30.1 直线与圆（第3课时） 学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

九 年级 数学 学科学案（附页1） 九 年级 数学 学科学案（正页） 主备人： 审核人： 二次备课人： 时 间： 姓 名： 班级： 第 页 学习内容： 30.1 直线与圆（第3课时） 课型： 新授课 教学随笔 课标要求： 1. 理解切线长的概念，掌握切线长定理并能用于计算与证明。 2. 综合运用切线的性质与切线长定理解决几何问题。 学科素养： 1. 逻辑推理：经历"观察—猜想—证明"切线长定理的过程，发展演绎推理能力。 2. 直观想象：从具体图形中识别切线长定理的基本图形，构造辅助线。 3. 数学运算：结合勾股定理、含特殊角直角三角形的性质进行计算。 课后反思： 学习目标： 1. 理解切线长的概念，掌握切线长定理，并能用于计算与证明。 2. 能综合运用切线的性质与切线长定理解决相关几何问题。 3. 经历"猜想—证明"的过程，积累"连半径、构造直角三角形"的辅助线经验。 学习重难点： 重点：切线长定理及其运用。 难点：在具体图形中识别切线长定理的基本图形（两条切线＋圆心连线＋圆心到切点连线），并构造直角三角形求解。 学习过程： 课前复习（约2分钟） 1.（填空）切线的性质定理：圆的切线＿＿＿于过＿＿＿的半径。 2.（填空）切线的判定定理：经过半径的＿＿＿并且＿＿＿于这条半径的直线是圆的切线。 一、温故知新（约1分钟） 我们已经会过圆上一点作圆的切线。如果点在圆外，过这一点能作几条切线？这两条切线之间又有什么联系？ 二、切线长与切线长定理（课本P153）（约10分钟） 1.（填空）如图30.1-14，过圆外一点 P 可以作出⊙O 的＿＿条切线。我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间＿＿＿＿的长度叫作这点到圆的＿＿＿。 2.（填空）如图30.1-14，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为 A、B，线段 PA 与 PB 的数量关系是＿＿＿；∠APO 与∠BPO 的数量关系是＿＿＿。 3.（填空）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长＿＿＿，并且这一点和圆心的连线＿＿＿两条切线的夹角。 几何语言：_____________________________________________。 4.（口答）在图30.1-14 中，连接 OA、OB、OP，可以证明哪两个直角三角形全等？＿＿＿＿＿＿；由此得到几条相等的线段？＿＿＿＿＿＿。 三、例题精讲（课本P153例3）（约8分钟） 例3 如图30.1-16，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，连接 AB。若∠APO＝30°，OP＝2，求△PAB 的周长。 （提示：由切线长定理得 PA＝PB、∠APO＝∠BPO，于是 ∠APB＝60°；连接 OA，由 OA⊥PA，在 Rt△OAP 中利用"含 30° 角的直角三角形中，30° 所对直角边等于斜边的一半"求出 PA。） 四、课堂练习（课本P154练习等）（约16分钟） 1.（课本P154练习1）如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC＝25°。求∠P 的度数。（提示：连接 OB，则 OB⊥PB，∠OAB＝∠BAC＝25°。） 2.（课本P154练习2）如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 为切点，直线 OP 交⊙O 于点 C、D，交 AB 于点 E。（1）写出图中所有垂直关系；（2）如果 PA＝4，PD＝2，求⊙O 的半径长。 3.（填空）已知⊙O 的半径为 3，点 P 在⊙O 外且 OP＝6，过点 P 作⊙O 的两条切线，切点分别为 A、B，则切线长 PA＝＿＿，∠APB＝＿＿°。（提示：Rt△OAP 中，OA＝3、OP＝6。） 4.（选择）从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B。若∠APB＝60°，OP＝4，则⊙O 的半径为（　　） A. 2　　B. 4　　C. 6　　D. 8 5.（填空·综合）已知⊙O 的半径为 5，圆外一点 P 到圆心 O 的距离为 13，PA 是⊙O 的切线（A 为切点），则切线长 PA＝＿＿；连接 OA、OP，则△OAP 的面积等于＿＿。（提示：勾股定理求 PA；直角三角形面积＝两直角边乘积的一半。） 五、课堂小结（约2分钟） 填一填：（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上，＿＿＿之间线段的长度；（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长＿＿＿，这一点和圆心的连线＿＿＿两条切线的夹角；（3）切线长定理的基本图形中隐含两个全等的＿＿＿三角形，常连＿＿＿、＿＿＿构造直角三角形解题。 六、作业布置（约1分钟） 必做题：①课本P154练习第2题，写出完整解答过程；②课本习题30.1复习巩固第2题：一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是 25 cm。（1）如果 UV＝28 cm，求 VT 的长；（2）如果∠UVW＝60°，求 VT 的长。 选做题：PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，AB 交 OP 于点 E。若⊙O 的半径为 5、OP＝13，求 AE 的长。 学科网（北京）股份有限公司 $ 九 年级 数学 学科学案（附页1） 九 年级 数学 学科学案（正页） 主备人： 审核人： 二次备课人： 时 间： 姓 名： 班级： 第 页 学习内容： 30.1 直线与圆（第3课时） 课型： 新授课 教学随笔 课标要求： 1. 理解切线长的概念，掌握切线长定理并能用于计算与证明。 2. 综合运用切线的性质与切线长定理解决几何问题。 学科素养： 1. 逻辑推理：经历"观察—猜想—证明"切线长定理的过程，发展演绎推理能力。 2. 直观想象：从具体图形中识别切线长定理的基本图形，构造辅助线。 3. 数学运算：结合勾股定理、含特殊角直角三角形的性质进行计算。 课后反思： 学习目标： 1. 理解切线长的概念，掌握切线长定理，并能用于计算与证明。 2. 能综合运用切线的性质与切线长定理解决相关几何问题。 3. 经历"猜想—证明"的过程，积累"连半径、构造直角三角形"的辅助线经验。 学习重难点： 重点：切线长定理及其运用。 难点：在具体图形中识别切线长定理的基本图形（两条切线＋圆心连线＋圆心到切点连线），并构造直角三角形求解。 学习过程： 课前复习（约2分钟） 1.（填空）切线的性质定理：圆的切线＿＿＿于过＿＿＿的半径。 解：依次填：垂直；切点。 2.（填空）切线的判定定理：经过半径的＿＿＿并且＿＿＿于这条半径的直线是圆的切线。 解：依次填：外端；垂直。 一、温故知新（约1分钟） 我们已经会过圆上一点作圆的切线。如果点在圆外，过这一点能作几条切线？这两条切线之间又有什么联系？ 二、切线长与切线长定理（课本P153）（约10分钟） 1.（填空）如图30.1-14，过圆外一点 P 可以作出⊙O 的＿＿条切线。我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间＿＿＿＿的长度叫作这点到圆的＿＿＿。 解：依次填：2；线段；切线长。 2.（填空）如图30.1-14，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为 A、B，线段 PA 与 PB 的数量关系是＿＿＿；∠APO 与∠BPO 的数量关系是＿＿＿。 解：依次填：PA＝PB；∠APO＝∠BPO。 3.（填空）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长＿＿＿，并且这一点和圆心的连线＿＿＿两条切线的夹角。 解：依次填：相等；平分。 几何语言：_____________________________________________。 ∵PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B（已知）， ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO（OP 平分∠APB）。 4.（口答）在图30.1-14 中，连接 OA、OB、OP，可以证明哪两个直角三角形全等？＿＿＿＿＿＿；由此得到几条相等的线段？＿＿＿＿＿＿。 解：Rt△OAP 与 Rt△OBP。∵∠OAP＝∠OBP＝90°，OP＝OP，OA＝OB， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）。 由此得到相等的线段：PA＝PB（此外 OA＝OB 为半径）。 三、例题精讲（课本P153例3）（约8分钟） 例3 如图30.1-16，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，连接 AB。若∠APO＝30°，OP＝2，求△PAB 的周长。 （提示：由切线长定理得 PA＝PB、∠APO＝∠BPO，于是 ∠APB＝60°；连接 OA，由 OA⊥PA，在 Rt△OAP 中利用"含 30° 角的直角三角形中，30° 所对直角边等于斜边的一半"求出 PA。） 解：连接 OA。 ∵PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B， ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝30°（切线长定理），∴∠APB＝60°。 ∵PA 是⊙O 的切线，A 为切点， ∴OA⊥PA（切线的性质），即∠OAP＝90°。 在 Rt△OAP 中，∠OPA＝30°， ∴OA＝1（直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边 OP＝2 的一半）， ∵PA＝PB，∠APB＝60°，∴△PAB 是等边三角形， 四、课堂练习（课本P154练习等）（约16分钟） 1.（课本P154练习1）如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC＝25°。求∠P 的度数。（提示：连接 OB，则 OB⊥PB，∠OAB＝∠BAC＝25°。） 解：连接 OB。 ∵PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB（切线的性质），即∠OAP＝∠OBP＝90°。 ∵OA＝OB，O 在 AC 上，∴∠OAB＝∠BAC＝25°，∠OBA＝∠OAB＝25°， ∴∠AOB＝180°−25°−25°＝130°。 在四边形 AOBP 中，∠P＝360°−90°−90°−130°＝50°。 2.（课本P154练习2）如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 为切点，直线 OP 交⊙O 于点 C、D，交 AB 于点 E。（1）写出图中所有垂直关系；（2）如果 PA＝4，PD＝2，求⊙O 的半径长。 解：（1）图中所有垂直关系：OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB（垂足为 E）。 证明 OP⊥AB：∵PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B， ∴PA＝PB（切线长定理），∠APO＝∠BPO。 在等腰△PAB 中，PO 是顶角的平分线，由三线合一， ∴OP⊥AB，且 AE＝BE。 （2）设⊙O 的半径为 r，则 OA＝r，OP＝OD＋PD＝r＋2。 3.（填空）已知⊙O 的半径为 3，点 P 在⊙O 外且 OP＝6，过点 P 作⊙O 的两条切线，切点分别为 A、B，则切线长 PA＝＿＿，∠APB＝＿＿°。（提示：Rt△OAP 中，OA＝3、OP＝6。） 解：依次填：；60。 在 Rt△OAP 中，OA＝3，OP＝6， 又直角边 OA＝3 恰为斜边 OP＝6 的一半，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°。 4.（选择）从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B。若∠APB＝60°，OP＝4，则⊙O 的半径为（　　） A. 2　　B. 4　　C. 6　　D. 8 解：选 A。∵OP 平分∠APB，∴∠APO＝30°。 在 Rt△OAP 中，∠OAP＝90°，30° 角所对直角边 OA 等于斜边 OP＝4 的一半， ∴OA＝2，即⊙O 的半径为 2。 5.（填空·综合）已知⊙O 的半径为 5，圆外一点 P 到圆心 O 的距离为 13，PA 是⊙O 的切线（A 为切点），则切线长 PA＝＿＿；连接 OA、OP，则△OAP 的面积等于＿＿。（提示：勾股定理求 PA；直角三角形面积＝两直角边乘积的一半。） 解：依次填：12；30。 S△OAP＝5×12÷2＝30（两直角边乘积的一半）。 五、课堂小结（约2分钟） 填一填：（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上，＿＿＿之间线段的长度；（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长＿＿＿，这一点和圆心的连线＿＿＿两条切线的夹角；（3）切线长定理的基本图形中隐含两个全等的＿＿＿三角形，常连＿＿＿、＿＿＿构造直角三角形解题。 解：依次填：（1）这点和切点；（2）相等；平分；（3）直角；切点与圆心的连线（半径）、点 P 与圆心的连线 OP。 六、作业布置（约1分钟） 必做题：①课本P154练习第2题，写出完整解答过程；②课本习题30.1复习巩固第2题：一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是 25 cm。（1）如果 UV＝28 cm，求 VT 的长；（2）如果∠UVW＝60°，求 VT 的长。 解：①解答见课堂练习第 2 题。 ②（1）∵VU、VT 分别与钢管相切于点 U、T， ∴VU＝VT（切线长定理），∴VT＝UV＝28 cm。 （2）连接 OU、OT、OV。∵OU⊥VU，OT⊥VT，OU＝OT＝25 cm， ∴点 O 在∠UVT 的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）， ∴∠OVT＝30°。 在 Rt△OVT 中，∠OTV＝90°，∠OVT＝30°， ∴斜边 OV＝2OT＝50 cm（30° 角所对直角边等于斜边的一半）， 选做题：PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，AB 交 OP 于点 E。若⊙O 的半径为 5、OP＝13，求 AE 的长。 解：连接 OA、OB。∵PA 是⊙O 的切线，A 为切点，∴OA⊥PA，即∠OAP＝90°。 ∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP，∴△OAP≌△OBP（SSS），∠APO＝∠BPO， 由等腰三角形三线合一，OP⊥AB 于 E，且 AE＝BE。 由面积法：S△OAP 中，OA×PA＝OP×AE（两直角边乘积＝斜边×斜边上的高）， 学科网（北京）股份有限公司 $