专题4.1 数列（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题4.1 数列 题型一 数列的概念及辨析 题型二 数列周期性的应用 题型三 数列单调性的辨析 题型四 求数列的通项公式-累加法 题型五 求数列的通项公式-累乘法 题型六 求数列的通项公式-利用an与sn关系求通项 题型七 递推关系的应用 题型一：数列的概念及辨析 1．下列各项表示数列的是（    ） A．△，○，☆，□ B． C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D． 2．下列有关数列的说法正确的是（   ） ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列、、与数列、、是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ 3．下列说法错误的是（   ） A．数列的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列就是数列 D．数列中的项不能是三角形 4．下列说法中，正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 5．（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 6．（24-25高二上·海南海口·阶段检测）（多选题）下列叙述正确的是（     ） A．与是不同的数列 B．是常数列 C．数列的通项公式为 D．数列是递增数列 7．（多选题）下列说法中正确的是（   ） A．数列与数列是同一数列 B．数列与数列是同一数列 C．能构成一个数列 D．数列存在通项公式 8．（25-26高二上·陕西西安·期末）（多选题）下列叙述不正确的有（    ） A．数列与是同一数列 B．数列的通项公式是 C．是常数列 D．是递增数列，也是无穷数列 9．（25-26高二上·重庆·期中）（多选题）下列给出的命题中正确的有（   ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．数列1，1，2，3，5，8，13，，34，55，…中，根据规律，的值可以为21 D．数列0，，4，，…的一个通项公式是 10．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）（多选题）下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列与数列是同一数列 B．数列是递减数列 C．数列的一个通项公式是 D．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 题型二：数列周期性的应用 1．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 2．已知数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）数列满足，则等于（      ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，，则______． 7．（24-25高二上·上海·期末）若数列中，，则________． 8．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知数列满足，，则________． 9．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知数列满足，且对任意，则____________． 10．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）在数列中，，，，则的前100项和为_________. 11．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知数列满足，，则________． 题型三：数列单调性的辨析 1．已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·山东东营·期末）已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 6．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 7．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 8．已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是______． 题型四：求数列的通项公式-累加法 1．（26-27高二上·河北保定·期中）在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 2．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）若在数列中，，则（    ） A．9 B．1 C．10 D． 3．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）在数列中，，，则_______． 4．（25-26高二上·四川广元·期末）已知数列满足，，则______． 5．已知数列满足，，求数列的通项． 6．已知数列满足，，求． 题型五：求数列的通项公式-累乘法 1．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 2．已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 4．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）已知首项为1的数列满足，则________． 5．（24-25高二下·四川广安·阶段检测）数列中，若,，则_____. 6．已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____ 7．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 8．已知数列中，求数列的通项公式． 9．（24-25高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型六：求数列的通项公式-利用an与sn关系求通项 1．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列的前n项和为． (1)写出数列的前3项：，，； (2)求出的通项公式． 2．（25-26高二下·广东河源·期末）已知数列的前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．（25-26高一下·上海·期末）已知数列的前n项和为，； (1)求的通项公式； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围； 4．（2026·甘肃嘉峪关·三模）记数列的前n项和为，已知． (1)求； (2)记数列的前n项和为，证明：． 5．（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项的和，求及表达式 6．已知正整数列的前n项和为，且对任意的自然数满足．求的通项公式． 题型七：递推关系的应用 1．（25-26高二下·湖北·阶段检测）若数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京昌平·二模）已知数列满足，则（    ） A．当为常数列时， B．对于任意，为递减数列 C．当时，为递增数列，且对于任意正整数，成立 D．当时，为递减数列，且存在正整数，使得成立 3．（2026·山西晋城·三模）（多选题）已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 4．（25-26高二上·河北衡水·期末）（多选题）已知数列中，，则（   ） A． B．是递增数列 C． D．数列的前项和为 5．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知数列满足，该数列的前项和为.给出下列四个结论： ①； ②； ③非零常数，对都有； ④，都有. 其中所有正确结论的序号是__________. 6．已知数列满足，，，则______________． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 数列 题型一 数列的概念及辨析 题型二 数列周期性的应用 题型三 数列单调性的辨析 题型四 求数列的通项公式-累加法 题型五 求数列的通项公式-累乘法 题型六 求数列的通项公式-利用an与sn关系求通项 题型七 递推关系的应用 题型一：数列的概念及辨析 1．下列各项表示数列的是（    ） A．△，○，☆，□ B． C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】数列的概念及辨析 【分析】利用数列的定义求解即可. 【详解】由数列的定义得数列是指按照一定次序排列的一列数， 而不能是图形、文字、向量等，故B正确． 故选：B 2．下列有关数列的说法正确的是（   ） ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列、、与数列、、是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】数列的概念及辨析 【分析】根据数列的定义逐项判断即可. 【详解】①错误，例如无穷个构成的常数列、、、的各项都是； ②错误，数列、、与数列、、各项的顺序不同，表示不同的数列；③正确． 故选：D. 3．下列说法错误的是（   ） A．数列的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列就是数列 D．数列中的项不能是三角形 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数列的概念及辨析 【分析】根据数列的相关概念，以及数列的结构特征逐一各选项判断即可. 【详解】对于A，根据数列的相关概念，数列的第1项即为首项4，故A正确； 对于B，若数列是一个首项为3的常数列，则各项均等于3，故B错误； 对于C，根据数列的相关概念可知C正确； 对于D，数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确． 故选：B. 4．下列说法中，正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数列的概念及辨析、判断或写出数列中的项、观察法求数列通项 【分析】根据数列的概念分别判断各个选项即可. 【详解】在A中，表示集合不是数列，所以A不正确； 在B中，数列中的各项是有顺序的，所以B不正确； 在C中，第k项为，所以C正确； 在D中，数列应记为，所以D不正确． 故选：C. 5．（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数列的概念及辨析、观察法求数列通项 【分析】根据数列的定义判断AC；根据数列通项公式的概念举例判断BD. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：C 6．（24-25高二上·海南海口·阶段检测）（多选题）下列叙述正确的是（     ） A．与是不同的数列 B．是常数列 C．数列的通项公式为 D．数列是递增数列 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】数列的概念及辨析、判断数列的增减性、观察法求数列通项 【详解】对于A，数列与是不同的数列，故A正确； 对于B，数列是摆动数列，故B错误； 对于C，数列的通项公式为，故C错误； 对于D，数列是递增数列，故D正确． 7．（多选题）下列说法中正确的是（   ） A．数列与数列是同一数列 B．数列与数列是同一数列 C．能构成一个数列 D．数列存在通项公式 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】有穷数列和无穷数列、数列的概念及辨析、判断或写出数列中的项 【分析】根据数列概念分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，两数列中的数排列次序不相同，所以两数列不是同一数列，故A错误； 对于B，数列是有穷数列，而数列，…是无穷数列，所以两数列不是同一数列，故B错误； 对于C，由数列的定义，可知能构成一个常数列，故C正确； 对于D，该数列的一个通项公式为，所以数列存在通项公式，故D正确． 故选：CD． 8．（25-26高二上·陕西西安·期末）（多选题）下列叙述不正确的有（    ） A．数列与是同一数列 B．数列的通项公式是 C．是常数列 D．是递增数列，也是无穷数列 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】有穷数列和无穷数列、数列的概念及辨析、判断数列的增减性、观察法求数列通项 【分析】利用数列的定义可判断A选项；利用观察法求出数列通项公式可判断B选项；利用常数列的定义可判断C选项；利用数列的单调性和无穷数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列与是两个数列，故A错误； 对于B选项，数列的通项公式是，故B错误； 对于C选项，数列是摆动数列，故C错误； 对于D选项，数列是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 故选：ABC 9．（25-26高二上·重庆·期中）（多选题）下列给出的命题中正确的有（   ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．数列1，1，2，3，5，8，13，，34，55，…中，根据规律，的值可以为21 D．数列0，，4，，…的一个通项公式是 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】数列的概念及辨析、根据规律填写数列中的某项、判断或写出数列中的项、观察法求数列通项 【分析】由数列的定义判断A；由求参数判断B，通过观察及代入验证判断C、D. 【详解】A：数列1，2，3，4和数列1，3，4，2分别对应各自的，显然后三项各不相同，即不是相同数列，错； B：令，则且，可得，即对应第11项，对； C：根据数列中的数据，观察可知从第三项开始，后一项都是前两项的和，则，对； D：根据数列中的数据，观察并验证知，，，，满足前四项，对. 故选：BCD 10．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）（多选题）下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列与数列是同一数列 B．数列是递减数列 C．数列的一个通项公式是 D．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】数列的概念及辨析、判断数列的增减性、判断或写出数列中的项、观察法求数列通项 【分析】由数列的定义可判断ABC，由求解可判断D. 【详解】对于A，由数列概念，显然不是同一数列，错误， 对于B，由，即数列为递减数列，B正确， 对于C，由观察法可知，C错误， 对于D，由，解得，D正确， 故选：BD 题型二：数列周期性的应用 1．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【详解】由题意，对任意，有，因此， 所以，所以数列是周期为4的周期数列， 代入初始值计算得：， 因为，所以； ，因此，因此． 2．已知数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】根据题意，推出数列的周期为，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， ……， 所以数列为周期数列，周期为， 又因为，所以. 3．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】数列周期性的应用 【详解】由题可知，，，， 以此类推，可知. 4．（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】数列周期性的应用 【详解】已知数列的首项，递推公式为， 依次计算前几项，；； , 因此数列是周期为3的周期数列， 满足， 由于，故. 5．（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）数列满足，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】根据递推公式逐项计算得到数列是周期为3的数列，即可求解. 【详解】因为 ，所以, ，，，， 所以数列是周期数列，周期为 ，故． 6．已知数列满足，，则______． 【答案】4 【难度】0.7 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】根据递推关系，求出数列的前5项，得到数列的周期，根据周期性求出问题. 【详解】由题意得， 由于递推关系是相邻两项的关系， 所以数列是周期为3的周期数列， 故. 7．（24-25高二上·上海·期末）若数列中，，则________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、数列周期性的应用 【分析】利用递推公式先求前几项，进而得周期，利用周期即可求解. 【详解】由题意得：，，， ，， 所以，所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 8．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知数列满足，，则________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】先将递推公式变形得到的表达式，计算前几项确定数列周期，再利用周期性求解 【详解】由得， 因为， 所以 所以数列的周期为4， 故 9．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知数列满足，且对任意，则____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【详解】已知，根据递推式可知 ， ， ， ， 因此是周期为4的周期数列，. 由于，故. 10．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）在数列中，，，，则的前100项和为_________. 【答案】235 【难度】0.65 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】先根据已知的首项和递推公式计算数列的前若干项，找出数列的周期规律，再利用周期分组计算该数列前项的和. 【详解】因为，所以，所以，所以是周期为6的数列. 因为，，，， 所以的前100项和为. 11．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知数列满足，，则________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】根据递推公式求得周期，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 所以. 题型三：数列单调性的辨析 1．已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】结合已知条件，利用数列的单调性即可求解. 【详解】因为数列为递增数列， ， 所以对恒成立， 化简整理得，对恒成立， 由二次函数性质知当时，有最小值，即， 所以，故实数的取值范围是. 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.74 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】根据题意有，解得的取值范围. 【详解】由数列是单调递增数列可得，对于都有成立， 即，即对都成立， 所以． 3．（25-26高二下·山东东营·期末）已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断数列的增减性 【详解】等比数列首项时，， 因为，所以为递增数列， 所以推不出为递减数列； 若数列的通项公式为，此数列为递减数列， 公比，不满足，所以为递减数列推不出； 所以等比数列的公比为，“”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件. 4．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断数列的增减性、根据数列的单调性求参数 【分析】由题意得恒成立，进而求出的范围，进而得的范围. 【详解】数列为单调递增数列，且，， ，，即， 因为是关于n的单调递增函数，当时， 取得最小值．所以， 所以， 则． 5．已知，，则数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】判断数列的增减性 【详解】，，即数列的各项相同，故数列是常数列. 6．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即第6项. 故选：B 7．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】根据递增数列的性质知，可得到对恒成立，再根据二次函数性质求出的取值范围． 【详解】因为，， 所以，． 又因为数列为递增数列， 所以对恒成立， 即对恒成立， 化简整理得，对恒成立． 由二次函数性质知，当时，有最小值4， 所以， 故实数的取值范围是． 8．已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】由单调递减数列的定义结合函数的单调性求解即可. 【详解】因为，且为递减数列， 所以，即， 所以，故，因为，所以. 题型四：求数列的通项公式-累加法 1．（26-27高二上·河北保定·期中）在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】根据题干已知的递推公式，结合累加法，即可求出的值. 【详解】由题知，则，又， 所以，，，， 将各式相加可得：， 即，所以. 2．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）若在数列中，，则（    ） A．9 B．1 C．10 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、累加法求数列通项 【分析】用累加法结合对数运算即可求解. 【详解】由题意得， ， …， ， 以上各式相加得． 3．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）在数列中，，，则_______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】利用累加法进行计算即可得到结果. 【详解】因为， 则，，…， 累加可得，，所以. 故答案为：. 4．（25-26高二上·四川广元·期末）已知数列满足，，则______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】根据累加法求数列的通项公式即可. 【详解】由， 得， 以上各式相加，得，又， 所以，所以. 故答案为： 5．已知数列满足，，求数列的通项． 【答案】． 【难度】0.94 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】由递推关系式，利用累加法即可求解. 【详解】由， 得， ， ， … ， ． 对这个式子求和得，而也满足该式， 所以． 6．已知数列满足，，求． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】累加法求数列通项 【分析】利用累加求和可得答案. 【详解】因为， 所以． 所以 ． 又也符合上式，所以，． 题型五：求数列的通项公式-累乘法 1．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 2．已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由累积法可得，根据与的关系计算即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C 3．（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】根据已知递推公式得出相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式，最后根据通项公式判断数列类型，进而求出前100项的和． 【详解】因为，所以， 当时，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即， 又，所以， 所以． 故选：D. 4．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）已知首项为1的数列满足，则________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、累乘法求数列通项 【分析】由题意得，利用累乘法可求得数列的通项公式，代入通项公式求解即可． 【详解】由题意得， 当时，， 由满足上式，故，所以． 5．（24-25高二下·四川广安·阶段检测）数列中，若,，则_____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】先由题意结合累乘法求出数列的通项公式即可计算求解. 【详解】若，，则且， 所以， 所以. 故答案为：. 6．已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项 【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式. 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 7．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据与的关系逐项计算可得前5项； （2）根据与的关系推得，利用累乘法计算即得数列通项. 【详解】（1）由且，得，解得， 由且，，得，解得， 由且，，，得，解得， 由且，，，，得，解得； （2）因，当时，， 两式相减可得，，即，所以， 所以，即，则， 因满足，故数列的通项公式为. 8．已知数列中，求数列的通项公式． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项 【分析】利用累乘法求解即可. 【详解】解：因为， 所以当时，， 所以， 以上个式子相乘得， 即， 所以． 当时，，也与已知相符， 所以数列的通项公式为． 9．（24-25高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项 【分析】（1）采用累乘法直接求解即可； （2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）由题意知：当时，， ； 当时，满足； 综上所述：. （2）由（1）知：， . 题型六：求数列的通项公式-利用an与sn关系求通项 1．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列的前n项和为． (1)写出数列的前3项：，，； (2)求出的通项公式． 【答案】(1)，， (2) 【难度】0.83 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据给定的前n项和公式，依次赋值计算即得. （2）利用结合已知求出通项． 【详解】（1）由数列的前n项和为，得， ，． （2）当时，， 而不满足上式，所以的通项公式为． 2．（25-26高二下·广东河源·期末）已知数列的前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.82 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用公式可求的通项公式； （2）裂项相消法可求数列的前项和. 【详解】（1）因为，当时，， 当时，， 检验，当时，，也满足．所以． （2）因为，， ， ． 3．（25-26高一下·上海·期末）已知数列的前n项和为，； (1)求的通项公式； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【难度】0.63 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用计算； （2）分、两种情况讨论，利用参变分离并结合对勾函数求最值. 【详解】（1）因为，所以， 则， 又，不符合上式， 所以. （2）若，则成立，即，得； 若，则，，则恒成立， 即恒成立， 因为在上单调递增，所以， 则的最大值为，则， 综上，实数的取值范围为. 4．（2026·甘肃嘉峪关·三模）记数列的前n项和为，已知． (1)求； (2)记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【难度】0.72 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据给定条件，利用数列的前n项和与第n项的关系求出通项公式. （2）利用裂项相消法求和即可推理得证. 【详解】（1）在数列中，， 当时，，而，满足上式， 所以. （2）依题意，， 则 ，而， 所以. 5．（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项的和，求及表达式 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用求出即可； （2）利用裂项相消法求出. 【详解】（1）因为，所以当时， 两式作差得， 又，符合上式，故； （2）由（1）得，， 故， 故. 6．已知正整数列的前n项和为，且对任意的自然数满足．求的通项公式． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【详解】由，代入得，两边平方得①， 时，②， ①-②，得，所以， 所以， 由正数数列，得，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以有. 题型七：递推关系的应用 1．（25-26高二下·湖北·阶段检测）若数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.32 【知识点】累加法求数列通项、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】令，推得为递增数列，为递减数列，即可判断A，C两项；利用作差法得到，再根据数列单调性判断B项；根据累加与放缩法得到判断D项. 【详解】数列满足，，，则. 令，则，故可得，且， 故为递增数列，且，因，则数列为递减数列. 对于A，因为递减数列，故，故A错误； 对于B，因为，所以. 因为递增数列，当时，，故，即， 则，故，即B错误； 对于C，成立，故C正确； 对于D，由（仅取等号，均大于2）， 累加得， 当时，，即，故D错误. 2．（2026·北京昌平·二模）已知数列满足，则（    ） A．当为常数列时， B．对于任意，为递减数列 C．当时，为递增数列，且对于任意正整数，成立 D．当时，为递减数列，且存在正整数，使得成立 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】对于A，由求解即可判断；对于B，结合A即可判断；对于C，由，当时，易得，进而得到，可得，即可判断；对于D，分析可得当时，结合可得，进而判断即可. 【详解】对于A，由为常数列，则， 整理得，解得或，即或，故A错误； 对于B，由A知，当或时，为常数列，故B错误； 对于C，由， 当时，，则，同理可得， 满足对于任意正整数，成立， 而，即， 则为递增数列，故C正确； 对于D，由，当时，， 而，则，即，，则， 所以不存在正整数，使得，故D错误. 3．（2026·山西晋城·三模）（多选题）已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】BCD 【难度】0.32 【知识点】累加法求数列通项、由递推数列研究数列的有关性质、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据与的关系结合题设可得，进而求解判断即可；由可得，进而结合可得，即可判断；对于C，由，结合二次函数的性质求解判断即可；对于D，易得当时，，且，进而利用累加法求解判断即可. 【详解】对于A，，，而， ，故A错误； 对于B，，而，则，即， ，故B正确； 对于C，，而， 当时，，故C正确； 对于D，， ， 当时，，且， ，故D正确． 4．（25-26高二上·河北衡水·期末）（多选题）已知数列中，，则（   ） A． B．是递增数列 C． D．数列的前项和为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】判断数列的增减性、根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、裂项相消法求和 【分析】对于B：整理可得，结合数列单调性的定义分析判断；对于A：根据题意结合B可知，进而分析判断；对于C：根据递推公式求前4项即可判断；对于D：整理可得，利用裂项相消法运算求解. 【详解】对于选项B：因为，即， 则，即， 且，则，可得，即， 所以是递增数列，故B正确； 对于选项A：因为，则，所以，故A正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：因为，则， 即， 所以数列的前项和，故D正确； 故选：ABD． 5．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知数列满足，该数列的前项和为.给出下列四个结论： ①； ②； ③非零常数，对都有； ④，都有. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①④ 【难度】0.37 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用、数列新定义 【分析】对于①②，根据条件直接求解即可；对于③，假设存在，推导出一个奇数为数列的一个周期，推出矛盾；对于④，推导出. 【详解】对于①，，故，①正确； 对于②，，故，而，故，②错误； 对于③，假设存在非零常数，对，都有，显然， 当 ，时，则 ， 若，则，不合要求， 综上， ，，不满足要求； 当 ，时，则，不合要求； 当 ，时，， 若，则，不合要求， 综上， ，不合要求； 当 ，时，，故为数列的一个周期， 同理，故也为数列的一个周期， 依次类推，最终可得一个奇数为数列的一个周期， 但根据前面所推导，奇数不是的周期，故假设不成立， 不存在非零常数，对，都有，③错误； 对于④，，故，，故， 由得，，， ， 因此， 于是， 因为，故当时，， 所以， 其中，所以， ，都有，④正确. 6．已知数列满足，，，则______________． 【答案】 【难度】0.35 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】本题是二阶常系数线性齐次递推数列，用特征方程法求解即可. 【详解】由，可知： 其特征方程为，解得， 令， 由得 ． 故答案为： . 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $