专项18 带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题（专项训练）（广东专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

专项18 带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题（专项训练） 目 录 模拟·基础演练 1 题型01 带电粒子在磁场中运动的多解问题 1 题型02 带电粒子在匀强磁场中的临界问题 5 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 模拟·基础演练 考查重点：带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题，其中多解问题包括电性不确定形成的多解问题、磁场方向不确定形成的多解问题、动态圆模型问题等。临界问题包括有无边界等临界问题。 ⏳题型01 带电粒子在磁场中运动的多解问题 1． （2019·河南南阳·模拟预测）如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为同m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是　　 A．带电粒子一定带负电荷 B．带电粒子的速度最小值为 C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量为 D．带电粒子在磁场中运动时间可能为 【答案】D 【详解】B．若粒子运动轨迹如图所示： 由左手定则可知，粒子带负电，粒子做圆周运动的速度最小，轨道半径最小 由牛顿第二定律得 解得 故B错误； AC．若粒子带正电，粒子与挡板MN中点碰撞后恰好从Q点射出，粒子运动轨迹如图所示： 由于粒子与挡板碰撞时方向不确定，则粒子的速度无法确定，故粒子受到挡板作用力的冲量不定，故A、C错误； D．若粒子带负电，运动轨迹如下图所示： 当轨迹半径等于L时，此时转过的圆心角为，所以在磁场中运动的时间为 故D正确。故选D。 2． （2025·安徽马鞍山·二模）垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设粒子运动半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 周期为 由图可知磁场变化的周期为 根据 可得在时间内偏转的角度为 同理在在时间内偏转的角度为 设粒子的出发点为，经磁场变化的一个周期的终点为，由图可知，磁场先向里再向外，故作出其在磁场变化的一个周期内的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得粒子的位移即为a、b两点的距离，则有 从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为。故选D。 3．（2022·河北唐山·二模）如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的平面感光板MN，点a为MN与水平直线ab的交点，MN与直线ab的夹角为，ab间的距离为。在b点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周运动的半径为，不计电子间的相互作用和重力，，则MN上被电子打中的区域的长度为（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】C 【详解】电子从b点射出后，在磁场中沿顺时针方向做圆周运动， 如图所示的两个圆分别表示电子打在板上的两个临界情况，一个打在a点，一个打在C点，打在C点的电子轨迹恰好与板相切，过b点做MN的垂线bD，过O1做bD垂线O1E，由几何知识可得 又因 所以 可得 所以MN上被电子打中的区域的长度为 。故选C。 4．（2026·广西河池·一模）如图所示，纸面内有直角坐标系。匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度的大小为。现有一个位于点的放射源，能从点向纸面内各个方向射出速度大小均为的带正电粒子。若在与轴距离为处放一足够长且平行于轴的感光棒，粒子打在上面即被吸收。已知粒子的比荷，则下列说法中正确的是（     ） A．粒子击中感光棒的最小圆心角为 B．粒子在轴上方区域击中感光棒的最远点坐标为 C．粒子在轴下方区域击中感光棒的最远点所用时间为 D．粒子击中感光棒的长度为 【答案】B 【详解】粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力提供匀速圆周运动的向心力，有 解得运动半径为 从点向纸面内各个方向射出速度大小一样的带正电粒子，构成动态圆中的旋转圆模型，作图如图所示 A．由图可知，粒子击中感光棒的交点为C点时，弦长最短构成劣弧，其圆心角最小圆心为，其中，，由几何三角形可知 解得，故A错误； B．粒子在轴上方区域击中感光棒的最远时是圆与PQ线相切于D点，圆心为，而 即D点的坐标为，故B正确； C．粒子在轴下方区域击中感光棒的最远点时构成直径，圆心为，其圆心角为，而粒子的周期为 则所用时间为，故C错误； D．由图可知粒子击中感光棒的下端点为点，上端点为D点，而 则总长度为，故D错误。故选B。 5．（2026·河南郑州·模拟预测）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，以圆心O为原点建立直角坐标系，x轴上点处有一粒子源，能向纸面内各个方向发射质量均为m、电荷量均为的带电粒子，粒子的速率均为。若E点、F点分别是圆弧上有粒子射出的最上端点和最下端点，忽略粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（     ） A．E点坐标为 B．F点坐标为 C．飞出磁场的粒子中，在磁场中运动的最短时间为 D．飞出磁场的粒子中，在磁场中运动的最长时间为 【答案】C 【详解】A．由洛伦兹力提供向心力得 解得 最上端临界轨迹圆与磁场边界内切。设其圆心为，则 且，又，故三角形为等边三角形， 内切点在射线上，且，所以，故A错误； B．轨迹半径仍为，设任一出射点的坐标为，由，得 且轨迹弦长满足，因此 解得，在下半圆的可出射弧段中，最低点对应，此时 且，所以为轨迹圆的直径。图示轨迹从到之间均在磁场内，为首次出射点，故B错误； C．粒子轨迹半径为，最短时间对应从到最近边界点的轨迹，此时，设粒子从到首次出射点转过的圆心角为，由弦长关系 整理得，粒子的角速度 所以，故C正确； D．轨迹圆圆心到的距离恒为。能够飞出的轨迹圆与磁场边界相交，最长时间由轨迹圆趋近下方内切的临界状态确定。设临界圆心为、内切点为，则 三角形为等边三角形，线段与方向相反，故与的较小夹角为。按粒子逆时针运动方向，首次到达下方临界点所转过的圆心角为 因此最长时间的临界值为 若把到的另一条长圆弧误认为可在磁场内持续转过，粒子会先在另一边界交点射出，不能继续沿原来的圆运动，故D错误。 故选C。 6．▶新考法◀ （2026·江西上饶·一模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=bc=L，，且ab//cd。一束带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为k，不计粒子之间的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 弦切角越大，圆心角越大，粒子在磁场中运动的时间最长。如图，粒子从点射出时弦切角最大，由几何关系可知 已知该粒子的比荷为k，粒子在磁场中运动的最长时间为 故选C。 7．（2026·江苏·一模）某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的区域存在方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量a、b两种离子飘入（其初速度几乎为零）电压为U的加速电场，经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值，已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为2m和m，不考虑离子间相互作用。下面说法正确的是（　　） A．a离子在磁场中速度大小为 B．b离子在照相底片上形成的亮线长度为 C．打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为 D．若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，则不超过 【答案】D 【详解】A．a离子加速过程 解得，故A错误； B．b离子加速 解得 磁场中轨道半径 离子沿y轴入射时，打在底片上的位置为2rb；沿与y轴成角入射时，水平位移为 亮线长度为 代入，得亮线长度，故B错误； C．磁场中，洛伦兹力提供向心力，得轨道半径 则轨道半径 离子沿与y轴成角入射时，打在x轴上的水平位移为 沿y轴入射时，水平位移为 a离子的最小水平位移（沿角入射） b离子的最大水平位移（沿y轴入射） 两种离子的最近距离为，故C错误； D．要完全分辨，需满足 通过半径公式推导，可得，故D正确；故选D。 ⏳题型02 带电粒子在匀强磁场中的临界问题 8．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，矩形区域内、外分别存在着垂直于纸面向里、向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B。比荷为k的带正电粒子（不计重力）从a点以与边夹角为的速度射入矩形区域内，粒子第一、二次穿过矩形区域边界时恰好分别经过b、c点。已知，矩形区域外的磁场范围足够大。下列说法正确的是（　　） A．粒子的速度大小为 B． C．粒子不经过d点 D．粒子相邻两次经过a点的时间间隔为 【答案】D 【详解】A．粒子第一次穿过矩形区域边界时恰好经过点，运动轨迹如图所示。 由几何关系可知，弦所对的圆心角为，故由弦长关系得 由洛伦兹力提供向心力得 又由题给 联立得，故A错误； B．粒子第二次穿过矩形区域边界时恰好经过点，运动轨迹如图所示。 由前述计算得圆周半径仍为。根据图中几何关系得，故B错误； C．粒子经过点时速度方向与边的夹角为，因此经过点时速度方向与边的夹角为。由于边界两侧磁场方向相反且大小相等，轨迹关于相应边界呈对称关系，粒子经过点后恰好经过点并再次经过点，故C错误； D．相邻两次经过点的过程中，粒子在内、外磁场中分别转过圆心角和，上述内外场过程各重复两次。由前述向心力关系得角速度 该过程中粒子转过的总圆心角为 所用时间为，故D正确。 故选D。 9． （2026高三下·福建厦门·专题练习）托卡马克环形容器是核聚变工程中重要装置，如图是某一托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点发射a、b两个粒子，都恰好经过磁场外边界。已知a粒子沿同心圆的径向发射，其速度大小，b粒子沿内圆的切线方向发射，a、b都带正电且比荷均为。不考虑带电粒子所受重力和相互作用。则（    ） A．外圆半径等于 B．粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 C．粒子速度大小为 D．粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 【答案】C 【详解】A．已知，根据洛伦兹力提供向心力 可得 。​ a沿径向发射，速度方向沿，因此轨道圆心​在与垂直的直线上，运动轨迹如图 由几何关系可得 解得，A错误； B．a从到外边界切点，转过的圆心角，由图可知, 可得 运动时间，B错误； C．b沿切线方向发射，速度方向垂直于，因此轨道圆心在直线上，粒子轨迹与外圆相切，运动轨迹如图所示。设b轨道半径为​，外圆半径满足 又 可得 ， 因此b速度，C正确； D．b从到外边界切点，和切点分别在圆心的两侧，转过圆心角 运动时间 ​，D错误。故选C 。 10．（2026届江苏常州市前黄高级中学高三下学期4月综合练习（一）物理试题）为研究地磁场对宇宙射线的屏蔽作用，某小组模拟了一圆柱形磁场区域。磁场半径为R，外侧磁场厚度为 d（即模拟地球外部防护层厚度，d），磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。磁场边缘有一粒子源，可在赤道平面内以不同速度向各个方向射入带正电的粒子。已知当粒子速度为时，沿半径方向射入的粒子恰不能到达模拟地球的边界。不计粒子重力及相对论效应，不考虑磁场的边缘效应。则下列说法正确的是（　　） A．粒子的比荷为 B．速度为的粒子到达内侧边界的最大弦长为 C．速度为的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子能穿透防护层的最小速度为 【答案】A 【详解】A ．如图所示，设该粒子轨迹半径为 根据几何关系可得 洛伦兹力提供圆周运动的向心力则有 联立解得，故A正确； B．当粒子速度为 v 时，由 可知半径 粒子源在外圆，要到达内边界，粒子轨迹圆需与内圆相交。粒子在内圆边界上的弦长即轨迹圆与内圆的公共弦长。当轨迹圆经过内圆圆心时，公共弦长最大，为内圆直径 2R。此时需轨迹圆心, 满足 ， 且 由三角形不等式 2R+2R>3R，这样的 O2O存在，因此最大弦长为 2R，不是 ，故B错误； C．速度为 v 的粒子，半径 粒子在磁场中运动时间 时间最长对应圆心角 θ最大。当粒子沿外圆切线方向射入（指向内侧）时，轨迹圆心在 OP连线上，坐标为（设 P (3R,0)） 轨迹圆方程 则粒子从 P运动到 (−R,0)（内圆切点），轨迹为半圆，则θ=π 最长时间，故C错误； D．粒子能穿透防护层，即粒子轨迹能与内圆相交。最容易穿透的情况是粒子沿外圆切线方向射入。此时轨迹圆圆心在 OP 连线上，距 P 点 r，粒子到达的最近距离为 3R−2r（当 r<1.5R）或 2r−3R（当 r>1.5R且轨迹包围圆心），若要到达内圆（rmin=R），需满足 3R−2r≤R（轨迹在内圆外相切或相交）或轨迹包围内圆。 临界情况是轨迹圆与内圆外切，此时 3R−2r=R 解得rmin=R 对应最小速度 vmin，满足 结合上述结论 解得，故D错误。故选A。 11. （2020·陕西·二模）如图为“EAST超导托卡马克核聚变实验装置”的简化模型：把核材料约束在半径为r2的圆形区域内，等离子体只在半径为r1的圆形区域内反应，环形区域(约束区)存在着垂直于截面的匀强磁场。假设约束的核聚变材料只有氕核()和氘核()，已知氕核()的质量为m，电量为q，两个同心圆的半径满足r2＝(＋1)r1，只研究在纸面内运动的核子，不考虑核子间的相互作用、中子和质子的质量差异以及速度对核子质量的影响。设核聚变材料氕核()和氘核()具有相同的动能Ek，则以下说法正确的是（　　） A．氕核()和氘核()的比荷之比为1：2 B．氕核()和氘核()分别在环形区域做匀速圆周运动的半径之比为1： C．为了约束从反应区沿不同方向射入约束区的核子，则环形磁场区域所加磁场磁感应强度B满足的条件为B> D．若约束区的磁感应强度为B0，氕核()从圆心O点沿半径方向以某一速度射入约束区，恰好经过约束区的外边界，则氘核()相邻两次经过O点所经历的时间为t＝ 【答案】B 【详解】A．氕核()和氘核()的比荷之比为 故A错误； B．根据 得 则半径之比为 故B正确； C．如图1所示 当离子的速度沿与内边界圆相切的方向射入磁场，且轨道与磁场外圆相切时所需磁场的磁感应强度B，即为要求的值，设轨迹圆的半径为R1，由几何关系得 根据 解得 当约束氘核时，对应磁场为 故C错误； D．如图2所示 由几何关系得 解得 故 又 联立可得 离子在约束区中做匀速圆周运动的周期 由几何关系可知，离子在约束区中一次运动的时间 氕核()在反应区域内的运动时间为 则氘核()相邻两次经过O点所经历的时间为 故D错误。故选B。 重难·创新演练 设题创新:结合电容模型考查(T1);结合科技仪器考查(T3);新角度考查研究方法(T4); 1．▶新情境◀（2026·广东梅州·模拟预测）如图所示，在平面（纸面）内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，垂直纸面的两块金属薄板K、A平行正对放置，两板高度均为d，间距也为d，其中K板接地，A板与灵敏电流计相连并接地。当光照射K板右侧面时，K板整个右侧面都能发射质量为m、电荷量为e的电子，电子的速度大小范围为，方向与y轴正方向间的夹角范围为，A板左、右两侧面均可接收电子。已知，，忽略电子重力和电子间的相互作用力。 (1)某电子从K板上的P点以射出后能到达A板上的Q点，P、Q两点的y坐标相同，求该电子的速度大小； (2)若向右平移A板到某个位置时，灵敏电流计示数恰好减为0，求此时K、A两板的间距； (3)保持K、A两板之间的距离为d。设当光照射K板时，K板立即发射电子。若某时刻起光照射K板，则经多长时间电流计开始有电流流过；若某时刻起停止光照，则流过电流计的电流还能持续多长时间。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）电子的运动轨迹如图所示 设半径为，由几何关系可得 解得 由牛顿第二定律 解得发射速度为 （2）沿轴正方向发射最大速度为的电子恰好打不到板时，光电流为，电子的运动轨迹如图所示 设半径为，由牛顿第二定律可得 解得最大半径为 因此两板间距为 （3）①虽然板上电子的发射位置、速度大小和速度方向不同，但周期均为 考虑最先到达板的电子（要取最大速度），该电子运动轨迹如图所示 由（2）可知，最大半径为 由几何关系可知， 题中已知 因此 则电流计经后开始有电流流过； ②考虑最迟到达板的电子（也要取最大速度），该电子沿轴正方向发射，其运动轨迹如图所示 由几何关系可知 解得 因此此时轨迹的偏转角为 则流过电流计的电流还能持续的时间为 2． （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示的xOy 坐标系。第二象限有一条平行于y轴的竖线①， 粒子发射装置可沿竖线①上下移动， 发射装置内有加速电压U 将初速度为零的粒子加速后沿 x轴正向射出， 加速电压U与发射装置所处的y坐标满足关系（k已知）， 发射的粒子质量为 m 、电荷量为+ q ； 第二象限有一条边界线② （离竖线①很远， 不考虑相交） 过坐标原点O， 边界线②与 y轴之间有垂直于坐标平面向外的匀强磁场 I 区， 粒子经边界线②进入磁场 I 区偏转后都能沿y轴负方向经过坐标原点O. 第四象限有圆心分别为和的两个外切于M点的半径同为 L 的圆， 两圆又分别与y轴相切于O点和的N点， 圆弧、MN 和y轴ON 所围成的区域是垂直于坐标平面向里的匀强磁场 II 区 （不包含 y轴）。从 O点沿 y 轴负方向运动的粒子， 在y 轴 ON 段的任何位置都有概率被轻微扰动 （速度大小方向都视为不变） 而进入磁场 II 区做圆周运动。不计粒子重力和粒子间的相互影响， 两磁场区域磁感应强度大小相同， 。求∶ (1)两磁场区域的磁感应强度大小 B； (2)在磁场Ⅱ区中做圆周运动且不再离开Ⅱ区的粒子中速度最大的粒子， 发射装置发射它时所处位置的y坐标， 及其从进入边界线②到离O2最近所经历的时间； (3)对于在磁场Ⅱ区中做圆周运动且不再离开Ⅱ区的粒子， 其中速度最大的叫 1 号粒子 （速度 ）、与 1 号粒子轨迹及磁场弧形边界外切的粒子叫 2 号粒子 （速度 ）、与 2 号粒子轨迹及磁场弧形边界外切的粒子叫 3 号粒子 （速度 ）、与 3 号粒子轨迹及磁场弧形边界外切的粒子叫 4 号粒子 （速度 ）……以此类推 （速度大小未知但满足 ）。求第 n 号粒子的发射时坐标 与扰动时坐标 的比值。 【答案】(1) (2)， (3) 或 【详解】（1）在发射器的加速电场中，有 则 粒子进入磁场I区，根据洛伦兹力提供向心力，有 其中，半径为 联立可得 （2）如图所示 根据几何关系，有 可得 根据洛伦兹力提供向心力，有 联立可得 易知，由半径，可反推在I区磁场中运动半径也为 所以粒子发射时的y坐标为 在I区磁场中运动的时间为 在II区绕到与O2圆相切的点用时 总时间为 （3）如图所示 取坐标的绝对值，第n号粒子的圆周和第n+1号粒子的圆周中有 整理可得 由（2）问知： 把代入上式可得 把代入上式可得，根据归纳得 并且可以得出在磁场I区发射时的y坐标有 将，代入上式可得 将代入上式可得 根据归类得 并且由下图的对称性还有下方的一组 即 所以第n号粒子的发射时坐标与扰动时坐标的比值 或 3．▶新考法◀（23-24高三下·浙江·阶段检测）我国科研人员利用“祝融号”火星车观测发现着陆区的沙丘表面有含水特征，经过研究认为是因降霜或降雪所致，进一步证实了火星上存在液态水。某兴趣小组为“祝融2号”设计了探测火星大气成分的探测仪器，其原理如题图所示：虚线左侧为离子接收器、右侧存在范围足够大的匀强磁场，虚线与水平方向的夹角为，虚线竖直；被探测的大气分子进入电子轰击源后，均会成为电荷量为的负离子（质量与原大气分子质量相同，速度为零），该负离子经过电压恒为的电场加速后，从与离子接收器1的右端点相距处的小孔（即）垂直进入匀强磁场。已知质量为的负离子恰好垂直打中接收器1，离子接收器1的竖直宽度为，不计重力及离子间的相互作用力。求： （1）该匀强磁场的磁感应强度大小； （2）能被接收器1接收的水分子的质量范围； （3）若磁场的磁感应强度在一定范围内变化，现有质量分别为和的两种水分子，为了使它们分别被两个不同的接收器接收，不能超过多少。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）负离子经过加速电场时，由动能定理有 负离子在磁场中做匀速圆周运动，有 可得 由几何关系得，该负离子在磁场中运动的轨迹半径 解得 （2）①负离子恰好打中P点，有 由半径公式得 ②负离子恰好打中Q点，由几何关系得 解得 由半径公式得 所以水分子的质量范围是 （3）质量为9m的负离子恰好打中Q点，有 解得 质量为10m的负离子恰好打中Q点，有 解得 由于，所以不能超过 4．▶新角度◀（2026·陕西商洛·一模）如图所示，在平面内轴右侧放置水平极板、，其中心线在轴上，极板长度和极板间距离均为，板接恒压电源的正极，板接电源负极并接地。在轴左侧有一加速电场，两极板（与轴垂直）的电势差为，在右侧极板上开有两个相距为的出射孔，下端孔恰好在轴上。在极板右侧有一宽度的匀强磁场区域，磁感应强度为，方向垂直纸面向里，、是磁场的左右边界，它们均与轴垂直。磁场左边界上有一长度为的荧光屏，端在轴上。现有两个相同带正电粒子、从加速电场极板左端无初速度经加速电场加速后分别从上端孔和下端孔飞离进入极板间，两粒子都能由极板间离开进入磁场区域，且粒子恰好由处进入磁场区域。已知粒子质量为、电荷量大小为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，不考虑边缘效应，、、、为已知量。求： (1)极板间电压； (2)两粒子中只有粒子能够打到荧光屏上，磁场区域的磁感应强度的范围； (3)若磁场区域中磁感应强度，在该区域中加一沿轴正方向的匀强电场，要使两粒子不从磁场的右边界穿出，所加电场的场强不能超过多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理可得，电场对带电粒子做的功为 解得粒子进入极板时的初速度为 粒子在极板间做类平抛运动，方向做匀速运动，运动时间为 极板间的电场强度为 粒子y方向的加速度为 粒子在y方向的位移为d，由位移时间公式可得 解得 （2）粒子离开极板时y方向的速度为 粒子y方向速度与x方向速度相同，则粒子离开极板时速度大小为，方向与轴夹角为45°，画出粒子在匀强磁场中的轨迹图如下 粒子恰好打在荧光屏上处时，轨迹为①曲线，由几何关系可知 粒子恰好与磁场右边界相切时，轨迹为②曲线，由几何关系可知 解得 粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即 则粒子运动轨迹的半径为 只有粒子能够打到荧光屏上，则半径r应满足 即 整理得 （3）要使两粒子不从磁场的右边界穿出，当粒子轨迹与磁场右边界相切时，所加的电场强度最大，设此时粒子速度为，粒子轨迹如下图所示 由动能定理可得 在y方向上，由动量定理可得 联立以上两式，并将，，代入，可得 即所加电场的场强不能超过 真题·实战演练 高频考点：有边界的磁场临界问题 1． （2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。    【答案】（1）；（2）（3）60% 【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系 解得 r1=2L 根据 解得 在磁场中运动的周期 运动时间    （2）若B2=2B1，根据 可知 粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系 解得 r2=2L 根据 解得 （3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理 即 求和可得 粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x轴上的过程中 解得 则速度在~之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在~，又粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为η=60% 2．（2020·浙江·高考真题）通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率（即打到探测板上质子数与衰变产生总质子数N的比值），可研究中子（）的衰变。中子衰变后转化成质子和电子，同时放出质量可视为零的反中微子。如图所示，位于P点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀地发射N个质子。在P点下方放置有长度以O为中点的探测板，P点离探测板的垂直距离为a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。 已知电子质量，中子质量，质子质量（c为光速，不考虑粒子之间的相互作用）。 若质子的动量。 （1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以为能量单位）； （2）当，时，求计数率； （3）若取不同的值，可通过调节的大小获得与（2）问中同样的计数率，求与的关系并给出的范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）核反应方程满足质量数和质子数守恒： 核反应过程中： 根据动量和动能关系： 则总动能为： （2）质子运动半径： 如图甲所示： 打到探测板对应发射角度： 可得质子计数率为： （3）在确保计数率为的情况下： 即： 如图乙所示： 恰能打到探测板左端的条件为： 即： 18 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项18 带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题（专项训练） 目 录 模拟·基础演练 1 题型01 带电粒子在磁场中运动的多解问题 1 题型02 带电粒子在匀强磁场中的临界问题 5 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 模拟·基础演练 考查重点：带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题，其中多解问题包括电性不确定形成的多解问题、磁场方向不确定形成的多解问题、动态圆模型问题等。临界问题包括有无边界等临界问题。 ⏳题型01 带电粒子在磁场中运动的多解问题 1． （2019·河南南阳·模拟预测）如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为同m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是　　 A．带电粒子一定带负电荷 B．带电粒子的速度最小值为 C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量为 D．带电粒子在磁场中运动时间可能为 2． （2025·安徽马鞍山·二模）垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 3．（2022·河北唐山·二模）如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的平面感光板MN，点a为MN与水平直线ab的交点，MN与直线ab的夹角为，ab间的距离为。在b点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周运动的半径为，不计电子间的相互作用和重力，，则MN上被电子打中的区域的长度为（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 4．（2026·广西河池·一模）如图所示，纸面内有直角坐标系。匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度的大小为。现有一个位于点的放射源，能从点向纸面内各个方向射出速度大小均为的带正电粒子。若在与轴距离为处放一足够长且平行于轴的感光棒，粒子打在上面即被吸收。已知粒子的比荷，则下列说法中正确的是（     ） A．粒子击中感光棒的最小圆心角为 B．粒子在轴上方区域击中感光棒的最远点坐标为 C．粒子在轴下方区域击中感光棒的最远点所用时间为 D．粒子击中感光棒的长度为 5．（2026·河南郑州·模拟预测）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，以圆心O为原点建立直角坐标系，x轴上点处有一粒子源，能向纸面内各个方向发射质量均为m、电荷量均为的带电粒子，粒子的速率均为。若E点、F点分别是圆弧上有粒子射出的最上端点和最下端点，忽略粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（     ） A．E点坐标为 B．F点坐标为 C．飞出磁场的粒子中，在磁场中运动的最短时间为 D．飞出磁场的粒子中，在磁场中运动的最长时间为 6．▶新考法◀ （2026·江西上饶·一模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=bc=L，，且ab//cd。一束带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为k，不计粒子之间的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 7．（2026·江苏·一模）某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的区域存在方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量a、b两种离子飘入（其初速度几乎为零）电压为U的加速电场，经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值，已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为2m和m，不考虑离子间相互作用。下面说法正确的是（　　） A．a离子在磁场中速度大小为 B．b离子在照相底片上形成的亮线长度为 C．打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为 D．若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，则不超过 ⏳题型02 带电粒子在匀强磁场中的临界问题 8．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，矩形区域内、外分别存在着垂直于纸面向里、向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B。比荷为k的带正电粒子（不计重力）从a点以与边夹角为的速度射入矩形区域内，粒子第一、二次穿过矩形区域边界时恰好分别经过b、c点。已知，矩形区域外的磁场范围足够大。下列说法正确的是（　　） A．粒子的速度大小为 B． C．粒子不经过d点 D．粒子相邻两次经过a点的时间间隔为 9． （2026高三下·福建厦门·专题练习）托卡马克环形容器是核聚变工程中重要装置，如图是某一托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点发射a、b两个粒子，都恰好经过磁场外边界。已知a粒子沿同心圆的径向发射，其速度大小，b粒子沿内圆的切线方向发射，a、b都带正电且比荷均为。不考虑带电粒子所受重力和相互作用。则（    ） A．外圆半径等于 B．粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 C．粒子速度大小为 D．粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 10．（2026届江苏常州市前黄高级中学高三下学期4月综合练习（一）物理试题）为研究地磁场对宇宙射线的屏蔽作用，某小组模拟了一圆柱形磁场区域。磁场半径为R，外侧磁场厚度为 d（即模拟地球外部防护层厚度，d），磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。磁场边缘有一粒子源，可在赤道平面内以不同速度向各个方向射入带正电的粒子。已知当粒子速度为时，沿半径方向射入的粒子恰不能到达模拟地球的边界。不计粒子重力及相对论效应，不考虑磁场的边缘效应。则下列说法正确的是（　　） A．粒子的比荷为 B．速度为的粒子到达内侧边界的最大弦长为 C．速度为的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子能穿透防护层的最小速度为 11. （2020·陕西·二模）如图为“EAST超导托卡马克核聚变实验装置”的简化模型：把核材料约束在半径为r2的圆形区域内，等离子体只在半径为r1的圆形区域内反应，环形区域(约束区)存在着垂直于截面的匀强磁场。假设约束的核聚变材料只有氕核()和氘核()，已知氕核()的质量为m，电量为q，两个同心圆的半径满足r2＝(＋1)r1，只研究在纸面内运动的核子，不考虑核子间的相互作用、中子和质子的质量差异以及速度对核子质量的影响。设核聚变材料氕核()和氘核()具有相同的动能Ek，则以下说法正确的是（　　） A．氕核()和氘核()的比荷之比为1：2 B．氕核()和氘核()分别在环形区域做匀速圆周运动的半径之比为1： C．为了约束从反应区沿不同方向射入约束区的核子，则环形磁场区域所加磁场磁感应强度B满足的条件为B> D．若约束区的磁感应强度为B0，氕核()从圆心O点沿半径方向以某一速度射入约束区，恰好经过约束区的外边界，则氘核()相邻两次经过O点所经历的时间为t＝ 重难·创新演练 设题创新:结合电容模型考查(T1);结合科技仪器考查(T3);新角度考查研究方法(T4); 1．▶新情境◀（2026·广东梅州·模拟预测）如图所示，在平面（纸面）内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，垂直纸面的两块金属薄板K、A平行正对放置，两板高度均为d，间距也为d，其中K板接地，A板与灵敏电流计相连并接地。当光照射K板右侧面时，K板整个右侧面都能发射质量为m、电荷量为e的电子，电子的速度大小范围为，方向与y轴正方向间的夹角范围为，A板左、右两侧面均可接收电子。已知，，忽略电子重力和电子间的相互作用力。 (1)某电子从K板上的P点以射出后能到达A板上的Q点，P、Q两点的y坐标相同，求该电子的速度大小； (2)若向右平移A板到某个位置时，灵敏电流计示数恰好减为0，求此时K、A两板的间距； (3)保持K、A两板之间的距离为d。设当光照射K板时，K板立即发射电子。若某时刻起光照射K板，则经多长时间电流计开始有电流流过；若某时刻起停止光照，则流过电流计的电流还能持续多长时间。 2． （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示的xOy 坐标系。第二象限有一条平行于y轴的竖线①， 粒子发射装置可沿竖线①上下移动， 发射装置内有加速电压U 将初速度为零的粒子加速后沿 x轴正向射出， 加速电压U与发射装置所处的y坐标满足关系（k已知）， 发射的粒子质量为 m 、电荷量为+ q ； 第二象限有一条边界线② （离竖线①很远， 不考虑相交） 过坐标原点O， 边界线②与 y轴之间有垂直于坐标平面向外的匀强磁场 I 区， 粒子经边界线②进入磁场 I 区偏转后都能沿y轴负方向经过坐标原点O. 第四象限有圆心分别为和的两个外切于M点的半径同为 L 的圆， 两圆又分别与y轴相切于O点和的N点， 圆弧、MN 和y轴ON 所围成的区域是垂直于坐标平面向里的匀强磁场 II 区 （不包含 y轴）。从 O点沿 y 轴负方向运动的粒子， 在y 轴 ON 段的任何位置都有概率被轻微扰动 （速度大小方向都视为不变） 而进入磁场 II 区做圆周运动。不计粒子重力和粒子间的相互影响， 两磁场区域磁感应强度大小相同， 。求∶ (1)两磁场区域的磁感应强度大小 B； (2)在磁场Ⅱ区中做圆周运动且不再离开Ⅱ区的粒子中速度最大的粒子， 发射装置发射它时所处位置的y坐标， 及其从进入边界线②到离O2最近所经历的时间； (3)对于在磁场Ⅱ区中做圆周运动且不再离开Ⅱ区的粒子， 其中速度最大的叫 1 号粒子 （速度 ）、与 1 号粒子轨迹及磁场弧形边界外切的粒子叫 2 号粒子 （速度 ）、与 2 号粒子轨迹及磁场弧形边界外切的粒子叫 3 号粒子 （速度 ）、与 3 号粒子轨迹及磁场弧形边界外切的粒子叫 4 号粒子 （速度 ）……以此类推 （速度大小未知但满足 ）。求第 n 号粒子的发射时坐标 与扰动时坐标 的比值。 3．▶新考法◀（23-24高三下·浙江·阶段检测）我国科研人员利用“祝融号”火星车观测发现着陆区的沙丘表面有含水特征，经过研究认为是因降霜或降雪所致，进一步证实了火星上存在液态水。某兴趣小组为“祝融2号”设计了探测火星大气成分的探测仪器，其原理如题图所示：虚线左侧为离子接收器、右侧存在范围足够大的匀强磁场，虚线与水平方向的夹角为，虚线竖直；被探测的大气分子进入电子轰击源后，均会成为电荷量为的负离子（质量与原大气分子质量相同，速度为零），该负离子经过电压恒为的电场加速后，从与离子接收器1的右端点相距处的小孔（即）垂直进入匀强磁场。已知质量为的负离子恰好垂直打中接收器1，离子接收器1的竖直宽度为，不计重力及离子间的相互作用力。求： （1）该匀强磁场的磁感应强度大小； （2）能被接收器1接收的水分子的质量范围； （3）若磁场的磁感应强度在一定范围内变化，现有质量分别为和的两种水分子，为了使它们分别被两个不同的接收器接收，不能超过多少。 4．▶新角度◀（2026·陕西商洛·一模）如图所示，在平面内轴右侧放置水平极板、，其中心线在轴上，极板长度和极板间距离均为，板接恒压电源的正极，板接电源负极并接地。在轴左侧有一加速电场，两极板（与轴垂直）的电势差为，在右侧极板上开有两个相距为的出射孔，下端孔恰好在轴上。在极板右侧有一宽度的匀强磁场区域，磁感应强度为，方向垂直纸面向里，、是磁场的左右边界，它们均与轴垂直。磁场左边界上有一长度为的荧光屏，端在轴上。现有两个相同带正电粒子、从加速电场极板左端无初速度经加速电场加速后分别从上端孔和下端孔飞离进入极板间，两粒子都能由极板间离开进入磁场区域，且粒子恰好由处进入磁场区域。已知粒子质量为、电荷量大小为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，不考虑边缘效应，、、、为已知量。求： (1)极板间电压； (2)两粒子中只有粒子能够打到荧光屏上，磁场区域的磁感应强度的范围； (3)若磁场区域中磁感应强度，在该区域中加一沿轴正方向的匀强电场，要使两粒子不从磁场的右边界穿出，所加电场的场强不能超过多少？ 真题·实战演练 高频考点：有边界的磁场临界问题 1． （2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。    2．（2020·浙江·高考真题）通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率（即打到探测板上质子数与衰变产生总质子数N的比值），可研究中子（）的衰变。中子衰变后转化成质子和电子，同时放出质量可视为零的反中微子。如图所示，位于P点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀地发射N个质子。在P点下方放置有长度以O为中点的探测板，P点离探测板的垂直距离为a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。 已知电子质量，中子质量，质子质量（c为光速，不考虑粒子之间的相互作用）。 若质子的动量。 （1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以为能量单位）； （2）当，时，求计数率； （3）若取不同的值，可通过调节的大小获得与（2）问中同样的计数率，求与的关系并给出的范围。 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $