山东省牟平第一中学2026-2027学年高三10月月考数学试题

24级高三月考试题(10.10) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,则A∩B=( ) A.{2e} B. C. D. 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=2,a3+a6=10,则S15=( ) A.30 B.60 C.90 D.120 3.若直线y=2x+2与曲线y=ex﹣1+x+a相切,则实数a=( ) A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 4.已知非零向量,满足⊥(4),且在上的投影向量为﹣2,则向量,的夹角 为( ) A. B. C. D. 5.在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N,其中k为常数.在此条件下,训练1024个单位的数据量所需要的时间是训练108个单位的数据量所需要的时间的( ) A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.8倍 6.已知函数,若正实数a、b满足f(a)+f(b﹣1)=0,则的最小值为( ) A.2 B.5 C.8 D.9 7.已知平行四边形ABCD中,AB=4,BC=2,∠BAD,点P,Q在四边形ABCD所在平面上,且满足||=1,2,则的最大值为( ) A. B.3 C. D. 8.已知函数有五个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5,其中x1<x2<x3<x4<x5且,记集合S={xixj|1≤i<j≤5,i,j∈Z},则S的元素个数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 2、 选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知函数的部分图象如图所示,则( ) A. B.2 是f(x)的一个周期 C. D.当x∈[﹣ ,0]时,f(x)的最小值为﹣2 10.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到一条“雪花”状的曲线,若原正三角形边长为1,记第n个图中图形的边数为an,第n个图中图形的边长为bn,第n个图形的周长为Ln,第n个图形的面积为Sn,n∈N*,则下列命题正确的是( ) A. B. C. D.数列{Ln}的前n项和为 11.函数f(x)的定义域是D,对于t∈D,定义集合Uf(t)={x|f(x)≤f(t)},以下选项正确的有( ) A.若f(x)=2x+1,则Uf(2)={x|x≤2} B.若,且t1<t2,则 C.若f(x)的定义域为R,对任意t都有Uf(t)=Uf(﹣t),则f(x)是偶函数 D.若f(x)=ex﹣mx2,对任意t1<t2都有,则m的取值范围为[0,e] 三.填空题(共3小题) 12.函数f(x)=4x﹣2x+1+1的值域为 . 13.已知函数f(x)=cos( x+ )sin( x+ )( >0,0< < )是奇函数,函数g(x)=sin( x+ )的图象在区间(0, )上恰有2条对称轴,则 的取值范围为 . 14.已知有穷整数数列{an}共有m项.若对任意的k∈{1,2,…,6},在{an}中存在ai,ai+1,ai+2,⋯,ai+j(j≥0),使得ai+ai+1+ai+2+⋯+ai+j=k,则m的最小值为 . 四.解答题(共5小题) 15.(13分)在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,. (1)证明:C=2B. (2)若A为钝角,a=11, ABC的面积为22,求b. 16.(15分)设函数f(x)=ax+ka﹣x(k∈R,a>0,a≠1)且f(x)为奇函数. (1)若,求f(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,若函数h(x)=a2x+a﹣2x﹣f(x)≥ 在x∈[1,+∞)上恒成立,求实数 的取值范围. 17.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且满足2a1+22a2+23a3+⋯+2nan. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足对任意n∈N*,2bn+1=bn+bn+2,且b1=3,b3=a3+1,设其前n项和为Sn. (i)设数列的前n项和为Tn,求证:Tn; (ii)若对任意n∈N*,bn﹣5≤ an恒成立,求实数 的取值范围. 18.(17分)已知函数f(x)=(x﹣2)exax,a∈R. (1)当a=0时,求函数f(x)的极值; (2)讨论函数f(x)的单调性; (3)讨论函数f(x)的零点个数. 19.(17分)已知函数f(x)=sinx+ax2(a≥1). (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程. (2)证明f(x); (3)证明:对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t). 24级高三月考试题答案(10.10) 1.【解答】解:,.故选:B. 2.【解答】解:等差数列{an}中,且a1=2,a3+a6=10,由等差数列的性质可得,a1+a8=a3+a6=2+a8=10,得a8=8,则 .故选:D. 3.【解答】解:y=f(x)=ex﹣1+x+a,所以f′(x)=ex﹣1+1,令f′(x)=ex﹣1+1=2,所以x=1,所以f(1)=2+a,所以切点坐标为(1,2+a),又切点在切线y=2x+2上,所以2+a=4,所以a=2.D. 4.【解答】解:因为⊥(4),所以•(4),可得0,故,根据在上的投影向量为﹣2,可得,即,所以向量,的夹角 满足cos ,结合 ∈[0, ],可得 .故选:D. 5.【解答】解:由T=klog2N,得训练1024个单位的数据量所需要的时间是T1=klog21024=24klog210,训练108个单位的数据量所需要的时间是T2=klog2108=8klog210,所以3,是3倍.B. 6.【解答】解:易得f(x)的定义域为R,f(x),所以f(x)是奇函数,令,,t在定义域上单调递减,y=lgt是增函数,可得f(x)在R上为减函数,由f(a)+f(b﹣1)=0,得f(a)=﹣f(b﹣1)=f(1﹣b),又因为f(x)为减函数,则a=1﹣b,a+b=1,a>0,b>0,,当且仅当,即,时等号成立.故选:D. 7.【解答】解:建立如图所示平面直角坐标系, 由AB=4,BC=2,∠BAD,可得A(0,0),B(4,0),D(2,2),由,可知点P在以B为圆心,半径为1的圆上运动,即点P的轨迹方程为:(x﹣4)2+y2=1,则可设P(4+cos ,sin ), ∈[0,2 ),Q(x,y),由,可得(2x,2y)=(4+cos ﹣x,sin ﹣y),可得,则 ,当sin =﹣1时,取得最大值.故选:C. 8.【解答】解:如果x0是函数F(x)的零点,即,那么用代换x0可得,,即也是函数F(x)的一个零点,而因为零点共有五个,因此必有一个零点满足,即x=1必为函数的一个零点,根据零点的大小关系,x3=1,故剩下的四个零点必然互为倒数,即,,而因为,因此联立,得,,,包括,,x1x4,x1x5=1,,x2x4=1,x2x5=x4,x3x4=x4,,,根据集合的性质,集合中共有7个不同的元素.故选:A. 9.【解答】解:由f(x)=2cos( x+ )的图象得,cos ,且| |,最大值点在f(0)的右侧,所以 ,选项A正确;由f()=2cos()=0,得,解得 =1,所以f(x)=2cos(x),最小正周期为T=2 ,选项B正确;f(x)+f(x)=2cos(x)+2cos(x)=2cos(x)+2cos(x)=4cos(x)≠0,选项C错误;x∈[﹣ ,0)时,x∈[,),令x ,得x,此时f(x)取得最小值﹣2,选项D正确.故选:ABD. 10.【解答】解:对于A,第n个图形的每条边分成三等份,去掉中间段,并以中间段为边向形外作正三角形,得第n+1个图形,则原来每条边变为4条,即an+1=4an,而a1=3,因此,A正确;对于B,由题意可知,,S2,S3,,B正确;对于C,由作法知,,而b1=1,则,,C错误;对于D,由选项AC知,,所以数列{Ln}的前n项和为,D正确.选:ABD. 11.【解答】解:对于A,由f(x)=2x+1,得f(2)=5,则Uf(2)={x|2x+1≤5}={x|x≤2},故A正确;对于B,因为函数在R上单调递减,则,,又t1<t2,所以,故B错误;对于C,假设存在t0使得,不妨设f(t0)>f(﹣t0),而,,则与题设矛盾,因此对任意t都有f(t)=f(﹣t),则f(x)是偶函数,故C正确;对于D,由于,,且对任意t1<t2都有,因此对任意t1<t2都有f(t1)<f(t2),所以函数f(x)=ex﹣mx2在R上单调递增,即f'(x)=ex﹣2mx≥0在x∈R上恒成立,当x=0时,f'(x)=1>0,显然成立;则问题等价于x>0时,恒成立,且x<0时,恒成立,设,x≠0,则令g(x)<0,得x<0或0<x<1;令g(x)>0,得x>1,则函数g(x)在(﹣∞,0)和(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以x>0时,g(x)min=g(1)=e则e≥2m,即;x<0时,g(x)<0,则2m≥0,即m≥0,所以,故D错误.故选:AC. 12.【解答】解:f(x)=4x﹣2x+1+1=22x﹣2•2x+1=(2x﹣1)2,当2x=1时,f(x)取得最小值为0,x +∞时,2x +∞,f(x) +∞,f(x)的值域为[0,+∞).故答案为:[0,+∞). 13.【解答】解:f(x)=cos( x+ )sin( x+ )=2sin( x+ )( >0)是奇函数, 则 k (k∈Z) =k (k∈Z),又0< < ,故k=1时, ,故f(x)=2sin( x+ )=﹣2sin x( >0),当x∈(0, )时, x∈(, ),又g(x)=sin( x)=cos( x)的图象在区间(0, )上恰有2条对称轴,故2 < x3 ,解得x.即 的取值范围为(,].故答案为:(,]. 14.【解答】解:①证明:当m=1时,数列仅有1个连续的子段,最多只能得到1个和,无法覆盖1,2,3,4,5,6,不符合题意,当m=2时,连续的子段共有3个,最多只能得到3个和,无法覆盖6个不同的数值,不符合题意,因此m≥3,②构造m=3的例子,取数列为1,3,2,k=1:a1=1,k=2:a3=2,k=3:a2=3,k=4:a1+a2=1+3=4,k=5:a2+a3=3+2=5,k=6:a1+a2+a3=1+3+2=6,综上,m的最小值为3.故答案为:3. 15.【解答】解:(1)证明:因为,,sin(C+B)=sinA, 所以,因为sinA≠0,所以sin(C﹣B)=sinB,因为0<B< ,0<C< ,sin(C﹣B)=sinB>0,所以0<C﹣B< ,所以C﹣B=B或C﹣B+B= (舍去),所以C=2B;(2)在 ABC中,作BC边上的高AD, ABC的面积为,a=11,所以AD=4,设BD=x,则CD=11﹣x,,,,所以,化简得3x2﹣22x﹣16=0,解得x=8舍去),CD=11﹣x=3,,即b=5. 16.【解答】解:(1)因为函数f(x)=ax+ka﹣x(a>0且a≠1)是R上的奇函数,则f(﹣x)+f(x)=0,即f(﹣x)+f(x)=a﹣x+kax+ax+ka﹣x=(1+k)(ax+a﹣x)=0,∴k+1=0,可得k=﹣1,即f(x)=ax﹣a﹣x,由,得,解得(舍)或a=2,∴f(x)=2x﹣2﹣x.(2)由(1)得f(x)=2x﹣2﹣x,h(x)=a2x+a﹣2x﹣f(x)≥ 在x∈[1,+∞)上恒成立,可转化为:h(x)=22x+2﹣2x﹣(2x﹣2﹣x)≥ ,在x∈[1,+∞)上恒成立.h(x)=22x+2﹣2x﹣(2x﹣2﹣x)=(2x﹣2﹣x)2﹣(2x﹣2﹣x)+2,令t=2x﹣2﹣x,则t=2x﹣2﹣x在x∈[1,+∞)上为增函数,所以,,所以当时,g(t)=t2﹣t+2取得最小值,所以 的取值范围为. 17.【解答】(1)解:∵,∴当n≥2时,,两式相减得,∴当n≥2时,, 当n=1时,,上式也成立,综上,数列{an}的通项公式为. (2)(i)证明:因为2bn+1=bn+bn+2,所以{bn}为等差数列,设公差为d,又b1=3,b3=a3+1=9,所以,所以bn=3n,则;所以,所以; (ii)解:因为对任意n∈N*,bn﹣5≤ an恒成立,即对任意n∈N*,3n﹣5≤ •2n恒成立, 所以对任意n∈N*,恒成立,令,则,所以当1≤n≤2时cn+1﹣cn>0,当n≥3时cn+1﹣cn<0,所以c1<c2<c3>c4>c5>⋯,所以,所以,即实数 的取值范围是[,+∞). 18.【解答】解:(1)当a=0时,f(x)=(x﹣2)ex求导得:f'(x)=ex+(x﹣2)ex=(x﹣1)ex,因为ex>0恒成立,所以当x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=(1﹣2)e=﹣e,无极大值; (2)函数f(x)的定义域为R,求导得f'(x)=(x﹣1)ex﹣ax+a=(x﹣1)(ex﹣a), 当a≤0时,ex﹣a>0恒成立,当x<1时,f′(x)<0,f(x)在(﹣∞,1)单调递减; 当x>1时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)单调递增;当a>0时,令ex﹣a=0,得x=lna若0<a<e,则lna<1,当x<lna时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当lna<x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 若a=e,则lna=1,f'(x)=(x﹣1)(ex﹣e)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增; 若a>e,则lna>1,当x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当1<x<lna时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>lna时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 综上,当a≤0时,f(x)在(﹣∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增; 当0<a<e时,f(x)在(﹣∞,lna)单调递增,在(lna,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增;当a=e时,f(x)在R上单调递增;当a>e,f(x)在(﹣∞,1)单调递增,在(1,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增; (3)因为,显然x=2是f(x)的一个零点, 令,讨论g(x)的零点个数,求导得,当a<0时,当x>0时,恒成立,无正零点;当x<0时,g′(x)>0,g(x)在(﹣∞,0)单调递增,且g(0)=1>0,当x ﹣∞时g(x) ﹣∞,所以g(x)有1个小于0的零点,且不等于2,所以f(x)共有2个零点; 当a=0时,g(x)=ex>0无零点,所以f(x)只有x=2这1个零点;当a>0时,g(x)在处取得最小值,若0<a<2e,则最小值>0,g(x)无零点,故f(x)共1个零点;若a=2e,则最小值=0,g(x)仅有1个零点x=1≠2,故f(x)共2个零点; 若2e<a<e2,则最小值<0,g(x)有2个零点,且g(2)=e2﹣a>0两个零点均不等于2,故f(x)共3个零点;若a=e2,g(2)=0,g(x)的两个零点中一个为x=2,故f(x)共2个零点; 若a>e2,则最小值<0,g(x)有2个零点,且g(2)=e2﹣a<0,两个零点均不等于2,故f(x)共3个零点;综上,当0≤a<2e时,1个零点;当a<0或a=2e或a=e2时,2个零点;当2e<a<e2或a>e2时,3个零点. 19.【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=sinx+x2,f(0)=sin0+02=0, 求导得f'(x)=cosx+2x,f'(0)=cos0+0=1,所以切线方程为y=x; (2)证明:f′(x)=cosx+2ax.令函数g(x)=f'(x),则g'(x)=﹣sinx+2a>0,所以g(x)=f'(x)是增函数.f'(0)=1>0,,所以存在,使得f'(x0)=cosx0+2ax0=0,即,所以当x∈(﹣∞,x0)时,f'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0, 所以f(x)在(﹣∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.f(x)≥f(x0)=sinx0sinx0cos2x0sin2x0+sinx0,因为所以,因为函数在上单调递增, 所以. (3)证明:令m(x)=f(x+t)﹣f(x)(x>0),则m′(x)=f′(x+t)﹣f′(x)=g(x+t)﹣g(x).因为t>0,所以x+t>x>0.因为g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x+t)>g(x), 则m′(x)=g(x+t)﹣g(x)>0,所以m(x)在(0,+∞)上单调递增.因为s>0,所以m(s)>m(0),即f(s+t)﹣f(s)>f(t)﹣f(0).因为f(0)=0,所以f(s+t)>f(s)+f(t). 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2026/10/8 10:55:42;用户:张海青;邮箱:mpyz34@xyh.com;学号:27488476 数学10.10练习第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $