湖北省荆州中学2026-2027学年高三上学期10月双周练数学试卷

荆州中学 2026~2027学年高三上学期10月双周练 数学试题 （全卷满分150分 考试用时120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.命题，的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知集合，集合，则子集的个数为(    ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3.设，则(    ) A. B. C. D. 4.已知是不共线的向量，且，则(    ) A. A，B，C三点共线 B. B，C，D三点共线 C. A，B，D三点共线 D. A，C，D三点共线 5.双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，且、、成等差数列，则等于(    ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6.已知等比数列满足：，设，记数列的前n项和为，则 A. 149 B. 153 C. 155 D. 157 7.已知函数，若在恒成立，则实数a的最大值为    A. B. 0 C. D. 1 8.设N为正整数，在平面直角坐标系Oxy中，若且m，恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则N的一个可能取值为(    ) A. 12 B. 8 C. 7 D. 5 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的有(    ) A. 若事件A与事件B相互独立，，，则 B. 若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的方差为8 C. 一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D. 1，2，3，…，2024，2025，2026这2026个数的上四分位数是507 10.已知关于x的一元二次不等式的解集为其中，关于x一元二次不等式的解集为，则(    ) A. B. C. D. 当时，的最小值为3 11.已知单位向量两两的夹角均为且，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系为坐标原点下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的有(    ) A. 已知，则 B. 已知，则三棱锥的表面积 C. 已知，则 D. 已知，其中x，y，，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.展开式中，含的项的系数为          . 13.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数            14.以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角为，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则       . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知，， 求的值； 求的值． 16.如图，在直角中，，点E、F分别在线段AB、AC上，且，将沿EF折起到的位置，使得二面角的大小为 设平面PEB与平面PFC的交线为m，请直接写出m与直线CF的位置关系. 若点E为线段AB的靠近B点的三等分点 ⅰ求证：平面BCFE； ⅱ求PC与平面PEF所成角的正弦值. 17.已知函数 若函数的图象关于点对称，求a的值； 若是的极大值点，求a的值； 设是的极值点，且满足，求a的取值范围. 18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆G：的焦距为2，离心率为 求G的方程； 设F为G的上焦点，点A在G上且位于第一象限，A关于x轴的对称点为 ⅰ若直线BF与x轴、OA的交点分别为C、D，且，求； ⅱ直线AF、BF分别交G于另一点M、N，求面积的最大值. 19.某中学一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享届高三年级班号依次为0，1，2，…，27，高三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会. 求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率； 求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率； 记在第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数为X，求X的分布列和期望. 数学试卷 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三上学期十月双周练数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B C C B B D C AC BC AD 12. 240 13. 14. 大小本来源：第2题（小本P231T3）、第10题（小本P239T14）、第13题（大本P47例6） 8.由知， 当N为奇数时，，均有个不同的取值， 故方程可表示的不同的椭圆方程的个数为，令，解得， 当N为偶数时，，均有个不同的取值，由方程是椭圆的方程知，， 故方程可表示的不同的椭圆方程的个数为，令，解得， 综上所述，或 11.选项A，已知，则 ，故A正确； 选项B，由题意知，OA，OB，OC两两夹角均为，且，则三棱锥各面均为正三角形，故三棱锥的表面积：c87358dceb000babf22684d981a6c23e，故B错误． 由单位向量两两的夹角均为且，则， ， 选项C，由题意得，，，则 ，由，且，得，故C错误； 选项D，由题意得，，，则，，则， 因为x，y，，则⟨⟩， 由⟨⟩，则⟨⟩ 当，向量的夹角取最小值，故当且仅当时，等号成立，即向量的夹角取得最小值，故D正确； 14.因为为底的两个正三棱锥和内接于同一个球， 并且正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角为，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，所以正三棱锥和正三棱锥内接于同一个球，设P到底面ABC的距离为，Q到底面ABC的距离为，O为球心，则，取AB的中点M，连接PM，CM，PQ，记PQ与平面ABC的交点为R，由两个正三棱锥和内接于同一个球，所以PQ一定为球O的直径，根据题意，可得R为正三角形ABC的中心，所以PR，QR分别为正三棱锥和正三棱锥的高，，由，，，且M为AB的中点，可得，，，则为正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角，即， 不妨设，所以，即球O的半径为r，则， 则，解得，所以，即， 15.因为，所以； 因为，，所以，， 因为，， 所以，， 所以  16.相交．寻找交线：如图，在平面EFBC中，因为EFBC为梯形，所以延长CF，交BE于点连接PG，因为，，所以平面PEB，平面PFC，所以PG即为交线m，PG与CF相交于点G； ⅰ证明：在中，，又，所以，所以翻折后，， 因为平面PEF，平面BEF，平面平面，所以二面角的平面角为，又，，所以由余弦定理得，所以，因此， 因为，，又，PE，平面PBE，所以面PBE， 又因为面PBE，所以，因为，，，EF，平面BCEF， 所以平面BCFE； ⅱ因为，所以，又由ⅰ知，，所以PB，BC，BE两两垂直． 如图，以B为原点，分别为x，y，z轴正方向，建系如图： 则，，，， 所以，，， 设平面PEF的法向量， 由，得，取， 所以故PC与平面PEF所成角的正弦值为 17.由曲线的图象关于点对称，得是奇函数， 因为，所以，解得 因为是的极大值点，所以，解得或 当时，，所以当时，单调递减， 当时，单调递增，因此是的极小值点舍去； 当时，，所以时，单调递增， 当时，单调递减，因此是的极大值点．综上，可得 ，因为是的极值点，所以， 因为，代入上式化简可得：由可得， 解得 18.设椭圆G的半焦距为c，根据题意得，解得， 因此，因此椭圆G的方程为 ⅰ根据题意设，那么，其中， 由，可得直线BF为，令，得 又直线OA为，联立方程及，解得 由于及B，C，D，F共线，因此， 因此，解得，所以 ⅱ联立直线AF与椭圆G的方程得，化简得 由于A在椭圆G上，因此，所以 那么可得，解得同理可得 因为，因此 又因为，因此 因为，因此， 当且仅当，所以，时，等号成立．综上，面积的最大值为 19.设第场分享会学生嘉宾中有1名男生为事件，有2名男生为事件，有3名男生为事件，则； ； 当时， ， ， ， 由， 故 ， 即有，又，则， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，即， 结合对称性可知，每次分享会学生嘉宾中有1名男生的概率与3名男生的概率相同， 故，又， 故有， 第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数X的可能取值为1、2、3， ， ， ， 则其分布列为： X 1 2 3 P 则 第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $