2026-2027学年苏科版八年级数学上册第七周练习《垂直平分线与角平分线》

2026-2027学年八上数学第七周《垂直平分线与角平分线》 【知识梳理】 垂直平分线性质与判定 角平分线性质与判定 【课前热身】 1．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是 _____ ． 第1题 第2题 第3题 2．如图，在△ABC中，BC＝9cm，CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC于点E，DE＝2cm．则△BCD的面积为 _____ cm2． 3．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的平分线相交于点O．若∠OBC＝α，则∠BAC的度数为（　　） A．2α B．90﹣α C． D．180﹣2α 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．104° B．106° C．117° D．136° 第4题 第5题 第6题 5．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝42°，则∠AOC＝_______ °． 6．如图，在△ABC，∠EDF＝82°，点D是BC上一点，EM、FN分别是线段BD、CD的垂直平分线，则∠A＝________ ． 7．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D，E分别是射线AB，射线AC上的点，AD，AE的垂直平分线交于点O，当点O落在BC上时，DE长的最小值为 ________________ ． 8．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．AC，BD相交于点O，请结合图形写出一个正确的数学结论_________________ ． 9．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 10．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD：S△ACD＝________ ； （2）如图2，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E．使得AD＝DE，连接BE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值． 【典型例题】 1．如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB． （1）求证：BO平分∠ABC； （2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长． 2．如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 变式1：如图，以下三个结论知二推一：①AP平分∠BAC（角平分线）；②∠ADP+∠AEP＝180°（对角互补）；③PD＝PE（邻边相等）．（1）①②⇒③；（2）①③⇒②；（3）②③⇒①．请分别写出以上三个命题的推理过程． 变式2：如图1，△ABC是等边三角形，D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，连接AD．判断出线段DA，DB，DC之间的数量关系并说明理由； ②如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．D是边BC下方一点，∠BDC＝90°．求证：DA＝DB+DC． 图1 图2 3．在四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，∠ADC的平分线交直线AE于点O． （1）当点O在四边形ABCD的内部时． ①如图①，若AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，则∠DOE＝________ °， （2）如图②，试探索∠B、∠C和∠DOE之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，当点O在四边形ABCD的外部时，请你直接写出∠B、∠C和∠DOE之间的数量关系． 4．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E． （1）求证：BD＝CE； （2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长． 5．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB． （1）求证：OP平分∠AOB； （2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和． 6．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F． （1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长； （2）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数． 7．如图，已知直线l及其两侧两点A、B． （1）在直线l上求一点O，使到A、B两点距离之和最短； （2）在直线l上求一点P，使PA＝PB； （3）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB． 8．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 9．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q． （1）如图，当∠BAC＝80°时，求∠PAQ的度数； （2）当∠BAC满足什么条件时，AP⊥AQ，说明理由； （3）在（2）的条件下，BC＝10，求△APQ的周长． 【课后提升】 1．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上． 活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，若小棒与小棒在端点处互相垂直、A1A2为第1根小棒． 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：_____ ．（填“能”或“不能”） （2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝__________ ． 活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1． 数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，θ3＝_______ ．（用含θ的式子表示） （4）若只能摆放6根小棒，则θ的范围为 ____________________ ． 2．如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN＝2∠MON． 小尧同学思路如下： 因为PM⊥OA，垂足是M，D是OP的中点． 由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”， 得到MD＝OD， … 课后，小尧同学发现上题中，当“点P是∠AOB的外部任意一点”结论也成立，请你证明其正确． 如图2，P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN＝2∠MON． 3．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE _____ （选择是或不是）等补四边形． 【类比探究】 （2）如图2，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四边形ABCD＝8，求BD的长． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝a，求四边形ABCD面积的最大值．（用含a的代数式表示） 4．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°．求证：DA＝DC． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系． 3．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的平分线相交于点O．若∠OBC＝α，则∠BAC的度数为（　　） A．2α B．90﹣α C． D．180﹣2α 【解答】解：作OF⊥AB于点F，OE⊥AC交AC的延长线于点E，则∠AFO＝∠BFO＝∠E＝90°， ∵BC的垂直平分线与∠BAC的平分线相交于点O ∴OB＝OC，OF＝OE， 在Rt△OFB和Rt△OEC中， ， ∴Rt△OFB≌Rt△OEC（HL）， ∴∠BOF＝∠COE， ∵∠OBC＝∠OCB＝α， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣2α， ∴∠FOE＝∠AOF+AOC+∠COE＝∠AOF+AOC+∠BOF＝∠BOC＝180°﹣2α， ∵∠BAC+∠AFO+∠FOE+∠E＝360°， ∴∠BAC+90°+180°﹣2α+90°＝360°， ∴∠BAC＝2α， 故选：A． 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．104° B．106° C．117° D．136° 【解答】解：由条件可知∠BMN+∠BNM＝180°﹣54°＝126°， ∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上， ∴MA＝MP，NP＝NC， ∴∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP， ∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA＝2∠MPA，∠BNM＝∠NCP+∠NPC＝2∠NPC， ∴∠MPA+∠NPC∠BMN∠BNM126°＝63°， ∴∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC）＝180°﹣63°＝117°． 故选：C． 5．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝42°，则∠AOC＝　84　 °． 【解答】解：连接BO，并延长BO到P， ∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O， ∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE+∠ABC＝180°， ∵∠DOE+∠1＝180°， ∴∠ABC＝∠1＝42°， ∵AO＝OB＝OC， ∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C， ∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC， ∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×42°＝84°； 故答案为：84． 6．如图，在△ABC，∠EDF＝82°，点D是BC上一点，EM、FN分别是线段BD、CD的垂直平分线，则∠A＝　82°　 ． 【解答】解：∵EM、FN分别是线段BD、CD的垂直平分线， ∴BE＝DE，DF＝CF， ∴∠EDB＝∠B，∠FDC＝∠C（等边对等角）， ∵∠EDF＝82°， ∴∠EDB+∠FDC＝180°﹣∠EDF＝180°﹣82°＝98°， ∴∠B+∠C＝98°， ∴∠A＝180°﹣98°＝82°， 故答案为：82°． 7．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D，E分别是射线AB，射线AC上的点，AD，AE的垂直平分线交于点O，当点O落在BC上时，DE长的最小值为 　2　 ． 【解答】解：∵AD，AE的垂直平分线交于点O， ∴OD＝OA＝OE， ∴点O是△ADE外接圆的圆心， 以O为圆心，OD长为半径作△ADE外接圆⊙O，连接OD，OE，OA， ∵∠BAC＝45°， ∴∠DOE＝2∠BAC＝90°， ∵OD＝OE， ∴△ODE是等腰直角三角形， ∴DEODOA， ∴当OA长最小时DE长最小， 当OA⊥BC时，OA长最小， ∵∠ABC＝60°，AB＝4， ∴sin∠ABC， ∴AO＝2， ∴DE长的最小值是OA＝2． 故答案为：2． 8．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．AC，BD相交于点O，请结合图形写出一个正确的数学结论AC⊥BD（答案不唯一）　 ． 【解答】解：AC⊥BD，理由如下： 由垂直平分线的判定可知：点A，点C在BD的垂直平分线上， 即AC是线段BD的垂直平分线，即AC⊥BD， 故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）． 9．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【解答】（1）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图： ∵EF⊥AB，∠AEF＝50°， ∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°， ∴∠FAE＝∠CAD＝40°， 即CA为∠DAF的平分线， 又EF⊥AB，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∴点E在∠ADC的平分线上， ∴DE平分∠ADC； （2）解：设EG＝x， 由（1）得：EF＝EH＝EG＝x， ∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8， ∴AD•EGCD•EH＝15， 即：4x+8x＝30， 解得：x＝2.5， ∴EF＝x＝2.5， ∴S△ABEAB•EF7×2.5． 10．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD：S△ACD＝　1：1　 ； （2）如图2，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E．使得AD＝DE，连接BE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值． 【解答】解：（1） 过A作AE⊥BC于E， ∵点D是BC边上的中点， ∴BD＝DC， ∴SABD：S△ACD＝（BD•AE）：（CD•AE）＝1：1， 故答案为：1：1； （2） 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴DE＝DF， ∵AB＝m，AC＝n， ∴SABD：S△ACD＝（AB•DE）：（AC•DF）＝m：n； （3） ∵AD＝DE， ∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1， ∵S△BDE＝10， ∴S△ABD＝10， ∵AC＝3，AB＝5，AD平分∠CAB， ∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝5：3， ∴S△ACD＝6， ∴S△ABC＝10+6＝16， 故答案为：16． 11．如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB． （1）求证：BO平分∠ABC； （2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长． 【解答】（1）证明：如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，垂足分别为点F、G、H， ∵AO平分∠CAD，CO平分∠ACE， ∴OF＝OG，OH＝OG， ∴OF＝OH（等量代换）， ∵OF⊥BD，OH⊥BE， ∴点O在∠ABC的角平分线上， 即BO平分∠ABC； （2）解：∵△AOC的面积为12， ∴， ∵AC＝6， ∴， ∴OG＝4， ∴OF＝OH＝OG＝4， ∵S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝12+18＝30， ∴， 即， 整理得AB+BC＝15， ∴AB+BC+AC＝15+6＝21， △ABC的周长为21． 12．如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 【解答】证明：（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示： ∵△ADC的面积为14，AD＝7， ∴AD•CF＝14， ∴CF4， ∵CE＝4， ∴CF＝CE＝4， 又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部， ∴点C在∠BAD的平分线上， ∴AC是∠BAD的平分线； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示： ∵AB＝13， ∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6， ∵AB﹣AD＝2BE， ∴2BE＝6， ∴BE＝3， ∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3， ∴EH＝BH＝3， ∵CE⊥AB，垂足为E， ∴CE是线段BH的垂直平分线， ∴HC＝BC， 由（1）可知：AC是∠BAD的平分线， ∴∠HAC＝∠DAC， 在△HAC和△DAC中， ， ∴△HAC≌△DAC（SAS）， ∴HC＝CD， ∴CD＝BC． 13．截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起从而解决问题．数学课上李老师让同学使用这一方法来解决以下问题：“如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C”．求证：AB+BD＝AC． （1）对于该问题，老师给出了如下的思路：如图②，在AC上截取AE＝AB，连接DE，只要证BD＝EC即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题．请你按照上述解题思路写出证明过程． （2）请使用上述方法解决下列问题： ①如图③，△ABC是等边三角形，D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，连接AD．判断出线段DA，DB，DC之间的数量关系并说明理由； ②如图④，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．D是边BC下方一点，∠BDC＝90°．求证：DA＝DB+DC． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，BD＝ED． 又∵∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， ∵∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠C＝∠EDC， ∴△CED为等腰三角形， ∴DE＝CE，BD＝DE＝CE， ∴AB+BD＝AE+CE＝AC． （2）①解：DA＝DB+DC；理由如下： 如图③，在DC的延长线上截取CE＝BD，连接AE． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， 在四边形ABDC中，∠BAC+∠ABD+∠ACD+∠BDC＝360°， ∵∠BAC＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣60°﹣120°＝180°， 又∵∠ACE+∠ACD＝180°， ∴∠ABD＝∠ACE． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝∠DAC+∠BAD＝∠BAC＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DA＝DE， ∴DE＝DC+CE＝DC+BD， ∴DA＝DB+DC； ②证明：如图④，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE， ∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， ∵∠ACE+∠ACD＝180°， ∴∠ABD＝∠ACE． ∵AB＝AC，BD＝CE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝∠DAC+∠BAD＝∠BAC＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵DE＝DC+CE＝DC+DB， ∴． 14．如图，以下三个结论知二推一：①AP平分∠BAC（角平分线）；②∠ADP+∠AEP＝180°（对角互补）；③PD＝PE（邻边相等）．（1）①②⇒③；（2）①③⇒②；（3）②③⇒①．请分别写出以上三个命题的推理过程． 【解答】证明：（1）过点P分别作PN⊥AB，交AB于点N，PM⊥AC，交AC于点M， ∴∠PND＝∠PME＝90°， ∵AP平分∠BAC， ∴PN＝PM， ∵∠ADP+∠AEP＝180°，∠ADP+∠PDN＝180°， ∴∠AEP＝∠PDN， ∴△PDN≌△PEM（AAS）， ∴PD＝PE； （2）过点P分别作PN⊥AB，交AB于点N，PM⊥AC，交AC于点M， ∴∠PND＝∠PME＝90°， ∵AP平分∠BAC， ∴PN＝PM， ∵PD＝PE， ∴Rt△PDN≌Rt△PEM（HL）， ∴∠AEP＝∠PDN， ∵∠PDN+∠ADP＝180°， ∴∠ADP+∠AEP＝180°； （3）过点P分别作PN⊥AB，交AB于点N，PM⊥AC，交AC于点M， 在四边形ABCD中， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠B+∠C）， ∴∠OAD+∠ADO（∠BAD+∠ADC）＝180°（∠B+∠C）， ∴∠DOE＝180°﹣[180°（∠B+∠C）]， ∴∠DOE（∠B+∠C）， ∴∠B+∠C＝2∠DOE． 16．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E． （1）求证：BD＝CE； （2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长． 【解答】（1）证明：连接BP、CP， ∵点P在BC的垂直平分线上， ∴BP＝CP， ∵AP是∠DAC的平分线， ∴DP＝EP， 在Rt△BDP和Rt△CEP中，， ∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL）， ∴BD＝CE； （2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，， ∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL）， ∴AD＝AE， ∵AB＝6cm，AC＝10cm， ∴6+AD＝10﹣AE， 即6+AD＝10﹣AD， 解得AD＝2cm． 17．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB． （1）求证：OP平分∠AOB； （2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和． 【解答】（1）证明：过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E， ∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN， ∴PC＝PD， ∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB， ∴PD＝PE， ∴PC＝PE， ∴OP平分∠AOB； （2）∵△PMN的面积是16，MN＝8， ∴MN•PD＝16， ∴8•PD＝16， ∴PD＝4， ∴PD＝PC＝PE＝4， ∵△OMN的面积是24， ∴四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝16+24＝40， ∴△POM的面积+△PON的面积＝40， ∴OM•PCON•PE＝40， ∴OM•4ON•4＝40， ∴OM+ON＝20， ∴线段OM与ON的长度之和为20． 18．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F． （1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长； （2）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数． 【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴AB＝AM+MN+BN＝CM+MN+CN， ∵△CMN的周长为15cm， ∴CM+MN+CN＝15cm， ∴AB＝15cm， 即AB的长为15cm； （2）在△ABC中，∠ACB＝120°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝180°﹣120°＝60°， ∵AM＝CM，BN＝CN， ∴∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B， ∴∠MCA+∠NCB＝∠A+∠B＝60°， ∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠MCA+∠NCB）＝120°﹣60°＝60°， 即∠MCN的度数为60°． 19．如图，已知直线l及其两侧两点A、B． （1）在直线l上求一点O，使到A、B两点距离之和最短； （2）在直线l上求一点P，使PA＝PB； （3）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB． 【解答】解：（1）连接AB，线段AB交直线l于点O， ∵点A、O、B在一条直线上， ∴O点即为所求点； （2）连接AB， 分别以A、B两点为圆心，以任意长为半径作圆，两圆相交于C、D两点，连接CD与直线l相交于P点， 连接BD、AD、BP、AP、BC、AC， ∵BD＝AD＝BC＝AC， ∴△BCD≌△ACD， ∴∠BED＝∠AED＝90°， ∴CD是线段AB的垂直平分线， ∵P是CD上的点， ∴PA＝PB； （3）作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ， ∵B与B′两点关于直线l对称， ∴BD＝B′D，DQ＝DQ，∠BDQ＝∠B′DQ， ∴△BDQ≌△B′DQ， ∴∠BQD＝∠B′QD，即直线l平分∠AQB． 20．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 【解答】解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z， ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝PB，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y， ∵∠BAC＝80°， ∴∠B+∠C＝100°， 即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°， ∴x＝20°， ∴∠PAQ＝20°； （2）∵△APQ周长为12， ∴AQ+PQ+AP＝12， ∵AQ＝CQ，AP＝PB， ∴CQ+PQ+PB＝12， 即CQ+BQ+2PQ＝12， BC+2PQ＝12， ∵BC＝8， ∴PQ＝2． 21．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q． （1）如图，当∠BAC＝80°时，求∠PAQ的度数； （2）当∠BAC满足什么条件时，AP⊥AQ，说明理由； （3）在（2）的条件下，BC＝10，求△APQ的周长． 【解答】解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线， ∴AP＝BP，AQ＝CQ， ∵∠BAC＝80°， ∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°， ∵AP＝BP，AQ＝CQ， ∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C， ∴∠PAQ＝∠BAP+∠CAQ﹣∠BAC＝∠B+∠C﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°； （2）如图， ∵AP⊥AQ， ∴∠PAQ＝90°， 由（1）得，∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，∠BAP+∠CAQ＝∠BAC﹣90°， ∴180°﹣∠BAC＝∠BAC﹣90°， ∴∠BAC＝135°； 答：当∠BAC＝135°时，AP⊥AQ； （3）∵△APQ周长＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+QC＝BC， ∵BC＝10， ∴△APQ周长＝10． 22．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上． 活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，若小棒与小棒在端点处互相垂直、A1A2为第1根小棒． 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：　能　 ．（填“能”或“不能”） （2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝　22.5°　 ． 活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1． 数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，θ3＝　4θ　 ．（用含θ的式子表示） （4）若只能摆放6根小棒，则θ的范围为 　θ＜15°　 ． 【解答】解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上， ∴小棒能继续摆下去． 故答案为：能； （2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3， ∴∠A2A1A3＝45°， ∴∠AA2A1+∠θ＝45°， ∵∠AA2A1＝∠θ， ∴∠θ＝22.5°； （3）∵A1A2＝AA1， ∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ， ∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ， ∴θ1＝2θ， 同理可得：θ2＝3θ， θ3＝4θ． 故答案为：4θ； （4）由题意得： ， ∴θ＜15°． 故答案为：θ＜15°． 23．如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN＝2∠MON． 小尧同学思路如下： 因为PM⊥OA，垂足是M，D是OP的中点． 由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”， 得到MD＝OD， … 课后，小尧同学发现上题中，当“点P是∠AOB的外部任意一点”结论也成立，请你证明其正确． 如图2，P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN＝2∠MON． 【解答】证明：如图1，∵PM⊥OA，D是OP的中点， ∴MD＝OD， ∴∠DOM＝∠DMO， ∴∠PDM＝2∠AOP， 同理，∠PDN＝2∠BOP， ∴∠MDN＝∠PDM+∠PDN＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠MON， 如图2，由1得，∠PDM＝2∠AOP，∠PDN＝2∠BOP， ∴∠MDN＝∠PDN﹣∠PDM＝2（∠BOP﹣∠AOP）＝2∠MON． 24．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE　是　 （选择是或不是）等补四边形． 【类比探究】 （2）如图2，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四边形ABCD＝8，求BD的长． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝a，求四边形ABCD面积的最大值．（用含a的代数式表示） 【解答】解：（1）是等补四边形， 理由：由旋转得AD＝AE，∠ADB＝∠AEC， ∵∠ADC+∠ADB＝180°， ∴∠ADC+∠AEC＝180°， ∴四边形ADCE是等补四边形． 故答案为：是； （2）如图2，∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG， ∴∠BAD＝∠BCG，BD＝BG，∠DBG＝90°， ∵∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BCD+∠BCG＝180°， ∴D、C、G三点共线， ∵S四边形ABCD＝8， ∴． ∴BD＝4（负值舍去）． （3）∵AB＝BC， ∴将△BCD绕点B逆时针旋转使AB与BC重合， 得△BAE，如图3， ∴BD＝BE＝a，∠BAE＝∠C，S△ABE＝S△BCD， ∵∠BAD+∠C＝180°， ∴∠BAD+∠BAE＝180°， ∴A、D、E三点共线， ∴S四边形ABCD＝S△BDE， ∴当BD⊥BE时，△BDE的面积最大，为． ∴四边形ABCD面积的最大值为． 25．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°．求证：DA＝DC． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系． 【解答】解：（1）方法1：在BC上截取BM＝BA，连接DM， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△MBD中， ， ∴△ABD≌△MBD（SAS）， ∴∠A＝∠BMD，AD＝MD， ∵∠BMD+∠CMD＝180°，∠C+∠A＝180°， ∴∠C＝∠CMD， ∴DM＝DC， ∴DA＝DC； 方法2：延长AB到N，使BN＝BC，连接DN， ∵BD平分∠ABC， ∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠FAD＝180°， ∴∠FAD＝∠C， 在△DFA和△DEC中， ， ∴△DFA≌△DEC（AAS）， ∴DF＝DE，AF＝CE， 在Rt△BDF和Rt△BDE中， ， ∴Rt△BDF≌和Rt△BDE（HL）， ∴BF＝BE， ∴BC＝BE+CE＝BA+AF+CE＝BA+2CE， ∴BC﹣BA＝2CE． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/13 10:44:36；用户：纪老师；邮箱：19962060260；学号：40085985 学科网（北京）股份有限公司 $