星） 例2 例3（建医院） 八、作业布置 1．教科书第69页练习第1，2题。 2．在作业本上：先画一条线段，用尺规作出它的垂直平分线；再随便画一个三角形，用尺规作出其中两边的垂直平分线，看看它们的交点落在哪里。 九、教学反思 这节课最让我满意的是“半径取小”那个环节。我事先没讲为什么必须大于½AB，只在黑板上记了个问题。等到学生自己动手，有个孩子半径取小了，弧怎么画都交不上，急得直挠头。这时候我再把问题提出来，全班一下子就懂了。原来讲道理，不一定非要老师先讲——让学生先摔一跤，效果反而更好。 不足的地方在两个地方。一是例2（教科书P68例题）我处理得比较粗，没在这节课上展开讲，学生自己动笔时有几个卡住了，我巡视也没来得及一一顾及，这块下次得排足时间。二是当堂检测第7题，只给无刻度直尺作对称轴，难度不小。学生习惯了一动手就用圆规，一看不发圆规就慌。其实道理还是“对称点连线被对称轴垂直平分”，可要想到这一层，需要脑子转个弯。这道题我打算下一节再专门拿出来讲一遍。 另外，作图痕迹这个老毛病还是有。班里大概五六个学生画完就把弧线擦了。看来“保留作图痕迹”这件事，得每节课都念一遍，念到他们形成条件反射为止。 学科网（北京）股份有限公司 $