27.3.2 实际问题与反比例函数（2）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.3.2 实际问题与反比例函数（2） 教学设计 （2026—2027学年 人教版数学 九年级上册） 课题名称 27.3.2 实际问题与反比例函数（2） 课型 新授课 教学资源 多媒体课件、杠杆模型 教学内容解析 内容 本节课主要内容：运用反比例函数解决杠杆原理、气体压强等实际问题，体会反比例函数是刻画现实世界中一类数量关系的数学模型。 教学内容解析 内容解析 上节课已学习用反比例函数解决简单实际问题。本节课以杠杆原理（阻力×阻力臂=动力×动力臂）为载体，引导学生从实际问题中抽象出反比例函数模型，确定自变量取值范围，利用图象和性质解释实际问题。核心是让学生经历“实际问题→建立反比例函数模型→求解→解释实际意义”的完整过程，体会建模思想。 目标与目标解析 单元整体目标 本章研究反比例函数。学生将理解反比例函数概念、图象和性质，能用反比例函数解决简单实际问题；在建模过程中发展模型观念与运算能力。 目标与目标解析 课时目标 1.（模型观念）能从杠杆原理等实际问题中抽象出反比例函数关系，列出函数解析式并确定自变量取值范围。 2.（几何直观）能画出实际问题中反比例函数的图象（双曲线一支），利用图象解释动力臂越长越省力等实际意义。 3.（运算能力与应用意识）能运用反比例函数的图象和性质解决杠杆、压强等实际问题，体会数学与物理、生活的联系。 目标与目标解析 课时目标解析 达成目标1的标志：学生能由F₁l₁=F₂l₂写出F=（l>0）。 达成目标2的标志：学生能在第一象限画出双曲线，并说出l增大时F减小。 达成目标3的标志：学生能代入l=1.5求出F=400N，并解释动力臂越长越省力。 学情分析 已有的知识、认知水平 学生已学习反比例函数的概念、图象和性质，会用待定系数法求解析式；物理课学过杠杆平衡条件。但从实际问题中抽象函数关系、忽略自变量取值范围、不能用函数图象解释实际意义是常见困难。 学情分析 困惑点或探索点 ① 不会从F₁l₁=F₂l₂中识别反比例关系；② 自变量l取全体实数还是l>0；③ 图象只画第一象限一支；④ 不会用“动力臂越长越省力”解释生活现象。 教学重难点 教学重点 从实际问题中建立反比例函数模型并解决问题。 教学重难点 教学难点 确定自变量取值范围；利用图象和性质解释实际问题。 教学策略分析（为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：反比例函数是刻画两个变量乘积为定值的数学模型。 学什么：杠杆原理建模、气体压强问题、图象应用。 怎么学：物理情境→列等式→化反比例函数→画图→解释。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 教学过程 环节一复习导入（4分钟） 【忆一忆】1. 反比例函数的一般形式是什么？2. 它的图象是什么？3. 图象有哪些性质？ 生：y=（k≠0），图象是双曲线； k>0时两支在一、三象限，y随x增大而减小。 师：今天用反比例函数解决杠杆问题。 反比例函数图象性质是否熟练。 复习旧知，为建模作准备。 教学过程 环节二例题1杠杆问题（15分钟） 例1 小伟用撬棍撬动大石头，已知阻力F₂=1200 N，阻力臂l₂=0.5 m。 （1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？ （2）若动力臂l=1.5 m，撬动石头需要多大的动力？ （3）若动力不超过400 N，动力臂至少要多长？ 师：杠杆平衡条件是什么？ 生：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即F₁l₁=F₂l₂。 师：代入数据。 【参考答案】 （1）Fl=1200×0.5=600， F=（l>0）。 （2）l=1.5时，F=600÷1.5=400（N）。 （3）F≤400时，≤400，l≥1.5（m）。 师：这说明什么？ 生：动力臂越长，动力越小，越省力。 能否列出函数； 自变量范围是否写l>0； 计算是否正确。 经历完整建模过程，体会自变量实际范围。 教学过程 环节三画图象解释（8分钟） 【画一画】画出F=（l>0）的图象。 【议一议】为什么只画第一象限一支？图象如何解释“动力臂越长越省力”？ 生：实际问题中动力臂l>0，所以只画第一象限一支。 生：l增大时F减小，所以动力臂越长越省力。 师：从图象上看，l=1.5对应F=400N。 图象是否只画一支； 能否用图象解释实际意义。 体会实际问题中函数图象的局限性。 教学过程 环节四例题2气体压强（10分钟） 例2 一定质量的二氧化碳，当体积V=5 m³时，密度ρ=1.98 kg/m³。 （1）求ρ与V的函数关系式； （2）若容器体积为9 m³，密度是多少？ 师：物理公式ρ=，质量m一定。 【参考答案】 （1）m=ρV=1.98×5=9.9（kg）， ρ=（V>0）。 （2）V=9时，ρ=9.9÷9=1.1（kg/m³）。 能否用ρ=m/V建模。 跨学科联系物理，巩固建模方法。 教学过程 环节五课堂练习（5分钟） 1. 某矩形面积为200 m²，长y与宽x的函数关系为____。 2. 小明用100 N的力压弹簧，压强p与受力面积S的函数关系为p=____；若S=0.5 m²，p=____Pa。 3. 杠杆阻力600N，阻力臂1m，动力臂2m时，动力为（　）N。A. 200　B. 300　C. 600　D. 1200 【参考答案】 1. y=（x>0）。 2. p=；p=100÷0.5=200（Pa）。 3. B（F=600×1÷2=300N）。 统计正确率。 当堂检测建模能力。 教学过程 环节六小结作业（3分钟） 【小结】1. 用反比例函数解决实际问题的步骤？2. 实际问题中自变量范围怎么确定？3. 为什么图象常只画一支？ 【作业】必做题：教材习题27.3 第 5、6、7 题； 选做题： 生1：实际问题→列等式→化反比例函数→求解； 生2：自变量要取实际有意义的值； 生3：因为实际变量非负，只画第一象限。 能否归纳建模步骤。 形成建模方法，分层作业。 板书设计 27.3.2 实际问题与反比例函数（2） 例1 杠杆：F₁l₁=F₂l₂ → F=（l>0） l=1.5时F=400N；F≤400时l≥1.5m。动力臂越长越省力。 例2 压强：ρ=，m=9.9kg，ρ=。 建模步骤：实际问题→反比例函数→求解→解释。 学科网（北京）股份有限公司 $