6.3.2 角的比较与运算 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

# 人教版七年级上册数学 6.3.2 角的比较与运算 专项练习 ## 一、知识梳理 ### 1. 角的比较方法 1. **度量法**：用量角器测出角度，比较度数大小。 2. **叠合法**：把两个角顶点重合，一条边重合，另一条边放在重合边同一侧，观察位置判断大小。 ### 2. 角的和、差 在$\angle AOC$内部有一条射线$OB$： $\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC$ $\angle AOB=\angle AOC-\angle BOC$ $\angle BOC=\angle AOC-\angle AOB$ ### 3. 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成**两个相等的角**的射线，叫做这个角的角平分线。 若射线$OB$平分$\angle AOC$，则： $\angle AOB=\angle BOC=\dfrac12\angle AOC$，$\angle AOC=2\angle AOB=2\angle BOC$ > 拓展：角的三等分线、四等分线。 > 易错提醒 1. 角平分线是**射线**，不是线段、直线； 2. 若$\angle AOB=\angle BOC$，不能直接判定$OB$是角平分线，前提：$OB$在$\angle AOC$内部； 3. 角度计算是**60进制**，度分加减，满60进1，不够减借1当60； 4. 没有图时，要考虑射线在角内部或外部，**分类讨论**。 ## 二、基础巩固（填空题） 1. 比较角大小的两种方法：________法、________法。 2. 从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线，叫角的________。 3. 若$OB$平分$\angle AOC$，$\angle AOC=80^\circ$，则$\angle AOB=$____$^\circ$。 4. $\angle AOB=50^\circ$，$\angle BOC=30^\circ$，射线$OC$在$\angle AOB$内部，则$\angle AOC=$____$^\circ$。 5. $23^\circ15'+42^\circ45'=$________。 6. 一个角是$45^\circ$，它的一半是________。 ## 三、判断题（对打√，错打×） 1. 角平分线是一条射线。（） 2. 如果$\angle AOB=\angle BOC$，则$OB$一定是$\angle AOC$的平分线。（） 3. 用叠合法比较角，要顶点重合，一边重合。（） 4. $18^\circ30'=18.5^\circ$。（） 5. 大角减去小角，得到的一定是锐角。（） 6. 角的和差运算，度分是60进制。（） ## 四、选择题 1. 射线$OM$平分$\angle AOB$，$\angle AOB=70^\circ$，则$\angle AOM=$（） A.$20^\circ$ B.$35^\circ$ C.$70^\circ$ D.$140^\circ$ 2. 已知$\angle A=25^\circ18'$，$\angle B=25.18^\circ$，则（） A.$\angle A>\angle B$ B.$\angle A=\angle B$ C.$\angle A<\angle B$ D.无法比较 3. $\angle AOB=60^\circ$，射线$OC$在平面内，$\angle BOC=20^\circ$，则$\angle AOC$为（） A.$40^\circ$ B.$80^\circ$ C.$40^\circ$或$80^\circ$ D.$60^\circ$ 4. 下列说法正确的是（） A.角平分线是线段 B.角平分线把角分成两个直角 C.角平分线从顶点出发 D.角平分线可以在角外面 5. $\angle1=35^\circ20'$，$\angle2=15^\circ40'$，$\angle1+\angle2=$（） A.$50^\circ60'$ B.$51^\circ$ C.$40^\circ$ D.$50^\circ$ ## 五、计算（度分运算） 1.$32^\circ25'+18^\circ35'=$ 2.$75^\circ10'-26^\circ40'=$ 3.$21^\circ15'\times2=$ ## 六、解答题 1. 已知：$OB$平分$\angle AOC$，$\angle AOB=35^\circ$，求$\angle AOC$。 2. 已知$\angle AOB=100^\circ$，$OC$在$\angle AOB$内部，$\angle BOC=40^\circ$，$OD$平分$\angle AOC$，求$\angle COD$。 3. 简述角平分线定义。 ## 七、能力提升 1. 已知$\angle AOB=120^\circ$，$OC$是$\angle AOB$内部射线，$OD$平分$\angle AOC$，$OE$平分$\angle BOC$，求$\angle DOE$。 2. 已知$\angle AOB=70^\circ$，过点$O$作射线$OC$，$\angle BOC=30^\circ$，$OM$平分$\angle AOC$，求$\angle AOM$。 ## 八、参考答案 ### 一、基础巩固 1. 度量；叠合 2. 平分线 3. $40$ 4. $20$ 5. $66^\circ$ 6. $22.5^\circ$（或$22^\circ30'$） ### 二、判断题 1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.× 6.√ ### 三、选择题 1.B 2.A 3.C 4.C 5.B ### 五、计算 1.$32^\circ25'+18^\circ35'=\boldsymbol{51^\circ}$ 2.$75^\circ10'-26^\circ40'=\boldsymbol{48^\circ30'}$ 3.$21^\circ15'\times2=\boldsymbol{42^\circ30'}$ ### 六、解答题 1. 解：∵$OB$平分$\angle AOC$ ∴$\angle AOC=2\angle AOB=2\times35^\circ=70^\circ$ 答：$\angle AOC=70^\circ$。 2. 解：$\angle AOC=\angle AOB-\angle BOC=100^\circ-40^\circ=60^\circ$ ∵$OD$平分$\angle AOC$ ∴$\angle COD=\dfrac12\angle AOC=30^\circ$ 答：$\angle COD=30^\circ$。 3. 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 ### 七、能力提升 1. 解： $OD$平分$\angle AOC$，$\therefore\angle DOC=\dfrac12\angle AOC$ $OE$平分$\angle BOC$，$\therefore\angle EOC=\dfrac12\angle BOC$ $\angle DOE=\angle DOC+\angle EOC=\dfrac12(\angle AOC+\angle BOC)=\dfrac12\angle AOB=\dfrac12\times120^\circ=60^\circ$ 答：$\angle DOE=60^\circ$。 2. 分两种情况： ①$OC$在$\angle AOB$内部： $\angle AOC=70^\circ-30^\circ=40^\circ$，$OM$平分$\angle AOC$，$\angle AOM=20^\circ$ ②$OC$在$\angle AOB$外部： $\angle AOC=70^\circ+30^\circ=100^\circ$，$OM$平分$\angle AOC$，$\angle AOM=50^\circ$ 答：$\angle AOM=20^\circ$或$50^\circ$。 ## 九、易错总结 1. 角平分线是射线；必须在角内部，才能由两角相等推出平分线； 2. 没有图形，射线位置不确定，**一定要分内部、外部两种情况**； 3. 度分60进制：加法满60进1，减法不够减，借$1^\circ$当作$60'$； 4. 双角平分线模型：一个大角内部两条平分线，相加得到的角是大角的一半，填空常考。 下一课：**6.3.3 余角和补角**，继续同模板出题吗？ 人教版（新教材）数学七年级上册 6.3.2 角的比较与运算 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/14 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第六章 几何图形初步 教学目标 1. 运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系. 2. 借助三角板拼出不同度数的角，认识角的平分线及角的等分线，会画角的平分线. 重点：比较角的大小，认识角的平分线，做一个角等于 已知角. 难点：角的平分线的应用. 课后小结 思考1：我们已经知道了比较两条线段长短的方法，那么如何比较两个角的大小呢？ 度量法 30 50 ∠AOB ∠AOB 探究新知 叠合法 ∠AOB ∠AOB ∠AOB ∠AOB ∠AOB ∠AOB 思考1：我们已经知道了比较两条线段长短的方法，那么如何比较两个角的大小呢？ 探究新知 叠合法比较两个角的大小 （1）将两个角的顶点及其中一条边重合． （2）使两个角的另一边落在重合一边的同侧． （3）根据两个角的另一边的位置关系确定两个角的大小． 探究新知 试一试：判断下图中∠ABC 与∠DEF 的大小关系． A C B D F E ∠ABC＝∠DEF 你有什么发现？ 　　角的大小与角的两边画出部分的长度无关，只与角的两边张开的大小有关． 探究新知 6 图中共3个角，分别是∠AOB，∠BOC 和∠AOC 思考2：如图所示，图中共有几个角？类比两条线段的和与差，你能结合图说明什么是两个角的和与差吗？ ∠BOC是 ∠AOC与∠AOB的差， 即：∠BOC＝∠AOC－∠AOB. ∠AOC是∠AOB与 ∠BOC的和， 即：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC， ∠AOB是 ∠AOC与∠BOC的差， 即：∠AOB＝∠AOC－∠BOC， 探究新知 探究：参考下图，借 助一副三角尺的角，结合角的和、差运算，可以画出哪些度数的角？ 15 75 105 120 135 150 165 180 30 45 60 90 规律：这些角都是15角的倍数. 探究新知 例：如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度数. 解：由题意可知，∠AOB是平角， ∠AOB＝∠AOC＋∠BOC, 所以 ∠BOC＝ ∠AOB－∠AOC ＝180°－ 53º17′ ＝126°43′. 进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减。分、秒相加时，逢60要进位；相减时，如不够减要借1作60。本题中应借1°，先将180°化为179°60'，再进行减法运算。 探究新知 思考1：我们知道，线段的中点把线段分成两条相等的线段。类似地，在下图中，如果∠AOB=∠BOC，那么射线OB把∠ AOC分成两个相等的角。你能梳理射线OB的特征，尝试给射线OB起一个适当的名称吗？ 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。 位于∠AOC的内部（端点O除外） 并且将∠AOC分成两个相等的角 探究新知 符号语言： ∵OB是∠AOC的平分线 ∴ ∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC (或∠AOB＝∠BOC ＝ ∠AOC) 反之也成立： ∵ ∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC (或∠AOB＝∠BOC＝ ∠AOC) ∴OB是∠AOC的平分线 ∠AOC＝2∠AOB＝2_______ ∠AOB＝∠BOC ＝ _______ OB是∠AOC的平分线 ∠BOC ∠AOC 探究新知 思考2：我们通过角平分线可以把这个角分成两个相等的角，那么能不能这个角三等分呢？ OB是∠AOC的平分线 OB、OC是∠AOD的三等分线 ∠AOB＝∠BOC ＝ ∠AOC ∠AOB＝∠BOC ＝∠COD ＝ ∠AOD 探究新知 探究：仿照下图，在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线。 探究新知 　　例1：如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD 是∠AOC 的角平分线，求∠BOD 的度数． 　　解：因为∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，　　 　　所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC 　　　　　　　＝90°－60°＝30°． 　　因为 OD 是∠AOC 的角平分线， 　　所以∠DOC＝∠AOC＝×30°＝15°， 　　所以∠BOD＝∠DOC＋∠BOC＝15°＋60°＝75°． A C B O D 探究新知 利用角平分线求角的大小 （1）利用角平分线进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同的表达方式． （2）在计算角的大小时，常常要用到等量代换，即用已知角代替与它相等的未知角． 探究新知 例2：把一个周角7等分，每一份是多少度的角（精确到分）? 解：360º÷7＝51º+3º÷7 ＝51º+180′÷7 ≈51º26′ 答：每份是51º26′. 分析：度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度数化成分。 探究新知 　角度的四则运算 运算 法则 加法运算 先同级相加，再对分、秒进行化简 减法运算 从低位算起，若同级不够减，则向上一位借1作60 乘法运算 当一个角度与一个正整数相乘时，先用正整数分别与度、分、秒相乘，再把所得的积相加后化简 除法运算 当一个角度与一个正整数相除时，从高位算起，余数乘60化为下一级再运算 探究新知 1. 比较大小：60°25′ 60.25° (填 “>”，“<” 或 “=”) . > 2. 计算： (1) 180° - 98°24′30″ 解：(1) 原式 = 179°59′60″ - 98°24′30″ = 81°35′30″. (2) 原式 = 248°96′68″ = 249°37′8″. (2) 62°24′17″×4 当堂检测 3. 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，若∠AOB = 50°，∠DOE = 30°，那么∠BOD 是多少度？ E A O C B D 解：因为 OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线， 所以∠AOB =∠BOC，∠COD =∠DOE. 因为∠AOB = 50°，∠DOE = 30°， 所以∠BOC = 50°，∠COD = 30°. 所以∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 50° + 30° = 80°. 当堂检测 知识点1 角的比较 1.用“叠合法”比较与 的大小，正确的是( ) D A. B. C. D. 举一反三 20 2.［2025唐山期末］如图，用三角尺比较与 的大小，其中正确的 是( ) B A. B. C. D.不能确定 举一反三 21 3.在小于平角的的内部取一点，并作射线 ，则一定有( ) D A. B. C. D. 举一反三 22 知识点2 角的和差 （第4题） 4.一副三角尺如图所示放置，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 举一反三 23 （第5题） 5.如图，已知点是直线 上一点， ， ，则 的度数是 ( ) C A. B. C. D. 举一反三 24 6.［教材P练习T 变式］按图填空： （第6题） （1） _______； （2） _______； （3） _______； （4） _______. 举一反三 25 7.［2025深圳期末］如图，在灯塔观测小岛 位于正西方向，同时小岛 在灯塔的北偏东的方向，则_______ . （第7题） 举一反三 26 8.（12分）［教材P练习T 变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） . 解：原式 . 举一反三 27 课堂小结 角的比较 角的平分线 度量法 叠合法 角的运算 加与减 乘与除 角的和差倍分关系 角的计算 图形的关系 数量的关系 定义 几何符号语言表示 谢谢观看 THANKS $