15.3.2 等边三角形 专题训练课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

数学人教版八年级上册 第十五章 轴对称 考点精讲 中考链接 专项训练 解题策略 专题训练15.3.2 等边三角形 数学人教版八年级上册 方程建模 等边三角形 判定 三边等；三角等；一角60°的等腰. 求线段关系、角度关系 应用 求数量关系、位置关系 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半 特殊角度应用 构造全等三角形(手拉手模型) 截长补短 旋转 考点精讲 2 ． 题型1：等边三角形的性质-三线合一 考点1：等边三角形的性质 1.如图，在等边三角形中，是边的中点．若，则          ，          . 30° 5 等边三角形三线合一 解：在等边三角形中，是边的中点， AD是的中线和高，． ． 专项题型 3 ． 2.已知等边三角形的边长如图所示，那么          ． 4 方程思想，先解x再解y. 解：在等边三角形中， ， ， ，y=4． 题型1：等边三角形的性质-边等 考点1：等边三角形的性质 专项题型 4 ． 3.如图，在等边三角形中，，垂足为，点在线段上，，则的度数为  (   ) A. B. C. D. A 解：在等边三角形中， ，平分， AE为公共边，(SAS)， ． 题型1：等边三角形的性质-角等 考点1：等边三角形的性质 专项题型 5 ． 4.如图，已知等边中，点D，E分别在边，上，把沿直线翻折，使点B落在点处，，分别交边于点F，G.若，求的度数. 题型1：等边三角形的性质-角度关系 考点1：等边三角形的性质 分析 关键点：利用八字形倒角. 专项题型 6 ． 4.如图，已知等边中，点D，E分别在边，上，把沿直线翻折，使点B落在点处，，分别交边于点F，G.若，求的度数. 解：为等边三角形，， 沿直线翻折，使点B落在点处， ， 在和中，， ， 考点1：等边三角形的性质 题型1：等边三角形的性质-角度关系 专项题型 7 ． 4.如图，已知等边中，点D，E分别在边，上，把沿直线翻折，使点B落在点处，，分别交边于点F，G.若，求的度数. 解： 在中，， . 考点1：等边三角形的性质 题型1：等边三角形的性质-角度关系 专项题型 8 ． 1.如图，是等边三角形，延长到，使，点是边的中点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 题型2：等边三角形的性质综合应用 考点1：等边三角形的性质 证明：(1)是等边三角形，，， 是的中点，， ，，， 专项题型 9 ． 1.如图，是等边三角形，延长到，使，点是边的中点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 题型2：等边三角形的性质综合应用 考点1：等边三角形的性质 证明：(1)是的外角， ，， ，， ，； 专项题型 10 ． 1.如图，是等边三角形，延长到，使，点是边的中点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 题型2：等边三角形的性质综合应用 考点1：等边三角形的性质 证明：(2)证明：是等边三角形，， 是的中点，， ，，． 等边三角形三线合一 专项题型 11 ． 2.已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分． (1)求证：；(2)求的度数． (3)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 题型2：等边三角形的性质综合应用 考点1：等边三角形的性质 证明：(1)是等边三角形，， ，， 平分，， =，(SAS)； 专项题型 12 ． 2.已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分． (1)求证：；(2)求的度数． (3)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 题型2：等边三角形的性质综合应用 考点1：等边三角形的性质 解：(2) 是等边三角形，，， ，(SSS)，， ，， 由(1)得，，； 专项题型 13 ． 2.已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分． (1)求证：；(2)求的度数． (3)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 题型2：等边三角形的性质综合应用 考点1：等边三角形的性质 解：(3)，理由如下： 是等边三角形，，， ，， 在中，，，即. H 你还有其他方法吗？ 专项题型 14 ． 3.如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ． 分析 关键点：将距离问题转化为面积问题解决. 题型2：等边三角形的性质综合应用 考点1：等边三角形的性质 专项题型 15 ． 3.如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ． 解：为等边三角形，， 连接，则：， 边上的高线，于点E，于点F． ， 即：，． 2 题型2：等边三角形的性质综合应用 考点1：等边三角形的性质 专项题型 16 4.已知：如图，等边中，，分别在，边上运动，且始终保持，点、始终不与等边的顶点重合，连接、，，交于点． (1)试说明； (2)运动过程中，、、三条线段长度之间的等量关系； (3)运动过程中，的度数是否会改变？如果改变， 请说明理由；如果不变，求出的度数，再说明理由． ． 题型2：等边三角形的性质综合应用 考点1：等边三角形的性质 专项题型 17 解：(1)是等边三角形， ，， E，(SAS)； (2)，理由如下： 是等边三角形，， ， ． (1)试说明； (2)运动过程中，、、三条线段长度之间的等量关系； 等边三角形隐藏信息. 题型2：等边三角形的性质综合应用 考点1：等边三角形的性质 专项题型 18 ． (3)运动过程中，的度数是否会改变？如果改变，请说明理由；如果不变，求出的度数，再说明理由． 解：(3)的度数不变，，理由如下： ，， 是的外角， ， ，度数不变． 利用外角转化角. 题型2：等边三角形的性质综合应用 考点1：等边三角形的性质 专项题型 19 ． 5.如图，是线段上的一点，和都是等边三角形，交于，交于，交于，则①；②；③；④．其中，正确的有 ． 题型2：等边三角形的性质综合应用 考点1：等边三角形的性质 解：和都是等边三角形， ，， ， (SAS)， ，，①正确； 手拉手模型 专项题型 20 ． 5.如图，是线段上的一点，和都是等边三角形，交于，交于，交于，则①；②；③；④．其中，正确的有 ． 题型2：等边三角形的性质综合应用 考点1：等边三角形的性质 解：在和中， ，，， (ASA)， ，②正确；，④正确； 专项题型 21 ． 5.如图，是线段上的一点，和都是等边三角形，交于，交于，交于，则①；②；③；④．其中，正确的有 ． 题型2：等边三角形的性质综合应用 考点1：等边三角形的性质 解：， ，③错误； ①②④ 专项题型 22 ． 1.下列条件不能判断是等边三角形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 解：A. ，，， 是等边三角形，故A选项不符合题意； B. ，，， 是等边三角形，故B选项不符合题意； C. ，，是等边三角形，故C选项不符合题意； D. 由可知，是等腰三角形，无法判定是否为等边三角形， 故D选项符合题意． D 考点2：等边三角形的判定 题型：等边三角形的判定 专项题型 23 ． 证明：(已知)，_______(_______________)． (已知)，_______°． (已知)， ______(________________________)， ． 又(已知)， 是等边三角形(________________________________________)． 2.如图，是的中点，，，，且平分．求证：是等边三角形．补全下面的证明过程及理由． 角平分线的定义 60 两直线平行，同位角相等 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 考点2：等边三角形的判定 题型：等边三角形的判定 专项题型 24 ． 3.如图，已知是等边三角形，点D是边上一点，若过点C作，在上取一点F，连接、，使得，试猜想的形状，并证明. 分析 关键点：已知一角为60°，证明两腰相等即可证. 等边三角形 G 等边三角形 三角形全等 在AB上截取BG=BD 考点2：等边三角形的判定 题型：等边三角形的判定 构造全等三角形 专项题型 25 ． 解： 为等边三角形，理由如下： 在上截取，使，连接， 为等边三角形，，， ，且，即， ， G 考点2：等边三角形的判定 题型：等边三角形的判定 3.如图，已知是等边三角形，点D是边上一点，若过点C作，在上取一点F，连接、，使得，试猜想的形状，并证明. 专项题型 26 ． 解： ，，则， 是的外角， 又，且， ，(ASA)，， 又，为等边三角形． 考点2：等边三角形的判定 题型：等边三角形的判定 3.如图，已知是等边三角形，点D是边上一点，若过点C作，在上取一点F，连接、，使得，试猜想的形状，并证明. G 专项题型 27 ． 1.已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则______． 考点3：含30角的特殊直角三角形 题型：含30的特殊直角三角形的应用 解：是的平分线，，， ． ． ． 4 专项题型 28 ． 2.如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为(     )． A. B. C. D. 解：，，， 是的中点，， ， 为等边三角形， ，. A 等边三角形的判定和三线合一 考点3：含30角的特殊直角三角形 题型：含30的特殊直角三角形的应用 专项题型 29 解：过点作于，如图所示， 为的平分线，且于，于， ， 在中，，， 在中，，为等腰直角三角形，， F ． 3.如图，在中，，，平分交于点，，垂足为.若，则的长为(     )． A. B. C. D. A 考点3：含30角的特殊直角三角形 题型：含30的特殊直角三角形的应用 专项题型 30 ． 4.如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，据此，可求得学校与工厂之间的距离等于 (     ) A. B. C. D. 解：，，， ，． 故选：D． D 考点3：含30角的特殊直角三角形 题型：含30的特殊直角三角形的应用 专项题型 31 等边三角形解题技巧 1.等边三角形的判定方法： (1)证明三边相等；(2)证明三个角是； (3)证明是等腰三角形且有一个角是. 2.涉及等边三角形的角度计算：利用等边三角形每个角都是60的性质，结合角平分线、余角、补角、内角和、倒角等方法建立角度关系； 3.涉及等边三角形的线段计算：利用等边三角形三边相等、三线合一(中线、高线、角平分线重合)的性质，构造全等三角形建立线段关系； 4.等边三角形辅助线技巧：构造全等三角形(手拉手模型)，辅助线的添加，可通过截长补短构造线段相等，也可构造角度相等(60°). 解题策略 解：，将等边三角形纸片折叠，点A的对应点D在边上， ，， 等边三角形，，， . 1.如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. C 链接中考 2.如图，点P，Q是等边边，上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动(不与点B，C重合)．连接，其中与交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（    ） A． B． C．的形状可能是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 链接中考 解：点P，Q以相同的速度向点B，C方向运动，；故选项A正确； 为等边三角形，， 又，(SAS)；故选项B正确； 当为的中点时，， ，是等边三角形；故选项C正确； ，， ， 是个定值；故选项D错误； 答案：D 链接中考 3.如图，在中，，，，动点，同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．当为何值时，为等边三角形？ 解：在中，，，，， ，，， 点运动的总时间为； ， 当为等边三角形时，，，解得 链接中考 博学深思 未来可期 37 $