第二章一元二次方程单元检测卷2026--2027学年北师大版九年级数学上册

第二章一元二次方程单元检测卷 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分。每小题只有一项是符合题意的) 1. 下列式子中是一元二次方程的是（ ） A. x(x+3)<0 B. C. D. 2. 若关于 x 的一元二次方程 有一个根是 2,则 k 的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 3. 用配方法解方程 ,将方程变为 的形式,则 m+n 的值为（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 4. 已知方程 的一个根是 2,则它的另一个根是（ ） A. 5 B. -5 C. -2 D. 2 5. 某商店二月份的营业额为 100 万元,四月份的营业额为 81 万元。设平均每月下降的百分率为 x,根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则 c 的值可能是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手 28 次,则参加聚会的人数为（ ） A. 7人 B. 8人 C. 9人 D. 10人 8. 已知数轴上点A，B分别表示数，，若数轴上表示数字1的点C是的中点，则x的值为（    ） A． B． C．1 D．2 9. 小张和小刘在解同一个一元二次方程时,小张抄错了常数项,得到两根为 3 和 4;小刘抄错了一次项系数,得到两根为 -2 和 6,则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于 x 的一元二次方程 有两个实数根 α,β,且 ,则 m 的值为（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分) 11. 方程 的根为____________。 12. 若 是方程 的两个实数根,则 =____________。 13. 对于实数 a,b,定义运算 a⊗b=,若 (x-1)⊗(2x+1)=-3,则 x=____________。 14.某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为400平方米，这条步道的宽度为 米． 15. 我国古代数学著作《九章算术》中有“勾股”问题：“今有户高多于广六尺八寸,两隅相适适一丈。问户高、广各几何？”大意是:已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸,门的对角线长 1 丈。设门的宽为 x 尺,则可列方程为____________。 三、解答题(共8小题,共55分。解答应写出过程) 16. (6分)解下列方程: (1) ; (2) . 17. (6分)下面是小明同学解一元二次方程的过程,请认真阅读并完成相应任务。 解方程: 。 解:两边同时开方,得 2x-1=x+3,…………………………第一步 移项、合并同类项,得 x=4,………………………………第二步 ∴原方程的解为 x=4。……………………………………第三步 (1)小明同学在解方程过程中开始出现错误的是第______步,错误原因是________________________________; (2)请写出解该方程的正确过程。 18. (7分)已知关于 x 的一元二次方程 。 (1)求证:方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程有一个根大于 3,求 k 的取值范围。 19. 把一个小球从地面竖直向上抛起,小球的高度 h(米)与运动时间 t(秒)满足关系式 ,已知小球抛出后 3 秒回到地面。 (1)求 a 的值; (2)经过多少秒,小球的高度为 10 米? 20. (7分)解方程 时,我们可以将 视为一个整体,然后设 ,则原方程化为 。 解得 。当 y=6 时,,∴ x=3 或 x=-2;当 y=-2 时,,此方程无实数根。 ∴原方程的解为 。以上解方程的方法叫做换元法,达到了降次的目的,体现了转化思想。 用上述方法解下列方程: (1) ; (2) 。 21. (7分)已知关于 x 的一元二次方程 的两个实数根恰好是矩形的长和宽。 (1)若矩形的对角线长为 ,求 n 的值; (2)当 n 为何值时,该矩形为正方形? 22. (7分)某书店购进一批文创笔记本,根据以下素材,探索完成任务。 背景素材 素材1:每个文创笔记本的成本为 10 元,当售价为 20 元时,平均每天可以售出 100 本。 素材2:当售价每降低 1 元时,平均每天就能多售出 20 本。 任务1 当售价降低 3 元时,求平均每天销售文创笔记本的利润。 任务2 当每天获得的利润达到 1200 元时,求文创笔记本的销售单价。 任务3 若要使每天的利润不低于 1200 元,求售价的取值范围。 23. (8分)如图，在边长为的等边三角形中，点从点开始沿边向点以每秒钟的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒钟的速度移动．若、分别从、同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： (1)经过6秒后，_____； (2)经过几秒后，是直角三角形？ (3)经过几秒的面积等于？ 第二章检测卷 参考答案 一、选择题(每小题3分,共30分) 1. C 2. B 3. B 4. B 5. B 6. D 7. B 8. A 9. A 10. A 二、填空题(每小题3分,共15分) 11. 12. 14 13. x=1或x=3 14. 5 15. 三、解答题(共55分) 16. (6分) (1) ,因式分解得 ,∴ 。 (2) ,由求根公式 =。 17. (6分) (1) 一; 两边开平方时应取正负两种情况,即 ,小明只取了正号。 (2) 或 ,解得 。 18. (7分) (1) ,∴方程总有两个不相等的实数根。 (2) 由求根公式得 。若有一个根大于3,则 k+1>3,∴ k>2。 19. (7分) (1) 当 t=3 时 h=0,即 ,∴ a=15。 (2) ,即 ,解得 。 20. (7分) (1) 设 ,则 ,解得 。当 y=6 时,,∴ ;当 y=-2 时,方程无实数根。 (2) 设 ,则 ,解得 。由 得 x=±1;由 得 x=±2。∴ 。 21. (7分) (1) 设矩形长、宽为 α,β,则 。由勾股定理 ,即 ,,∴ n=13。 (2) 当矩形为正方形时,两根相等,即 ,∴ n=9。 22. (7分) 设每本降价 x 元,则每本利润为 (10-x) 元,每天售出 (100+20x) 本,利润 。 任务1:当 x=3 时,(元)。 任务2:令 W=1200,即 ,化简得 ,,无实数根。又 ,∴利润不能达到1200元。 任务3:由任务2知,最大利润为1125元<1200元,∴不存在使利润不低于1200元的售价。 23. (8分) （1）解：由题意，得 ，． 是等边三角形， ， ． 故答案为：； （2）解：是等边三角形， ，， 当时， ， ． ，， ， ， 当时， ， ， ， 答：6秒或秒时，是直角三角形； （3）解：设经过秒△的面积等于，则， 作于， ， ， ， 在中，由勾股定理，得， ， 解得；，， 时，，故舍去 ． 答：经过2秒的面积等于． 学科网（北京）股份有限公司 $