1.4线段垂直平分线与角平分线（提升练习） 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2026-2027学年苏科版数学八年级上册 1.4线段垂直平分线与角平分线 (提升练习) (满分100分，时间90分钟) 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.如图，用尺规作已知角的角平分线的理论依据是() A C M A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA 2.甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等， 则中转仓的位置应选在() A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三边中线的交点 D.三边上高的交点 3.如图，AD是Rt△ABC的角平分线，∠C=90°，DC=3,则点D到AB的距离为() 第1页共37页 A.2 B.3· C.4 D.5 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E,若 AB=6cm,则△DEB的周长是() A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm 1 AC 5.如图，在△ABC中，AB=8,BC=6,以A,C为圆心、大于2的长为半径画圆弧，两 弧相交于点M,N,过M,N作直线与AB相交于点D,则△BCD的周长为() A.7 B.10 C.11 D.14 6.如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E,F分别是BC,DC上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF的度数为()， 第2页共37页 B A.50° B.60° C.70° D.80° 7.如图，在△ABC中，AB=5,AC=4,在AB和AC上分别截取AM,AN,使AM=AN, 分别以点M,点N为圆心，以大于2的长为半径作弧，两弧相交于点P,连接射线AP 与BC相交于点D,过点D作DE L AC于E.若DE=2,则△ABC面积为() A.10 B.9 C.8 D.7 8.如图，在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E, BF交AC于F,OD上BC于D,过点O作∥B.下列四个结论： ① ∠0B=90-C,②w=M+8N,@若o0-,cM+Cw=a,则5.aw-吃. ④当∠C=60°时，MF+BE=B.其中，正确的个数是() 第3页共37页 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分) 9.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于0点，过0点作EF∥BC交AB、AC于 点E、F.当EF=5,BE=2时，CF的长为 10.如图，在△MBC中，AB、4C的垂直平分线、相交于点0，若∠B1C=803,则 ∠OBC= 11.如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E,△ABC的面积是30cm,AB=18cm, BC=12cm DE= cm 则 D B 12.如图，在△ABC,∠EDF=82°，点D是BC上一点，EM、FN分别是线段BD、CD的 第4页共37页 垂直平分线，则∠A= 13.如图，在△ABC中，BC=15厘米，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且 PD∥AB,PE∥AC,则△PDE 周长是 14.如图，已知点0为△ABC的两条角平分线的交点，过点0作OD⊥BC于点D,且0D= 4.若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为 0 D 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E,且DE=DC,MN垂直平分AD, 连接DM,若∠CAD=18°，则∠EMD=。. E 16.如图，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°」 第5页共37页 连接AC,BD交于点M,AC与OB交于点E,连接OM.则在下列结论中：① ∠4MB=36°，②MC=BD,③若OB平分∠10M,则△OEC≌△OMD,④40/BD .正 确的结论有 （填序号). D E 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.现有两条高速公路11、12和两个城镇A、B（如图)，准备建一个燃气控制中心站P,使 中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心 站P的位置. B A 18.已知：如图，△ABC中，BC边中垂线ED交BC于E,交BA延长线于D,过C作CF⊥BD 1 DF= BC ∠FCB=∠B 于F,交DE于G, 2,试说 2 第6页共37页 D 19.如图，已知△ABC,∠A=60°，∠C=45°， B (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①在AC边上求作一点P,使∠PBC=45°； ②在BP上求作一点M,使得AM平分∠BAC. (2)在(1)的条件下求∠AMB的大小. 20.如图，在△ABC中，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于点 D,∠C=70°，∠DEB=30° 第7页共37页 D B (1)求∠A的度数： (2)请你画出△BCE的中线CF,再找出CF的中点G,连接EG,若cE=30, 求ACEG 的面积. 21.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C=90°，DE LAB于点E,点F在AC上， BD=DF E (1)求证：CF=EB: (2)若AB=16,AF=8,求CF的长 第8页共37页 22.在△ABC中，三个内角的平分线交于点O,过O作OD1OB,交边AB于点D,如图. (1)若∠ABC=40°，则∠AOC=,∠AD0=一： (2)猜想∠AOC与∠ADO的关系，并说明理由. 23.数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模 型”解决问题，事半功倍. 第9页共37页 BB D b 图① 图② 图③ 图④ 【问题提出】 (1)尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明∠CAD=∠DAB的 依据是△AFD≌△AED,这两个三角形全等的判定条件是 【问题探究】 (2)①巧翻折，造全等 如图②，在△ABC中，AB<AC,AD是△ABC的角平分线，请说明∠B>∠C, 小明在1C上裁取E=.连接B,则△1BD@1BD(SAS) 请继续完成小明的解答： ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠B=90°，∠BAD和∠CDA的平分线AE,DE交BC于 点E,过点E作EF L AD于点F,若BC=l2cm,求点E到AD的距离； 【问题解决】 (3)如图④，在△ABC中，∠A=60°，BE,CF是△ABC的两条角平分线，且BE,CF交于点 P.请判断PE与PF之间的数量关系，并说明理由. 第10页共37页 24.【问题背景】 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，点E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+DF,试探究 EAF,∠BAD 之间的数量关系. G 北 D 东 B E 图1 图2 图3 【初步探索】 (1)小亮同学认为延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先说明△ABE≌△ADG,再 说明△AEF≌△AGF,则可得到∠EAF,∠BAD之间的数量关系是 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，点E,F分别是BC,CD上的点， 若EF=BE+DF,那么上述结论是否仍然成立？请说明理由. 第11页共37页 【结论运用】 (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在 指挥中心南偏东T0°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲 向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°方向以80海里/时的速度前进，1 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰艇之间的距离EF=140海里， 求此时∠EOF的度数. 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分) 1.如图，用尺规作已知角的角平分线的理论依据是（) 第12页共37页 B M A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA 【答案】C 2.甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等， 则中转仓的位置应选在() 用 丙 A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三边中线的交点 D.三边上高的交点 【答案】B 3.如图，AD是Rt△ABC的角平分线，∠C=90°，DC=3,则点D到AB的距离为() A.2 B.3· C.4 D.5 【答案】B 第13页共37页 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E,若 AB=6cm,则△DEB的周长是() A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm 【答案】B 1 AC 5.如图，在△ABC中，AB=8,BC=6,以A,C为圆心、大于2的长为半径画圆弧，两 弧相交于点M,N,过M,N作直线与AB相交于点D,则△BCD的周长为() B A.7 B.10 C.11 D.14 【答案】D 6.如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E,F分别是BC,DC上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF的度数为()· 第14页共37页 A.50° B.60° C.70° D.80° 【答案】D 7.如图，在△ABC中，AB=5,AC=4,在AB和AC上分别截取AM,AN,使AM=AN, LMN 分别以点M,点N为圆心，以大于2的长为半径作弧，两弧相交于点P,连接射线AP 与BC相交于点D,过点D作DE L AC于E.若DE=2,则△ABC面积为() A.10 B.9 C.8 D.7 【答案】B 8.如图，在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E, BF交AC于F,OD上BC于D,过点O作∥B.下列四个结论： ① ∠A0B=90°-1 1 C;②MW=4M+BN,③若O0=a,CM+Cv=b,则5.aw-2b ④当∠C=60°时，4F+BE=1B.其中，正确的个数是（) 第15页共37页 DE A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于0点，过0点作EF∥BC交AB、AC于 点E、F.当EF=5,BE=2时，CF的长为 【答案】3 10.如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线、I相交于点0，若∠BAC=80,则 ∠OBC= 【答案】10° 第16页共37页 11.如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E,△ABC的面积是30cm2,AB=18cm, BC=12cm 则DE cm D B 【答案】2 12.如图，在△ABC,∠EDF=82°，点D是BC上一点，EM、FN分别是线段BD、CD的 垂直平分线，则∠A=. M D N 【答案】82° 13.如图，在△ABC中，BC=15厘米，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且 PD∥AB,PE/AC,则△PDE 的周长是 【答案】15厘米 第17页共37页 14.如图，已知点0为△ABC的两条角平分线的交点，过点0作OD上BC于点D,且0D= 4.若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为一· B 【答案】34 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE LAB于点E,且DE=DC,MN垂直平分AD, 连接DM,若∠CAD=18°，则∠EMD=° B M N 【答案】36 16.如图，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°， 连接AC,BD交于点M,AC与OB交于点E,连接OM.则在下列结论中：① ∠MMB=36°，②1C=BD,③若OB平分∠10M,则△0EC≌△0MD, AO∥B ,④1 BD.正 确的结论有 (填序号). 第18页共37页 B 【答案】①②③ 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.现有两条高速公路11、12和两个城镇A、B(如图)，准备建一个燃气控制中心站P,使 中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心 站P的位置 12 B ·A 【答案】中心站P的位置如图： 18.已知：如图，△ABC中，BC边中垂线ED交BC于E,交BA延长线于D,过C作CF⊥BD 第19页共37页 DF=18C ∠FCB=∠B 于F,交DE于G, 2 ,试说明 2 【答案】连接BG, ED是BC边中垂线， ÷cE=ac,BG=Gc, ∴.∠FCB=LGBC, DE⊥BC,CF⊥BD, .∠DFG=∠CEG=90°， cE-80Dr=号aC .DF=CE, 在△DFG和△CEG中 ∠FGD=∠CGE ∠DFG=∠CEG DF=CE 第20页共37页 :.△DFG≌aCEG(AAS) ∴.GF=GE, DE⊥BC,CF⊥BD, .∠FBG=∠EBG, .∠FCB=∠EBG, FCB-1LABC 19.如图，已知△ABC,∠A=60°，∠C=45° (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①在AC边上求作一点P,使∠PBC=45°： ②在BP上求作一点M,使得AM平分∠BAC. 第21页共37页 (2)在(1)的条件下求∠AMB的大小. 【答案】(1)解：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，再以同样长为半径，以点B为圆 心画弧，再以点C为圆心画弧的两点长为半径，以H为圆心画弧，两弧交于点Q,连接BQ 交AC于P,如图，下图中点P即为所求； ②以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB,AP两边于E,F两点，再分别以E,F为圆 -EF 心，大于2长为半径画弧，两弧交于一点，连接A与两弧交点，交BP于M,如下图， 点M即为所求. 【小问2详解】 解：∠BAC=60°，∠C=45°， ∴.∠ABC=75°， .∠PBC=45°， ∴.∠ABP=∠ABC-∠PBC=30° ,AM平分∠BAC, 第22页共37页 .∠BAM=30°， ∴.∠AMB=180-∠ABM-∠BAM=120° 20.如图，在△ABC中，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于点 D,∠C=70°，∠DEB=30° D E B (1)求∠A的度数： (2)请你画出△BCE的中线CF,再找出CF的中点G,连接EG.若Sce-30, 求ACEG 的面积. 【答案】(1)因为DE∥BC, 所以∠EBC=∠DEB=30° 第23页共37页 因为BE为∠ABC的平分线， 所以∠ABC=2∠EBC=60°， 在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-60°-70°=50°； 【小问2详解】 如图所示，CF,EG即为所求. 因为CF是△BCE的中线，SaE=30, 所以5ac --15 又因为G为CF的中点，即EG是△CEF的中线， 1 所 S△CEG 254cr=7.5 D F 21.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C=90°，DE1AB于点E,点F在AC上， BD=DF 第24页共37页 (1)求证：CF=EB: (2)若AB=16,AF=8,求CF的长. 【答案】(1)证明：DE⊥AB于点E, ∴∠DEB=90° 又：AD平分∠BAC,∠C=90°， .DC=DE 在RIADCF和RtADEB中 DC=DE DF=DB, ∴.RtADCF≌RtADEB ∴CF=EB 【小问2详解】 解：在RtAACD和RIAAED中， AD=AD CD=ED, 第25页共37页 ..RtAACD≌RtAAED ∴.AC=AE 由(1)可知CF=BE, 设CF=BE=x, ,AB=16AF=8 .AE=AB-BE=16-x AC=AF+CF=8+x .16-x=8+x 解得：x=4, 即CF=4. 22.在△ABC中，三个内角的平分线交于点O,过O作OD⊥OB,交边AB于点D,如图. B (1)若∠ABC=40°，则∠A0C=,∠AD0=; 第26页共37页 (2)猜想∠AOC与∠AD0的关系，并说明理由. 【答案】(1)解：①：∠ABC=40°， ∴.∠BAC+∠BCA=180°-40°=140° ,△ABC 中，三个内角的平分线交于点， OAC+∠OCAE,∠BAC+∠BC0户 ∴.∠A0C=180°-70°=110° .OB ∠ABC ”平分 LAB0=5∠ABC=20° .OD⊥OB .∴∠BOD=90° ∴∠BDO=70° ∴.∠AD0=110° 故答案为：110°，110°， 【小问2详解】 解：相等，理由设∠ABC=, ∴.∠BAC+∠BCA=180°-a :aMBC中，三个内角的平分线交于点， 第27页共37页 20aC+∠0c1=☑B4C+∠BC0=90-a, :∠40C=180°-2(20AC+∠0C0=90°+2a, 1 .OB ∠ABC 平分 :∠ABO=∠ABC 20, ,OD⊥OB ∴.∠BOD=90° ∠BD0=90-1 0 1 ∴.∠ADO=180°-∠BOD=90° 2, ∴.∠AOC=∠ADO 23.数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模 型”解决问题，事半功倍. D D B 图① 图② 图③ 图④ 【问题提出】 第28页共37页 (1)尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明∠CAD=∠DAB的 依据是△AFD≌△AED,这两个三角形全等的判定条件是一： 【问题探究】 (2)①巧翻折，造全等 如图②，在△ABC中，AB<AC,AD是△ABC的角平分线，请说明∠B>∠C. 小明在MC上截取E=B.连接DB,则ABD≌△AED(SAS) 请继续完成小明的解答： ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠B=9O°，∠BAD和∠CDA的平分线AE,DE交BC于 点E.过点E作EF L AD于点F,若BC=I2Cm,求点E到AD的距离： 【问题解决】 (3)如图④，在△ABC中，∠A=60°，BE,CF是△ABC的两条角平分线，且BE,CF交于点 P.请判断PE与PF之间的数量关系，并说明理由. 【答案】（1)证明： B 根据作图可得AE=AF,FD=FD, 第29页共37页 又AD=AD, .△AFD≌△AED(SSS)】 ∴.∠FAD=∠EAD, 即∠CAD=∠DAB: 故答案为：SSS; (2)①在AC上截取AE=AB,连接DE, .'AD是△ABC的角平分线， ∴.∠BAD=∠EAD, 又AD=AD, .△ABD≌△AED(SAS) .∠B=∠AED>∠C: ②如图：过点E作EF L AD,垂足为点F, B ∠BAD和∠CDA的平分线AE,DE交BC于点E, BE=1BC=6 ∴BE=EF=EC,即2 ∴EF=6,即点E到AD的距离是6cm; 第30页共37页 (3)PE=PF,理由如下： :∠A=60°， ∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°， :BE,CF是△ABC的两条角平分线，且BE,CF交于点P. .∠CBE+∠BCF=60°， ∠BPC=180°-∠CBE+∠BCF=120°； 在BC上截取BD=BF,连接PD,则△BFP≌aBDP(SAS), D C∴.PF=PD,∠BPF=∠BPD, .∠BPC=120°， .∠BPE=60°， .∠BPD=60°， ∠CPD=60°， 又：∠CPE=∠BPF=60°， ∴∠CPD=∠CPE, :CF是△ABC的角平分线， 第31页共37页 .∠DCP=LECP, ..CP=CP, :△CDP≌aCEP(ASA), .PD=PE, .PE=PF. 24.【问题背景】 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，点E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+DF,试探究 ∠EAF,∠BAD 之间的数量关系 北 个东 B 图1 图2 图3 【初步探索】 (1)小亮同学认为延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先说明△ABE≌△ADG,再 说明△MEF≌aAGF,则可得到∠EAF,∠BAD之间的数量关系是 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，点E,F分别是BC,CD上的点， 第32页共37页 若EF=BE+DF,那么上述结论是否仍然成立？请说明理由. 【结论运用】 (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(0处)北偏西30°的A处，舰艇乙在 指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲 向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°方向以80海里/时的速度前进，1 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰艇之间的距离EF=140海里， 求此时∠EOF的度数. 【答案】(1)∠BAD=2∠EAF,理由如下， 如图所示，延长CD到点G,使得DG=BE, G Q .∠ADC=90°， ∴.∠ADG=90°=∠B, 在△ABE,△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG 第33页共37页 :.△ABE≌△ADG(SMS) .∠BAE=∠DAG,AE=AG, EF=BE+DF,FG=DF+DF, ∴EF=GF, 在△AEF,△AGF中， AE=AG AF=AF EF=GF :.△1EF≌aAGF(SSS) .∠EAF=∠GAF, :∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF,∠BAD=∠BAE+∠DAF+∠EAF, .∠BAD=2∠EAF: (2)成立，理由如下， 如图所示，延长延长CD到点H,使得DH=BE, H D .∠ADC+∠ADH=180°，∠B+∠ADC=180°， 第34页共37页 .∠B=∠ADH, 在△ABE,△ADH中， AB=AD ∠B=∠ADH BE=DH :△1BE≌aADH(SAS) .AE=AH,∠BAE=∠DAH, .FH=DF +DH=BE+DF, EF=BE+DF, ∴.FH=FE, 在△AEF,△AHF中， AE=AH AF=AF FE=FH :△AEF≌aAHF(SSS) ∴.∠EAF=∠HAF=∠HAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF, ∴.∠BAD=2∠EAF; (3)如图所示，过点B作BLx轴于点O,延长FB到点M,使得BM=AE,连接EF, 第35页共37页 北 个东 :舰艇甲在指挥中心(0处)北偏西30°的A处，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 海里/时的速度前进，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处， .∠AON=30°，∠POB=70°，AN‖x轴，则∠BO0=90°-∠POB=20°， .∠AN0=90°，则∠A=60°， ∵舰艇乙沿北偏东50°方向以80海里/时的速度前进， .∠QBF=50°，BF=80x1=80(海里)，AE=60×1=60(海里)， :B01x轴， :.OP‖B0,则∠POB=∠OBQ=70°， .∠OBF=∠B0Q+∠QBF=70°+50°=120°， ∴.∠0BM=180°-∠OBF=60°=∠A, 在△AOE,aBOM中， AO=BO ∠AOE=LBOM, AE=BM :△A0E≌aB0M(S4S) 第36页共37页 .∠AOE=∠BOM AE=BM=60(海里)， .MF=60+80=140°=EF, 在aOEF,aOMF中， 「OE=OM OF=OF EF=MF :.△OEF≌aOMF(SSS) .∠EOF=∠MOF=∠BOM+∠BOF=∠AOE+∠BOF, .∠AOB=∠AOE+∠BOF+∠EOF=2∠EOF, :∠A0B=∠A0N+∠N00+∠B00=30°+90°+20°=140°， .∠EOF=70° 第37页共37页