北京市景山学校远洋分校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

北京景山学校远洋分校10月月考 高二数学 一、单选题（本大题共10个小题，每题只有一个正确选项） 1. 对于空间的三个向量，它们一定是（ ） A. 共面向量 B. 共线向量 C. 既不共线也不共面的向量 D. 无法判断 2. 已知空间向量，，若三点共线，则（ ） A. B. 4 C. D. 3. 已知，，则是（ ） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 4. 在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，则的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 与的取值有关 6. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 7. 已知向量满足，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知，分别是圆台的上、下底面圆半径，且，，，若异面直线，所成的角为，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 9. 在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时与轴夹角的正弦值为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题） 11. 已知三棱锥，平面与平面的法向量分别为，，若，则二面角的大小为______． 12. 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 13. 在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则_______，异面直线与所成角的余弦值为_______． 14. 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 15. 如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界）．给出下列四个结论： ①平面截正方体的截面为等腰梯形； ②若，则点的轨迹长度为； ③三棱锥的外接球的表面积为； ④若平面，则直线不可能垂直于直线． 其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题（本大题共6道小题） 16. 已知向量，，，计算下列各式的值． （1）； （2）； （3）. 17. 如图，在正方体 中，分别是棱的中点. （1）求证：四点共面； （2）求与平面所成角的正弦值. 18. 如图，在正三棱柱中，，M，N分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）设平面与平面的交线为l，求直线l与直线MN所成的角. 19. 如图所示，已知三角形为正三角形，且三角形与菱形所在的平面互相垂直，，是的中点． （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 20. 已知四棱柱的各棱长均为2，，，，． （1）证明：； （2）请从下列条件①，条件②，条件③中选出两个作为已知条件，使得点G的位置确定． （i）求λ的值； （ii）求直线GB与平面所成的角的正弦值． 条件①：三棱锥的体积为1； 条件②：； 条件③：二面角的余弦值为． 21. 类比二维平面内的余弦定理，三维空间中有三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱锥中，底面为菱形，，，，且. （1）在图2中，用三面角余弦定理求的值； （2）在图2中，线段上是否存在一点，使得，若存在，求值；若不存在，说明理由； （3）在图2中，直线与平面内任意一条直线的夹角为，证明：. 北京景山学校远洋分校10月月考 高二数学 一、单选题（本大题共10个小题，每题只有一个正确选项） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共5小题） 【11题答案】 【答案】或 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. ##0.6 【14题答案】 【答案】2 【15题答案】 【答案】①②③ 三、解答题（本大题共6道小题） 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）证明：如图， 取的中点，连接， 因为分别是棱的中点， 所以，，所以，四点共面， 又，，所以，四点共面， AI 又因为过不共线的三点的平面具有唯一性， 则平面与平面重合，故四点共面. （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明：如图，取的中点G，连接NG，AG． 由N，G分别为，的中点，得，且． 又因为，且， 所以，且． 故四边形AMNG为平行四边形．所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2） （3）. 【19题答案】 【答案】（1）由为正三角形，为的中点，得， 由平面平面，平面平面，且平面， 得平面，又平面，所以. （2）存在点，使得直线与平面所成的角为，且. 【20题答案】 【答案】（1） 取AD中点O，连接，BO，因为， 所以为正三角形． 所以，又，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）选①③或选②③，均有（i）；（ii）． 不可选①② 【21题答案】 【答案】（1） （2）存在， （3）证明：由题意得，设平面内任一条直线为， 当过点时，记与的夹角为，， 由（1）及三面角公式可得， 因为，所以， 又，所以， 当不过点时，过点作，记与的夹角为，， 则， 又，所以， 综上， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $