27.2 第1课时 反比例函数的图象和性质 教学设计 2026—2027学年数学人教版九年级上册

27.2 第1课时 反比例函数的图象和性质 教学设计 课题 27.2 反比例函数的图象和性质（第1课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1 课时 课型 新授课 教学目标 1. 回顾反比例函数概念，经历用描点法绘制反比例函数图象的过程，认识双曲线；2. 掌握描点法画反比例函数图象的步骤，归纳 k＞0、k＜0 时反比例函数图象特征与基本性质；3. 初步借助图象理解函数变化规律，发展数形结合思想. 教学重点 用描点法画出反比例函数的图象、归纳反比例函数的图象与性质. 教学难点 描点作图时体会图象无限靠近坐标轴但永不相交；借助图象分析函数变化趋势，建立数形结合意识. 教学方法 引导探究、动手作图、讲练结合 教学准备 多媒体课件、坐标纸、直尺 课后练习 教材本节课后练习中与本课时相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 环节一 知识回顾 一、知识回顾 【提问1】上一节课我们学习了反比例函数的概念，请同学们回忆：什么是反比例函数？ 【师生活动】学生预设回答：一般地，形如（k 为常数，k≠0）的函数，叫作反比例函数. 【追问】反比例函数还有两种等价写法，谁能写出来？ 【答案】师生共同列出三种表示方式：　　　　　　，　　　　　　，xy＝k（k 为常数，k≠0）. 答案：；. 【提问2】解析式中自变量 x、函数 y、常数 k 有什么取值要求？ 【答案】学生预设：k≠0，同时 x≠0，y≠0. 【提问3】如果已知一组 x，y 对应数值，如何求出反比例函数解析式？ 【答案】学生共同回顾：待定系数法四步骤——设、列、解、写. 【过渡提问】结合之前学习函数的经验，接下来我们应当研究反比例函数的哪些内容？ 【答案】学生预设：图象与性质. 本节课我们就一起探究反比例函数的图象和性质. 【设计意图】简单承接旧知，直接点明本节课课题. 学生回顾反比例函数的三种表示形式、取值要求与待定系数法，明确本节课的研究任务. 承接旧知，类比函数研究的一般路径，引出本课课题. 环节二 探究1 猜想图象 二、探究1：猜想图象 【思考】回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程，如何研究反比例函数的图象和性质？ 【师生活动】学生独立思考，同桌相互交流. 预设：先画出函数图象，结合图象与解析式分析函数性质. 教师小结：这种数形结合的研究方法同样适用于反比例函数. 【追问】研究反比例函数（k≠0），需要分类讨论吗？依据什么分类？ 【答案】预设学生回答：按照 k＞0 和 k＜0 两种情况讨论. 下面先研究 k＞0 的情况. 【探究1】对于反比例函数 与 ，结合它们的解析式，分析自变量的取值范围，以及 y 随 x 的变化而变化的规律，你能想象一下它们图象的位置和形状吗？你能画出它们图象的示意图吗？ 【师生活动】学生独立思考，自主分析解析式；在草稿纸上尝试画出图象草图，同桌之间互相交流猜想. 【教师追问】大家结合解析式分析，x 可以取 0 吗？结合 k＞0，x，y 的符号存在什么特点？据此你预判图象会出现在哪些象限？ 【答案】x 不能取 0（x≠0）；k＞0 时 x，y 同号（同正或同负），预判图象分布在　　　　　　　　　　；由 xy＝k 可知，x 增大时 y 减小，猜想图象呈下降趋势. 答案：第一、第三象限. 【教师小结】同学们都根据解析式做出了自己的猜想，画出了示意图. 我们的猜想是否准确，还需要精确画图进行验证. 【设计意图】让学生先依据解析式猜想图象特征，为精确作图验证猜想做好铺垫，培养数形结合意识. 学生由解析式分析 x 的取值与 xy＞k 的符号特征，猜想图象所在象限与变化趋势，画出示意图. 先猜想后验证，培养依据解析式分析图象特征的能力，渗透数形结合思想. 环节三 探究2 描点法作图 三、探究2：描点法作图 【探究2】用描点法画出反比例函数 与 的图象，看看它们是否与你画出的示意图大致相同. 【提问】如何画函数的图象？ 【答案】预设学生回答：描点法. 其步骤为　　　　、　　　　、　　　　. 描点法画函数图象的步骤 【师生活动】学生回顾描点法画函数图象步骤，独立列表、描点、连线完成作图；教师巡查，捕捉典型作图错误进行后续展示纠错. 【答案】解：（1）列表. 写出几组 x 与 y 的对应值： x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −3 3 1 −1 −2 −3 −6 6 3 2 1 （2）描点. 以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. （3）连线. 用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到函数 与 的图象（如图）. y=3/x 与 y=6/x 的图象 强调：不能连接成线段、折线，两支曲线相互独立，永不与坐标轴相交. 【教师追问】列表取值时，能不能选取 x＝0？只取正数部分的自变量可以吗？ 【答案】学生预设：不能取 x＝0；只取正数只能画出一侧图象，无法得到完整图形. 【教师总结】因为 x≠0，所以反比例函数图象由两支曲线组成，我们把这类曲线叫作　　　　. 答案：双曲线. 【设计意图】让学生动手作图验证猜想，巩固描点法；在实操中发现反比例函数图象特征，同时规避常见画图误区，持续落实数形结合思想. 学生独立完成列表（注意 x≠0、正负取值对称）、描点、连线，对照图象检验猜想，认识双曲线的两支结构. 动手作图验证猜想，巩固描点法；在实操中发现图象特征，规避连线成折线、漏画一支等误区. 环节四 归纳图象 与性质 四、归纳图象与性质 【思考】观察反比例函数 与 的图象，回答下列问题： （1）每个函数的图象分别位于哪些象限？（2）在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ 利用信息技术工具，画反比例函数（k＞0）的 k 取不同值时的图象（如图），考虑问题（1）（2），你能得出同样的结论吗？ k 取不同正值时的图象（k=12 滑杆演示） 【师生活动】学生独立观察图象，小组交流讨论两个问题；小组代表分享结论. 【答案】（1）两个函数图象都位于第一、第三象限；（2）在每一个象限内，随着 x 的增大，y 减小. 理由：由 xy＝k（k＞0）可知，当 x，y 同号时，x 增大，y 就会相应减小. 更换其他正数 k 继续探究，能得出同样的结论. 【新知】一般地，当 k＞0 时，对于反比例函数，结合函数图象与解析式，可以发现： （1）函数图象的两支分别位于　　　　　　　　　　；（2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而　　　　. 答案：第一、第三象限；减小. y=k/x（k＞0）的图象 【过渡】接下来，我们研究 k＜0 时反比例函数的图象和性质. 【探究】回顾上述过程，我们从特殊到一般、数形结合地研究了 k＞0 时 的图象和性质，你能用类似的方法研究 k＜0 时的图象和性质吗？ 【师生活动】学生仿照 k＞0 的方式，选取 k＝−2，−4，−6，列表、描点、画图；独立观察图象后小组交流，类比归纳 k＜0 时反比例函数特征. y=−2/x、y=−4/x、y=−6/x 的图象 【新知】一般地，当 k＜0 时，对于反比例函数，可以发现： （1）函数图象的两支分别位于　　　　　　　　　　；（2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而　　　　. 答案：第二、第四象限；增大. y=k/x（k＜0）的图象 【归纳】反比例函数的图象特征和性质如下： （1）反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线；（2）当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. k 的正负决定反比例函数图象的位置和函数的增减性. 【拓展了解】双曲线具有对称性：图象关于原点中心对称，直线 y＝x，y＝−x 是双曲线的两条对称轴. 此知识点仅作了解，本节课不设置对应习题. 【易错提醒】描述增减性时，必须强调前提“在每一个象限内”，缺少该前提，结论不一定成立！ 【设计意图】遵循由特殊到一般的探究思路，借助问题串引导学生观察图象，自主归纳反比例函数的图象与性质，并补充 k＜0 的类比研究，初步建立数形结合的研究方法. 学生观察图象归纳 k＞0 的性质，再类比研究 k＜0 的情形，汇总双曲线的象限分布与增减性，并牢记“在每一个象限内”的易错前提. 由特殊到一般归纳性质，类比迁移研究 k＜0 情形，突破增减性描述的易错点. 环节五 典例精讲 五、典例精讲 【例1】反比例函数 的图象上有两点 A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，且 x₁＞x₂＞0，则 y₁ 与 y₂ 的大小关系为（　　）. A．y₁＞y₂　　B．y₁＝y₂　　C．y₁＜y₂　　D．无法确定 【师生活动】提问：观察解析式，k 取值是多少？能判断图象分布的象限吗？预设：k＝11＞0，双曲线两支在第一、第三象限. 追问：条件 x₁＞x₂＞0 说明两点在哪个象限？函数在此区间的增减规律是什么？学生思考、独立分析后作答. 【分析】因为 k＝11＞0，且 x₁＞x₂＞0，所以 A，B 两点都在第一象限. 因为在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小，所以 y₁＜y₂. 【答案】　　　　　　（选 C）. 【追问】如果条件改为 x₁＞0＞x₂，还能得到同样结论吗？为什么？ 【答案】预设：不能. 两点不在同一个象限，不能直接使用这条增减性质比较大小. 【设计意图】巩固反比例函数增减性质，强化易错前提“在每一个象限内”，区分同象限、跨象限两种不同情况，突破本节课难点. 【例2】如图所示的图象对应的函数解析式为（　　）. 例2 图 A．y＝5x　　B．y＝2x+3　　C．　　D． 【师生活动】提问：选项 A，B 是什么类型函数？图象是什么形状？预设：一次函数，图象是直线. 追问：题图是双曲线，属于反比例函数，先排除哪两个选项？预设：A，B. 提问：剩下两个反比例函数，双曲线分布在第一、三象限，说明 k 需要满足什么条件？预设：k＞0. 【分析】y＝5x，y＝2x+3 是一次函数，图象为直线，排除选项 A，B. 因为双曲线两支位于第一、第三象限，所以 k＞0，选择 C. 【答案】C 【追问】若反比例函数图象分布在第二、四象限，k 的符号有什么要求？（k＜0，对应选项 D） 【设计意图】区分一次函数、反比例函数图象形态；巩固 k 的正负与双曲线所在象限的对应关系，呼应课堂描点画图探究活动. 学生先利用增减性与“每一个象限内”前提解决比较大小问题，再通过图象形态与象限分布反推函数解析式. 正用性质比较函数值大小，逆用象限分布识别解析式，双向巩固本课核心知识. 环节六 跟踪训练 六、跟踪训练 【跟踪训练】已知反比例函数. （1）若图象分布在第一、三象限，求 m 的取值范围； （2）若图象分布在第二、四象限，求 m 的取值范围. 【师生活动】提问：双曲线在第一、第三象限，对应 k 满足什么条件？预设：k＞0. 教师引导：本题中 k＝m−3，列出不等式即可求解. 学生独立书写解题过程，教师巡视，挑选学生展示答案. 【答案】（1）图象在第一、第三象限，则 m−3＞0，解得 m＞　　　　；（2）图象在第二、第四象限，则 m−3＜0，解得 m＜　　　　. 答案：3；3. 【追问】m 能不能等于 3？m＝3 时函数变成什么？ 【答案】预设：m＝3 时 k＝0，式子不再是反比例函数，因此不能取等号. 【设计意图】将图象位置特征转化为不等式运算，实现图形直观到代数推理的过渡；巩固 k 的符号与双曲线象限的对应关系，同时回顾反比例函数定义中 k≠0 这一要求. 学生把象限分布条件转化为 m−3 与 0 的大小关系，独立求解并说明 m≠3 的原因. 由图形直观过渡到代数推理，巩固 k 的符号与象限的对应及 k≠0 的限制. 环节七 课堂小结 七、课堂小结 【课堂小结】（1）反比例函数的图象是什么形状？画图时要注意什么？（2）k＞0 与 k＜0 时图象的位置和增减性有什么不同？（3）描述增减性时必须强调什么前提？ 知识结构图 【归纳】①图象：双曲线，两支曲线永不与坐标轴相交；②k＞0：两支分别在第一、第三象限，每一个象限内 y 随 x 的增大而减小；k＜0：两支分别在第二、第四象限，每一个象限内 y 随 x 的增大而增大；③描述增减性必须强调“在每一个象限内”；④对称性（了解）：关于原点中心对称. 【布置作业】教材本节课后练习中与本课时相关的题目. 学生对照知识结构图梳理双曲线的画法、象限分布与增减性，课后独立完成作业. 通过课堂小结整理知识，强调易错前提，巩固数形结合思想. 板书设计 27.2 反比例函数的图象和性质（第1课时） 反比例函数的图象和性质 1．图象：双曲线（两支，永不与坐标轴相交） 2．象限分布 k＞0：第一、第三象限；k＜0：第二、第四象限 3．增减性（前提：在每一个象限内） k＞0：y 随 x 的增大而减小；k＜0：y 随 x 的增大而增大 4．对称性（了解）：关于原点中心对称 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $