专题05 圆全章7考点5重难题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材人教版

专题05 圆 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 圆的有关概念 考点二 点与圆的位置关系 考点三 垂径定理（垂直于弦的直径） 考点四 圆心角、弧、弦的关系 考点五 圆周角定理及推论 考点六 圆内接四边形 考点七 弧长和扇形面积 05 重难题型突破 题型一 垂径定理 × 勾股定理 题型二 圆周角定理求角 题型三 弧长计算 题型四 扇形面积计算 题型五 圆内接四边形求角 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点 常考题型 典型分值占比（参考） 难度层级 圆的有关概念（圆心、半径、直径、弦、弧、等圆等弧） 选择、填空 8%–12% 基础 点与圆的位置关系 选择、填空 5%–8% 基础 垂径定理及推论（含勾股综合） 选择、填空、解答 20%–25% 中档—较难 圆心角、弧、弦的关系 选择、填空 8%–12% 中档 圆周角定理及推论（含直径对直角） 选择、填空、解答 18%–22% 中档—较难 圆内接四边形 选择、填空 6%–10% 中档 弧长和扇形面积 填空、解答 12%–16% 中档 识记 背熟定义、定理的文字表述与符号表达，落实“概念辨析”与“记忆口诀”。 理解 会作关键辅助线（连半径、作弦心距），理解垂径定理“知二求三”、圆周角定理“同弧等角、直径直角”的几何直观。 应用 掌握本章五类必考题型，形成“辅助线＋方程＋公式代入”的完整解题路径。 考点一 圆的有关概念 圆的定义：平面上到定点（圆心______）的距离等于定长（半径______）的所有点组成的图形叫作______；以______为圆心、______为半径的圆记作⊙O。 相关元素：连接圆心和圆上任意一点的线段叫______；经过圆心的弦叫______（直径是最长的弦，）；圆上任意两点间的部分叫______（大于半圆的弧叫______，小于半圆的弧叫______，直径所对弧叫______）；能够完全重合的两个圆叫______；在同圆或等圆中能够完全重合的两条弧叫______；圆心相同、半径不同的圆叫______。 ⚠️概念辨析 “直径是弦，但弦不一定是直径”——直径必过圆心，是特殊的弦。 “等弧”必须在同圆或等圆中，且弧的长度与所对圆心角的度数都相等。 半圆是弧，但弧不一定是半圆；优弧与劣弧是相对半圆而言的。 ⚠️记忆口诀 口诀：定点定长成圆，直径最长之弦；半圆也是弧，同圆等圆方比弧。 ⚠️易混易错 弦与直径混淆：直径是最长的弦，但“最长的弦”≠“所有弦都是直径”。 弧与半圆混淆：半圆是特殊弧，优弧、劣弧按与半圆的大小关系区分。 等圆与同心圆混淆：等圆半径相等；同心圆圆心相同、半径不等。 ⚠️避坑指南 ❌ 判断“是不是直径”要看是否过圆心；判断“是不是弦”只看端点在圆上的线段。 ❌ “过圆内任意一点都能作弦”，但只有过圆心的弦才是直径。 ❌圆是“图形”，圆心是“点”，两者不可混淆；圆的对称轴是过圆心的任意直线。 考点二 点与圆的位置关系 设点 到圆心 的距离为 ，圆的半径为 ，则点与圆的位置关系有三种： 时点 在______； 时点 在______； 时点 在______。 判定依据只有一个——比较 与 的大小关系。 ⚠️概念辨析 是指“点到圆心”的距离，不是点到圆周的距离。 点“在圆上”的充要条件是 ；“在圆内”是 ，“在圆外”是 。 ⚠️记忆口诀 口诀：内小外大正相等，点圆位置看 d、r。 ⚠️易混易错 把 当“点到圆周距离”导致判错：必须为“点到圆心距离”。 混淆“≤”与“<”：含边界与不含边界情形要分清。 ⚠️避坑指南 ❌ “”表示点在圆内或圆上（含边界）；“”仅表示在圆内，不含边界。 ❌ 多个点到圆心距离比较，可用于判断图形是否经过这些点。 考点三 垂径定理（垂直于弦的直径） 垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径______于弦，并且平分弦所对的两条弧。 勾股模型：过圆心 作弦 的垂线 交 于 ，连接 ，则 ，；在 Rt△OAC 中，由勾股定理得 ，即已知半径、半弦长、弦心距三者中的任意两个，可求第三个（“知二求三”）。 ⚠️概念辨析 垂径定理的两要素：直径 + 垂直于弦。 推论中“平分弦的直径垂直于弦”成立的前提是被平分的弦不是直径（直径被平分无法推出垂直）。 ⚠️记忆口诀 口诀：垂弦直径平分弦，直角三角勾股牵；平行双弦分两侧，分类讨论别遗漏。 ⚠️易混易错 把垂径定理与“垂直平分线”混用，忽略必须“过圆心”。 误认为“平分弦的直径一定垂直于弦”——仅对非直径弦成立。 计算时忘记半弦（用整条弦长代入勾股）。 ⚠️避坑指南 ❌ 遇弦长、半径、弦心距、弓形高等量，先作“连半径、作弦心距”构造直角三角形。 ❌ 圆内两条平行弦可能在圆心同侧，也可能在圆心异侧，求距离须分类讨论。 ❌ 弧的中点到弦的距离（弓形高）= 半径 − 弦心距。 考点四 圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，圆心角相等 ⇔ 所对的弧相等 ⇔ 所对的弦相等；圆心角越大，所对的弧越大、所对的弦也越大。 三者关系可相互转化：“角等→弧等→弦等”或“弦等→弧等→角等”。 ⚠️概念辨析 “弧相等”指弧的长度与所对圆心角的度数都相等，不是仅长度相等。 圆心角相等的前提是“同圆或等圆”，跨圆比较不成立。 ⚠️记忆口诀 口诀：同圆等圆中，角等弧等弦等，三者一体可互换。 ⚠️易混易错 把“弧的长度”与“弧的度数”混为一谈。 缺少“同圆或等圆”前提直接套用等量关系。 ⚠️避坑指南 ❌ 不同圆中的圆心角相等，不能推出弧相等或弦相等。 ❌ 证明角、弧、弦相等时，先确认图形在同圆或等圆中。 考点五 圆周角定理及推论 圆周角定义：顶点在圆上、两边都与圆相交的角。 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角______，都等于这条弧所对______的一半。 推论①：直径所对的圆周角是______；反之，90°的圆周角所对的弦是______。 推论②：同弧或等弧所对的圆周角相等（用于等角转移）。 ⚠️概念辨析 圆周角顶点必须在圆上，且角的两边与圆相交，二者缺一不可。 “同弧”与“同弦”不同：同弦所对的圆周角可能有两个（优弧与劣弧），两角互补。 ⚠️记忆口诀 口诀：圆周顶点在圆上，同弧周角圆心半；直径见直角，直角见直径。 ⚠️易混易错 把“圆周角”误当“圆心角”的一半而不强调同弧。 忽略圆周角顶点必须在圆上这一前提。 同弦两圆周角互补与“同弧圆周角相等”混淆。 ⚠️避坑指南 ❌ 出现直径→立即找直径所对的圆周角（直角）；出现 90°圆周角→找其所对的弦（直径）。 ❌ 同弦两侧的圆周角不等而同补，须结合图形判断取哪一个。 ❌ “圆周角等于圆心角一半”必须加“同弧（等弧）”前提。 考点六 圆内接四边形 如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫作圆内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆。 性质：圆内接四边形的______，即 ，；一个外角等于它的______。 ⚠️概念辨析 “对角互补”是圆内接四边形的重要特征，常用于证明四点共圆或求角。 外角等于“与它相邻的内角的对角”，即内对角。 ⚠️记忆口诀 口诀：圆内接四边形，对角补成平；外角等同内对角。 ⚠️易混易错 把圆内接四边形的“对角互补”与平行四边形的“邻角互补”混为一谈。 找错“内对角”导致外角关系用错。 ⚠️避坑指南 ❌ “对角互补”≠“邻角互补”：邻角互补是平行四边形的性质，勿混淆。 ❌ 求圆内接四边形某一角时，直接用对角互补，不必绕路。 考点七 弧长和扇形面积 弧长公式： （ 为圆心角度数， 为半径）。 扇形面积公式一： ；扇形面积公式二： （ 为弧长）。 扇形：由两条半径和所夹的______围成的图形。 ⚠️概念辨析 两个公式中 均为“度数”，必须带单位“度”理解；180、360 来自角度制与弧度换算。 与 等价，可互相验证。 ⚠️记忆口诀 口诀：弧长一百八十分 nπr，面积三百六十分 nπr²，面积还等半弧乘半径。 ⚠️易混易错 弧长公式与扇形面积公式的分子、分母互相混淆。 忘记把圆心角度数正确代入（直接用弧度或分数）。 扇形面积误用“½×底×高”的三角形面积模型。 ⚠️避坑指南 ❌ 弧长公式分子是 ，分母是 ；扇形面积分子是 ，分母是 ——勿张冠李戴。 ❌ 由弧长或面积反求圆心角时，注意保留“度”的单位。 ❌ 组合图形面积常拆分为“扇形−三角形”等，注意重叠部分勿重复计算。 题型一 垂径定理 × 勾股定理（求弦长 / 半径 / 弦心距） 典例1 （25-26九年级上·北京东城·期中）已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 💡破题要诀 遇弦题先作“弦心距＋连半径”，构造直角三角形，套用 （ 为弦长， 为弦心距），实现“知二求三”；计算时务必用半弦长。 迁移应用 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（   ） A． B．9 C． D． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为8米，轮子的半径为5米，则轮子的吃水深度为________米． 3．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，锅盖最低点到的距离是，则______． 题型二 圆周角定理求角（含直径对直角） 典例2 （25-26九年级下·河南驻马店·期中）如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 见直径→定直角；见同弧→取等角；见圆心角→取一半。三步定型，多数求角题迎刃而解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·湖北·期中）如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，且，以点为圆心，适当长为半径作弧，交边，于点，；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线，则（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·天津·期中）如图，为的直径，，则的度数为____________． 题型三 弧长计算 典例3 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径的交于点E，则的长为______．（计算结果保留） 💡破题要诀 直接代入 ， 必须带“度”；遇图形求弧长时，先确定圆心角度数与半径。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形中，，C是上一点，O关于的对称点D正好落在上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）点P是半圆上的一个动点，圆心为O，将沿着翻折，与直径交于点C，的中点为D．若已知，则当点P从点A运动到点B的过程中，点D的运动路径长为______． 题型四 扇形面积计算 典例4 （25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A． B． C． D． 💡破题要诀 两个公式等价：已知圆心角用 ，已知弧长用 更简；可用两式互相验算，防止计算错误。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，已知扇形的圆心角，为弧的中点，以为直径作半圆，得到甲、乙两个新图形（阴影部分），则阴影部分甲的面积与乙的面积的大小关系是（  ） A．甲乙 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为______． 3．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在菱形中，分别以点、为圆心，、长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为______．（结果不取近似值） 题型五 圆内接四边形求角 典例5 （25-26九年级下·云南昭通·期中）如图，四边形是的内接四边形，点O在线段上，，则（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 圆内接四边形求角首选“对角互补”；结合外角等于内对角，可快速转移角度。 迁移应用 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是的外接圆，外角的度数为，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．无法确定 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，据书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，测量锯口深和锯道长，便可得径为几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯去锯这木材，测量锯口深和锯道长，可以算出圆的直径．“现有一木材和锯如图所示，测得寸，寸，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径是（   ） A．10寸 B．15寸 C．17寸 D．20寸 4．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，连接，相交于点．已知，则的长为（   ） A． B． C．6 D．8 5．（25-26九年级上·北京·期中）已知圆的半径为4，内接锐角三角形中，，则边长为______． 6．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，AB是的直径，弦，点在圆上且，则直径______． 7．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，正五边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为______． 8．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，是的直径，过点作交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 9．（25-26九年级上·海南·期中）如图，四边形内接于，为的直径，平分，． (1)求直径的长； (2)求图中阴影部分的面积． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·重庆荣昌·期中）如图，中，，，，以点为圆心、为半径画弧，分别交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，则的最大值是______ ． 3．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为10，，则______，______． 4．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）【初步感知】如图，点均在上，若，则锐角的大小为_________； 【深入探究】 如图，小聪遇到这样一个问题：是等边的外接圆，点在弧上（点不与点重合），连接．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 5．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 6．（25-26九年级上·北京·期中）如图，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 圆的有关概念 考点二 点与圆的位置关系 考点三 垂径定理（垂直于弦的直径） 考点四 圆心角、弧、弦的关系 考点五 圆周角定理及推论 考点六 圆内接四边形 考点七 弧长和扇形面积 05 重难题型突破 题型一 垂径定理 × 勾股定理 题型二 圆周角定理求角 题型三 弧长计算 题型四 扇形面积计算 题型五 圆内接四边形求角 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点 常考题型 典型分值占比（参考） 难度层级 圆的有关概念（圆心、半径、直径、弦、弧、等圆等弧） 选择、填空 8%–12% 基础 点与圆的位置关系 选择、填空 5%–8% 基础 垂径定理及推论（含勾股综合） 选择、填空、解答 20%–25% 中档—较难 圆心角、弧、弦的关系 选择、填空 8%–12% 中档 圆周角定理及推论（含直径对直角） 选择、填空、解答 18%–22% 中档—较难 圆内接四边形 选择、填空 6%–10% 中档 弧长和扇形面积 填空、解答 12%–16% 中档 识记 背熟定义、定理的文字表述与符号表达，落实“概念辨析”与“记忆口诀”。 理解 会作关键辅助线（连半径、作弦心距），理解垂径定理“知二求三”、圆周角定理“同弧等角、直径直角”的几何直观。 应用 掌握本章五类必考题型，形成“辅助线＋方程＋公式代入”的完整解题路径。 考点一 圆的有关概念 圆的定义：平面上到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形叫作圆；以O为圆心、r为半径的圆记作⊙O。 相关元素：连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径；经过圆心的弦叫直径（直径是最长的弦，）；圆上任意两点间的部分叫弧（大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，直径所对弧叫半圆）；能够完全重合的两个圆叫等圆；在同圆或等圆中能够完全重合的两条弧叫等弧；圆心相同、半径不同的圆叫同心圆。 ⚠️概念辨析 “直径是弦，但弦不一定是直径”——直径必过圆心，是特殊的弦。 “等弧”必须在同圆或等圆中，且弧的长度与所对圆心角的度数都相等。 半圆是弧，但弧不一定是半圆；优弧与劣弧是相对半圆而言的。 ⚠️记忆口诀 口诀：定点定长成圆，直径最长之弦；半圆也是弧，同圆等圆方比弧。 ⚠️易混易错 弦与直径混淆：直径是最长的弦，但“最长的弦”≠“所有弦都是直径”。 弧与半圆混淆：半圆是特殊弧，优弧、劣弧按与半圆的大小关系区分。 等圆与同心圆混淆：等圆半径相等；同心圆圆心相同、半径不等。 ⚠️避坑指南 ❌ 判断“是不是直径”要看是否过圆心；判断“是不是弦”只看端点在圆上的线段。 ❌ “过圆内任意一点都能作弦”，但只有过圆心的弦才是直径。 ❌圆是“图形”，圆心是“点”，两者不可混淆；圆的对称轴是过圆心的任意直线。 考点二 点与圆的位置关系 设点 到圆心 的距离为 ，圆的半径为 ，则点与圆的位置关系有三种： 时点 在圆内； 时点 在圆上； 时点 在圆外。 判定依据只有一个——比较 与 的大小关系。 ⚠️概念辨析 是指“点到圆心”的距离，不是点到圆周的距离。 点“在圆上”的充要条件是 ；“在圆内”是 ，“在圆外”是 。 ⚠️记忆口诀 口诀：内小外大正相等，点圆位置看 d、r。 ⚠️易混易错 把 当“点到圆周距离”导致判错：必须为“点到圆心距离”。 混淆“≤”与“<”：含边界与不含边界情形要分清。 ⚠️避坑指南 ❌ “”表示点在圆内或圆上（含边界）；“”仅表示在圆内，不含边界。 ❌ 多个点到圆心距离比较，可用于判断图形是否经过这些点。 考点三 垂径定理（垂直于弦的直径） 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 勾股模型：过圆心 作弦 的垂线 交 于 ，连接 ，则 ，；在 Rt△OAC 中，由勾股定理得 ，即已知半径、半弦长、弦心距三者中的任意两个，可求第三个（“知二求三”）。 ⚠️概念辨析 垂径定理的两要素：直径 + 垂直于弦。 推论中“平分弦的直径垂直于弦”成立的前提是被平分的弦不是直径（直径被平分无法推出垂直）。 ⚠️记忆口诀 口诀：垂弦直径平分弦，直角三角勾股牵；平行双弦分两侧，分类讨论别遗漏。 ⚠️易混易错 把垂径定理与“垂直平分线”混用，忽略必须“过圆心”。 误认为“平分弦的直径一定垂直于弦”——仅对非直径弦成立。 计算时忘记半弦（用整条弦长代入勾股）。 ⚠️避坑指南 ❌ 遇弦长、半径、弦心距、弓形高等量，先作“连半径、作弦心距”构造直角三角形。 ❌ 圆内两条平行弦可能在圆心同侧，也可能在圆心异侧，求距离须分类讨论。 ❌ 弧的中点到弦的距离（弓形高）= 半径 − 弦心距。 考点四 圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，圆心角相等 ⇔ 所对的弧相等 ⇔ 所对的弦相等；圆心角越大，所对的弧越大、所对的弦也越大。 三者关系可相互转化：“角等→弧等→弦等”或“弦等→弧等→角等”。 ⚠️概念辨析 “弧相等”指弧的长度与所对圆心角的度数都相等，不是仅长度相等。 圆心角相等的前提是“同圆或等圆”，跨圆比较不成立。 ⚠️记忆口诀 口诀：同圆等圆中，角等弧等弦等，三者一体可互换。 ⚠️易混易错 把“弧的长度”与“弧的度数”混为一谈。 缺少“同圆或等圆”前提直接套用等量关系。 ⚠️避坑指南 ❌ 不同圆中的圆心角相等，不能推出弧相等或弦相等。 ❌ 证明角、弧、弦相等时，先确认图形在同圆或等圆中。 考点五 圆周角定理及推论 圆周角定义：顶点在圆上、两边都与圆相交的角。 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。 推论①：直径所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径。 推论②：同弧或等弧所对的圆周角相等（用于等角转移）。 ⚠️概念辨析 圆周角顶点必须在圆上，且角的两边与圆相交，二者缺一不可。 “同弧”与“同弦”不同：同弦所对的圆周角可能有两个（优弧与劣弧），两角互补。 ⚠️记忆口诀 口诀：圆周顶点在圆上，同弧周角圆心半；直径见直角，直角见直径。 ⚠️易混易错 把“圆周角”误当“圆心角”的一半而不强调同弧。 忽略圆周角顶点必须在圆上这一前提。 同弦两圆周角互补与“同弧圆周角相等”混淆。 ⚠️避坑指南 ❌ 出现直径→立即找直径所对的圆周角（直角）；出现 90°圆周角→找其所对的弦（直径）。 ❌ 同弦两侧的圆周角不等而同补，须结合图形判断取哪一个。 ❌ “圆周角等于圆心角一半”必须加“同弧（等弧）”前提。 考点六 圆内接四边形 如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫作圆内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆。 性质：圆内接四边形的对角互补，即 ，；一个外角等于它的内对角。 ⚠️概念辨析 “对角互补”是圆内接四边形的重要特征，常用于证明四点共圆或求角。 外角等于“与它相邻的内角的对角”，即内对角。 ⚠️记忆口诀 口诀：圆内接四边形，对角补成平；外角等同内对角。 ⚠️易混易错 把圆内接四边形的“对角互补”与平行四边形的“邻角互补”混为一谈。 找错“内对角”导致外角关系用错。 ⚠️避坑指南 ❌ “对角互补”≠“邻角互补”：邻角互补是平行四边形的性质，勿混淆。 ❌ 求圆内接四边形某一角时，直接用对角互补，不必绕路。 考点七 弧长和扇形面积 弧长公式：（ 为圆心角度数， 为半径）。 扇形面积公式一：；扇形面积公式二：（ 为弧长）。 扇形：由两条半径和所夹的弧围成的图形。 ⚠️概念辨析 两个公式中 均为“度数”，必须带单位“度”理解；180、360 来自角度制与弧度换算。 与 等价，可互相验证。 ⚠️记忆口诀 口诀：弧长一百八十分 nπr，面积三百六十分 nπr²，面积还等半弧乘半径。 ⚠️易混易错 弧长公式与扇形面积公式的分子、分母互相混淆。 忘记把圆心角度数正确代入（直接用弧度或分数）。 扇形面积误用“½×底×高”的三角形面积模型。 ⚠️避坑指南 ❌ 弧长公式分子是 ，分母是 ；扇形面积分子是 ，分母是 ——勿张冠李戴。 ❌ 由弧长或面积反求圆心角时，注意保留“度”的单位。 ❌ 组合图形面积常拆分为“扇形−三角形”等，注意重叠部分勿重复计算。 题型一 垂径定理 × 勾股定理（求弦长 / 半径 / 弦心距） 典例1 （25-26九年级上·北京东城·期中）已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 【答案】5 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵，是的弦， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即此圆的半径为． 💡破题要诀 遇弦题先作“弦心距＋连半径”，构造直角三角形，套用 （ 为弦长， 为弦心距），实现“知二求三”；计算时务必用半弦长。 迁移应用 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（   ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【详解】解：的半径，， ∴最小弦长， 最大弦长， ∴弦长的取值范围为． 选项A中.，不符合要求． 选项B中.，不符合要求． 选项C中.在弦长的取值范围内，符合要求． 选项D中.，不符合要求． 故选C． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为8米，轮子的半径为5米，则轮子的吃水深度为________米． 【答案】2 【详解】解：根据题意可得，，米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴轮子的吃水深度米． 故答案为：2． 3．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，锅盖最低点到的距离是，则______． 【答案】32 【详解】解：如图，锅盖的圆心为，与交于点，连接， 由题意知，，， ∴，． ∴在中，， ∴． 题型二 圆周角定理求角（含直径对直角） 典例2 （25-26九年级下·河南驻马店·期中）如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是的直径， ． ， ． 💡破题要诀 见直径→定直角；见同弧→取等角；见圆心角→取一半。三步定型，多数求角题迎刃而解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴． 2．（26-27九年级上·湖北·期中）如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，且，以点为圆心，适当长为半径作弧，交边，于点，；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 根据作图步骤可得：平分，∴． 3．（26-27九年级上·天津·期中）如图，为的直径，，则的度数为____________． 【答案】 【详解】解：∵，为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型三 弧长计算 典例3 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径的交于点E，则的长为______．（计算结果保留） 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 💡破题要诀 直接代入 ， 必须带“度”；遇图形求弧长时，先确定圆心角度数与半径。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 【答案】 【详解】解：由题意得这个“莱洛三角形”的周长是． 故答案为： 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形中，，C是上一点，O关于的对称点D正好落在上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，故， ∵O关于的对称点为D， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 在直角中，，， ∴，， ∴， ∴的长为：， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）点P是半圆上的一个动点，圆心为O，将沿着翻折，与直径交于点C，的中点为D．若已知，则当点P从点A运动到点B的过程中，点D的运动路径长为______． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，以为边向下作正方形，连接， ∵是的直径， ∴， 由对称性可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当点在点时，点在点处，当点在点时，点在点处， 当点从点运动到点时，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的， 已知，则半圆的半径， 点运动路径是以为圆心，为半径的， 所以点的运动路径长为． 故答案为：． 题型四 扇形面积计算 典例4 （25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 💡破题要诀 两个公式等价：已知圆心角用 ，已知弧长用 更简；可用两式互相验算，防止计算错误。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，已知扇形的圆心角，为弧的中点，以为直径作半圆，得到甲、乙两个新图形（阴影部分），则阴影部分甲的面积与乙的面积的大小关系是（  ） A．甲乙 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：设． ∵扇形的圆心角为，是弧中点， ∴扇形的圆心角为，半径为； 以为直径的半圆半径为． ∵，， ∴比较与即可． ∵，， ∴， ∴． 故选：． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为______． 【答案】 【详解】解：弦垂直平分半径， ， ， 为等边三角形， ， ∵，， ， 扇形的面积， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在菱形中，分别以点、为圆心，、长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为______．（结果不取近似值） 【答案】 【详解】解：构造扇形，扇形，连接， 菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形， ， ， ， ， 在菱形中，， ， ， 令交于点， 在中，， ，， ，， ． 故答案为：． 题型五 圆内接四边形求角 典例5 （25-26九年级下·云南昭通·期中）如图，四边形是的内接四边形，点O在线段上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ． 💡破题要诀 圆内接四边形求角首选“对角互补”；结合外角等于内对角，可快速转移角度。 迁移应用 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是的外接圆，外角的度数为，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，在优弧上取一点D，连接，， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， 设，则． ， ∴， 解得， ， ，， ． 故选：D． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：的半径，点到圆心的距离为， ， 即点在内． 故选：． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为． 故选：C 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，据书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，测量锯口深和锯道长，便可得径为几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯去锯这木材，测量锯口深和锯道长，可以算出圆的直径．“现有一木材和锯如图所示，测得寸，寸，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径是（   ） A．10寸 B．15寸 C．17寸 D．20寸 【答案】C 【详解】解：如图，设圆心为，连接， 设的半径为r寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 由题意得，寸， ∴寸， 在中，， ∴， 解得， ∴的直径为17寸． 4．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，连接，相交于点．已知，则的长为（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·北京·期中）已知圆的半径为4，内接锐角三角形中，，则边长为______． 【答案】4 【详解】解：如图，过点A作直径，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 6．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，AB是的直径，弦，点在圆上且，则直径______． 【答案】 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的直径． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，正五边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为______． 【答案】 【详解】解：∵正五边形的边长为4， ∴，， ∴的长为， 阴影部分的周长为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，是的直径，过点作交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【详解】(1)证明：因为是的直径， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． （2）解：由（1）得， 所以点是的中点， 因为点是的中点， 所以是的中位线， 因为，所以， 因为，所以， 所以． 9．（25-26九年级上·海南·期中）如图，四边形内接于，为的直径，平分，． (1)求直径的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·重庆荣昌·期中）如图，中，，，，以点为圆心、为半径画弧，分别交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： ∵，， ∴， 得， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积为， 扇形的面积为， 的面积为， ∴阴影部分面积为， 故选D． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，则的最大值是______ ． 【答案】 【详解】解：如图，作的中点，连接， 由旋转的性质得：， 点为的中点，点为中点， 是△的中位线， ， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 当点在延长线上时，最大， ，，， 点为中点，， 最大为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为10，，则______，______． 【答案】 【详解】解：如图，连接，连接并延长，交于点H，作，垂足为M． ∵点A为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴点都在垂直平分线上， ∴是垂直平分线， ∴． ∵的直径为10， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， 设， 在中，根据勾股定理得， 即， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴． ∴在中，． 4．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）【初步感知】如图，点均在上，若，则锐角的大小为_________； 【深入探究】 如图，小聪遇到这样一个问题：是等边的外接圆，点在弧上（点不与点重合），连接．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【详解】解：初步感知：∵， ∴， 故答案为：； 深入探究：证明：延长至点，使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【详解】(1)证明： 是弧AB的中点， ， ， ， ， 在和 中， 由，， ． (2)四边形是菱形 证明：如图连接、 由圆的性质知 ，由D、E分别是、的中点，得， 由知， 在和中， 由， ， ， 同理可证， ， 综上可得 ，故四边形是菱形． 6．（25-26九年级上·北京·期中）如图，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求阴影部分的面积． 【详解】(1)证明：四边形是的内接四边形， ， 又 ， ， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，， 即， ∴ 即，， ， 是等边三角形， 即， ∵ ∴ 如图，作， ∴， ∴阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $