第三章图形的相似单元质量检测题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2026-2027学年度上学期九年级单元质量检测题（三） 北师大版九年级数学上册　第三章　图形的相似 A卷（100分） 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1．若，则的值为是（　　） A． B．4 C．6 D．9 2．如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD相交于点F，则下列等式中不成立的是（　　） 4题图 3题图 2题图 A． B． C． D． 3．小明和家人在野外旅游发现有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为（　　） A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm 4．如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　） A．∠B+∠4=180° B．CD∥AB C．∠1=∠4 D．∠2=∠3 5．两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是（　　） A． B． C． D． 6． 如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的面积之比是（　　） A．2:1 B．1:2 C．4:1 D．1:4 7．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA=150 cm，阻力臂OB=50 cm，BD=20 cm，则AC的长度是（　　） A．80 cm B．60 cm C．50 cm D．40 cm 7题图 8题图 6题图 8．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是以原点O为位似中心的位似图形．若B′（2，0），B（4，0），A'B'，则AB＝（　　） A．3 B． C．4 D． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9．若点P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，AB=4，则PA的长度为　 　． 10．如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 　 　． ① ② ③ ④ ⑤ 11．如图，，，，，则的长为 ．11题图 12题图 13题图 12．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3:1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 cm． 13．如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA=1，∠OAB=90°，则点G的坐标为 ． 三、解答题（共5小题，14题共12分，15题8分，16题8分，17-18题10分，共计48分） 14．（本题12分） （1）已知线段a，b，满足求的值． （2）若，求的值． 15．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为(−1,−3)和(2,6)． （1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△． 16．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F，交对角线AC于点G． （1）若DE＝1，AD＝2，求的值； （2）求证：△BCF∽△EAB． 17．（10分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，点F在BC边上，连接DF． （1）若△ADE的面积为1，求四边形BCED的面积； （2）若DF∥AC，BF=3，求DE的长度． 18．（10分）【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． （1）晒衣架完全稳固张开时，连接AC，证明：AC∥EF； （2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 图1 图2 B卷（20分） 一、填空题（每小题2分，共6分） 19．如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点A和点C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交边于点D．连接．若，，则的长为 ． 20题图图 21题图 19题图 20．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，△ABC的顶点A的坐标为(4,3)．以点P为位似中心作△与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△与△位似，相似比为2，且与△位于点P同侧……按照以上规律作图，点A3的坐标为 　 　． 21．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②；③④；；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是 　 　． 二、解答题（22题6分，23题8分，共计14分） 22．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），．将△ADP沿翻折得到△的延长线交边AB于点M，过点B作交DC于点N． （1）求证：； （2）请判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图2，连接AC，分别交PM,PB于点E，F．若，求的值． 图1 图2 23．【操作发现】 （1）如图1，△ABC和△ADE是等边三角形，连接BD，CE交于点F． ①的值为________；②的度数为________； （2）【类比探究】如图2，在△ABC和△ADE中，，，，连接CE交BD的延长线于点F．求的值及的度数； （3）【实际应用】在（2）的条件下，将△ADE绕点A在平面内旋转，CE，BD所在直线交于点F，若，，请直接写出当点D与点F重合时BD的长． 图1 图2 备用图 九年级数学（三） 第 1 页 （共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 2026—2027学年度上期单元质量检测题 九年级数学 （三）相似图形 参考答案 一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1．B． 2．C． 3．C． 4．D． 5．B． 6．D． 7．B． 8．B． 二．填空题（共5小题，14题共12分，15题8分，16题8分，17-18题10分，共计48分） 9．　 　10．①② 11．． 12． 195 13. 三．解答题（共5小题,共48分） 14.（1）解：， （2）解：， ， 。 15.（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 16.（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AE，BC＝AD＝2， ∴△CBF∽△DEF， ∴＝＝2； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AE，∠BAE＝∠FCB， ∴∠E＝∠CBF， ∴△BCF∽△EAB． 17.（1）解：∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 18（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． B卷（20分） 1、 填空题（6分） 19. 6 20. 21. ①③④ 2、 解答题（22题6分，23题8分） (1)证明：过点作于点，则四边形和四边形是矩形，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， 即； (2)解：四边形是菱形；理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∴四边形是菱形； 解：由于，设， 由（1）可知：， ， ∴， ，， ， ， ， ， 同理可得：， ∵四边形是菱形， ， 在中，， 解得：， ， ∴， ， ， ， ， ． 23.（1）解：如图， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴． （2）解：如图， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （3）解：如图，当点与重合时，， ∴， 由（2）知； 如图，当点与重合时，， 则， 同理可得， 综上，． $