14.2.5 全等三角形的判定（第5课时）课件2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.2　三角形全等的判定 第5课时 用“HL”判定直角三角形全等 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 1 观察导入 1．　 　连同　 　对应相等，这两个三角形便全等（简称“　 　”，或记作“　 　”）． 2．　 　与它们的　 　分别　 　，这两个三角形就全等（简称“　 　”，或记作“ ”）. 3．　 　对应相等，并且有一组等角的　 　也相等，这两个三角形必定全等（简称“ ”，或记作“　 　”）. 4．　 　对应相等，这两个三角形全等. （简称“　 　”，或记作“　 ”）． 两边 夹角 边角边 SAS 两角 夹边 相等 角边角 ASA 两角 对边 角角边 AAS 三边 边边边 SSS 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 2 自主探究 此前学过的几种判定方法，对一般三角形都能用．那么对直角三角形，撇开都含直角这一点，还得再补什么条件，才能肯定它们全等呢？ A B C A' B' C' 3 两直角边都对应相等 A B C A' B' C' 分层探究 （SAS） 一条直角边与一锐角都对应相等 A B C A' B' C' （ASA） （AAS） 斜边与一锐角都对应相等 A B C A' B' C' 变式探究 （AAS） 假如换成斜边配上一条直角边也都相等，这两个三角形仍旧全等吗？ 5 “HL”：直角三角形的全等判定 拓展探究 探究5 C' A' B' C A B 看图，在△ABC 跟△A'B'C' 里，∠C′ =∠C = 90°，A′B′ = AB，B′C′ = BC. 它们全等吗？ 看图， ∠C =∠C′ = 90°，于是 ①让点 C 落到点 C' 上，射线 C'A' 便落在射线 CA 上，接着 C'B' 也落在射线 CB 上. ② 又由B'C' = BC ，推出点 B' 跟点 B 叠合. C' A' B' C A B (C) (B) 7 再看看射线 CA 上除开点 C，A 那几点跟点 B 连起来和边 AB 比大小如何. C A B ① 让点 M 落在直角边 AC (不算两端)上，接上 BM，那么∠BMA ＞∠C，而∠BMA 为钝角． ② 假定过点 M 并与 BM 垂直的直线，交线段 AB 于点 M′， 便有 AB ＞ BM′ ＞ BM． M 外角的性质 M' 垂线段最短 ③ 再把点 N 取在线段 CA 向外延伸出去的那段上，连上 BN ，同样推出 BN ＞ AB． C A B 让点 N 落在 CA 往外延伸出去的那段上，再连 BN ，这时∠BNA ＜∠BAC ，所以∠BNA 为锐角． 假定经过点 A 并且和 AB 垂直的那条直线，交线段 BN 于点 N′， 于是 AB ＜ BN′ ＜ BN． N N' 外角的性质 垂线段最短 ④ 可见，在射线 CA 上，跟点 B 相连后长度恰好等于 AB 的点仅有一个. ⑤又因点 A′ 也在射线 CA 上，而A′B′ = AB，于是点 A′跟点 A 叠合． C A B M M' N 落在点 A 下方，长度 < AB；越到点 A 上方，长度 > AB. (A') △A'B'C' 的三个顶点，和△ABC 的三个顶点一一叠合. △A'B'C' 跟△ABC 正好叠在一起. △A'B'C'≌△ABC C A B (C') (B') (A') 提 要 往后学过勾股定理，就能给这个判定补上证明． 一条直角边跟斜边分别相等的直角三角形全等（简记作“斜边、直角边”或“HL”） 看图，在Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 里， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ A′B′ = AB，BC = B′C′， 符号表达： C A B C' A' B' 归 拢 靠“HL”判直角三角形的全等 （HL） 温 故 1．　 　和一条直角边对应相等，这样的直角三角形便全等（也可叫作“斜边、直角边”，或者“　 　”）. 2．判断直角三角形的全等，依据有哪些　 　、 　 　、　 　、　 　、　 　．HL只拿去　 　用，碰到普通三角形就不行． 斜边 HL HL 直角三角形 SAS ASA AAS SSS 13 范例解析 例 1　 看图，已知 AC⊥BC，BD⊥AD，垂足依次是 C，D，AC = BD. 试证 BC = AD. 思路：只要证出Rt△ABC≌Rt△BAD，自然就有BC = AD. C D B A 证明： ∴Rt△ABC ≌Rt△BAD AB = BA， AC = BD， ∴ BC = AD . 在 Rt△ABC 与Rt△BAD 里， C D B A ∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C =∠D = 90° （HL） 看图，有AB＝CD，DE⊥AC，垂足为E，BF⊥AC，垂足为F，并且BF＝DE. 要证：AB∥CD. 例 2　 A B C D E F A B C D E F 证明： ∵BF⊥AC，DE⊥AC， ∴∠AFB＝∠CED＝90° 在Rt△ABF与Rt△CDE里， AB＝CD BF＝DE ∴Rt△ABF≌Rt△CDE （HL） ∴∠BAF＝∠DCE, ∴AB∥CD 例 3　 看图，AD是△ABC的高，E是AC上一点，BE与AD交于F，且有BF＝AC，FD＝CD，判断BE跟AC之间是何位置关系，请讲明理由． A B C D E F A B C D E F 解：BE⊥AC. 理由是这样： ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90° 又∵BF＝AC，FD＝CD， ∴Rt△BDF≌Rt△ADC （HL） ∴∠DBF＝∠DAC. 又∵∠DAC＋∠C＝90°， ∴∠EBC＋∠C＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴BE⊥AC. 及时反馈 1. 看图，C 是这段路 AB 的中点. 接着两人从 C 出发，速度相同，各沿一条直线走，又同时抵达 D，E 两处，并且 DA⊥AB，EB⊥AB. 问：D，E 离路段 AB 一样远吗？说说理由. A B C D E 解：D，E 到路段 AB 一样远. 理由： ∵C是这段 AB 的中点，∴AC = BC. 而两人出发的时刻和速度相同， 又恰在同一刻到达D，E 两处，∴CD = CE. 又 DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A =∠B = 90°. 在Rt△ACD 和 Rt△BCE 中， A B C D E AC = BC， CD = CE， ∴Rt△ACD ≌ Rt△BCE(HL). ∴DA = EB. 即 D，E 到路段 AB 一样远. 2. 看图，AB = CD，AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足依次为 E，F，CE = BF. 试证 AE = DF. A B C D E F 证明: ∵CE = BF， ∴CE – EF = BF – EF，即 CF = BE. 又 AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC =∠AEB = 90°. 在 Rt△DFC 和 Rt△AEB 中， DC = AB， CF = BE， ∴Rt△DFC ≌ Rt△AEB(HL). ∴AE = DF. A B C D E F 3．下面说法错误的是 ( ) A．两个直角三角形，若斜边和一个锐角对应相等则全等 B．两个直角三角形有两边对应相等就全等 C．两个直角三角形有两锐角对应相等就全等 D．两个直角三角形，若有一组直角边、锐角对应相等就全等 C 4．看图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，其中不成立的结论是 ( ) A．∠DAE＝∠CBE　　　　　　　　　　 B．CE＝DE C．△DAE跟△CBE不一定全等 D．∠1＝∠2 C 5．看图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC至点E，令CE＝2，连上DE.点P自点B出发，每秒走2个单位，沿BC－CD－DA朝着终点A运动．若点P运动的时间是t s，当△ABP和△DCE全等时，t的取值是 ( ) 　A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 C 6．看图，有CE⊥AB，DF⊥AB，AC＝BD，CE＝DF.要证：AC∥BD. 证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠CEA＝∠DFB＝90°. 又∵AC＝BD，CE＝DF， ∴Rt△ACE≌Rt△BDF (HL)， ∴∠A＝∠B，∴AC∥BD. 课堂盘点 斜边、 直角边 结论 适用前提 探究路径 斜边、直角边分别对应相等时，两直角三角形全等 须是直角三角形 先让三个顶点一一叠合，再推出全等 “HL”可判直角三角形是否全等 课本P45　习题14.2第11，12题 把学生用书里本课时的题做完 作业内容 $