27.3 第1课时 实际问题与反比例函数 教学设计 2026—2027学年数学人教版九年级上册

27.3 第1课时 实际问题与反比例函数 教学设计 课题 27.3 实际问题与反比例函数（第1课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1 课时 课型 新授课 教学目标 1. 感受反比例函数在现实生活中的应用，增强数学应用意识，提升运用代数方法分析、解决实际问题的能力；2. 能够分析实际问题中的变量关系，建立反比例函数模型，借助函数解析式与增减性解决相关问题；3. 结合实际背景，准确确定自变量的取值范围，体会自变量取值的现实意义. 教学重点 分析实际问题中的变量关系，建立反比例函数模型，利用函数解析式与增减性解决实际问题. 教学难点 从复杂实际情境中梳理等量关系，自主构建反比例函数模型；结合现实意义确定自变量取值范围. 教学方法 情境教学、讲练结合、小组讨论 教学准备 多媒体课件 课后练习 教材本节课后练习中与本课时相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 环节一 知识回顾 一、知识回顾 1．用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是什么？ 【答案】（1）设：设反比例函数的解析式为　　　　　　（k≠0）；（2）列：把一组 x 与 y 的对应值代入解析式，得到关于 k 的方程；（3）解：解方程，求出 k 的值；（4）写：将 k 的值代回所设解析式. 答案：. 2．一般地，反比例函数的图象是双曲线，请说一说它的增减性. 【答案】（1）当 k＞0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而　　　　；（2）当 k＜0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而　　　　. 答案：减小；增大. 【追问】在实际问题中，自变量往往不能取全体非零实数，想一想，此时函数图象还是完整的双曲线吗？ 【答案】预设学生：不是，只是双曲线在某一个象限内的一支. 【设计意图】回顾反比例函数解析式求法与增减性质，为本节课利用解析式、增减性解决实际问题做好铺垫；通过追加设问，引导学生关注实际情境下自变量取值的限制条件. 学生回顾待定系数法与增减性，并意识到实际情境中自变量取值受限，图象可能只是双曲线的一支. 巩固旧知，聚焦实际情境中自变量取值范围的限制，为新课做铺垫. 环节二 新课导入 二、新课导入 【问题】拉面又叫甩面、扯面、抻面，是中国城乡独具风味的一种传统面食. 如果要把体积为 15 cm3 的面团做成拉面，你能写出面条的总长度 y（单位：cm）关于面条横截面积 S（单位：cm2）的函数关系式吗？ 【师生活动】教师引导学生分析变量关系、列式求解，随后追问：你还能举出日常生活、生产中具有反比例函数关系的实例吗？ 【答案】根据“体积＝横截面积×总长度”，得 y＝　　　　　　（S＞0）. 举例：路程一定时速度与时间、总面积一定时长与宽、总钱数一定时单价与数量等. 答案：. 【设计意图】借助生活化情境，引导学生从实际问题中建立反比例函数模型，感受变量之间的反比例关系，为本节课探究实际问题与反比例函数作铺垫. 学生由“体积一定”建立 y=15/S 的反比例模型，并举出生活中的反比例实例，感受建模的现实来源. 从生活情境抽象反比例模型，增强应用意识，为本课探究作铺垫. 环节三 典例精讲 例1 三、典例精讲（例1） 【例1】港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h. （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸货速度 v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间 t（单位：h）之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 【师生活动】教师引导学生先计算货物总量，寻找总量不变这个等量关系；组织学生独立列式，再思考第（2）问如何结合增减性分析取值范围，请学生板书解题过程，师生共同订正. 分层提问：①题目中不变的量是什么？②速度、时间、总货物三者存在怎样的等量关系？③“卸载时间不超过 6 h”意味着 t≤6，结合函数增减性分析，v 的取值有什么要求？ 【分析】根据“平均装载速度×装载总时间＝货物总量”，可以先求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸载速度＝货物总量÷卸载总时间”，得到 v 关于 t 的函数解析式. 【答案】解：（1）轮船上的货物总量为 700×9＝6300（t），所以 v 关于 t 的函数的解析式为　　　　　　（t＞0）. 答案：. （2）把 t＝6 代入，得＝1050（t/h）. 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 6 h 卸载完，那么平均每小时卸载 1050 t. 对于函数，当 t＞0 时，t 越小，v 越大. 因此，若货物不超过 6 h 卸载完，则平均每小时至少要卸载　　　　　　t 货物. 答案：1050. 【追问】解决这道题最核心的等量关系是什么？分析“至少”这类取值范围问题，我们利用了反比例函数的哪一条性质？ 【答案】预设：①核心等量：货物总量＝平均卸载速度×卸载总时间（总量定值）；②k＞0，在自变量取值范围内，v 随 t 的增大而减小. 【设计意图】依托货物装卸现实情境，引导学生抓住不变总量建立反比例函数模型；学会利用反比例函数增减性求解“至多、至少”类实际问题，同时关注自变量实际取值范围. 学生抓住“总量 6300 t 不变”建立 v=6300/t 模型，结合减函数性质由 t≤6 推出 v≥1050. 训练“总量定值”建模与用增减性解“至少”问题的方法，关注自变量实际取值范围. 环节四 典例精讲 例2 四、典例精讲（例2） 【背景】古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂＝动力×动力臂（如图）. 我们可以利用杠杆原理建立反比例函数模型，解决实际用力大小问题. 杠杆原理示意图 【例2】某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. （1）动力 F（单位：N）与动力臂 l（单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力 F 不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 【师生活动】教师简单回顾杠杆平衡原理，学生自主建立函数模型，独立完成两小问，小组交流解题思路，教师巡视纠错. 分层提问：①杠杆平衡公式是什么？②哪些量固定不变，哪些是变量？③题（2）中求动力臂至少加长多少，要注意区分“动力臂总长度”与“增加的长度”. 故本题的关键点是：先求 F＝200 N 对应的动力臂总长，再减去原长 1.5 m 才是加长量. 【答案】解：（1）根据“杠杆原理”，得 Fl＝1200×0.5＝600，所以 F 关于 l 的函数解析式为　　　　　　（l＞0）. 答案：. 当 l＝1.5 m 时，（N）. 即撬动石头至少需要　　　　N 的力. 答案：400. （2）对于函数，当 l＞0 时，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F＝200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 将 F＝400×＝200 代入，得 200＝，所以 l＝（m）. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂的长度就应该不小于 3 m，则动力臂至少要加长　　　　　　m. 答案：3−1.5＝1.5. 【思考】用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 【师生活动】教师引导学生作答：当阻力、阻力臂一定时，阻力×阻力臂是一个定值，不妨设阻力×阻力臂＝k（k＞0）. 由杠杆原理，k＝Fl，所以（k＞0）. 因为 k＞0，l＞0，所以 F 随 l 的增大而减小. 所以动力臂越长，所需动力越小，越省力. 【追问】对比例 1、例 2，两道题目建模存在什么共同特点？ 【答案】预设：两道题目中总量恒定，两个变量乘积为定值，据此建立反比例函数模型. 【设计意图】结合物理杠杆模型，跨学科情境激发兴趣，巩固建立反比例函数模型的方法，熟练运用解析式求值，进一步理解自变量、函数值的现实意义；从数学角度理解“杠杆原理”. 学生由“阻力×阻力臂＝600”建立 F=600/l 模型，完成求值与逆向求动力臂，并区分“总长”与“加长量”. 跨学科情境巩固建模方法，训练解析式正用与逆用，理解变量取值的现实意义. 环节五 归纳方法 与模型 五、归纳方法与模型 【归纳】用反比例函数解决实际问题的一般步骤： （1）　　　　：审清题意，找出问题中的常量、变量（有时以图象的形式给出），并理清常量与变量之间的关系； （2）　　　　：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定系数用字母表示； （3）　　　　：由题目中的已知条件列出方程（组），求出待定系数； （4）　　　　：写出函数解析式，并注意自变量的取值范围； （5）　　　　：运用函数的解析式和相关性质解决实际问题. 答案：审；设；列；写；解. 【归纳】实际问题中建立反比例函数解析式的常用思路： （1）已知函数属于反比例函数：使用待定系数法求解；（2）实际情境中未知函数类型：先寻找等量关系列出等式，整理变形得到函数解析式. 本节课两道例题均采用第（2）种建模方式；待定系数法更多应用于前面课时已知函数类型的题型. 【归纳拓展】常见定值情境中的反比例数量关系： 涉及的量 反比例函数的解析式 路程 s（定值）、时间 t、速度 v 或 阻力×阻力臂乘积为定值 k；动力 F、动力臂 l （k 为定值） 矩形的面积 S（定值）、矩形的长 a、宽 b 或 三角形的面积 S（定值）、底边 a、该底边上的高 h 或 圆锥的体积 V（定值）、底面积 S、高 h 或 【设计意图】归纳解题五步骤与两种建模思路，整理常见定值模型，形成解决实际问题的一般方法体系. 学生填写五步骤关键词，对照模型表梳理“路程、杠杆、面积、体积”四类定值情境的解析式变形. 归纳一般步骤与建模思路，形成方法体系，为后续独立解题提供流程支撑. 环节六 跟踪训练 六、跟踪训练 【跟踪训练】如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为 120 cm3（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗. 圆锥形漏斗（深 h） （1）漏斗口的面积 S（单位：cm2）与漏斗的深 h（单位：cm）有怎样的函数关系？ （2）如果漏斗口的面积不超过 50 cm2，那么漏斗的深 h 至少为多少？ 【师生活动】教师要求学生独立书写完整解题步骤，严格运用刚刚总结的解题流程；巡视，重点查看学生是否正确使用圆锥体积公式、是否标注自变量取值范围. 完成后挑选学生作答，共同订正. 分层提问：①圆锥体积公式是什么？如何推导出 S 与 h 的关系式？②“面积不超过 50 平方厘米”对应怎样的不等关系？结合函数增减性如何分析？ 【答案】解：（1）由圆锥体积公式，V＝120，得 ，整理，得 S＝　　　　　　（h＞0）. 答案：. （2）因为 h＞0，360＞0，所以 S 随 h 的增大而减小. 漏斗口的面积不超过 50 cm2，即 S≤50. 当 S＝50 时，，解得 h＝7.2. 结合函数增减性：若 S≤50，则可得 h≥7.2. 答：漏斗的深 h 至少为　　　　　　cm. 答案：7.2. 【设计意图】依托教材练习题，巩固实际问题中反比例函数建模方法，熟练运用函数增减性求解取值范围；强化圆锥体积公式记忆，规避直接忽略乘三分之一的典型错误，落实完整解题规范. 学生独立完成“体积定值→S=360/h→S≤50⇒h≥7.2”的完整解题链，规范书写取值范围. 巩固建模方法与增减性应用，强化圆锥体积公式与解题规范. 环节七 课堂小结 七、课堂小结 【课堂小结】（1）用反比例函数解决实际问题分哪五步？（2）建立反比例函数解析式有哪两种常用思路？（3）本节课遇到哪些定值情境？各自的解析式是什么？ 知识结构图 【归纳】①解题五步：审→设→列→写→解；②建模思路：已知函数类型用待定系数法，未知函数类型由等量关系变形（本课重点）；③常见定值模型：路程、杠杆、矩形面积、三角形面积、圆锥体积；④注意：自变量取值范围要结合实际意义标注，用增减性解“至多至少”问题. 【布置作业】教材本节课后练习中与本课时相关的题目. 学生对照知识结构图梳理解题步骤、建模思路与定值模型，课后独立完成作业. 整理方法体系，巩固建模思想与规范意识. 板书设计 27.3 实际问题与反比例函数（第1课时） 实际问题与反比例函数 1．解题五步：审 → 设 → 列 → 写 → 解 2．建模思路 已知函数类型：待定系数法；未知函数类型：等量关系变形（本课重点） 3．常见定值模型（简要书写核心等式） 路程 s=v·t；杠杆 Fl=k；矩形 ab=S；三角形 ah=2S；圆锥 Sh=3V 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $